1.1.13._(ОФС.1.1.0013.15). Статья статистическая обработка результатов офс 0013. 15

• Название: Статья статистическая обработка результатов офс 0013. 15
• Дата: 10.09.2019
• Размер: 0.5 Mb.
• Имя файла: 1.1.13._(ОФС.1.1.0013.15).docx
• Тип: Статья; #86457
• страница: 2 из 11

2. Доверительные интервалы и оценка их величины

Если случайная однородная выборка конечного объема n получена в результате последовательных измерений некоторой величины А, имеющей истинное значение µ, то среднее этой выборки следует рассматривать лишь как приближенную оценку величины А. Достоверность этой оценки характеризуется величиной доверительного интервала , для которой с заданной доверительной вероятностью Р выполняется условие:

. (2.1)

Следует отметить, что данный доверительный интервал не характеризует погрешность определения величины µ, поскольку найденная величина может быть в действительности очень близка к истинному значению µ. Полученный доверительный интервал характеризует степень неопределенности истинного значения µвеличины А по результатам последовательных измерений выборки конечного объема n. Поэтому правильно говорить о «неопределенности результатов анализа» (которая характеризуется доверительным интервалом) вместо выражения «погрешность результатов анализа», которое нередко не совсем корректно используется.

Расчет граничных значений доверительного интервала проводят по критерию Стьюдента, предполагая, что варианты, входящие в выборку, распределены нормально:

. (2.2)

Здесь t (P, f) – табличное значение критерия Стьюдента (см. табл. II приложения).

Если при измерении одним и тем же методом двух близких значений А были получены две случайные однородные выборки с объемами n и m, то при m < n для выборки объема m справедливо выражение:

, (2.3)

где индекс указывает принадлежность величин к выборке объема mили n.

Выражение (2.3) позволяет оценить величину доверительного интервала среднего , найденного, исходя из выборки объема m. Иными словами, доверительный интервал среднего для выборки относительно малого объема m может быть сужен благодаря использованию известных величин s_(n) и t(P, f_(n)), найденных ранее для выборки большего объема n (в дальнейшем индекс n будет опущен).

Примечание 2.1. Если >1,5, величины s и f целесообразно вычислять, как указано в примечании 1.1.

Подставляя n= 1 в выражение (2.2), или m = 1 в выражение (2.3), получаем:

_. (2.4)

Этот интервал является доверительным интервалом результата единичного определения. Для него с доверительной вероятностью Р выполняются взаимосвязанные условия:

x_i – , (2.5)

. (2.6)

Значения и из выражений (2.2) и (2.4) используют при вычислении относительных погрешностей отдельной варианты (ε) и среднего результата (), выражая эти величины в %:

, (2.7)

. (2.8)

Пример 2.1. В результате определения содержания хинона в стандартном образце хингидрона были получены следующие данные (n = 10):

Содержаниехинона	Номер опытаi
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
xi, %	49,80	49,83	49,87	49,87	49,92	50,01	50,05	50,06	50,10	50,11

Расчеты по формулам (1.2), (1.4), (1.5), (1.6), (1.9) дали следующие результаты:

= 49,96; f = 9; s² = 0,01366; s = 0,1169; s = 0,03696.

Доверительные интервалы результата отдельного определения и среднего результата при Р = 90 % получаем согласно (2.4) и (2.2):

;



Тогда относительные погрешности и , согласно (2.7) и (2.8), равны:



.

Обозначая истинное содержание хинона в хингидроне через µ, можно считать, что с 90 % доверительной вероятностью справедливы неравенства:

;

(при любом i);

(при n = 10).

Примечание 2.2. Вычисление доверительных интервалов для случая, описанного в примечании 1.2, проводят, исходя из логарифмов вариант. Тогда выражения (2.2) и (2.4) принимают вид:

lg; (2.9)

lg.(2.10)

Потенцирование выражений (2.9) и (2.10) приводит к несимметричным доверительным интервалам для значений х и x_i.

antilg(lg – ) antilg(lg + lg); (2.11)

antilg(lgx_i – lgx_i) antilg(lgx_i + lgx_i), (2.12)

где lg = ;

lg x_i = s_lg.

При этом для нижних и верхних границ доверительных интервалов и x имеем:

; (2.12 a)
. (2.12 б)