Справочник по математике. Справочник-по-математике-в-формулах-таблицах-рисунках-учебное-по. Справочник по математике в формулах, таблицах, рисунках учебное пособие Омск 2010
 Скачать 2.16 Mb.
|
|
I. a x A ; II. n a x A , 1 n ; III. q px x N x M 2 ; IV. n q px x N x M 2 , 1 n q px x 2 − не имеет действительных корней Интегрирование простейших дробей C a x A dx a x A ln ; C a x A n dx a x A n n 1 1 1 ; При интегрировании дробей III и IV типов пользуются подстановкой t p x 2 , приводящей знаменатель 2 2 2 к виду 2 2 k t , где 2 Формула приведения 1 2 2 1 2 2 2 2 2 3 2 1 2 1 n n n k x dx n k x x k n k x dx 28 Правило разложения дробина сумму простейших дробей. Если s k m l gx x q px x b x a x x Q ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 , то каждому сомножителю соответствует сумма простейших дробей вида Схема вычисления Пример, где m n ) 4 ( ) 1 ( 13 2 2 Разложить дробь на простейшие 4 ) 1 ( 1 ) 4 ( ) 1 ( 13 2 2 2 2 Найти методом неопределенных коэффициентов коэффициенты разложения 1) привести дробь в правой части к общему знаменателю 2) приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х ); 4 4 ( ) 2 4 ( ) 2 ( ) ( ) 1 )( ( ) 4 ( ) 4 )( 1 ( 13 ) 1 0 2 3 2 2 2 2 D B A x D C A x C D B A x C A x x D Cx x B x x A x x 2) 13 4 4 , 1 2 4 , 1 2 , 0 D B A D C A C D B A C A 5 7 ; 5 3 ; 3 ; 5 3 D С B A Проинтегрировать простейшие дроби C x arctg x x x dx х х x x I 2 10 7 4 ln 10 3 1 3 1 ln 5 3 ) 4 5 / 7 5 / 3 ) 1 ( 3 ) 1 ( 5 3 ( 2 2 2 ) ( a x a x A k b x ) ( k k b x B b x B b x B b x B ) ( ) ( ) ( 3 3 2 2 1 q px x 2 q px x N Mx 2 s l gx x ) ( 2 s s s l gx x N x M l gx x N x M ) ( 2 2 1 1 29 Интегралы от тригонометрических функций 1. Интегралы вида xdx x m n cos sin Случай Подстановка П р им ер нечётное x t cos m − нечётное x t sin xdx x 2 3 cos sin xdx x x 2 2 cos sin cos 1 x xd x cos cos cos 1 2 2 x d x x cos cos cos 2 4 C x x 3 cos 5 cos 3 5 n и m − чётные неотрицательные числа 2 2 cos 1 sin 2 x x , 2 2 cos 1 cos 2 x x , x x x 2 sin 2 1 cos sin dx x xdx 2 cos 1 2 1 cos 2 C x x 2 sin 4 1 2 1 n и m − либо оба чётные, либо оба нечётные, причём хотя бы один из них отрицателен x x t ctg или tg t dx x x 6 2 cos sin x dx x x x 2 2 2 2 cos cos 1 cos sin = x d x x tg tg 1 tg 2 2 ) ( x d x x tg tg tg 4 2 C x x 5 tg 3 tg 5 3 2. Интегралы вида dx x x R cos , sin , где R − рациональная функция. Используется универсальная подстановка 2 tg x t , где 2 1 2 sin t t x , 2 2 1 1 cos t t x , 2 Пример 30 3. Интегралы вида nxdx mx cos sin , nxdx mx cos cos , nxdx mx sin sin интегрируются на основании тригонометрических формул x n m x n m nx mx sin sin 2 1 cos sin , x n m x n m nx mx cos cos 2 1 cos cos , x n m x n m nx mx cos cos 2 1 sin sin , x x cos cos , x x sin Интегрирование иррациональных функций Случай Подстановка dx x x x x R g s q p n m ,..., , , k t x , где k − наименьшее общее кратное показателей корней, те. чисел g q n ,..., , dx b ax x R n , n t b ax dx d cx b ax x R n , n t d cx b ax dx x a x R 2 2 , t a x t a x cos sin dx a x x R 2 2 , t a x t a x ctg tg dx a x x R 2 Подстановки Эйлера 1) a x t c bx ax a 2 0 2) c tx c bx ax c 2 0 dx c bx ax x R 2 , 3) 2 1 , действительные корни уравнения 2 c bx ax t x x c bx ax 1 2 p − целое число q t x , q − общий знаменатель дробей m и n n m 1 − целое число r n t bx a , r − знаменатель дроби p Биноминальные выражения dx bx a x p n m p n m 1 − целое число r n t b x a , r − знаменатель дроби p 31 Определённый интеграл, его свойства и вычисление Определение Пусть функция ) ( x f y определена и непрерывна на отрезке b a, Разобьём отрезок b a, на n частей точками b x x x x a n 2 Выберем на каждом элементарном отрезке i i x x , 1 произвольную точку и обозначим через 1 i i i x x x длину каждого такого отрезка. Интегральной суммой для функции ) ( x f y на отрезке называется сумма вида ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 1 1 1 n n n i i i x f x f x f x f Определённым интегралом от функции ) ( x f y на отрезке называется предел интегральной суммы при 0 i x , независящий от способа разбиения отрезка b a, на части, ни от выбора точек в них. Обозначение 0 max ) ( lim ) ( , где x − переменная интегрирования, a и b − нижний и верхний пределы интегрирования. Теорема существования определённого интеграла Если функция ) ( x f y непрерывна на отрезке b a, , то она интегрируема на нем. Свойства Аддитивность по области интегрирования Аддитивность по функции Однородность Интегрирование неравенств Теорема о среднем Перестановка пределов интегрирования Производная от интеграла с переменным верхним пределом интегрирования Методы вычисления определенного интеграла 32 Название метода Формула Пример Формула Ньютона Лейбница ); ( ) ( ) ( ) ( a F b F x F dx x f b a b a где ) ( ) ( x f x F 2 2 2 2 ) (ln ) (ln ln ln 2 e e e e e e x x xd x xdx 2 3 2 1 2 2 ) (ln 2 ) (ln 2 Интегрирование по частям 0 0 sin sin cos xdx x x xdx x 2 0 cos cos | cos Интегрирование подстановкой dt t t f b a t x dx x f b a ) ( )) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 2 10 3 2 1 2 2 1 3 8 2 3 2 1 1 3 2 3 2 3 2 3 2 2 8 3 Несобственные интегралы I род Интеграл с бесконечным пределом II род Интеграл от функции, имеющей разрыв b a b a dx x f dx x f lim , b a a b dx x f dx x f lim b c c a b a dx x f dx x f dx x f 0 0 lim lim где c x − точка разрыва II рода, Если предел не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл расходится. При наличии конечного предела говорят, что интеграл сходится. Пример Интеграл сходится 1 lim 2 lim lim 0 4 0 4 0 Интеграл расходится Геометрические приложения определённого интеграла 33 Площадь плоской области Площадь криволинейной трапеции 1-й случай й случай 0 ) ( : ; y d c y d с dy y S ) ( 3-й случай Кривая задана параметрическими уравнениями ; ; 0 ) ( , , t t y t y y t x x Площадь плоской области в декартовых координатах 1-й случай 0 ) ( : ; x f b a x й случай ) ( ) ( ; ; 1 2 x f x f b a x dx x f x f S b a 1 2 Окончание таблицы a b ) ( 2 x f y S ) ( 1 x f y X Y a b ) (x f y S X Y c d ) ( y x S X Y a b ) (x f y 34 X Y c d ) ( Площадь криволинейного сектора в полярных координатах d r S 2 1 2 Длина дуги кривой Способ задания кривой Формула x f y b a dx x f l 2 1 ) ( r r d r r l 2 1 2 2 ; , , t t y y t x x dt t y t x l 2 Объемы и площади тел вращения Вращение криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой ) ( x f y , осью абсцисс и прямыми a x и b x вокруг оси ОХ dx x f V b a OX 2 , оси О dx x f x V b a OY 2 dx x f x f S b a OX 2 Вращение криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой ) ( y x , осью ординат и прямыми c y и d y вокруг оси ОУ: dy y V d c OY 2 X Y a b ) (x f y 0 S ) ( r r 1 2 35 1 -4 -4 X Y Примеры задач на геометрические приложения определенного интеграла Условие задачи Решение Вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями y x Найдём абсциссы точек пересечения графиков данных функций. Для этого решаем систему уравнений 4 , 4 Откуда находим 4 1 x , 1 2 x 1 4 2 ) 4 ( ) 4 ( dx x x x S 3 64 24 16 3 1 2 3 4 6 125 (кв.ед.) Найти длину дуги кривой ), cos 1 ( 3 ), sin ( 3 t y t t x Циклоида Так как ) cos 1 ( 3 ) ( t t x , t t y sin 3 ) ( , то 2 sin 6 ) cos 1 ( 2 3 sin 9 ) cos 1 ( 9 ) ( ) ( 2 2 2 2 t t t t t y t x 0 0 12 2 cos 12 2 sin 6 t dt t l (ед.) Вычислить объём тела, которое получается при вращении вокруг оси ОХ криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой 4 xy , прямыми 3 x , 12 x и осью абсцисс 12 3 12 3 12 3 2 2 1 16 16 4 x x dx dx x V OX = 4 (куб.ед) Найти площадь поверхности вращения вокруг оси ОХ дуги кубической параболы при 2 1 0 x 2 3x y 2 / 1 0 2 / 1 0 2 3 4 4 3 ) 9 1 ( 27 9 1 2 x dx x x S OX 1728 61 1 64 125 27 (кв.ед.) 6 81 Раздел 14. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Интегралы от скалярной функции Определение и обозначение интеграла Геометрический и физический смысл Двойной интеграл от функции f(x,y) по плоской области (D): k k n k k D f d y x f ) , ( lim ) , ( 1 где ) , 1 ( n k k – площади участков, на которые разбита область D; – наибольший из диаметров участков ) , ( k k – произвольная точка нам участке dxdy d – элемент площади Если ) , ( y x f z – уравнение поверхности, ограничивающей ци- линдроид сверху, то V dxdy y x f D ) , ( – объем цилинд- роида. Если ) , ( y x – плотность неоднородной плоской пластины D, то – масса D Тройной интеграл от функции f(x,y,z) по объему V: k k k n k k V v f dv z y x f ) , , ( lim ) , , ( 1 где ) , 1 ( n k v k – объемы элементарных областей ) , , ( k k k – произвольная точка нам элементарном объеме dxdydz dv – элемент объема Если ) , , ( z y x – плотность неоднородного тела V, то V V m dxdydz z y x ) , , ( – масса V. V dxdydz V – объем тела V i y i x i Y Z Y X ) , ( k k f ) , ( y x f z Z X V Y X D , , 82 Свойства Формула Аддитивность по функции Аддитивность по области интегрирования D D D dxdy y x f dxdy y x f dxdy y x f 1 2 ) , ( ) , ( ) , ( , если область 2 Однородность Теорема о среднем 0 0 D y х М D D S y x f dxdy y x f ) , ( ) , ( 0 0 , где S – площадь Интегрирование неравенств ) , ( ) , ( : ) ; ( y x g y x f D y x D D dxdy y x g dxdy y x f ) , ( ) , ( Оценка интеграла Интеграл по модулю Замечание. Свойства двойного и тройного интегралов аналогичны. Физические приложения двойных и тройных интегралов Приложения Двойной интеграл Тройной интеграл Моменты инерции Статические моменты Координаты центра тяжести D x c D y c m M y m M x ; V xy c V xz c V yz c m M z m M y m M x ; ; 83 Вычисление двойного интеграла Расчетные формулы Примеры Декартова система координат Если область D правильная в направлении оси О те. любая прямая, параллельная оси OY, пересекает границу области не более чем в двух точках, то D b a x y x y dy y x f dx dxdy y x f ) ( ) ( 2 Если область D правильная в направлении оси ОХ те. любая прямая, параллельная оси ОХ пересекает границу области не более чем в двух точках, то с где D ограничена линиями Решение Область D правильная в направлении оси ОХ ) ( 3 5 2 2 1 2 2 1 0 2 1 Область D ложная в направлении оси О 2 1 D D D . 3 5 2 2 2 0 1 0 0 2 1 1 2 dy y x dx dy y x dx dxdy y x f dxdy y x f I x x D D ) ( ) ( ) , ( ) , ( Полярная система координат Если область правильная (те. луч, выходящий из полюса, пересекает ее границу не более чем в двух точках, то r d r rf d rdrd r f dxdy y x f D r r D 2 1 2 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями Решение 1 2 D 1 D 84 Вычисление тройного интеграла Формулы Пример Пусть областью интегрирования V является тело, ограниченное снизу поверхностью ) , ( 1 y x z z , сверху – поверхностью ) , ( 2 y x z z , причем ) , ( 1 y x z и ) , ( 2 y x z – непрерывные функции в замкнутой области D, являющейся проекцией тела на плоскость О. Тогда область V – правильная в направлении оси OZ. В декартовых координатах В цилиндрических координатах В сферических координатах V V f dxdydz z y x f ) cos ; sin sin ; sin Вычислить dxdydz z x V ) ( , где область V ограничена плоскостями Решение Область V является правильной в направлении оси О. Ее проекция D на плоскость О является правильной в направлении оси OY. М 1 ) ( ) ( 4 1 ) ( 2 1 1 0 1 0 y x x dz z x dy dx 1 1 1 y x X Y D D Z X Y ) , ( 1 y x z ) , ( 2 y x z Y X Z 2 z y x 1 1 2 85 Определение и обозначение интеграла Геометрический и физический смысл Криволинейный интеграл I рода от функции f(x,y) по кривой (L) : k k n k k L l f dl y x f ) , ( lim ) , ( 1 где ) , 1 ( n k l k – длины дуг, на которые разбита кривая – наибольшая из длин дуг ) , ( k k – произвольная точка нам участке. Если ) , ( y x – плотность неоднородной материальной кривой L, то масса плоской кривой , L l dxdy – длина плоской кривой L. Если ) , ( y x f y – направляющая цилиндрической поверхности, образующая которой параллельна оси Ото площадь поверхности, задаваемой функцией ) , ( y x f y Поверхностный интеграл I рода от функции) по поверхности k k k n k k f d z y x f ) , , ( lim ) , , ( 1 где ) , 1 ( n k k − площади участков, на которые разбита поверхность ; – наибольший из диаметров участков ) , , ( k k k – произвольная точка нам участке Если ) , , ( z y x – плотность распределения массы материальной поверхности , то масса поверхности. S d – площадь поверхности A B Y X k l L Y X Z k A B X Y Z , 86 Свойства Формула Аддитивность по функции dl y x f dl y x f dl y x f y x f L L L ) , ( ) , ( )) , ( ) , ( ( 2 1 2 Аддитивность по области интегрирования L L L dl y x f dl y x f dl y x f 1 2 ) , ( ) , ( ) , ( , где путь интегрирования 2 Однородность Теорема о среднем L y х М ) , ( 0 0 0 , l y x f dl y x f L ) , ( ) , ( 0 Интегрирование неравенств ) , ( ) , ( : ) ; ( y x g y x f L y x L L dl y x g dl y x f ) , ( ) , ( Интеграл по модулю dl y x f dl y x f L Д ) , ( ) , ( Незваисимость интеграла от направления пути интегрирования Замечание. Свойства криволинейного и поверхностного интегралов I рода аналогичны. Физические приложения интегралов I рода Приложения Криволинейный интеграл Поверхностный интеграл Моменты инерции dl y x y I L x ) , ( 2 dl y x x I L y ) , ( 2 d z y x z y I x ) , , ( ) ( 2 2 d z y x z x I y ) , , ( ) ( 2 2 d z y x y x I z ) , , ( ) ( 2 Статические моменты Координаты центра тяжести D x c D y c m M y m M x ; V xy c V xz c V yz c m M z m M y m M x ; ; 87 Вычисление криволинейного интеграла I рода Формулы Пример. Параметрическое представление кривой интегрирования 2 1 , ), ( ), ( t t t t y y t x x dt t y t x t y t x f dl y x f L t t 2 1 2 2 ) ( ) ( )) ( ), ( ( ) , ( 2. Явное представление кривой интегрирования b a x x y y , ), ( dx x y x y x f dl y x f L b a 2 ) ( 1 )) ( , ( ) , ( 3. Полярное представление кривой интегрирования , ), ( r r d r r r r f dl y x f L 2 Вычислить dl xy L 2 , где L – отрезок прямой между точками О и АРе ш е ни е Уравнение прямой ОА есть 4 0 , 4 Кривая задана явно. 4 3 4 3 x dx x x dl xy L 2 2 4 0 2 4 3 1 4 3 45 64 45 4 0 Вычисление поверхностного интеграла I рода Формулы Пример Если поверхность задана на области D плоскости OXY функцией ) , ( y x z z , то D y x dxdy z z y x z y x f d z y x f 2 Вычислить d z y x ) 2 3 ( , где – часть плоскости 0 4 2 3 4 z y x , расположенной в первом октанте. Решение Запишем уравнение плоскости в виде y x z 2 3 2 2 . Находим 2 3 , 2 y x z z d z y x ) ( 2 3 = D y x y x ) ( 3 4 4 3 9 29 4 9 4 1 dxdy Y X Z k D 88 Криволинейные и поверхностные интегралы II рода по координатам) Определение и обозначение интеграла Геометрический и физический смысл Криволинейный интеграл II рода от векторной функции по плоской кривой ), ) , ( ) , ( ( lim ) , ( ) , ( 1 где k x – проекция элементарной дуги k l на ось ОХ k y – проекция элементарной дуги k l на ось OY; ) , ( k k – произвольная точка нам участке. Если, j y i x s k k k , то L L Fds dy y x Q dx y x P ) , ( ) , ( L Qdy Pdx – криволинейный интеграл по замкнутой кривой Если j y x Q i y x P F ) , ( ) , ( – вектор силы, перемещающей точку по кривой L, то – работа переменной силы по перемещению точки вдоль кривой, D D S Qdy Pdx ) ( 2 1 – площадь области D, где D – граница области D Поверхностный интеграл II рода от векторной функции по поверхности d R Q P d n F ) cos cos где k j i n i i i i cos cos cos − единичный вектор нормали к i ; d n F – интеграл по замкнутой поверхности Если k z y x R j z y x Q i z y x P F ) , , ( ) , , ( ) , , ( – вектор скорости потока жидкости, протекающей через двустороннюю поверхность , одна из сторон которой выбрана для построения нормалей, то П d n F – поток жидкости через выбранную сторону поверхности Y X Z n i X Y k y k x B A k F k s i i n i F 89 Свойства Формула Однородность L L Fds с Fds Аддитивность по области интегрирования Аддитивность по функции интегрирования 1 2 Изменение знака интеграла при изменении направления пути интегрирования АВ BA Qdy Pdx Qdy Pdx Независимость криволинейного интеграла II рода по замкнутой кривой от выбора начальной точки Условие независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования Р – условие Грина Замечание. Свойства аддитивности и однородности криволинейного и поверхностного интегралов II рода аналогичны. Теоремы о связи между интегралами Теорема Формула связи Формула Грина о связи между двойным интегралом по области D и криволинейным интегралом по границе этой области где интегрирование вдоль кривой производится в положительном направлении (те. при движении вдоль кривой область D остается слева) Формула Стокса о связи между поверхностными и криволинейными интегралами II рода cos где L – граница поверхности и интегрирование вдоль кривой L производится в положительном направлении Формула Остроградского-Гаусса о связи между поверхностным интегралом II рода по замкнутой поверхности стройным интегралом по объему, ограниченному этой поверхностью , dxdydz R Q P Rdxdy Qdxdz Рdydz V z y x где – граница области V и интегрирование по производится по внешней стороне поверхности, 90 Вычисление криволинейного интеграла II рода Формулы Пример Параметрическое представление кривой интегрирования 2 1 , ), ( ), ( t t t t y y t x x dt y t y t x Q x t y t x P dy y x Q dx y x P t t t t L 2 1 )) ( ), ( ( )) ( ), ( ( ) , ( ) , ( Явное представление кривой интегрирования Найти работу силы j y i y x F ) 2 8 ( ) 2 4 8 ( , где L – контур ОВА , пробегаемый в положительном направлении, и Решение По свойству аддитивности АО dx dy x x y 2 , 3 , 0 , 2 , А 8 ( ) 2 4 8 ( ) ( ) ( 234 2 2 2 8 2 2 4 8 0 3 dx x dx x x ОВ: 0 , 3 , 0 , 0 dy x y , OB dy y dx y x ) 2 8 ( ) 2 4 8 ( 3 0 42 ) 2 8 ( dx x ВА: 0 , 6 , 0 , 3 dx y x , ВА dy y dx y x ) 2 8 ( ) 2 4 8 ( 6 0 156 ) 2 8 ( dy y 36 156 42 243 А Проверим полученный результат, используя формулу Грина. Имеем замкнутый контур – треугольник ОВА. , 4 ) 2 4 8 ( y y y x P 0 ) 2 8 ( x x y Q , 36 4 4 3 0 2 0 y D dy dx dxdy A X Y k F B A b a X Y B O A 3 6 : : 91 Вычисление поверхностного интеграла II рода Формулы Пример Если поверхность задана на области D плоскости OXY функцией ) , ( y x z z , то где D xy – проекция поверхности на О. Знак плюс или минус перед двойным интегралом берется в зависимости от ориентации поверхности ( cos будет положительным или отрицательным. Аналогично ; ) , ), , ( ( cos yz D dydz z y z y x R d R xz D dxdz z z x y x R d R ) ), , ( , ( cos d R Q P d n F ) cos cos cos ( dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ) , , ( ) , , ( ) , , ( yz xz D D dxdz z z x y Q dydz z y z y x P ) ) , ( (, ) , ) , ( ( xy D dxdy y x z y x R )) , , ( , , ( Вычислить dxdy zdzdx xdydz 5 А) По верхней стороне части плоскости 6 3 2 z y x , лежащей в IV октанте. Б) По внешней стороне пирамиды, ограниченной плоскостями 6 3 2 z y x , Решение А) Нормаль n , соответствующая указанной стороне поверхности, образует с осью OY тупой угол, а осями OX и OZ – острые углы. 0 14 2 1 9 4 с 14 1 cos , 0 14 3 cos dxdy zdzdx xdydz 5 dydz z y yx D ) 2 2 3 3 ( 9 Б) По формуле Стокса имеем dxdy zdzdx xdydz 5 6 0 0 1 V V dv dxdydz ) ( X Z Y n yz D xz D 3 6 -2 n Z X n Z X Y Y D ; 92 Раздел 15. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ Скалярное поле Понятия Определения и формулы Пример Определение поля Скалярное поле – часть пространства, в каждой точке М которого задана скалярная функция ) , , ( z y x f u Геометрические характеристики скалярного поля Поверхность (линия) уровня скалярного поля есть геометрическое место точек, в которых функция принимает постоянное значение, те Мс. Для плоского поля линия уровня, для пространственного поля ) , , ( z y x f u поверхность уровня c z y x f ) , , ( Производная функции ) , , ( z y x f u по направлению вектора где cos Градиент функции ) , , ( z y x f u Связь между характеристиками _______ 0 u grad пр s u S , _______ max u grad s u s Найти производную функции 2 2 5 3 y x u в точке А) по направлению к точке В(2,1). Определить величину и направление максимального роста данной функции в точке АРе ш е ни е cos ) ( cos ) ( A u A u A s u y x , 10 , 6 y u x u y x 10 ) 1 ( 10 ) ( , 1 1 6 ) ( A u A u y x ) 2 , 1 ( AB s , 5 2 1 2 2 s , 5 1 cos s s x , 5 2 cos s s y 5 14 5 2 10 5 1 Функция в направлении вектора AB убывает. Градиент указывает направление, в котором функция растет быстрее, чем по другим направлениям. Максимальный рост в точке А соответствует длине вектора градиента 136 10 6 ) ( 2 2 A u grad s u grad 0 s s u 93 Векторное поле Основные понятия Формулы и поясняющие рисунки Пример Определение поля Векторное поле – часть пространства, в каждой точке М которого задана векторная функция k z y x a j z y x a i z y x a a z y x ) , , ( ) , , ( ) , , ( Для плоского поля Геометрические характеристики Векторные линии – кривые, в каждой точке которых вектор поля направлен по касательной Векторная трубка – поверхность, образованная векторными линиями Поток вектора через поверхность Поток вектора а через поверхность – интеграл по поверхности от скалярного произведения вектора поляна единичный вектор нормали к поверхности d n a П o Диверген- ция векторного поля Дивергенция вектора а – скаляр, равный объемной плотности потока в рассматриваемой точке поля а 0 lim , где – замкнутая поверхность, ограничивающая объем V; 0 n – орт ее внешней нормали объем стягивается к рассматриваемой точке. Расчетная формула Связь между характеристиками Векторная формулировка теоремы Гаусса – Остроградского V dV a div d n a П 0 Поле линейных скоростей вращающегося тела имеет вид Найти А) векторные линии поля Б) дивергенцию поля В) циркуляцию вектора поля Г) ротор поля. Решение А) Имеем плоское векторное поле Интегрируем , 2 1 2 То, векторные линии окружности с центрами на оси OZ, лежащие в плоскостях, перпендикулярных к этой оси Продолжение таблицы Y X Z V ) , , ( z y x M r 94 1 2 3 Циркуляция векторного поля Пусть k z j y i x r – радиус-вектор точки М на контуре L. Циркуляция вектора а вдоль L – криволинейный интеграл по замкнутому контуру L от скалярного произведения вектора а на вектор dr , касательный к контуру L. d a С L dz a dy a dx a z y L x Физический смысл А – работа силы ) (M F поля при перемещении материальной точки вдоль замкнутого контура L Ротор векторного поля Роторполя a rot |