Справочник по математике. Справочник-по-математике-в-формулах-таблицах-рисунках-учебное-по. Справочник по математике в формулах, таблицах, рисунках учебное пособие Омск 2010
 Скачать 2.16 Mb.
|
|
A A ,..., , 2 1 – совместные события, то n n A A P A A P 1 ) ( 1 1 ) ( 1 Условная вероятность ) (B P A : вероятность события B при условии, что произошло событие A ) ( ) ( ) ( A P AB P B P A 2. Если A , B – зависимые события, то ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( A P B P B P A P AB P B A 3. Если A , B – независимые события, то Следствия из теорем сложения и умножения Формула полной вероятности n i H i A P H P A P i 1 ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( 1 где n H H H ,..., , 2 1 гипотезы (попарно несовместные события, образующие полную группу, те. j i n i i H H H , 1 Ø j i ). Формула Байеса ) ( ) ( ) ( ) ( A P A P H P H P i H i i A 106 Последовательность независимых испытаний вероятность появления события A k разв независимых испытаниях Точная формула формула Бернулли) Локальная формула Муавра–Лапласа Формула Пуассона Условия применения формул n невелико n велико 10 np n велико np невелико Формула , k n k k n n q р С k Р где p A P ) ( , ! ! ! , 1 k n k n C p q k n где 2 2 2 1 x e x – функция Гаусса, значения которой табулированы (прил. 1), ) ( ) ( x x , где Интегральная теорема Лапласа Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p (0< p <1), событие наступит не менее 1 k разине более 2 k раз, приближённо равна ), ( ) ( ) , ( 2 1 x Ф x Ф k k P здесь Ф 2 2 2 1 ) ( функция Лапласа, значения которой табулированы (прил. 2), ) ( ) ( x Ф x Ф ; Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в схеме независимых испытаниях Ф 107 Формы закона распределения случайной величины Случайная величина (СВ величина, которая в результате испытания может принимать то или иное значение, заранее неизвестное. Дискретная случайная величина (ДСВ) принимает конечное или счетное множество значений, непрерывная случайная величина (НСВ) принимает значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Закон распределения СВ – любое правило (таблица, функция, график, позволяющее находить вероятности произвольных событий. СВ Форма закона распределения СВ ДСВ Ряд распределения 1 x 2 x … n x 1 p 2 p … n p где n i i i i p x X P p 1 1 ; НСВ Плотность распределения вероятностей Свойства f(x): 1. Неотрицательность: Условие нормировки 1 dx x f 3. b a dx x f b x a P ) ( ) ( 4. Связь с функцией распределения Функция распределения Геометрическая интерпретация Свойства F(x) 1. ; 0 F 2. ; 1 F 3. ; , 1 0 x x F 4. x F – неубывающая функция, те. 2 1 2 1 2 1 : , x F x F x x x x 5. График F(x) для НСВ График F(x) для ДСВ F(x) P(a a b x x 1 x F(x) x 1 x 3 x 2 1 x F(x) X x X f(x) 108 Числовые характеристики случайной величины Числовые характеристики Дискретная случайная величина Непрерывная случайная величина Математическое ожидание n i i i p x MX 1 , где i i x X P p где x f – функция плотности или 2 Дисперсия 2 1 1 2 n i i i n i i i p x p x DX 2 Среднее квадратичес- кое отклонение Свойства числовых характеристик Математическое ожидание Дисперсия 1. , C MC где С – константа 2. ; CMX CX M 3. ; MY MX Y X M 4. MY MX Y X M для независимых случайных величин. 1. , 0 DC где С – константа 2. С 3. DY DX Y X D для независимых случайных величин. Моменты случайных величин Моменты ДСВ НСВ Начальный момент порядка k i i k i k p x dx x f x k k ) ( k k MX X M ) ( , 3 3 A – коэффициент асимметрии 3 4 4 E – коэффициент эксцесса («островершинности») Центральный момент порядка k i i k i k p MX x ) ( dx x f MX x k k ) ( ) ( 109 ) ( Основные законы распределения вероятностей Законы распределения дискретной случайной величины Закон Биномиальный Распределение Пуассона Геометрическое распределение Формула )! ( ! ! где , ) ( k n k n С q p C k P k n k n k k n n e k k P k n ! ) ( , здесь np p q k P k n 1 ) ( , здесь Числовые характерис- стики np MX , a MX Наивероятнейшее число наступлений события p np k q np 0 MX , Законы распределения непрерывной случайной величины Закон Равномерный Нормальный Показательный Обозначение Функция плотности b a x b a x a b x f , при 0 , , при 1 ; ) ( ) ( 2 2 2 2 1 a x e x f x , a , − параметры закона распределения где 0 − параметр закона распределения а 110 Окончание таблицы Интегральная функция x b b x a a b a x a x x F , 1 , , , , 0 ) ( a x Ф x F 5 , 0 ) ( x z dz e x Ф 0 2 2 2 1 ) ( функция Лапласа, значения которой табулированы прил. 2) Числовые характеристики Вероятность попадания винтер- вал , a b dx a b X P 1 ) ( a Ф a Ф X P ) ( Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа : Ф a X P 2 Правило трех сигм 997 , 0 Закон больших чисел 1) Неравенство Чебышева 2 1 DX MX X P 2) Теорема Чебышева Если n X X X ,..., , 2 1 − последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих дисперсии, ограниченные одной и той же постоянной Сто Раздел 23. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Выборки X − некоторая случайная величина. Совокупность результатов n измерений n x x x ,..., , 2 1 случайной величины X называют выборкой, а случайную величину X − генеральной совокупностью. Разобьем действительную ось наконечное число промежутков k ,..., , 2 1 . Подсчитаем число i n − выборочных значений, лежащих в промежутке ) 1 ( , k i i . k i i n n 1 , где n − объем выборки. Статистический ряд распределения 1 2 … k 1 x 2 x … k x 1 n 2 n … Графическое изображение интервального статистического ряда называют гистограммой. Эмпирическая функция распределения n n x F x ) ( , где x n − число выборочных значений, меньших x ; n − объем выборки. Статистические оценки параметров распределения Точечные оценки основных параметров распределения Выборочная точечная оценка Оцениваемый параметр генеральной совокупности Простая выборка , ,..., , 2 где n − объем выборки Сгруппированная выборка 1 x 2 x … k x 1 n 2 n … k n i n − число выборочных значений признака i x , k i i n n 1 − объем выборки n n i x i x 1 i x 102 Окончание таблицы Средняя арифметическая Генеральная средняя или математическое ожидание MX=a n i i x n x 1 1 k i i i n x n x 1 Выборочная дисперсия Генеральная дисперсия математическое ожидание a известно) n i i a x n S 1 2 2 1 k i i i n a x n S 1 2 2 1 n i i x x n S 1 2 2 1 i k i i n x x n S 1 2 2 Исправленная выборочная дисперсия 2 S Генеральная дисперсия математическое ожидание неизвестно) 2 Выборочное среднее квадратическое отклонение Генеральное среднее квадратическое отклонение 2 S S Метод моментов нахождения точечных оценок параметров распределения Идея метода – приравнивание теоретических моментов распределения соответствующим эмпирическим моментам, найденным по выборке, те. Имеем DX MX 2 Предполагаемый закон распределения Показательный закон Метод моментов 2 S DX x MX , 2 2 12 Оценки параметров 2 2 S x a , 2 2 3 3 S x b S x a , x 1 103 Интервальные оценки Доверительный интервал – это интервал, который с заданной доверительной вероятностью надежностью) покрывает оцениваемый параметр. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения Оцениваемый параметр Дополнительные условия Интервальная оценка параметра известно n t x n t x , , где t − из равенства Ф по таблице функции Лапласа (прил. 2) Генеральная средняя или математическое ожидание MX=a неизвестно n S t x n S t x , , где t находят по таблице t − распределения Стьюдента (прил. 3) для заданных n и a известно 30 n 1 2 , S n S n , где 2 , 2 1 2 1 n , 2 , 2 1 2 2 n − квантили 2 - распределения с n степенями свободы (прил. 4) Генеральная дисперсия 2 a неизвестно 1 2 1 , 1 S n S n , где 2 1 , 2 1 2 1 n , 2 1 , 2 1 2 2 n − квантили 2 - распределения с n степенями свободы прил. 4) Проверка статистических гипотез о законе распределения генеральной совокупности Статистическая гипотеза – это любое предположение о виде неизвестного закона распределения или о параметрах. 104 Проверить статистическую гипотезу – значит проверить, согласуются ли выборочные данные с выдвинутой гипотезой. При этом возможны следующие ошибки 1) ошибка первого рода – отвергнуть верную гипотезу 2) ошибка второго рода – принять неверную гипотезу. Уровень значимости – вероятность совершения ошибки первого рода. Чем меньше уровень значимости (обычно полагают равными т.д.), тем меньше вероятность совершить ошибку первого рода. Метод проверки гипотезы с помощью критерия Пирсона 2 1. Определить меру расхождения между теоретическими выборочным распределениями по формуле k i i i i np np np 1 2 * 2 , где |