Справочник по математике. Справочник-по-математике-в-формулах-таблицах-рисунках-учебное-по. Справочник по математике в формулах, таблицах, рисунках учебное пособие Омск 2010
 Скачать 2.16 Mb.
|
|
. Для 1 2 подпространство собственных векторов ) 2 , 1 ( 2 L 25 Раздел 5. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Основные понятия Геометрическое изображение Вектора направленный прямолинейный отрезок, A − начало вектора, B − конец вектора. ____ BA (а) − вектор противоположный к вектору ____ AB (а. ____ ____ BA AB ( a a ) аи коллинеарные векторы ( а, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные векторы могут быть сонаправленными ( b a ) или противоположно направленными (а ) b a a − длина или модуль вектора. Если 0 a , то 0 a − нулевой вектор, если 1 a , то e a − единичный вектор. 0 a − орт вектора а, если аи аи равные векторы ( b a ), если аи с компланарные, если они лежат водной плоскости или в параллельных плоскостях Упорядоченная тройканекомпланарных векторов образует правую (левую) тройку, если с конца вектора с кратчайший поворот от а к b виден совершающимся против часовой стрелки (почасовой стрелке) Правая тройка Линейная комбинация векторов n a a a ,..., , 2 имеет вид n n a a a a 3 3 2 2 1 1 , где n ..., , , 2 1 – коэффициенты разложения. Система векторов 1 – линейно независима, если 0 1 1 n n a a 0 1 т Система n линейно независимых векторов образует базис в мерном пространстве Базис на плоскости (в R 2 ) образуют два неколлинеарных вектора 1 a ив три некомпланарных вектора 2 1 , a a и 3 a а а b с а b A В а а с ас d 26 Векторы и координаты Основные понятия Рисунок Определения и свойства Ортогональная проекция вектора на ось OX а B A OX а B A а пр x , , _____ _____ 1 1 1 Ортогональная проекция x х a а а пр сos ; ) ( b а пр x b пр а пр x x ; а пр а пр x x Ортонормиро- ванный базис k j i ; ; k j i , , – орты координатных осей Направляющие косинусы cos , cos , соs Свойство 1 cos cos cos 2 Координаты вектора а в базисе k j i ; ; cos , cos , cos a a пр a a a пр a a а пр a z z y y х x Разложение вектора по базису k j i ; ; k z y х a j a i а а ОМ ОМ ОМ 3 Длина вектора 2 Координаты вектора ) , , ( 1 1 1 z y x A ; ) , , ( 2 2 2 z y x B ; ). , , ( 1 2 1 2 1 Линейные операции над векторами а пр x а X j k j а 2 M 3 M X Y A B 1 M M Z 27 Операция Определение и свойства Выражение в координатах Сложение b a Правило параллелограмма Правило треугольника асс Равенство векторов а, те. z z z y y y x x x b a c b a c b a с , , Вычитание a – b ) ( b а b а с i b a b a c x x ) ( j b a y y ) ( k b a z z ) ( , те. z z z y y y x x x b a c b a c b a с , , Умножение на число a ; , || : 0 при 0 при a с a с a с c а a a ; a a ) ( ) ( ; b a b a ) ( ; a a a а, те. , , , z z y y x x a c a c a с коллинеарность векторов Нелинейные операции над векторами b а b а b а b а а а 0 а а 0 b а a – b 28 Скалярное произведение Векторное произведение Смешанное произведение Определение и обозначение a пр b b пр a b a b a b a b a b a cos , тройка правая , , , , sin , c b а b c a c b a c c b a b a Пусть b a d , , ) ( пр, где S – площадь параллелограмма H – высота параллелепипеда Алгебраические свойства a b b a ; c b c a c b a ) ( ; ) ( ) ( b a b a a b b a ; c b c a c b a ) ( ; ) ( ) ( b a b a c a b c b a , , , , ; Геометрические свойства b a b a cos ; a a a ; a b a b пр a b a S рамма параллелог 2 ка треугольни b a S c b a V , , ипеда параллелеп c b a , , – правая (левая) тройка, если ) , , ( c b a 0 ( ) , , ( c b a 0) Физические свойства Работа постоянной силы Момент силы относительно точки O : F OA M ____ – Условие равенства нулю b a b a 0 компланарны Выражение в декартовых координатах z z y y x x b a b a b a b a z y x z y x b b b a a a k j i b a z y x z y x z y x c c c b b b a a a c b a , , b а a пр b b а b пр a b а с с b а d H 25 Раздел 6. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Системы координат Название системы и способ задания Связь между координатами Декартова (прямоугольная) система координат (ДСК) O − начало координат OX − ось абсцисс OY − ось ординат y x, − декартовы координаты точки M ; х – абсцисса, y – ордината Полярная система координат (ПСК) O − полюс O − полярная ось , r − полярные координаты точки M ; − полярный угол, (или 2 0 ); OM r − полярный радиус r 0 sin , cos r y r x cos , sin , 2 2 2 2 2 В частности, x y tg , где 0 x Z n n x y , arctg . При определении значения полярного угла нужно установить (по знаками) четверть, в которой лежит искомый угол П р им ер. Дана точка 3 , 1 M . Найти полярные координаты точки Решение. Отсюда Так как точка 3 , 1 M лежит в й четверти, то 3 ) , ( y x M X Y O x y ) , ( r M O r 26 Метод координат Основные задачи Поясняющий рисунок Расчетная формула Расстояние между точками 2 1 2 2 1 Расстояние от точки до начала координат Координаты точки, делящей отрезок в данном отношении или 1 MM M M ; 1 , 1 2 1 Координаты середины отрезка 2 1 MM M M , 1 , 2 , 2 2 1 Координаты центра тяжести треугольника Сточка пересечения медиан треугольника) , 3 3 2 С 3 2 СМ, С ) , , ( 1 1 1 1 z y x M ) , , ( 2 2 2 2 z y x M ) , , ( 3 3 3 3 z y x M 27 Уравнения прямой на плоскости Название уравнения Вид уравнения Рисунок Общее уравнение прямой где ) , ( B A n − нормаль к прямой, 0 2 2 Уравнение прямой в отрезках Уравнение прямой с угловым коэффициентом Уравнения пучка прямых , проходящих через точку 0 0 , y x 0 Уравнение прямой, проходящей через точки 2 2 1 1 , , , y x y x 1 2 1 1 2 Нормальное уравнение прямой 0 sin cos p y x b a p n 28 Взаимное расположение прямых Условия расположения прямых по способу задания Расположение прямых 2 2 1 1 b x k y b x k y 0 0 2 2 2 1 1 Параллельность 2 1 k k 2 1 2 1 B B A A ; если прямые совпадают, то 2 1 2 1 2 1 С С B B A A Перпендикулярность 1 2 1 k k 0 2 1 Пересечение 2 1 1 2 1 tg k k k k 2 1 2 1 1 2 2 или 2 1 2 1 соs n n n n Нахождение общих точек прямых 2 2 1 1 ; b x k y b x k y 0 ; 0 2 2 2 1 Расстояние от точки 0 0 0 , y x M до прямой 0 C By Ax : пр 2 0 0 B A C By Ax d d M 0 M 29 Кривые второго порядка Определение кривой Рисунок Уравнение Эллипс – геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух фиксированных точек фокусов) 1 F , 2 F есть величина постоянная равная a 2 ), большая чем расстояние между фокусами фокусы c – половина расстояния между фокусами M − произвольная точка эллипса, тогда c a M F M F 2 2 2 С) – центр эллипса Каноническое уравнение 1 2 2 2 2 b y a x , где 2 2 2 b с а ; a – большая полуось, b – малая полуось. Уравнение эллипса со смещенным центром ) , ( 0 С 1 2 2 0 2 2 0 b y y a x x a b a a c 2 2 – эксцентриситет эллипса, характеризующий степень сжатия кривой, 1 Параметрические уравнения эллипса с центром С (0,0): , sin , cos t b y t a x 2 0 Окружность − частный случай эллипса ) ( b a ) , ( 0 С центр окружности, R – радиус окружности Каноническое уравнение 2 2 2 R y x , С. Уравнение окружности со смещенным центром ) , ( 0 С 2 2 0 Уравнение окружности в полярных координатах 1) С) R r , 2) С ; 3) С R sin 2R r Параметрические уравнения окружности с центром С 0 с Y 0 x 0 y R X Y O 30 Окончание таблицы Гипербола – геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек фокусов) 1 F , 2 F есть величина постоянная равная a 2 ), меньшая, чем расстояние между фокусами фокусы c – половина расстояния между фокусами M − произвольная точка эллипса, тогда c a M F M F 2 2 2 Каноническое уравнение 1 2 2 2 2 b y a x , где 2 ас a – действительная полуось полуось, b – мнимая полуось. Каноническое уравнение сопряженной гиперболы (изображена на рис. штриховой линией 1 2 2 Уравнение гиперболы с центром в точке ) , ( 0 С 1 2 2 0 2 Эксцентриситет гиперболы 1 Уравнения асимптот гиперболы Парабола геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до точки (фокуса) F равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой – директрисы p AF – параметр параболы, ) 0 ; 2 ( p F – фокус, тогда MN MF , AN – директриса Если ) 0 ; 2 ( p F , то каноническое уравнение параболы px y 2 2 ; уравнение директрисы параболы Если р, то каноническое уравнение параболы py x 2 2 ; уравнение директрисы параболы 2 p x a 2 F ) , ( y x M 1 F b c ) , ( y x M A O F 25 В ПРОСТРАНСТВЕ Системы координат в пространстве Название системы и способ задания Уравнения связи между координатами Декартова (прямоугольная) система координат (ДСК) O − начало координат ось абсцисс OY − ось ординат OZ − ось аппликат; z y x , , − координаты точки M Цилиндрическая система координат r − длина радиуса- вектора проекции точки M на плоскость XOY ; − угол, образованный радиус-век- тором проекции точки M с осью OX ; z − аппликата точки M ; z r , , − координаты точки M z z r y r x , sin , cos R z r , 2 Сферическая система координат O − начало координат r − длина радиуса- вектора точки M ; − угол, образованный радиус-вектором проекции точки M с осью OX ; − угол отклонения радиуса- вектора ____ OM от оси OZ ; , , r − координаты точки M cos , sin sin , sin cos r z r y r x 0 , 2 пр 26 Уравнения плоскости Способ задания Вид уравнения Уравнение плоскости, проходящей через точку 0 0 0 0 z y x M , , , перпендикулярно вектору Вектор C B A N , , − нормальный вектор плоскости 0 0 0 Общее уравнение плоскости 0 D Cz By Ax , где 0 2 2 Уравнение плоскости в отрезках 1 c z b y a x , где Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки 1 1 1 1 , , z y x M , 2 2 2 2 , , z y x M , 3 3 3 3 , , z y x M 0 1 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 1 1 Уравнение плоскости, проходящей через точки 1 1 1 1 , , z y x M , 2 2 2 2 , , z y x M , параллельно вектору ) , , ( z y х a a а а 0 1 2 1 2 1 2 1 1 1 z y x a a a z z y y x x z z y y x x a b c X Y Z 1 M M 2 M 3 M C B A N , , 0 M 27 Частные случаи положения плоскости в пространстве Положение плоскости и вид общего уравнения Поясняющий рисунок Плоскость параллельна координатной оси OX : 0 D Cz By ( 0 A ) OY : 0 D Cz Ax ( 0 B ) OZ: Плоскость проходит через начало координат Плоскость параллельна координатным осями и OZ: 0 D By ( 0 C A ) OY и OZ: 0 D Ax ( 0 C B ) 0 Плоскость проходит через ось OX: 0 Cz By ( 0 D A ) OY: 0 Cz Ax ( 0 D B ) OZ: 0 By Ax ( 0 D C ) 0 Уравнения координатных плоскостей XOY: 0 z ( 0 D B A ) XOZ: 0 y ( 0 D C A ) YOZ: 0 x ( 0 D C B ) 0 z X Y Z X Y Z X Y Z X Y Z X Y Z 28 Взаимное расположение плоскостей Расположение плоскостей Условия расположения плоскостей 0 1 1 1 1 D z C y B x A 0 2 2 Параллельность ) , , ( 1 1 1 1 C B A N , ) , , ( 2 2 2 2 C B A N 2 1 || N N 2 1 2 1 2 В частности, если плоскости совпадают, то 2 1 2 1 2 1 2 Перпендикулярность 2 1 N N 0 2 1 2 1 Пересечение под углом 0 2 1 2 1 2 1 C C B B A A 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Расстояние от точки 0 0 0 , , z y x до плоскости 0 D Cz By Ax : 2 2 2 0 0 0 C B A D Cz By Ax d 1 N 2 N 2 N 1 N 29 Уравнения прямой в пространстве Способ задания прямой Вид уравнения Векторное уравнение прямой, проходящей через точку М параллельно заданному вектору s s – направляющий вектор прямой s t M M M M s 0 0 || , где t – скалярный множитель (параметр) Канонические уравнения прямой, проходящей через точку 0 0 0 0 , , z y x M и параллельно вектору p n m s , , p z z n y y m x x 0 Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку 0 параллельно вектору p n m s , , pt z z nt y y mt x x 0 Прямая как линия пересечения двух непараллельных плоскостей общие уравнения прямой) , 0 , 0 2 2 2 2 1 1 где 0 2 1 Уравнение прямой через две точки 1 1 1 1 , , z y x M и 2 2 2 2 , , z y x M 1 2 1 1 2 1 1 2 1 z z z z y y y y x x x x 0 M M O l 1 2 2 1 l s 30 Взаимное расположение прямых в пространстве Расположение прямых в пространстве Условия расположения прямых 1 1 1 1 1 1 p z z n y y m x x ; 2 2 2 2 2 Параллельность 2 1 s s || 2 1 2 1 2 Перпендикулярность 2 1 s s 0 2 1 2 1 2 1 p p n n m m Пересечение 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Скрещивание ) , , ( 1 1 1 1 z y x M , ) , , ( 2 2 2 2 z y x M 0 2 1 2 1 s s M M , , _______ 0 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 p n m p n m z z y y x x 1 s 2 s 1 s 2 s 1 s 2 s 1 M 1 s 2 M 2 s 31 Взаимное расположение прямой и плоскости Расположение прямой и плоскости Условия расположения прямой p z z n y y m x x 0 и плоскости Параллельность s N 0 s N Перпендикулярность Пересечение 2 2 2 2 2 Условие принадлежности прямой плоскости 0 , 0 0 0 Точка пересечения прямой с плоскостью , , , 0 0 0 Если прямая и плоскость не параллельны, то находят значение параметра t и затем определяют искомые координаты N s N N s 32 Поверхности второго порядка Поверхностью второго порядка называется поверхность, определяемая в декартовой системе координат уравнением второй степени относительно текущих координат x , y и z . Эллипсоид 1 2 2 2 2 Конус 0 2 2 2 2 Однополостный гиперболоид 1 2 2 2 2 Двуполостный гиперболоид 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 33 Эллиптический параболоид z b y a x 2 2 2 Гиперболический параболоид z b y a x 2 2 2 Эллиптический цилиндр 1 2 2 Параболический цилиндр px y 2 Гиперболический цилиндр 1 2 2 2 2 b y a x 25 Раздел 8. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Числовые множества ,... 3 , 2 , 1 N |