Справочник по математике. Справочник-по-математике-в-формулах-таблицах-рисунках-учебное-по. Справочник по математике в формулах, таблицах, рисунках учебное пособие Омск 2010
 Скачать 2.16 Mb.
|
,.. ,..., , 2 1 n a a a − члены ряда, образующие бесконечную последовательность n a − общий член ряда. Ряд задан, если Виды числовых рядов Ряд 1 n n a – знакоположительный, если Ряд 1 n n a , содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным. Ряд 1 1 1 3 2 1 1 1 n n n n n a a a a a – знакочередующийся , где Частичные суммы ряда 2 1 2 1 1 , a a S a S ,… n n a a a S 2 1 − я частичная сумма ряда Сходимость и сумма ряда Если S S n n lim , то ряд называется сходящимся, а S – суммой ряда,в противном случае − ряд расходящийся Свойства рядов 1. Если сходится и его сумма равна S , то 1 n n ca , где c − произвольное число, также сходится и его сумма равна с. Два сходящихся ряда 1 n n a и 1 n n b с суммами S и S можно почленно складывать или вычитать. Ряд сходится и имеет сумму S S 3. Если у сходящегося (расходящегося) ряда отбросить конечное число его членов, то полученный ряд также будет сходится (расходится) 105 Признаки сходимости Необходимый признак сходимости числового ряда Если 1 n n a сходится, то Следствие. Если 0 lim n n a , то 1 n n a расходится. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов Название Определение Первый признак сравнения Если n b a n n , то 1) из сходимости ряда 1 n n b сходимость ряда 1 n n a ; 2) из расходимости ряда 1 n n a расходимость ряда Второй признак сравнения Если c c b a n n n 0 lim , то 1) при c 0 1 n n a и 1 n n b сходятся и расходятся одновременно 2) при сиз сходимости 1 n n b сходимость 1 n n a ; 3) при сиз расходимости 1 n n b расходимость Признак Даламбера Радикальный признак Коши работает не признак 1, ; расходится ряд 1, сходится; ряд Интегральный признак Коши Пусть x f − положительная, непрерывная и убывающая функция на , 1 , такая, что , , , , n f a f a f a n 2 1 2 1 , Если соответствующий несобственный интеграл сходится (расходится, то и ряд 1 n n a сходится (расходится) 106 Рекомендации к использованию признаков сравнения Ряды-эталоны Сходимость рядов Пример Геометрическая прогрессия расходится ряд , ; сходится ряд сходится ( 1 3 1 q ) Обобщённый гармонический ряд расходится ряд , сходится; ряд , 1 0 1 1 1 n n 1 расходится ) 1 Рекомендации к использованию признака Даламбера Признак целесообразно применять, когда общий член содержит ! n ( n n 4 3 2 1 ! – факториал. При n для приближенного вычисления ! n используется формула Стирлинга: Сходимость знакопеременных рядов Виды сходимости Определение Абсолютная сходимость Знакопеременный ряд 1 n n a сходится абсолютно, если ряд 1 n n a , составленный из абсолютных величин, сходится Условная сходимость Знакопеременный ряд сходится условно если сам он сходится, а ряд 1 n n a расходится Достаточный признак сходимости для знакочередующегося ряда Теорема (признак Лейбница).Знакочередующийсяряд 1 1 1 n n n a сходится, если 1) последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, те. 1 : n n a a n ; 2) 0 lim n n a 107 Степенные ряды. Основные понятия Основные понятия Определение Понятие степенного ряда 0 0 0 0 1 0 ) ( ) ( ) ( n n n n n x x a x x a x x a a – степенной ряд, разложенный по степеням 0 x x , где постоянные ,... ,..., , n a a a 1 0 , – коэффициенты ряда R x − действительная переменная 0 x − некоторое постоянное число Сходимость степенных рядов Область сходимости – множество всех точек сходимости. Областью сходимости служит промежуток R x R x 0 0 , , дополненный, быть может, его концами. Число R – радиус сходимости Если ряд сходится во всех точках, то R . Радиус сходимости определяют по формуле n n n a R lim 1 или 1 lim n n n a a R Свойства степенных рядов 1. Сумма степенного ряда − непрерывная функция в интервале сходимости R x R x 0 0 , 2. Степенные ряды 0 0 ) ( n n n x x a и 0 0 ) ( n n n x x b внутри интервала сходимости можно почленно складывать, вычитать и умножать. 3. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать 0 1 0 0 0 ) ( ) ( n n n n n n x x na dx x x d a 4. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно интегрировать R x R x x 0 0 , 5. 0 0 1 0 0 Виды степенных рядов Ряд Тейлора для бесконечно дифференцируемой функции ) ( в окрестности точки a x : Ряд Маклорена частный случай ряда Тейлора при 0 x : ! 0 ! 2 0 ! 1 0 0 ) ( 2 n n x n f x f x f f x f 108 Окончание таблицы Основные понятия Определение Сходимость функции кряду Тейлора Представим функцию в виде, где n n n a x n a f a x a f a x a f a f x S ! ! 2 ! 1 ) ( 2 ; x a c a x n c f x R n n n , , ) ( )! 1 ( ) ( ) ( 1 ) 1 ( − остаточный член в форме Лагранжа. Теорема Ряд Тейлора сходится к функции ) (x f 0 ) ( lim x R n n Разложение элементарных функций вряд Маклорена Разложение Область сходимости ! ! 3 ! 2 1 3 2 n x x x x e n x R x ! 1 2 1 ! 5 ! 3 sin 1 2 1 5 3 n x x x x x n n R x ! 2 1 ! 4 ! 2 1 cos 2 4 2 n x x x x n n R x ln n x x x x x x n n 1 4 3 2 1 4 3 2 1 1 , 1 x 3 2 1 2 1 2 1 1 1 1 3 если 0 m ; 1 , 1 x , если 1 m ; если 1 m 1 2 1 5 3 arctg 1 2 1 5 3 n x x x x x n n 1 , 1 x 1 1 1 1 3 2 n n x x x x x 1 , 1 x 109 Ряды Фурье Основные понятия Определение Тригонометрический ряд Фурье для функции на отрезке , x f 1 0 ) sin cos ( 2 n n n nx b nx a a , где n n b a a , , 0 − коэффициенты Фурье, вычисляемые по формулам dx x f a ) ( 1 0 ; ,...; , , cos ) ( 2 Тригонометрический ряд Фурье для функции на отрезке l l, , sin cos ) ( 1 где l l dx x f l a ; ) ( 1 0 ,... , , cos ) ( 2 1 1 n dx l nx x f l a l l n ; Достаточное условие разложимости функции вряд Фурье Теорема Дирихле. Если функция ) ( непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода на отрезке , и при этом монотонна или имеет конечное число экстремумов на , , то ряд Фурье функции ) ( x f сходится , x и его сумма равна 1) ) ( x f для всех точек непрерывности , x ; 2) 2 0 0 0 0 x f x f для всех точек разрыва I рода 0 x ; 3) 2 0 0 f f при x и Окончание таблицы 110 Основные понятия Определение Разложение вряд Фурье четных и нечетных функций на отрезке , четная, тона отрезке , нечетная, то ; ; 0 0 0 n a a ,... , , sin ) ( 2 1 2 Представление непериодической функции рядом Фурье Разложение вряд Фурье функции на произвольном промежутке Разложение по синусам 1. Доопределить x f нечетным образом на 0 , l 2. Разложить вряд полученную нечетную функцию ) (x f на Разложение по косинусам 1. Доопределить x f четным образом на 0 , l 2. Разложить вряд полученную четную функцию ) (x f на l l, l l X Y X l l Y 101 Раздел 19. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Волновое уравнение Уравнение гиперболического типа, или волновое уравнение 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z U y U x U a t U const) ( a , описывает процессы колебания струны, мембраны, газа и т.д. Характерная особенность процессов – конечная скорость распространения волны. Однородное волновое уравнение: ) , ( ) , ( 2 t x U a t x U xx tt Первая краевая задача Начальные условия ) ( ) 0 , ( x f x U , l x 0 ; ) ( ) 0 , ( x x U t , l x Граничные условия 0 ) , 0 ( t U , 0 ) , ( t l U , 0 t − концы струны 0 x и l x жестко закреплены 1 sin cos Вторая краевая задача Начальные условия ) ( ) 0 , ( x f x U , l x 0 ; ) ( ) 0 , ( x x U t , l x Граничные условия 0 ) , 0 ( t U x , 0 ) , ( t l U x , 0 t − концы струны свободны cos cos ) , ( n n n t l an B t l an A x l n t x U l dx x f l A 0 0 ) ( 1 , l n xdx l n x f l A 0 cos ) ( 2 , 0 Задача Коши Бесконечная струна x , Начальные условия ) ( ) 0 , ( x f x U ; ) ( ) 0 , ( x x U t ; l x Формула Даламбера 2 ) ( ) ( ) , ( at x f at x f t x U at x at x dx x a ) ( 2 Уравнение теплопроводности Уравнение параболического типа 2 2 2 2 2 2 2 z U y U x U a t U , или уравнение теплопроводности. Описывает задачи изучения теплопроводности и диффузии. 102 Уравнение теплопроводности Первая краевая задача Начальное условие ) ( ) 0 , ( x f x U , l x 0 ; Граничные условия 1 ) , 0 ( U t U , 2 ) , ( U t l U , 0 t x l U U U t x U 1 2 1 ) , ( 1 sin 2 n t l an n x l n e C l n xdx l n x f l C 0 sin ) ( 2 , Вторая краевая задача Начальное условие ) ( ) 0 , ( x f x U , l x 0 ; Граничные условия 0 ) , 0 ( t U x , 0 ) , ( t l U x , 0 t 0 cos ) , ( 2 n t l an n x l n e C t x U , l dx x f l C 0 0 ) ( 1 , l n xdx l n x f l C 0 cos ) ( 2 , Задача Коши Начальное условие ) ( ) 0 , ( x f x U , Интеграл Пуассона d e f t a t x U t a x 2 2 4 ) ( ) ( 2 Уравнение Лапласа Уравнение эллиптического типа 0 2 2 2 2 2 2 z U y U x U , или уравнение Лапласа, возникает при исследовании стационарных процессов. Задача Дирихле для круга Дан круг радиуса R с центром вначале координат и пусть на окружности задана непрерывная функция ) ( f . Найти функцию ) , ( r U , удовлетворяющую на окружности условию и уравнению Лапласа в полярных координатах 0 Решение Раздел 20. ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА Множества. Свойства и операции над ними МножествоМ– объединение в единое целое определенных различимых объектов а, которые называются элементамимножества. Множество, не содержащее ни одного элемента, – пустое множество. Если А В, то А – подмножествомножества В, если при этом А В, то А – собственное подмножество множества В (А В. Геометрическое изображение операций надмножествами диаграммы Венна. Название операции и обозначение Определение Диаграмма Объединение B A C B с или A с с C | Пересечение B A C B с и A с с C | Разность или B A C \ B с и A с с C | Симметричная разность или Дополнение A в U A C A U C \ A с с С | U A B B A A U A U A B B A \ U A B B A U A B 104 Свойства операций надмножествами Свойства множеств относительно операции объединения Свойства множеств относительно операции пересечения 1. Коммутативность A B = B A 2. Ассоциативность (A B) C = A (B C) 3. Дистрибутивность A (B C) = (A B) (A C) 4. Идемпотентность А А = А 5. Закон де Моргана B A B A 6. Операции с множеством A = А 7. Операции с множеством U U U A U U 8. Законы поглощения A (A B) = A U A A 9. Свойства операции разности A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) (A B) \ C = (A \ C) (B \ C) (A \ B) \ C = A \ (B C) A \ (B \ C) = (A \ B) (A C) 10. Свойства операции симметричной разности A B = B A A B = (A B) \ (A B) (A B) C = A (B C) A (B C) = (A B) (A C) A B = B A (A B) C = A (B C) A (B C) = (A B) (A C) А А = А B A B A A = A U A A (A B) = A A A B A B A \ , A \ A = A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) (A B) \ C = (A \ C) (B \ C) A \ (A \ B) = A B Бинарные отношения Понятия Определения Примеры Декартово произведение множеств Аи множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары b a, , где B b A a , 2 , 1 A ; 4 , 3 , 2 B 4 , 2 , 3 , 2 , 2 , 2 , 4 , 1 , 3 , 1 , 2 , 1 B A 2 , 4 , 1 , 4 , 2 , 3 , 1 , 3 , 2 , 2 , 1 , 2 A B 105 Окончание таблицы Понятия Определения Примеры Бинарное отношение R – всякое подмножество декартова произведения, те. B A R . Обозначение y R x , тех находится св отношении R или R y x , " " , y меньше x R y x 4 , 2 , 3 , 2 , 4 , 1 , 3 , 1 , 2 , 1 R Обратное бинарное отношение Свойства Рефлексивность R a a A a , : () (||), Антирефлексив- ность R a a A a , : ) ( ), ( , ( Симметричность Транзитивность R c a R c b и R b a A c b a , , , : , , ) ( ), ( ), ( (||), (), ), ( |