Справочник по математике. Справочник-по-математике-в-формулах-таблицах-рисунках-учебное-по. Справочник по математике в формулах, таблицах, рисунках учебное пособие Омск 2010
 Скачать 2.16 Mb.
|
,... 3 , 2 , 1 , 0 Z – множество целых чисел n m Q – множество рациональных чисел, где N n Z m , ; X R – множество действительных чисел множество всех конечных и бесконечных десятичных дробей, где X 0 если , , 0 если , х х х x x – абсолютная величина действительного числах (модуль числа х). а х означает расстояние между точками хи а окрестность точки а есть интервал вида ) , ( а а , где 0 задает радиус окрестности. Если ) , ( а а x (или ) (a O x ), то a x a (или ах. Функция, способы ее задания и свойства Если каждому элементу множества Х Х х ( ) ставится в соответствие вполне определенный элемент y ) ( Y y , то говорят, что на множестве Х задана функция Переменная х – независимая переменная или аргумент. МножествоХ – область определения функции ( ) ( f D ), множество Y – область значений функции ( ) ( Способы задания функции Определение Пример Аналитический В виде формулы Табличный х x 1 x 2 … x n y y 1 y 2 … y n ха а 26 x y X 0 Y 2 x y x y X x Y M(x,f(x)) y=f(x) Окончание таблицы Графический В виде графика – множества точек ) , ( y х плоскости, абсциссы которых есть значения аргументах, а ординаты – соответствующие им значения функции Пусть для ). ( ) ( ) ( , 2 1 2 1 x f x f f D х х Тогда для ) ( f E y одно значение ). ( : ) ( ) ( x f y f D y g x Функция ) ( ) ( 1 y g y f x , определенная на ) ( f E , называется обратнойдля функции ) (x f y Обозначим аргумент обратной функции через ха функцию через y : ) (x g y Графики взаимно-обратных функций ) (x f y и ) (x g y симметричны относительно прямой x y Пример имеет обратную функцию x y при Свойства Определение Четность Если X x ) ( ) ( x f x f , то ) (x f четная и ее график симметричен относительно оси OY, если ) ( ) ( x f x f , то нечетная и ее график симметричен относительно О(0,0) Монотонность Если X x x 2 1 )) ( ) ( )( ( ) ( 2 1 2 1 x f x f x f x f , то ) (x f строго возрастает (строго убывает)на Х Ограниченность Если М X x M x f ) ( , то ограничена на Х. Периодичность Если X x ) ( ) ( x f T x f , то периодическая с периодом Т 27 Графики основных элементарных функций Линейная функция Степенная функция а) n – натуральное число б) n – целое отрицательное число Y X 3 x y 0 X Y 2 x y 0 X Y 0 x y 1 Y X 0 0 k 0 k b Y X 0 0 k b y X Y 0 2 1 x y 28 Y y=sinx y=cosx 2 1 X в) дробно-рациональные значения n Показательная функция Логарифмическая функция x a y Тригонометрические функции и обратные к ним функции 3 x y 0 Y X x y X 0 Y X 1 a Y 0 1 0 a X Y 1 a 1 0 a 29 Y 2 1 X y=arcsinx Y 2 1 X y=arccosx Y 1 X 2 y=ctgx y=tgx 2 Y X y=arctgx 0 Y X y=arcctgx 2 30 Y y=2cos(x) 1 X y=cos(x) 2 Y y=cos(2x) 1 X y=cos(x) Правила построения графиков функций сдвигами и деформациями графиков известных функций Правила построения Пример сдвиг графика ) (x f y на a единиц вдоль оси ОХ (вправо, если 0 a , и влево, если 0 a ) b x f y ) ( – сдвиг графика ) (x f y на b единиц вдоль оси О (вверх, если 0 b , и вниз, если 0 b ) ) (x f y − зеркальное отражение графика ) (x f y от оси ОХ для 0 x ) (x kf y – растяжение (сжатие) графика ) (x f y вдоль оси OY враз раз при 1 k (при 1 0 k ) ) (mx f y – сжатие растяжение) графика по оси ОХ враз раз при 1 m (при 1 0 m ) | | 3 x y X Y 0 2 x y 2 2 x y X Y 2 0 2 x y 2 ) 2 ( x y X Y 2 0 31 Предел функции Число А есть предел функции ) (x f в точке 0 x ) ( : ) ( 0 ) ( lim 0 0 0 A x f x x x x x f A x x ) ( lim 0 0 x f A x x ( ) ( lim 0 0 x f A x x ) – левый (правый предел функции в точке 0 x 0 0 ) ( 0 x x : 0 0 x x x ( 0 0 x x x ) Правила вычисления пределов Операции над пределами Замечательные пределы ) ( lim )) ( ( lim 0 0 x f c x cf x x x x , где с=сonst ) ( lim ) ( lim )) ( ) ( ( lim 0 Первый замечательныйпредел: 1 sin lim sin lim 0 0 x x x x x x ) ( lim ) ( lim )) ( ) ( ( lim 0 0 0 x g x f x g x f x x x x x x ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim 0 0 0 x g x f x g x f x x x x x x , где 0 ) ( lim 0 x g x x Второй замечательный предел 0 ) 1 ( lim ( 1 форма 1 lim ( 2 форма – бесконечно малая функцияв точке если 0 ) ( lim 0 x x x ; ) (x g – бесконечно большая функцияв точке если. Тогда ) ( ) ( 1 x g x ( 0 1 ), ) ( ) ( 1 x x g ( 0 1 ). Виды определенностей Виды неопределенностей X Y 2 0 x 0 x ) (x f y 0 x 0 A A A 32 0 ; ; 0 0 ; 0 0 ; 0 0 0 ; 0 ; 0 ; 0 1 ; 0 1 с с 0 0 ; 0 ; 1 ; ; 0 ; ; 0 0 ) (x и – эквивалентные бесконечно малые ) ( при 0 x x Основные эквивалентностипри 0 x : x x sin ; x x tg ; x x arcsin ; x x arctg ; a x a x ln 1 ; x x ) 1 ln( ; 2 1 1 x x . Вид функции Неопределенность Рекомендации к раскрытию неопределенностей Разделить числитель и знаменательна высшую степень х. m n m n b a m n x Q x P m n m n x если , ; если , ; если , 0 ) ( ) ( lim m m n n m n x b x b b x a x a a Q P x f ) ( 1 0 1 0 0 0 m m n n x x x b x b b x a x a a lim 1 0 1 Сократить дробь на разность ) ( 0 x x содержит иррациональности й случай ) ( ) ( ) ( x u x u x f 2 1 ; й случай 3 2 3 1 ) ( ) ( ) ( x u x u x f 0 0 , й случай. Умножить и разделить функцию на сопряженное иррациональное выражение ) ( ) ( 2 1 x u x u и воспользоваться формулой 2 ай случай. Умножить и разделить функцию на неполный квадрат разности (суммы) и воспользоваться формулами сокращенного умножения 3 3 2 2 b a b ab a b a ) )( ( ) (x f содержит тригонометрические функции и обратные к ним функции Воспользоваться первым замечательным пределом или эквивалентностями ) (x f содержит разность алгебраических дробей Привести дроби к общему знаменателю ) (x f содержит произведение бесконечно малой функции на бесконечно большую функцию Убрать один из множителей в знаменатель как обратную величину 0 / 1 или 0 0 / 1 0 0 33 Воспользоваться одной из форм второго замечательного предела ) (x f ) ( ) ( x x g – показательно-степенная функция 0 Воспользоваться основным логарифмическим тождеством B e В ln Непрерывность функции Первое определение. Функция ) (x f y непрерывна в точке, если ) ( lim 0 x f x x : ) ( ) ( lim 0 Функция ) (x f y непрерывна в точке слева (справа, если ) ( ) ( lim 0 0 0 x f x f x x ( ) ( ) ( lim 0 0 0 x f x f x x ). Критерий непрерывности. Функция ) (x f y непрерывна в точке 0 0 x f x f x x ) ( lim 0 Второе определение. Функция ) (x f y непрерывна в точке, если lim 0 0 x f x x f y x x . Типы разрывов в точке х род 2 род Устранимый Неустранимый Бесконечный A x f x x ) ( lim 0 , однако А В частности, функция может быть не определена в точке х A x f x x ) ( lim 0 0 , B x f x x ) ( lim 0 0 , B A B A – величина скачка функции По крайней мере, один из односторонних пределов в точке 0 x x ( ) ( lim 0 0 x f x x ) не существует или бесконечен Y X 0 x A А си м п тот а X Y 0 x A B Y X 34 Всякая элементарная функция (те. составленная из основных элементарных функций с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, деления, умножения и операции взятия функции от функции) непрерывна в каждой точке, в которой она определена 25 Раздел 9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной x x f x x f x y x y x x ) ( ) ( lim lim 0 0 0 0 0 x y x f x y x 0 0 0 0 lim ) 0 ( – правая производная x y x f x y x 0 0 0 0 lim ) 0 ( – левая производная Критерий производной A x y x y A x y ) ( ) ( ) ( 0 Геометрический смысл производной tg 0 x y 0 0 0 x x x y y y − уравнение касательной к графику функции x f y в точке 0 0 , Механический смысл производной, где t s пройденный путь t v − скорость t a − ускорение. Основные правила дифференцирования 1) t С С cons , 0 ; 2) v u v u , x v x u , − дифференцируемые функции 3) v u v u v u , u C u C ; 4) 2 v v u v u v u ; 5) дифференцирование сложной функции если u f y , где x u , то x u x u f y ; 6) дифференцирование обратной функции Пример Таблица производных 1 n n nx x , 1 x u u n u n n 1 a a a x x ln u a a a u u ln x x e e u e e u u x x cos sin u u u cos sin x x sin cos u u u sin cos x x 2 cos 1 tg u u u 2 1 tg cos x x 2 sin 1 ctg u u u 2 sin 1 ctg 2 1 1 arcsin x x u u u 2 1 1 arcsin 2 1 1 arccos x x u u x 2 1 1 arccos 2 1 1 arctg x x u u u 2 1 1 arctg 2 1 1 arcctg x x u u u 2 1 1 arcctg a x x a ln 1 log u a u u a ln 1 log x x 1 ln u u u 1 ln x e e e e x x x x x ch 2 2 sh u u u ch sh x e e e e x x x x x h s h 2 2 c u u u h s h c x x x x 2 ch 1 ch sh Дифференцирование различных функций 27 Способ задания функции Вид функции Формула для дифференцирования Неявный Параметрические уравнения t y y t x x , t t x x y y , Показательно- степенная функция ) ( ) ( x v x u y Логарифмическая производная ) ( ln ) ( ) ( ln Дифференциал функции Приращение функции x f y Функция x f y дифференцируема в точке х, если x x A y , где 0 ) ( x при 0 x Дифференциалфункции – главная часть приращения При 0 x , dy y x x f x f x x f – формула для приближённых вычислений. Свойства дифференциала 0 ) ( c d ; dv du v u d ; dv u v du v u d ; 2 v dv u v du v u d ; инвариантность формы дифференциала если )) ( ( x f y , ) ( x u – промежуточный аргумент, то Приме р. udu dx x dx х x d x sin ) sin( cos ) (cos 2 2 2 Правило Лопиталя x g x f x g x f a x a x lim , 0 0 lim , если x g x f a x lim существует. Пример Исследование функций и построение графиков y 0 y 0 x x ) (x f y dy 28 Исследование графика функции на наличие асимптот Название Уравнение Пример Вертикальная асимптота 0 x x , где точках х точка бесконечного разрыва 2 ) 2 ( 1 x y 2 0 2 ) 2 ( 1 lim x x 2 x вертикальная асимптота Наклонная асимптота b kx y , где , lim x x f k x kx x f b x lim 1 2 x x y x y x x x x b x x k x x x 0 1 1 1 1 1 2 lim lim , lim наклонная асимптота Горизонтальная асимптота A y , где Ау односторонние горизонтальные асимптоты Исследование функции на монотонность ООО возрастающая функция на ) , ( b a , если 1 b a x x и 2 1 2 1 x f x f x x ) , ( b a x : 0 x f , то возрастает на ) , ( b a x f y – убывающая функция на ) , ( b a , если 1 b a x x и 2 1 2 1 x f x f x x ) , ( b a x : 0 x f , то убывает на Исследование функции на экстремум 0 x − точка локального максимума, если 0 x f x f b a x , 0 x − точка локального минимума, если Необходимое условие существования экстремума Если 0 x x − точка локального экстремума, тов этой точке производная функции либо равна нулю ( 0 0 x f ), либо не существует. Достаточные условия существования экстремума О Y О X Y a b 0 x 2 x 1 x 1 y 2 y ) (x f y 1 y 2 y 1 x 2 x ) (x f y X 30 Пусть ) ( 0 f D x – критическая точка I рода, те. в этой точке 0 0 x f или не существует. Знак производной ) (x f в окрестности точки 0 x 0 x x 0 x x Вид графика в окрестности точки ) ( , 0 Вывод + − 0 x x − точка максимума − + 0 x x − точка минимума + + 0 x x − не является точкой экстремума, функция возрастает − − 0 x x − не является точкой экстремума, функция убывает Исследование кривой на вогнутость, выпуклость и точки перегиба Поясняющий рисунок Определение Выпуклая кривая расположена ниже любой касательной, проведенной к кривой в любой точке промежутка Вогнутая кривая расположена выше любой касательной, проведенной к кривой в любой точке промежутка Точка перегиба отделяет участок выпуклости от вогнутости Необходимое условие существования точки перегиба 31 Если 0 x x − точка перегиба, то 0 0 Достаточные условия существования точки перегиба Пусть ) ( 0 f D x – критическая точка II рода, те. в этой точке 0 0 x f или не существует. Знак производной ) (x f в окрестности точки 0 x 0 x x 0 x x Вид графика в окрестности точки ) ( , 0 Вывод + + Кривая вогнутая, точки перегиба нет − − Кривая выпуклая, точки перегиба нет + − ) ( , 0 0 x f x − точка перегиба − + ) ( , 0 0 x f x − точка перегиба Схема исследования функции Этапы исследования Пример. Найти область определения , 1 1 , ) ( y D 2. Исследовать функцию нач тность, нечётность и периодичность Функция общего вида, непериодическая. Найти точки пересечения графика с осями координат 0 0 y x Окончание таблицы 32 4. Найти асимптоты графика функции 1 lim 2 0 1 x x x 1 x − вертикальная асимптота 1 lim 2 x x x горизонтальных асимптот нет 1 ) 1 ( lim 2 x x x k x , 1 1 lim 2 x x x b x 1 x y − наклонная асимптота 5. Найти интервалы возрастания и убывания, экстремумы функции 2 ) 1 ( ) 2 ( x x x y , при 2 x , 0 x 4 ) 2 ( max y y , 0 ) 0 ( min y y 6. Найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика функции 3 ) 1 ( 2 x y , 0 y точек перегиба нет. ) 1 , ( − интервал выпуклости, ) , 1 ( − интервал вогнутости 7. Построить график функции 1 x y 1 x - -1 ) ( x f ) ( x f - + - -2 -1 0 ) ( x f ) ( x f 25 Раздел 10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Векторная функция скалярного аргумента Основные понятия Определения и расчетные формулы Способы задания пространственной кривой Векторное уравнение кривой ) (t r r , параметрические уравнения кривой – где – параметр, каждому значению которого соответствует определенная точка М в пространстве Векторная функция скалярного аргумента t. Годограф Линия , описываемая концом радиуса-вектора Производная вектора-функции скалярного аргумента Вектор скорости ) (t r характеризует направление и быстроту движения точки, направлен по касательной к кривой в точке М Вектор ускорения Репер Френе Система координат 0 0 0 0 0 0 , , , b b n n M , где ) ( 0 t r – касательный вектор ) ( ) ( 0 t r t r b – вектор бинормали 0 0 0 b n – вектор главной нормали r 1 M ) ( t t r ) (t r M ) (t r j i X Y k Z 0 M 0 n 0 b 0 26 С Числовые характеристики кривой Характеристики Определение Расчетные формулы Кривизна кривой Кривизна кривой – скорость отклонения кривой от касательной S k t 0 1 lim , где – наименьший угол между касательными к кривой в точках Ми М , S − длина дуги ММ 2 1 )) ( ( 1 ) ( x f x f k – для плоской кривой 1 r r r k – для пространственной кривой Радиус кривизны, центр кривизны, эволюта и эвольвента Радиус кривизны линии в точке – величина, обратная кривизне кривой в рассматриваемой точке. Пусть в точке М проведена нормаль к кривой, направленная в сторону вогнутости кривой. Если отложить на ней отрезок МС, равный радиусу кривизны R, то точка С – центр кривизны в точке М Эволюта кривой – множество центров ее кривизны. Эвольвента кривой – кривая, для которой кривая является эволютой. Для плоской кривой y y k R 2 / 3 2 1 1 1 – радиус кривизны, y y y b y y y x a 2 2 1 , ) 1 ( – координаты центра кривизны Кручение Кручение кривой в точке – скорость отклонения кривой от соприкасающейся плоскости S k t 0 2 lim , где – наименьший угол между соприкасающимися плоскостями – длина дуги 2 2 ) ( ) ( ) ( ), ( ), ( t r t r t r t r t r k M 0 M 0 M M 25 Раздел 11. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Частные производные функции и их нахождение Понятия Формула Поясняющий рисунок Частные приращения по хи по y Частная производная по х Частная производная по y Геометрический смысл частных производных, где – угол между осью ОХ и касательной, проведенной к кривой ) ; ( 0 y x f z в точке Частные производные высших порядков yx z x y z y z x 2 ) ( ; xx z x z x z x 2 2 ) ( ; xy z y x z x z y 2 ) ( ; yy z y z y z y 2 2 ) ( ; xxy z x z y 2 Если частные производные го порядка непрерывны, то Пример Для функции x z |