Справочник по математике. Справочник-по-математике-в-формулах-таблицах-рисунках-учебное-по. Справочник по математике в формулах, таблицах, рисунках учебное пособие Омск 2010
 Скачать 2.16 Mb.
|
|
=[ t cons y ]= y y x 1 2 2 ; y z =[ const x ]= 2 2 0 y x x ; 0 0 2 xx z ; 3 2 y x z yy ; yx xy z z 2 Дифференцирование различных функций Y Z X 0 y z x x x 0 0 x ) ; ( y x f z 0 N 26 Способ задания функции Вид функции Формула для дифференцирования Неявно заданная функция Сложная функция, для которой t y y t x x , )) ( ); ( ( t y t x f z Полная производная Сложная функция, для которой ) , ( ) , ( v u y y v u x x )) ; ( ), ; ( ( v u y v u x f z Дифференциал и его приложения Полное приращение функции Функция дифференцируема в точке ) ; ( y x , если y x y B x A z , где 0 ) , ( y x и при Полный дифференциалфункции – главная часть приращения, линейная относительно x и y : Для дифференцируемой функции в точке полный дифференциал: y y x z x y x z dz y x ) ; ( ) ; ( ,где B y z A x z , Приложения дифференциала Формула Формула для приближенных вычислений y y x f x y x f y x f y y x x f y x ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( Уравнение касательной плоскости в точке 0 y x ) )( ; ( ) )( ; ( ) ; ( 0 0 0 0 0 0 0 Уравнение нормали в точке 0 y x 1 ) ; ( ) ; ( 0 0 0 0 0 Исследование функции двух переменныхна экстремум 27 Пусть N – точка локального экстремума (максимума или минимума, О − окрестность точки N . N – точка локального максимума, если ) ( ) ; ( ) ( ) ; ( N f y x f N O y x N – точка локального минимума, если Необходимое условие существования экстремума Если точка N – точка экстремума дифференцируемой функции ) , ( y x f z , то 0 ) ( N f x ; 0 ) ( Достаточные условия существования экстремума Пусть. Если 0 , 0 ) ( N f xx , то N – точка локального максимума. Если 0 , 0 ) ( N f xx , то N – точка локального минимума. Если 0 , тоне является точкой локального экстремума. Если 0 , то требуются дополнительные исследования в окрестности точки N Замечание.Нахождение наибольшего Ми наименьшего m значений дифференцируемой в замкнутой области D функции ) ; ( y x f z : 1) найти критические точки функции, принадлежащие D и вычислить значения в них 2) найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе D; 3) сравнить полученные значения и выбрать среди них Ми Раздел 12. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Понятие комплексного числа Основные понятия Формула Определение комплексного числа y i x z – комплексное число, где – действительная часть z, z y Im – мнимая часть z, i – мнимая единица, удовлетворяющая условию 1 Равенство комплексных чисел 1 1 y i x = 2 2 y i x ; 2 1 2 Комплексно сопряженное число Изображение комплексного числа Модуль комплексного числа 2 2 y x z r ; Аргумент комплексного числа (главное значение аргумента z arg , sin , z y z x сos = 0 , 0 , arctg , 0 , 0 , arctg , 0 , arctg y x если x y y x если x y x если x y Множество значений аргумента Z k k z , 2 Arg Y X z r z x=Rez y=Imz 26 Формы записи и операции над комплексными числами Формы Операции Алгебраическая 1 1 1 iy x z 2 Тригонометрическая 1 1 1 1 sin cos i r z 2 2 2 2 sin Показательная 1 1 1 i e r z 2 2 2 i e r z Сложение 2 1 2 1 2 1 y y i x x z z – – Умножение ) ( ) ( 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 y x y x i y y x x z z )) sin( ) ( ( 2 1 2 1 2 1 2 с 1 2 1 2 1 Деление 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 y x y x y x i y x y y x x z z z z z z )) sin( ) (cos( 2 1 2 1 2 1 2 1 i r r z z ) ( 2 1 2 1 2 Возведение в степень – ) sin (cos n i n r z n n n n n e r z Извлечение корня – ) 2 sin 2 (cos n k i n k r z n n , 1 , , 2 , 1 , 0 n k – Основная теорема алгебры Формулировка теоремы Пример Любое уравнение типа 0 2 2 имеет ровно n корней (действительных или комплексных. Решить уравнение 0 5 2 2 Решение Имеем комплексно-сопряженные корни : i i x 2 1 2 4 2 Иллюстративные примеры 27 Необходимая операция Решение примеров Сложение i i i i 3 ) 4 3 ( ) 5 2 ( 4 5 3 Умножение i i 4 5 3 2 = 2 12 15 8 10 i i i i i 23 2 12 23 Деление 16 25 12 15 8 10 4 5 4 5 4 5 3 2 4 5 3 2 i i i i i i i i i i 41 7 41 22 41 Возведение в степень 60 3 1 i z , 3 2 3 ) 3 arctg( , 2 3 1 2 2 r i z 3 1 = 3 2 sin 3 2 cos 2 i 60 60 60 60 2 40 sin 40 cos 2 3 2 60 sin 3 2 60 cos 2 Извлечение корня Решить уравнение 0 Решение При 0 k имеем i i z 2 2 2 2 4 sin 4 cos 1 ; при 1 k имеем i i z 2 2 2 2 4 3 sin 4 3 cos 2 ; при 2 k имеем i i z 2 2 2 2 4 5 sin 4 5 cos 3 ; при 3 k имеем i i z 2 2 2 2 4 7 sin 4 На комплексной плоскости корни расположены в вершинах квадрата, вписанного в окружность единичного радиуса. 25 Раздел 13. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Неопределённый интеграл и его свойства где x f x F ; C − произвольная постоянная C x F ) ( − семейство первообразных. 1. C x F x dF ; 2. dx x f dx x f d ; 3. dx x f k dx x kf ; 4. dx x g dx x f dx x g x f ; 5. Инвариантность формулы интегрирования C u F du u f ) ( ) ( , где ) (x u − произвольная функция, имеющая непрерывную производную. Таблица простейших интегралов C dx 0 C x xdx cos sin C x dx C x xdx sin cos 1 , 1 1 n C n x dx x n n C x t x dx g cos 2 C x x dx ln C x x dx ctg sin 2 C a a dx a x x ln C e dx e x x 0 , arcsin 2 2 a C a x x a dx 0 , arctg 1 2 2 a C a x a a x dx C a x x a x dx 2 2 ln C a x a x a a x dx ln 2 1 2 2 C x x dx 2 tg ln sin C x x dx 4 2 tg ln cos 26 Методы интегрирования Метод интегрирования Пример. Непосредственное интегрирование – интегрированиес использованием свойств неопределенного интеграла и тождественных преобразований над ) (x f dx x xdx dx x x 1 4 2 4 2 2 C x x ln 4 2 2. Замена переменной 1 случай Замена случай подведение под знак дифференциала) dt t f x t Замена dx x x f ) ( ) ( )) ( ( Формулы для наиболее часто встречающихся дифференциалов b ax d a dx 1 ; x d dx x 2 1 ; x d xdx sin cos ; x d xdx cos sin x x de dx e ; 2 2 1 dx xdx ; x d dx x 1 1 2 ; x d dx x ln 1 ; x d dx x tg cos 1 2 C t t t dt dt t dt t dt t dx t x t x x dx ln 2 2 2 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( 1 1 2 C x x ) 1 ln( 2 ) 1 ( 2 C x t tdt t x x xd dx x x dx x x 2 ln 2 ln ) (ln ln ln ln ln 2 Почти табличные интегралы ) ( ) ( 1 ) ( b ax d b ax f a dx b ax f C b ax F a ) ( 1 C x x x d x dx 1 3 ln 3 1 1 3 ) 1 3 ( 3 1 1 3 3. Интегрирование по частям vdu uv udv Рекомендации по использованию метода xdx x x x v xdx dv dx du x u xdx x 2 cos 2 1 2 cos ) 5 ( 2 1 2 cos 2 1 2 sin 5 2 sin ) 5 ( C x x x xd x x 2 sin 4 1 ) 5 ( 2 1 ) 2 ( 2 cos 4 1 2 cos ) 5 ( 2 Интегрирование различных функций dx P n x arccos x arcsin x arctg u dv x a log n P kxdx cos kxdx sin dx a kx u dv 27 Интегрирование рациональных дробей Основные понятия Формулы Многочлен n n n x a x a x a a x P 2 2 1 0 ) ( − многочлен степени n , простейшая рациональная функция Рациональная дробь x Q x P m n − отношение многочленов Виды рациональных дробей правильная, если и неправильная, если m n Представление неправильной рациональной дроби С помощью деления числителя на знаменатель приводится к виду , x Q x r x M x Q x P m m n где x M − многочлен (целая часть при делении x r − остаток отделения Типы простейших рациональных дробей |