1.1.13._(ОФС.1.1.0013.15). Статья статистическая обработка результатов офс 0013. 15

• Название: Статья статистическая обработка результатов офс 0013. 15
• Дата: 10.09.2019
• Размер: 0.5 Mb.
• Имя файла: 1.1.13._(ОФС.1.1.0013.15).docx
• Тип: Статья; #86457
• страница: 9 из 11

7. Расчет неопределенности функции нескольких случайных переменных

Описанные в разделах 1 – 6 настоящей общей фармакопейной статьи расчеты доверительных интервалов результатов методик анализа применимы лишь в том случае, если измеряемая величина (концентрация, содержание и т.д.) является функцией только одной случайной переменной. Такая ситуация обычно возникает при использовании прямых методов анализа (титрование, определение сульфатной золы, тяжелых металлов и т.д.). Однако большинство методик количественного определения в фармакопейном анализе являются косвенными, то есть используют стандартные образцы. Следовательно, измеряемая величина является функцией, как минимум, двух случайных переменных – аналитических сигналов (оптическая плотность, высота или площадь пика и т.д.) испытуемого и стандартного образцов. Кроме того, нередко возникает проблема прогнозирования неопределенности аналитической методики, состоящей из нескольких стадий (взвешивание, разбавление, конечная аналитическая операция), каждая из которых является по отношению к другой случайной величиной.

Таким образом, возникает общая проблема оценки неопределенности косвенно измеряемой величины, зависящей от нескольких измеряемых величин, в частности, как рассчитывать неопределенность всей аналитической методики, если известны неопределенности отдельных ее составляющих (стадий)?

Если измеряемая на опыте величина у является функцией п независимых случайных величин х_i, то есть:

(7.1)

и число степеней свободы величин x_iодинаково или достаточно велико (> 30, чтобы можно было применять статистику Гаусса, а не Стьюдента), то диспер­сия величины у связана с дисперсиями величин x_iсоотношением (правило рас­пространения неопределенностей):

(7.2)

Однако на практике степени свободы величин x_tобычно невелики и не равны друг другу. Кроме того, обычно интерес представляют не сами дисперсии (стандартные отклонения), а доверительные интервалы, рассчитать которые, используя уравнение (7.2), при небольших и неодинаковых степенях свободы невозможно. Поэтому для расчета неопределенности величины у (Δ_у) предложены различные подходы, среди которых можно выделить два основных: линейная модель и подход Уэлча–Сатертуэйта.

7.1. Линейная модель

Если случайные переменные х_iстатистически независимы, то доверительный интервал функции Δ_усвязан с доверительными интервалами переменных Δ_xiсоотношением (доверительные интервалы берутся для одной и той же вероятности):

(7.3)

Данное выражение является обобщением соотношения (7.2).

В фармакопейном анализе измеряемая величина у представляет собой обычно произведение или частное случайных и постоянных величин (масс навесок, разбавлений, оптических плотностей или площадей пиков и т.д.), т.е. (К - некая константа):

(7.4)

В этом случае соотношение (7.2) принимает вид:

(7.5)

где использованы относительные доверительные интервалы.

Соотношение (7.4) применимо при любых (разных) степенях свободы (в том числе и бесконечных) для величин x_i. Его преимуществом является простота и наглядность. Использование абсолютных доверительных интервалов приводит к гораздо более громоздким выражениям, поэтому рекомендуется использовать относительные величины.

При проведении фармакопейного анализа в суммарной неопределенности (Δ_AS:r) анализа обычно всегда можно выделить такие типы неопределенностей: неопределенность пробоподготовки (Δ_SPr), неопределенность конечной аналитической операции (Δ_FAO,_r) и неопределенность аттестации стандартного образца (Δ_RS,r). Величина Δ_RS,r обычно столь мала, что ею можно пренебречь. Учитывая это, а также то, что анализ проводится и для испытуемого раствора (индекс "smp"), и для раствора сравнения (индекс "st"), выражение (7.5) можно представить в виде:

(7.6)

При этом каждое из слагаемых рассчитывается из входящих в него ком­понентов по формуле (7.5).

Если число степеней свободы величин х_iодинаково или достаточно велико (> 30), выражение (7.5) дает:

(7.7)

Это же соотношение получается при тех же условиях и из выражения (7.2).

7.2. Подход Уэлча–Сатертуэйта

В этом подходе дисперсию величины у (s²_у) рассчитывают по соотношению (7.2), не обращая внимания на различие в степенях свободы (ν_i) величин x_i. Для полученной дисперсии s²_у рассчитывают некое «эффективное» число степеней свободы v_eff(которое обычно является дробным), на основе которого затем по таблицам для заданной вероятности находят интерполяцией значения критерия Стьюдента. На основе его далее рассчитывают обычным путем доверительный интервал величины у (Δ_у):

(7.8)

В фармакопейном анализе для определяемой величины у обычно выполняется уравнение (7.4). В этом случае в подходе Уэлча–Сатертуэйта соотношение (7.2) переходит в выражение (7.7), и соотношение (7.8) принимает более простой вид:

(7.9)

Здесь величина s_y,r⁴ рассчитывается из соотношения (7.7).

Подход Уэлча–Сатертуэйта обычно дает более узкие доверительные ин­тервалы, чем линейная модель. Однако он гораздо сложнее в применении и не позволяет выделить так просто неопределенности разных этапов (с последующими рекомендациями по их минимизации), как линейная модель в форме выражения (7.6).

При прогнозе неопределенности анализа используются генеральные величины (с бесконечным числом степеней свободы). В этом случае подход Уэлча–Сатертуэйта совпадает с линейной моделью.