n
n
p
i
i
*
– относительная частота
i
p
− вероятность попадания возможных значений случайной величины впромежуток Для вычисления вероятностей
i
p
используют следующие формулы а)
dx
x
f
x
X
x
P
p
i
i
x
x
i
i
i
i
1
1
, где
2
1
i
i
i
x
x
x
; б) в случае гипотезы о нормальном распределении
S
x
x
S
x
x
x
X
x
P
p
i
i
i
i
i
1 1
; в) приближенная формула
i
i
i
x
f
p
2. Определить число степеней свободы
1
l
k
r
, где k − число интервалов l − число параметров распределения. Например, если
,
a
N
X
, то оценивают два параметра математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение, следовательно, число степеней свободы
3
k
r
3. Выбрать уровень значимости
По таблице распределения
2
(прил) по уровню значимости и числу степеней свободы r найти
2
,r
4. Если
2
,
2
r
, то гипотеза отвергается если
,
2
,
2
r
то с вероятностью
1
p
гипотеза
2
,r
принимается.
101 ЛИТЕРАТУРА
1. Алиев И.И. Краткий справочник по высшей математике / И.И.
Алиев. – М ИП РадиоСОФТ, 2006.
2. Алимов О.Е. Дискретная математика логика, группы, графы / О.Е.
Алимов. – М Лаборатория Базовых Знаний, 2001.
3. Бронштейн И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов / И.Н. Бронштейн, КА. Семендяев. – М Наука,
1986.
4. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике / М.Я.
Выгодский. – М АСТ: Астрель, 2003.
5. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике / М.Я.
Выгодский. – М АСТ: Астрель, 2006.
6. Галушкина Ю.И. Конспект лекций по дискретной математике / Ю.И.
Галушкина. – М Айрис-пресс, 2007.
7. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика учеб. пособие для вузов / В.Е. Гмурман. – М Высш. шк, 2000.
8. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. – М Наука. Главная
редакция физико-математической литературы, 1974.
9. Пискунов НС. Дифференциальное и интегральное исчисления учеб. для втузов / НС. Пискунов. В х т. Т. I: Интеграл-Пресс, 2002.
10. Пискунов НС. Дифференциальное и интегральное исчисления учеб. для втузов / НС. Пискунов. В х т. Т. II: Интеграл-Пресс,
2002.
11. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике Полный курс / Д.Т. Письменный. – М Айрис-пресс, 2005.
12. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам / Д.Т. Письменный. – М Айрис-пресс, 2008.
13. Цикунов А.Е. Сборник математических формул / А.Е. Цикунов. –
СПб.: Питер, 2006.
14. Цыпкин А.Г. Математические формулы. Алгебра. Геометрия. Математический анализ / А.Г. Цыпкин, Г.Г. Цыпкин. – М Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985.
102 Предметный указатель А Абсолютная величина числа 45 Абсолютная сходимость ряда 106 Аддитивность по области интегрирования 76,82,89
− по функции 76, 82,89, Алгебраическая форма комплексного числа 68 Алгебраическое дополнение 17
Антирефлексивность 115 Аппроксимация 101 Аргумент комплексного числа 67 Арифметическая прогрессия 9 Архимедова спираль 35 Асимптота вертикальная 57
− гиперболы 34
− горизонтальная 57
− наклонная 57 Астроида 35 Б Базис ортонормированный 25
Байеса формула 124 Бесконечно малые (большие) величины 51 ,52 Бинарные отношения 114 Биномиальное распределение 128 Булева функция 121 В Векторное произведение 28 Вектор геометрический 25
– нормали
– – к прямой 31
– – к плоскости 37
– противоположный 25
– скорости 62
– ускорения 62 Векторы равные 25
– сонаправленные (противоположно направленные) 25
– коллинеарные 25
– компланарные 25 Векторная линия поля 93
– трубка 93 функция скалярного аргумента 62 Вероятность классическая 124
− статистическая 124
− попадания в интервал 126
− условная 124 Вершины графа связные 126
– инцидентные 126 Взаимное расположение плоскостей
39 прямой и плоскости 42
− прямых в пространстве 41
− прямых на плоскости 32 Вогнутая кривая 59 Возрастающая функция 58 Волновое уравнение 111 Выборки 130 Выборочная дисперсия 131 Вычисление объемов тел 16, 79
– площадей поверхностей 16, 79
– площадей фигур 14, 78, 79, 83 Выборочное среднее квадратическое отклонение 131 Выпуклая кривая 59 Высказывание 120 Вычисление определителей 17 Г
Гамильтонов путь 118
– цикл 118 Гармонический ряд 106 Генеральная дисперсия 131
− совокупность 130
− среднее квадратическое отклонение 127 Геометрическая прогрессия 9 Геометрические приложения определенного интеграла 78, 79 Геометрический смысл производной 54
102 Геометрическое распределение 128 Гипербола 34 Гиперболоид двуполостный 43 однополостный 43 Гиперболический параболоид 44
− тип уравнения 111
− цилиндр 44 Гипотеза статистическая 132 Гистограмма 130 Годограф 62 Градиент 92 Граничные условия 111, 112 Граф гамильтонов 1ё18
– дерево 117
– лес 117 ориентированный 117 планарный 116
– полный 117 связный 117
– эйлеров 118 График функции, приемы построения 47, 50 Д Даламбера признак 105 Двойной интеграл 81 Двуполостный гиперболоид 43 Действия над матрицами 19
− над событиями 123
− с дробями 7
− со степенями и корнями 8 Декартова система координат н плоскости 29
– в пространстве 36 Деление отрезка в данном отношении 30 Десятичный логарифм 8 Действия над матрицами 19
– со степенями и корнями 8 Дивергенция 93 Диагональная матрица 18 Диаграмма Венна 113 Дизъюнкция для высказывания 120 Директриса параболы 34 Дисперсия выборочная 131
− генеральная 132
− исправленная выборочная 131
– случайной величины 127 Дифференциал приближенных вычислениях 56
− функции 56 Дифференцирование вектор- функции 62
– логарифмическое 56
− неявной функции 56
− обратной функции 54
− показательно-степенной функции
56
− сложной функции 54
− степенного ряда 107 Дифференцируемая функция 56 Дифференциальные уравнения в Полных дифференциалах 97
– допускающие понижение порядка
98
– линейные однородные 97 Длина вектора 25
– дуги кривой 79 Доверительный интервал 132 Дополнение алгебраическое 17
– графа 118
– множества 113 Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов 105
− условия существования точки перегиба 60
– – точки экстремума 59 Достоверное событие 123 Дробь рациональная Неправильная 72
− правильная 72
− простейшая 72 Е Единичный вектор 25 Единичная матрица 18 З Задача Дирихле для круга 112
103
– Коши для дифференциального уравнения 96 Закон больших чисел 129 Законы математической логики 121
– распределения дискретной случайной величины
– – биномиальный 128
– – геометрическое распределение
128
– – распределение Пуассона 128
− непрерывной случайной величины
– – нормальный 129
– – равномерный 129
– показательный экспоненциальный) 129 Замечательные пределы 51 Знакопеременный ряд 104
Знакоположительный ряд 104 Знакочередующийся ряд Знаменатель геометрической прогрессии 9 Значение функции наибольшее 66
– наименьшее 66 И Изоморфные графы 116 Импликация 120 Инвариантность формы дифференциала 56 формулы интегрирования 70 Интеграл двойной 81
– кратный 83
– криволинейный I рода 85
– II рода 88
– – по замкнутому контуру 88
– неопределенный 70
− несобственный 77
− определенный 76
– поверхностный I рода 85
– II рода 88
– – по замкнутому контуру 88
− табличный 70
– тройной 81 Интегральный признак сходимости ряда 105 Интегрирование биноминальных выражений 75
− иррациональных функций 75
− непосредственное 71
− неравенств 76
− подстановкой 71
− по частям 71
− рациональных дробей 72
− тригонометрических функций 74 Интервал доверительный 132 Интерполяция 101
Инцидентность 116 Исправленная выборочная дисперсия
131 Исследование функций с помощью производной 57 Источник 117 К Канонические уравнения гиперболы
34
− окружности 33
− параболы 34
− прямой 40
− эллипса 33 Кардиоида 35 Касательная к графику функции 54
– плосоксть к поверхности 65 Квадратное уравнение 7 Квадратный трехчлен 7 Коллинеарные векторы 25
– условие коллинеарности 28 Компланарные векторы 25
– условие компланарности 28 Комплексное число 67
– алгебраическая форма 67
– аргумент 67
– геометрическое изображение 76
– действия 68
– комплексно-сопряженное число 67
– модуль 68
– показательная форма 68
– тригонометрическая форма 68 Конус 43 Конъюнкция для высказывания 120
104 Координаты вектора 26
– декартовы (прямоугольные) 29
– полярные 29
– сферические 36
– середины отрезка 30
– точки 29
– – деления отрезка в данном отношении 30
– – пересечения двух прямых 32
–– центра тяжести треугольника 30
– цилиндрические 36 Косинус 10, 48 Котангенс 49 Коэффициент асимметрии 127
− угловой 31
− эксцесса 127 Коэффициенты ряда Фурье 109
− степенного ряда 101 Кривизна 65 Криволинейные интегралы I рода 85
– II рода 88 Кривые второго порядка 33, 34 Критерий Пирсона 133
– непрерывности 53
− существования
– – производной 54
– эйлерова пути 118
– эелерова цикла 118 Критические точки 58 Круг 15 Круговое кольцо 15 Круговой сектор 15 Кручение 63 Л Левая производная 54 Тройка векторов 25 Лейбница признак сходимости 106 Лемниската Бернулли 35 Линейная комбинация векторов 25 Линейное дифференциальное уравнение Первого порядка 97
– второго порядка 98 Литера 122 Логарифм 8 Логарифмическая спираль 35
– производная 56
– функция, график 48
Лопиталя правило 56 М
Маклорена ряд 107,108 Максимум функции одной переменной 58
– двух переменных 66 Маршрут 116
– длина маршрута 116
– замкнутый 116 Математическое ожидание 127 Матрица верхняя (нижняя) треугольная 18
− диагональная 18
− единичная 18
− квадратная 18
− коэффициентов системы 20
− невырожденная 21
− нулевая 18
− обратная 21
− расширенная 23
− симметрическая 18 графа
– – смежности 119
– – инцидентности 119
− транспонированная 19
Матрица-столбец 20
Матрица-строка 20 Матрицы сумма 19
– разность 19
– произведение на число 19
– умножение 19 Матричное уравнение 20, 22 Матричный способ решения систем уравнений 22 Метод (исключения) Гаусса 23
− координат 30
− моментов 131
− наименьших квадратов 101
− неопределенных коэффициентов
73
105
− половинного деления 102
− проверки гипотезы 133
– разделения переменных 97
− хорд 102 Методы решения уравнения
0
)
(
x
f
102
− Рунге-Кутта 103
− численные 103 Механический смысл производной
54 Минор 17 Мнимая единица 67
– ось 67
– часть комплексного числа 67 Многочлен 72 Множество значений аргумента 67
– чисел натуральных 45
– – действительных 45
– – целых 45
– – рациональных 45 Моменты статические 82
– инерции 82 случайных величин 127 Монотонная функция 58 Модуль числа 45
– вектора 25
– комплексного числа 67
Муавра формула 125 Н Направляющие косинусы вектора 26 Натуральный логарифм 8 Невозможное событие 124 Невырожденная система уравнений
21 Неоднородное дифференциальное уравнение 97, 98 Неопределенности 51,52 Неопределенный интеграл 70 Непрерывность функции 53 Неравенство Чебышева 129 Несобственные интегралы 77 Несовместные события 123 Неявная функция 56 Нормальное распределение 128,129 О Область сходимости степенного ряда
107 Обратные тригонометрические функции, графики 49 Общее решение системы линейных алгебраических уравнений 20
– дифференциального линейного уравнения 98,99 Объединение графов 118 Объем тела 16
– вращения 79 Однополостный гиперболоид 43 Однородное дифференциальное уравнение 97,98 Однородная система алгебраических уравнений 21 Окружность 30 Операции над векторами 27
– высказываниями 120
– графами 118
– комплексными числами 68
– множествами 113 Определенный интеграл 76 Определитель 17 Орт вектора 25 Ортогональная проекция вектора на ось 26 Ортогональность векторов 28 Основное тригонометрическое тождество Остаток ряда Тейлора 108 Отклонение среднее квадратическое
127 Отношение бинарное 114 Отображение, график 45
– обратное 46 Отрицание для высказывания 120 Оценки параметров распределения интервальные 132
– точечные 131 П Парабола 34 Параболический цилиндр 44
106 Параболоид гиперболический 44
− эллиптический 44 Параллелепипед прямоугольный 16 Параллельные плоскости 39
− прямая и плоскость 42
− прямые на плоскости 32
– – в пространстве 41 Параметр распределения 128 Параметрические уравнения окружности 33
− прямой в пространстве 40
− эллипса 33 Первообразная 70 Пересечение графов 118
– плоскостей 39
− плоскости с прямой 42
− прямых в пространстве 41
− прямых на плоскости 32 Перестановки 115 Периодическая функция 46 Перпендикулярность плоскостей 39
− плоскости с прямой 42
− прямых в пространстве 41
– – на плоскости 32
Пирсона критерий 133 Плоскость 37 Плотность распределения 126 Площадь плоской области 78
− поверхности 16
− тела вращения 79
− фигур 14
– в полярных координатах 79 Поверхность второго порядка 43,44 Поверхностные интегралы I рода 85
– II рода 88 Подстановки Эйлера 75 Показательное распределение 128 Поле векторное 93
– скалярное 92
– соленоидальное 95
– потенциальное 95
– гармоническое 95 Полный дифференциал 65 Поток векторного поля 93 Полярные координаты 29 Полярная система координат 29 Последовательность независимых испытаний 125 Правая производная 54
– тройка векторов 25 Правила дифференцирования 54 Правило треугольника сложения векторов 27
– Лопиталя 56 разложения рациональной дроби
73
– сложения вероятностей 124
− треугольников вычисления определителя 17
– трех сигм 129
– умножения вероятностей 124 Правила комбинаторики 115
– построения графиков функций 50 Правильная дробно-рациональная функция 72 Предел функции 51
– слева (справа) 51
– первый замечательный 51
– второй замечательный 51 Пределы интегрирования 76 Признак сходимости Даламбера 105
− интегральный 105
− Коши (радикальный) 105
− Лейбница 106
− необходимый 106
− сравнения рядов 106 Приращение функции 56 Прогрессия арифметическая 9
− геометрическая 9 Проекция вектора 26 Произведение векторов 28
– матриц 19
– событий 123 Производная вектор-функции 62
− интеграла попеременному верхнему пределу 76
− левая (правая) 54
− логарифмическая 56
– геометрический смысл 54
− механический смысл 54
107
− обратной функции 54
− по направлению 92
− сложной функции 54
− таблица 55
− частная 64 Пропорции 7 Процент 9 Полная группа событий 123 Простейшая рациональная дробь 72 Прямая в пространстве 40
− на плоскости 31 Пуассона распределение 128 Р Равномерное распределение 128 Радиан 10 Радиус сходимости 107
– кривизны 63 Разложение вряд Маклорена 108
– вектора по базису 26
− на простейшие дроби 73
– квадратного трехчлена 7 Размещения 115
− определителя по элементам строки
17 Разностная схема Эйлера 103 Разность арифметической прогрессии 9
– векторов 27
– событий 123
– комплексных чисел 68 Разрыв функции 53
– бесконечный 53
– конечный (скачок) 53
– го иго рода 53
– устранимый 53 Распределение биноминальное128
− геометрическое 128
− нормальное 128,129
− Пуассона 128
− равномерное 128,129
− показательное 128, 129 Расстояние между двумя точками 30
− от точки до плоскости 39
− от точки до прямой 32 Расходящийся несобственный интеграл 77
− ряд 104 Расширенная матрица коэффициентов 23 Репер Френе 62 Рефлексивность 115 Ромб 15 Ротор 94 Ряд 104
– абсолютно сходящийся 106
− гармонический 106
− геометрической прогрессии 106
− знакоположительный 104
− знакопеременный 104
− знакочередующийся 104
− Маклорена 107
− распределения 162
− распределения статистический 130
− расходящийся 104
− степенной 107
− сходящийся 104
− Тейлора 107
− условно сходящийся 106
− Фурье 109
− числовой 104 С Свойства бинарных отношений 115
– – антирефлексивность 115
– – рефлексивность 115
– – симметричность 115
– – транзитивность 115
– числовых характеристик случайных величин 127 Сдвиги деформация графика 50 Синусоида, график 48 Система линейных алгебраических уравнений 20,21
– определенная (неопределенная) 21
– совместная (несовместная) 21
− координат 29
– – декартова 29
– – полярная 29
108
– – сферическая 36
– – цилиндрическая 36 Скалярное поле 92 Скалярное произведение 28 Скачок функции 53 Скрещивание прямых 41 Сложение и вычитание векторов 25
– матриц 19 Сложная функция 54 Случайная величина дискретная 126
− непрерывная 126 Смежные вершины графа 116 Смешанное произведение векторов
28 Собственные значения матрицы 24 Собственный вектор матрицы 24 Событие достоверное 123
− невозможное 123
− противоположное 123 События несовместные (совместные)
123
− полная группа 123 Совершенная дизъюнктивная нормальная форма 122
– конъюнктивная нормальная форма
122 Соленоидальное поле 95 Сопряженные гиперболы 34 Сочетания 115
– с повторением 115 Спираль Архимеда 35
− логарифмическая 35 Средняя арифметическая 131 Среднее арифметическое 9
− гармоническое 9
− геометрическое 9
− квадратическое отклонение 127 Статистическая гипотеза 132 Статистический ряд распределения
130 Статистические оценки параметров распределения 130 Степенная функция, график 47 Степенной ряд 107 Степень входа (выхода) вершины
117
Стирлинга формула 106 Сток 117 Стрелка Пирса 121 Сумма событий 123
– векторов 27
– комплексных чисел 68
– матриц 19 Сфера 16 Сферические координаты 36 Схема вычисления определителя 17
– Эйлера разностная 103 Сходимость несобственного интеграла 77
− ряда степенного 108
– – числового 104
– – Фурье 109 Т Таблица интегралов 70
– истинности для высказывания 120
− производных 55
Тангенсоида, график 49 Тейлора ряд 107 Теорема Виета 7
– Дирихле 109
− Лапласа (интегральная) 125
− существования определенного интеграла 76
– основная алгебры 68
− Чебышева 129 Теоремы сложения и умножения вероятностей 124
– о структуре решения линейного дифференциального уравнения 98,99 Точка перегиба 59
− пересечения прямой с плоскостью
42
− разрыва функции 53 Транзитивность 115 Транспонированная матрица 18 Трапеция 14 Треугольник произвольный 14
– прямоугольный 14
109
Трехлепестковая роза 35 Тригонометрические подстановки 75
– тождества 12
– функции 10,11
– – их знаки 10
– – их значения 11 Тригонометрический ряд 109 Тройной интеграл 81 У Убывающая функция 46 Угловой коэффициент 31 Угол между векторами 28
− между плоскостями 39
− между прямой и плоскостью 42
− между прямыми 41 Умножение вектора на число 27
– матриц 19
– матрицы на число 19 Уравнение дифференциальное Бернулли 97
– допускающее понижение порядка
98
– волновое 111
– векторное прямой 40
– касательной к кривой 54
– касательной плоскости 65
− квадратное 7
− Лапласа 112
– нормали 65
− прямой в пространстве 40
− прямой на плоскости 31
− плоскости 37
− теплопроводности 117
– характеристическое для дифференциального уравнения 99
– – для матрицы 24 Уравнения математической физики
111,112 Уровень значимости 134 Условие максимума и минимума
– достаточное 60
– одной переменной 60
– – двух переменных 66
− необходимое
– – одной переменной 60
– – двух переменных 66
– нормировки 126
− параллельности плоскостей 39
− − прямой и плоскости 42
− − прямых на плоскости 32 Условия Грина 89
– сходимости ряда Фурье 109
– достаточные существования
– – эйлерова пути 118
– – эйлерова цикла 118 Условная сходимость ряда 106 Ф Факториал 106 Фокус параболы 34 Фокусы гиперболы 34
− эллипса 33 Формула Байеса 124
− Бернулли 125
– Грина 89
– для приближенных вычислений с помощью дифференциала 56,65
− Муавра-Лапласа 125
− Ньютона-Лейбница 77
– Остроградского-Гаусса 89,93
− полной вероятности 124
− Пуассона 125
− Стирлинга 106
– Стокса 89,95 Формулы дифференцирования 55
− сокращенного умножения 8
– комбинаторики 115
− Крамера 22
– приведения 13 Формы представления булевых функций совершенная конъюнктивная 122
– совершенная дизъюнктивная 122 Функция булева 121
– бесконечно большая 51
– – малая 51
– векторная скалярного аргумента 62
– вогнутая (выпуклая) 59
− возрастающая (убывающая) 58
110
− дробно-рациональная 48
− иррациональная 75
– линейная 47
– логарифмическая 48
− монотонная 46
− нескольких переменных 64
– обратная 46
− обозначение 45
– ограниченная 46
– показательная 48
– показательно-степенная 52
– распределения 126
– степенная, графики 47
– тригонометрические 48
– обратные к тригонометрическим 49
− четная (нечетная) 46
– элементарная 53 Х Характеристики числовые пространственной кривой 63
– скалярного поля 92
– случайной величины 127 Характеристическое уравнение для матрицы 24
– для линейного дифференциального уравнения 99 Ц Цепь простая 116 Цент кривизны 63 Циклоида 35 Цилиндр гиперболический 44
– параболический 44
− эллиптический 44 Цилиндрические координаты 36 Цилиндрическая система координат
36 Циркуляция векторного поля 94 Ч Частичная сумма ряда 104 Частная производная 64 Частные приращения 64 Частота события 124 Чебышева неравенство 129
− теорема 129 Числа действительные 45
– комплексные 67
– рациональные 45
– целые 45 Численные методы 101,102 Числовой ряд 104 Числовые характеристика случайной величины 127 Число комплексное 67
Скачать 2.16 Mb.