Справочник по математике. Справочник-по-математике-в-формулах-таблицах-рисунках-учебное-по. Справочник по математике в формулах, таблицах, рисунках учебное пособие Омск 2010
 Скачать 2.16 Mb.
|
|
– вектор, проекция которого на любое направление равна поверхностной плотности циркуляции по контуру площадки, перпендикулярной к этому направлению 0 lim ) ( ) ( , где – поверхность, натянутая на замкнутый контур L; 0 n – орт нормали к поверхности, направленный в ту сторону поверхности, с которой обход контура L виден совершающимся против часовой стрелки. Расчетная формула: ) (M a rot n z y x a a a z y x k j i Б) В) Будем считать, что направление нормали к плоскости совпадает с направлением оси OZ. Д xdy ydx С L xdy ydx ) 2 где S – площадь поверхности, ограниченной кривой L. Заметим, что если нормаль к поверхности S образует угол с осью OZ, то циркуляция cos 2 S С Г) ) (M V rot 0 x y z y x k j i j z y i z x ) ( ) ( k y y x x ) ( ) ( = k 2 Окончание таблицы 95 1 2 3 Связь между характеристиками Векторная формулировка теоремы Стокса d а rot d a n L Ротор поля направлен параллельно оси вращения, его модуль равен удвоенной угловой скорости. С точностью до числового множителя ротор поля скоростей представляет собой угловую скорость вращения твердого тела Классификация векторных полей Вид поля Свойства Примеры Соленоидальное, 0 а div V dV а div d n a П 0 П 0 2 1 2 , где 2 1 , – произвольные поперечные сечения векторной трубки Поле линейных скоростей вращающегося твердого тела. Для поля скоростей текущей жидкости П означает, что количество жидкости, входящей в трубку за единицу времени, равно количеству жидкости, вытекающей из нее, те. в поле нет источников истоков Потенциальное, а потенциал поля а а 0 3 0 d n а rot С Для силового потенциального поля равенство C=0, означает, что работа силы по любому замкнутому контуру равна нулю. В поле скоростей текущей жидкости равенство C=0 означает, что в потоке нет замкнутых струек водоворотов) Гармоническое, 0 а div , 0 а rot 0 2 2 2 2 2 2 u z u y u x u k z u j y u i x u div u grad div а div ) ( Поле линейных скоростей стационарного безвихревого потока жидкости при отсутствии в нем источников истоков является гармоническим Z Y X n L 96 X Y 0 ) , ( 0 C x y x 0 Раздел 16. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) Основные понятия Понятия ДУ 1 порядка ДУ 2 порядка Общий вид 0 ) , , ( y y x F 0 ) , , , ( y y y x F ДУ, разрешенное относительно производной ) , ( y x f y или в дифференциальной форме Задача Коши 0 0 ) ( ), , ( y x y y x f y 0 0 0 Геометрическая интерпретация решения ДУ ) , ( C x y – общее решение, представляет семейство интегральных кривых. ) , ( 0 C x y – частное решение ДУ, удовлетворяющее начальному условию 0 Решение задачи Коши состоит в нахождении интегральной кривой С, проходящей через точку ) ; ( 0 0 y x ) , , ( 2 1 C C x y – общее решение С частное решение ДУ, удовлетворяющее начальным условиям 0 0 0 Решение задачи Коши состоит в нахождении интегральной кривой, проходящей через точку ) ; ( 0 0 y x и имеющей данный угловой коэффициент 0 y касательной t Y 0 y 0 x ) , , ( 2 1 С С x y X t 0 97 Интегрирование ДУ первого порядка Тип Уравнение Решение ДУ с разделенными переменными Применяем почленное интегрирование общий интеграл ДУ с разделяющимися переменными или в дифференциальной форме 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 1 Делим на 0 ) ( ) ( 2 и применяем почленное интегрирование C dy y N y N dx x M x M ) ( ) ( ) ( ) ( 1 2 2 Однородное ДУ ) ( x y f y , где ) , ( ) , ( y x f ty tx f или 0 ) ; ( ) ; ( dy y x N dx y x M , где ) ; ( ) , ( y x M t ty tx M k ) ; ( ) , ( y x N t ty tx N k Подстановка x y t Тогда, t t f dt Cx ) ( ln – общий интеграл Линейное ДУ (ЛДУ) Если, то линейное однородное ДУ (ЛОДУ) Если 0 ) ( x Q , то ) ( ) ( x Q y x P y – линейное неоднородное ДУ (ЛНДУ) Pdx Ce y – общее решение ЛОДУ Решение ЛНДУ: 1) метод Бернулли Подстановка ) ( ) ( x v x u y Тогда ЛНДУ: ) ( ) ( ) ( ; 0 ) ( ) ( ) ( x Q x v x u x v x P x v 2) метод Лагранжа ) ( ) ( dx Qe C e e x С y Pdx Pdx Pdx общее решение ЛНДУ Уравнение Бернулли Подстановка или ) ( ) ( x v x u y Уравнение в полных дифференциалах если x N y M Интегрирование ДУ, допускающих понижение порядка Теоремы о структуре общего решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка Формулировка теоремы Формула Общее решение ЛОДУ есть линейная комбинация двух линейно- независимых частных решений ) ( 1 1 x y y и ) ( 2 2 x y y 2 2 1 1 y C y C y , где 2 1 , C C – произвольные постоянные Общее решение ЛНДУ есть сумма его произвольного частного решения ЛНДУ и общего решения соответствующего ЛОДУ y y y , где y – произвольное частное решение ЛНДУ; y – общее решение соответствующего ЛОДУ Уравнения, допускающие понижение порядка кратное интегрирование Если 2 1 ) ) ( ( то ), , ( C dx C x F y y x f y Подстановка д т и ) 1 ( ) ( z y z y k k z y z y y y x F , то , ) , , ( Если 0 явно отсутствует y явно отсутствует x Если , 0 ) , , ( y y y F р dy dp dx dp p y p dy dx p dx dy p y x xx ; то , к та подстановк то 99 Частное решение ЛНДУ ) ( ) ( 2 есть сумма частных решений уравнений ) ( 1 x f qy y p y , (1) ) ( 2 x f qy y p y (2) 2 1 y y y , где 1 y и 2 y − частные решения уравнений (1) и (2) Интегрирование однородных линейных ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами ЛОДУ 0 qy y p y 1. Характеристическое уравнение 0 2 q pk k (т.к. вид частного решения ) 2. Дискриминант q p D 4 2 0 D 0 D 0 D 3. Корни характеристического уравнения R k k 2 1 R k k k 2 1 C i k C i k 2 1 4. Общее решение x k x k e C e C 2 1 2 1 kx kx e xC e C 2 1 ) sin cos ( 2 Интегрирование линейных неоднородных ДУ с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида Вид правой части Вид частного решения ) (x Q e x y n x r , где корень кратности характеристического уравнения ) (x Q n – многочлен степени, записанный в общем виде где i – корни кратности характеристического уравнения ) (x P N и ) (x Q N – многочлены степени ) ; max( m n N Подбор частного решения по виду правой части 100 ) ( 2 x f y y y 0 1 2 2 k k 1 2 1 k k k ) ( 2 1 xC C e y x 1) 2 2 ) ( x x f C Bx Ax y 2 2) x e x f 3 ) ( x e Ax y 2 ) 2 , 1 ( 2 , 1 r k 1) x x x f cos ) ( x D Cx x B Ax y sin ) ( cos ) ( 2) x e x f x sin ) ( ) sin Этапы решения ЛНДУ с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида Пример с 2 2 1. Для ЛОДУ составить и решить характеристическое уравнение ЛОДУ: 0 2 2 2 x dt x d . Характеристическое уравнение 0 Корни характеристического уравнения 2. Записать общее решение ЛОДУ С cos ) ( ) ( 2 2 1 1 Замечание. Пусть 0 С, тогда ) sin cos cos (sin 0 Получаем функцию простого гармонического колебания ) sin( 0 t A x , где А – амплитуда колебания – частота 0 – начальная фаза 3. По правой части подобрать вид частного решения Правая часть имеет специальный вид первого типа Имеем i 0 0 r D x 4. Найти неопределенные коэффициенты и записать частное решение ЛНДУ Подбираем неопределенный коэффициент D для частного решения D x : 0 ; 0 x D x . Подставим ив дифференциальное уравнение 2 2 0 c x c D c D 5. Записать общее решение ЛНДУ 2 Замечание В общем случае, когда правая часть ЛНДУ не имеет специального вида, для отыскания частного решения применяется метод вариации произвольных постоянных Пусть 2 1 1 y C y C y – общее решение ЛОДУ второго порядка. Постоянные Си С 2 заменяются функциями С 1 (х) и С 2 (х) и 101 подбираются так, чтобы функция 2 2 1 была решением ЛНДУ ) ( 1 x C и находятся из системы дифференциальных уравнений вида ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( , 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 1 1 2 2 1 1 x f x y x C x y x C x y x C x y x C 101 Раздел 17. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Получение функции на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов Аппроксимация приближение исходной функции другой, более удобной для ее обработки и анализа. Интерполяция – это восстановление функции (точное или приближенное) по известным ее значениям, те. замена табличной функции другой, заданной в аналитическом виде. Пусть исходная функция задана таблицей i i y x , , ____ , 1 n i i x 1 x 2 x … n x i y 1 y 2 y … Метод наименьших квадратов заключается в отыскании такой аппроксимирующей функции, которая дает наилучшее приближение в среднем, те. обеспечивает минимум квадратичного отклонения. В соответствии с методом наименьших квадратов необходимо минимизировать сумму n i i i n i i y x y S 1 2 1 ) ( , где i x , i y − значения опытных данных ) ( i x y − значение функции, взятое на эмпирической зависимости в точке i x ; n − число опытов. Предположим, что между x и y существует линейная зависимость, выражающаяся формулой Требуем, чтобы квадратичное отклонение n i i i y b ax S 1 2 было минимальным. Функция S имеет минимум в тех точках, в которых частные производные от S по параметрами обращаются в нуль. В результате дифференцирования и преобразований получаем систему линейных уравнений для определения a и b : n i i n i i n i n i n i i i i i y n b x a y x x b x a 1 1 1 1 1 2 , 1 x 2 x i x n x i y i y i b kx y X Y 102 Приближенные методы решения уравнений вида Метод половинного деления Пусть ) ( x f непрерывна на b a, и Делим отрезок b a, пополам, 2 b a c − середина отрезка. Если 0 ) ( c f c − корень уравнения. Если 0 ) ( c f выбираем одну из половин, где гран, гранили, или b . Отрезок 1 гран снова делим пополам и выполняем те же действия. 1 1 , b a , 2 2 , b a ,…, n n b a , − последовательность вложенных отрезков, где n n n a b a b 2 . Итерационный процесс прекращается, когда n n a b и/или ) ( n c f , где − заданная точность нахождения корня. Метод хорд Пусть ) ( x f непрерывна на b a, и меняет знак на данном отрезке. Пусть 0 ) ( a f , Проведем хорду, соединяющую точки ) ( , a f a и ) ( , b f b . Уравнение хорды Координата пересечения хорды с осью абсцисс ) ( ) ( ) ( 1 a f b f a b a f a c . Точка делит отрезок b a, на две части. Выбираем ту часть, где функция меняет знаки повторяем действия до тех пор, пока ) ( n c f , где − заданная точность нахождения корня. a ) ( 1 b b ) (a f ) (b f ) ( 1 a c X Y a b ) (a f ) (b f 1 c ) ( 1 c f X Y 103 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Разностная схема Эйлера Рассмотрим задачу Коши ) , ( y x f dx dy ; Делим отрезок b a, на N шагов Заменяем значения функции y в узлах k x значениями сеточной функции k y : h x y y y k k k ) ( 1 . Из исходного уравнения имеем ) , ( ) ( k k k y x f x y . Формула метода Эйлера При 0 k ) , ( 0 0 0 1 y x hf y y , значение 0 y находим изначального условия. При 1 k ) , ( 1 1 1 2 y x hf y y и т.д. Геометрический смысл схемы Эйлера замена ) (x y на отрезке 1 , k k x x отрезком касательной, проведённой к графику в точке Методы Рунге Кутта Если в формуле Эйлера заменить ) , ( k k y x f на более общее выражение ) , ( ˆ k k y x f , то получаем общую формулу одношагового метода ) , ( ˆ 1 k k k k y x f h y y , 0 ) ( y a y . Вместо дифференциального уравнения решается нелинейное разностное уравнение. Формула Вспомогательные величины Название 2 1 2 1 ˆ k k f ), , ( 1 k k y x f k ) , ( 2 h y h x f k k k 1 2 , 2 ˆ k h y h x f f k k ) , ( 1 k k y x f k Улучшенная ломаная 3 2 1 4 6 1 ˆ k k k f ) , ( 1 k k y x f k , 1 2 2 , 2 k h y h x f k k k , 1 2 3 Формулы Хойне 4 3 2 1 2 2 6 1 ˆ k k k k f ) , ( 1 k k y x f k , 1 2 2 , 2 k h y h x f k k k , 2 3 2 , 2 k h y h x f k k k , 3 Формулы Рунге– Кутта 104 Раздел 18. РЯДЫ Числовые ряды. Основные понятия Основные понятия Определение Понятие числового ряда 1 3 2 1 n n n a a a a a |