Справочник по математике. Справочник-по-математике-в-формулах-таблицах-рисунках-учебное-по. Справочник по математике в формулах, таблицах, рисунках учебное пособие Омск 2010
 Скачать 2.16 Mb.
|
sin sin cos cos ) cos( ; tg tg tg Формулы двойного угла 2 2 2 2 2 sin 2 1 tg 1 tg 1 sin cos 2 cos 2 tg 1 tg 2 cos sin 2 2 sin ; 2 tg 1 tg 2 Формулы понижения степени 2 2 cos 1 sin 2 ; 2 Формулы преобразования суммы и разности в произведение тригонометрических функций 2 cos 2 sin 2 sin sin ; 2 sin 2 cos 2 sin sin ; 2 cos 2 cos 2 cos cos ; Окончание таблицы 2 sin 2 sin 2 cos cos ; cos cos ) sin( tg Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму и разность )) cos( ) (cos( 2 1 sin sin ; )) cos( ) (cos( 2 1 cos cos ; )) sin( ) (sin( 2 1 cos sin ; ctg ctg tg tg tg Формулы приведения sin cos tg ctg sin cos tg ctg 2 cos sin ctg tg sin cos tg ctg 2 Правило получения формул приведения 1) Если угол откладывается от горизонтальной оси (для углов 2 ; ), название исходной функции сохраняется. Если угол откладывается от вертикальной оси (для углов 2 3 ; 2 ), название исходной функции заменяется (синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс. 2) В правой части формулы ставится тот же знак, который имеет левая часть при условии 2 Приме р. cos ) 2 sin( (синус во второй четверти положителен, угол откладывается от вертикальной оси 14 c b 0 Раздел 3. ПЛАНИМЕТРИЯ И СТЕРЕОМЕТРИЯ Площади фигур Прямоугольный треугольника катеты, c – гипотенуза, , – острые углы 2 2 2 b a c – теорема Пифагора. Произвольный треугольник с, 2 c b a p – полупериметр, r – радиус вписанной окружности, ) )( )( ( c p b p a p p pr S . Прямоугольник a – длина (основание, b – ширина (высота, d – диагональ, sin 2 Трапеция h – высота, b a, – основания, sin 2 2 2 1 d d h b a S a 15 h 1 d 2 d a r d r r d D а Ромб а – сторона 1 , d d – диагонали, h – высота, 2 Окружность и круг d – диаметр окружности круга радиус окружности круга, длина окружности r d C 2 , площадь круга 2 4 2 Круговой сектор r – радиус, l – длина дуги, – градусная мера дуги, 0 360 2 r l , 360 2 r S Круговое кольцо D – большой диаметр, d – малый диаметр, a – ширина кольца, ) ( 4 2 2 d D S 16 Площади поверхностей и объемы тел Прямоугольный параллелепипед d − диагональ параллелепипеда, c b a d 2 2 , ) ( 2 bc ac ab S , abc V Цилиндр (прямой круговой) Rh S боковой 2 , ) ( 2 R h R S полной , h R V 2 Конус (прямой круговой) l – образующая конуса, 2 2 h R l , Rl S боковой , ) ( l R R S полной , h R V 2 Сфера и шар S – площадь сферы, 2 2 4 D R S , V – объем шара 3 4 R V 17 Раздел 4. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Определители Обозначение Правило вычисления Схема вычисления Определитель го порядка 22 21 12 11 2 a a a a 21 12 22 11 Определитель го порядка 33 32 31 23 22 21 13 12 11 Правило треугольников 31 22 13 32 21 13 31 23 12 33 22 11 3 a a a a a a a a a a a a 32 23 11 33 21 Определитель го порядка nn n n n n a a a a a a 1 2 21 Разложение определителя по элементам й строки 2 2 где ij A − алгебраическое дополнение к элементу ij a : ij j i ij M A 1 , ij M – минор к элементу ij a − определитель го порядка, получаемый из определителя n вычёр- киванием й строки иго столбца Получение минора к элементу Пример. Вычислить определитель 2 8 5 3 1 1 4 2 3 . Решение Вычисление по правилу треугольников Разложение по элементам первой строки 218 6 ) 1 ( 4 ) 2 ( 5 2 1 3 8 8 5 4 1 ) 2 ( ) 1 ( 6 3 2 3 218 ) 22 ( 1 ) 46 ( 4 28 2 2 8 3 1 1 6 8 5 1 4 6 2 5 3 2 3 ij a 18 Виды матриц n m ij mn m m n n a a a a a a a a a a A , 3 1 2 22 21 1 12 11 – матрица размерности n m , где m − число строк n − число столбцов. Виды матриц Пример Квадратная А nn n n n n n a a a a a a a a a A 2 1 2 22 21 1 12 Единичная j i j i E ij ij n , 0 , , 1 ) ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Нулевая j i a a O ij ij n , , 0 ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Диагональная j i d d D ij ij n , 0 ) ( 33 22 11 3 0 0 0 0 0 Верхняя треугольная при j i 33 23 22 13 12 11 3 0 Нижняя треугольная при j i 33 32 31 22 21 11 3 0 Симметричная матрица ij s S ji ij s s при j i 33 22 Действия над матрицами 19 Операция Определение Пример Сложение вычитание) матриц В А С n m n m n m B A C , , , ij ij ij b a с 22 22 21 21 12 12 11 11 22 21 12 11 22 21 12 Умножение матрицы на число АС 21 12 11 22 21 12 Умножение матриц В А С n l l m n m B A C , , , l k kj ik ij b a с 1 22 22 12 21 21 22 11 21 22 12 12 11 21 12 11 11 22 21 12 11 22 21 12 Операция транспонирования матрицы Т А С T m n n m A C , , Т 21 12 11 a a a a A 22 12 21 Элементарные преобразования матрицы 1. Перемена местами двух строк столбцов 2. Умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля 3. Прибавление к элементам одной строки столбца) соответствующих элементов другой строки столбца) 1. 22 21 12 11 a a a a A 12 11 22 21 a a a a 2. 22 21 12 11 a a a a A 22 21 12 11 a a a a 3 22 21 12 11 a a a a A 22 21 22 12 21 Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) 20 Основные понятия Общий вид , , , 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 где коэффициенты системы m b b b ,..., , 2 1 − свободные члены n х х х ,..., , 2 1 – неизвестные Матрица системы mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 2 22 21 1 12 11 СЛАУ в матричной форме B X A , где 1 − матрица- столбец из неизвестных i x m b b b B 2 1 − матрица-столбец из свободных членов Решение СЛАУ Совокупность чисел i i x , ____ , 1 n i , которые обращают все уравнения системы в тождества. Каждое решение СЛАУ – частное решение. Совокупность всех частных решений – общее решение Разновидности СЛАУ 21 Признак Название Определение По количеству решений Совместная Несовместная Определенная Неопределенная Имеет хотя бы одно решение. Не имеет решений. Имеет одно решение. Имеет бесконечно много решений Однородная В (все. Всегда совместна, так как нулевое тривиальное) решение те. 0 2 1 n x x x ) является решением однородной системы По виду правой части Неоднородная В Вырожденная 0 2 1 2 22 21 1 12 По значению А для случая n m Невырожденная А Обратная матрица и ее нахождение 1 A − обратнаяматрица к n n ij a A , , если E A A A A 1 Этапы решения Пример Вычислить определитель матрицы. Если 0 A , тоне существует Если 22 21 12 11 a a a a A , то 22 21 12 11 a a a a A = 21 12 22 Составить матрицу ij A A , где ij A − алгебраические дополнения элементов ij a матрицы A ij A A = 11 12 21 Транспонировать A T ij T A A = 11 21 12 Записать обратную матрицу T A A A 1 1 T A A A 1 1 = 21 12 22 11 1 a a a a 11 21 12 Методы решения СЛАУ 22 Метод решения Пример Решение невырожденной СЛАУ по формулам Крамера (m=n) n n x x x , , , 2 2 1 1 , где – определитель СЛАУ 0 ; i − определитель, полученный из определителя системы заменой го столбца столбцом свободных членов 6 8 7 , 9 6 5 4 , 6 3 2 y x z y x z y x , 27 0 8 7 6 5 4 3 2 1 , 54 0 8 6 6 5 9 3 2 6 x 27 0 6 7 6 9 4 3 6 1 y , , 54 6 8 7 9 5 4 6 2 1 z 2 27 54 , 1 27 27 , 2 27 Решение невырожденной СЛАУ матричным способом (m=n) B A X B AX 1 6 8 7 , 9 6 5 4 , 6 3 2 y x z y x z y x 0 8 7 6 5 4 3 2 1 A , 6 9 6 B 3 6 3 6 21 42 3 24 48 27 1 1 A 2 1 2 6 9 6 9 / 1 9 / 2 9 / 1 9 / 2 9 / 7 9 / 14 9 / 1 9 / 8 9 / 16 z y x Окончание таблицы Метод решения Пример Решение СЛАУ методом Гаусса 23 метод последовательного исключения неизвестных) (m ) т Расширенную матрицу системы матрица, составленная из коэффициентов системы с добавлением столбца свободных членов) m mn m m n n b a a a b a a a b a a a A 2 1 2 2 22 21 1 1 12 с помощью элементарных преобразований, проводимых только над строками, приводят к ступенчатому виду m r r rn rk n k k n k k b b b a a b a a a b a a а а r r r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 2 2 1 1 1 1 11 После выполнения элементарных преобразований можно получить эквивалентную матрицу следующего типа Система совместна и определенна имеет единственное решение. Система совместна и неопределенна имеет множество решений. Система несовместна решений нет) 6 8 7 , 9 6 5 4 , 6 А 6 0 8 7 9 6 5 4 6 3 2 1 48 21 6 0 15 6 3 0 6 3 2 1 18 9 0 0 5 2 1 0 6 3 2 Получена СЛАУ вида Эквивалентная СЛАУ: 18 9 5 2 6 3 2 z z y z y x 2 Ответ 2 x ; 1 y ; Собственные векторы, собственные значения матрицы и их нахождение Пусть А – квадратная матрица порядка n. 0 0 0 0= 1 0 24 n n ij nn n n n n a a a a a a a a a a A , 3 1 2 22 21 1 12 Рассмотрим уравнение Х АХ , где Х – неизвестный числовой вектор высотой n. Уравнение Х АХ эквивалентно уравнению 0 X E А Данное матричное уравнение соответствует однородной системе уравнений, которая имеет ненулевые решения, если 0 Е А Уравнение 0 Е А называется характеристическим уравнением матрицы А. Значения , при которых уравнение имеет нетривиальные решения Х, называют собственными значениями матрицы А. Решения Х уравнения при таких – собственные векторыматрицы. Этапы решения Пример Записать характеристическое уравнение матрицы 0 Е А 1 4 2 А 1 4 2 3 Е А «Раскрыв» определитель, получить собственных значений 0 5 4 2 , получаем 1 , 5 Найти собственные векторы, соответствующие собственным значениям из векторного уравнения 0 Х Е А Подпространство собственных векторов, соответствующих 5 1 , есть множество решений системы уравнений 0 Х Е А : 0 4 4 ; 0 2 2 2 1 2 1 х х х х R L , ) 1 , 1 ( 1 |