курс физики том 4. Курс физики ТОМ 4. Т. В. Стоянова, на. Тупицкая, Ю. И. Кузьмин курс физики том 4 квантовая механика. Физика твёрдого тела. Атомная и ядерная физика учебник санкт петербург 2014 удк 539. 1 530. 145(075. 8)

• Название: Т. В. Стоянова, на. Тупицкая, Ю. И. Кузьмин курс физики том 4 квантовая механика. Физика твёрдого тела. Атомная и ядерная физика учебник санкт петербург 2014 удк 539. 1 530. 145(075. 8)
• Анкор: курс физики том 4
• Дата: 22.04.2023
• Размер: 2.93 Mb.
• Имя файла: Курс физики ТОМ 4.pdf
• Тип: Учебник; #1081332
• страница: 2 из 18

1.3.2 Принцип суперпозиции в квантовой механике На квантовом уровне состояние системы задаётся суперпозицией всех состояний, усреднённых посредством некоторых комплексных множителей. Комплексные коэффициенты остаются постоянными для любой суперпозиции состояний. В микромире если некоторая квантовомеханическая система может находиться как в состоянии

, таки в состоянии
 
, то существуют состояния системы, описываемое функцией
 






С
С
, где
С
С


,
- произвольные комплексные числа. Совокупность собственных функций любой физической величины q образуют полную систему. Пси-функцию любого состояния можно разложить по собственным функциям этой величины где
n
C
- независящие от координат, в общем случае, комплексные числа. В квантовой механике интерес вызывает не столько знание каких-либо чисел, характеризующих систему, сколько их отношение. В суперпозиции двух состояний необходимо рассматривать два комплексных числа и квадраты их модулей, а вероятность этих состояний определяется просто отношением квадратов этих модулей. Квадраты модулей коэффициентов
n
C
дают вероятность того, что при измерениях, производимых над системой, находящейся в состоянии

, будут получены соответствующие собственные значения q. Так как сумма всех вероятностей должна быть равна 1, то выполняется условие нормировки
1 Зная вероятности различных значений величины q, можно найти среднее значение этой величины в состоянии

. q – собственные значения функции


n
n
n
n
q
q
C


2
1.3.3 Уравнение Шредингера. Квантование энергии Уравнение Шредингера - основное уравнение нерелятивистской квантовой механики. Уравнение Шредингера не выводится, а постулируется из оп- тико-механической аналогии, суть которой в том, что аналогичны уравнения, описывающие траектории частиц и ход световых лучей.
Вначале запишем уравнение Шредингера для свободной частицы (свободного электрона, для которого волновая функция (1.4) известна, а затем обобщим его на случай наличия внешнего потенциального поля. С этой целью функцию (1.4) разобьём сначала на два множителя е, (1.14) где функция е (1.15) представляет собой по существу амплитуду волновой функции

, которая зависит только от координат и не зависит от времени. Рассмотрим стационарный процесс - независящий от времени. Тогда в
(1.14) можно опустить временной множитель, оставив лишь волновую функцию, которая зависит только от координат. Требуется составить дифференциальное уравнение для волновой функции свободного электрона

. Эта функция и будет являться решением данного уравнения. Для этого определим вторые производные по координатам от функции (1.15) с учетом (1.6). Такие производные запишутся в виде
1
;
1
;
1 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 Складывая эти производные и учитывая, что
m
p
p
p
m
p
E
z
y
x
2 2
2 2
2 2




, (1.16) получим














E
m
z
y
x

2 2
2 2
2 2
2 2
. (1.17) где т – масса частицы,
2

=

- оператор Лапласа (














z
y
x
2 2
2 2
2 2
). Оператором называется правило, посредством которого одной функции сопоставляется другая. Тогда последнее равенство можно переписать так





E
m
2 2

. (1.18)

Дифференциальное уравнение (1.17) или (1.18) и является уравнением Шредингера для свободного электрона. Из уравнения (1.18) видно, что если применить оператор Лапласа к волновой функции

и умножить его на
m
2 2


, то получим кинетическую энергию Е. Поэтому оператор



m
E
2 2

(1.19) в квантовой механике называется оператором кинетической энергии. Обобщим теперь уравнение (1.18) на случай движения электрона в потенциальном поле внешних сил. Для этого заменим в его правой части кинетическую энергию Е через разность полной Е и потенциальной U энергий электрона
U
E
E



. (1.20) Тогда вместо (1.18) получим







'
2 2
E
U
m

. (1.21) Градиент функции U, взятый с обратным знаком, определяет силу, действующую на частицу. Уравнение (1.21) представляет собой уравнение Шредингера для случая движения электрона во внешнем поле, в котором его потенциальнаяэнергия равна U. Справа в уравнении (1.20) стоит полная энергия Е, поэтому оператор
U
m
H




2 по аналогии с (1.19), называют оператором полной энергии. Оператор координаты х или оператор любой функции зависящей только от координаты совпадает с самой координатой х (функцией. Действие оператора импульса р сводится к дифференцированию. Действие оператора полной энергии на волновую функцию дает энергию частицы Ер Как уже отмечалось выше, уравнение (1.21) справедливо для стационарных состояний электрона, так как волновая функция не содержит временного множителя. Если же перейти к полной волновой функции

, содержащей временной множитель см. (1.14) и (1.15)]:
t
E
i
e
t
z
y
x







)
,
,
,
(
, тек нестационарным процессам, то уравнение Шредингера с учетом (1.13) для этого случая запишется так
t
i
U
m












2 2
. (1.22)

При помощи уравнения (1.22) исследуются, например, переходы электрона из одного стационарного состояния в другое. Теперь рассмотрим более подробно уравнение Шредингера (1.21) для стационарных состояний частицы, например электрона. Уравнение (1.21) является дифференциальным уравнением второго порядка в частных произвожных и имеет конечные решения при определенных значениях параметров U и В частности, для многих физических задач уравнение (1.21) имеет такие решения при отдельных, те. дискретных значениях энергии E:
E=E
1
, E
2
, (1.23) Такие значения энергии называются собственными значениями оператора энергии, которым соответствуют собственные функции

=

1
,

2
,…. (1.24) Собственные функции (1.24) являются решениями уравнения (1.21) при значениях энергии, определяемых (1.23). Следовательно, влияние внешнего поляна движение электрона сводится к тому, что электрон может принимать нелюбые, а лишь определенные возможные значения энергии. Это означает, что в атоме, например, он может находиться лишь на определенных энергетических уровнях. Поэтому уравнение Шредингера позволяет строго определить возможные энергетические уровни электрона в атоме. Выше рассматривался случай, когда одному значению энергии соответствовало только одно значение волновой функции, те. одно состояние электрона. Однако чаще бывает так, что данному собственному значению энергии Е соответствует несколько собственных значений функции те.
1
n

,
2
n

,
3
n

,…. Но это означает, что при заданном значении энергии электрона он может находиться в различных состояниях, так как состояние электрона определяется функцией

. Такой энергетический уровень называется вырожденным, причем вводится также понятие о кратности вырождения. Если, например, данному значению энергии Е соответствует g значений (или g возможных состояний, то уровень будет вырожден с кратностью g. В частности, для электрона в атоме только первый уровень (состояние пи) будет невырожденным, а все остальные уровни будут вырожденными.
1.4 Простейшие кванто-механические задачи
1.4.1 Электрон в потенциальной яме
Найдём собственные значения энергии и соответствующие им собственные функции для частицы, находящейся в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме (рис. 1.2.). Пусть частица движется вдоль оси ха её движение ограничено непроницаемыми стенками с координатами 0 и

. Тогда потенциальная энер-
U=∞
0

хм гия U равна нулю при хи обращается в бесконечность при хи В рассматриваемом случае частица (электрон) не может находиться за пределами ямы. Учитывая, что вероятность нахождения частицы в данном месте пространства определяется волновой функцией, можно говорить о нулевых значениях волновой функции

(x) на границах области. Вероятность обнаружения частицы вне ямы равна нулю и значение волновой функции за пределами ямы равно нулю. Поэтому для волновой функции электрона в потенциальной яме будут справедливы следующие граничные условия
0
)
(
)
(
0






x
x
x
x

. (1.25) Так как волновая функция зависит только от координаты х, то стационарное уравнение Шредингера (1.21) примет вид
0
)
(
2 2
2 В областях хи х >

, х. В области х уравнение Шредингера имеет вид
0 2
2 2
2




E
m
dx
d

, так как U = 0. Кинетическая энергия определяется
m
k
m
p
E
2 2
2 Отсюда
E
m
k
2 2
2


, где k - волновое число для частицы, определяемое формулой

2 2mE
k

, (1.26) тогда это уравнение можно записать в виде
0 2
2 Это уравнение известно из теории колебаний и его решение имеет вид Ах. (1.27) Условия (1.25) выполняются при соответствующих значениях волнового числа k и начальной фазы
0

. Из условия получаем
0
)
0
sin(
)
0
(
0






k
А
Следовательно,
0

= 0. Из условия А следует, что
n
k




, (1.28), где n = 1, 2, 3. Если n = 0, то получается, что частица нигде не находится, поэтому этого не может быть. Исключив волновое число k из уравнений
(1.26) и (1.28), найдём собственные значения энергии частицы


n
k



,
2 2
2 2

n
k



,
E
m
2 2

2 Тогда энергия частицы в квантовой яме
2 2
2 2
2ml
n
E



(n = 1, 2, 3,….,), где

- ширина квантовой ямы, а n - квантовое число, определяющее квантовые уровни частицы. Целое число n, которое определяет значение энергии электрона (микрочастицы, и будет называться квантовым числом для этой задачи. На рис. 1.3 схематически показан спектр энергий в потенциальной яме для n = 1, 2, 3. Рассмотрим теперь разность уровней при больших значениях n:




ma
n
ma
n
n
E
E
E
n
n
2 1
2 2
)
1
(
2 2
2 2
2 2
2 Если же взять отношение
n
n
n
E
E
n
2 1
2 2




, то при больших значениях n оно будет стремиться к нулю. Отсюда следует вывод, что дискретность, те. раздельность энергетических уровней, сказывается лишь для малых значений квантового числа n. При больших же значениях дискретность уровней утрачивается, расчёты и выводы квантовой механики соответствуют классическим результатам. Подставив в (1.27) волновое число k, полученное из (1.28), найдём собственные значения волновой функции задачи Для нахождения А воспользуемся условием нормировки
1
sin
2 А 2
1 2
cos
2 1
2 1
)
2
cos
1
(
2 1
2 0
0 2
2 0
2
















А
dx
x
n
А
dx
А
dx
n
А
Тогда получим
1 2
1 А, Аи собственная нормированная волновая функция имеет вид


x
n
x
n



sin
2
)
(
,(n=1,2,3,…). (1.29) Зная значение квантового числа n, ширину квантовой ямы ℓ и значения границ интервала x
1,
x
2 можно найти величину средней координаты частицы.
n=3
n=2
n=1 Рис. 1.3 Квантование энергии
U
U=∞ ЕЕ Е 0
 Хм Среднее значение координаты частицы в некотором интервале квантовой ямы можно определить, решив уравнение




2 1
*
x
x
dx
x
х
Подставив (1.29) в это уравнение, получим
(*).
2
cos
1 1
)
2
cos
1
(
2 1
2
sin
2 2
1 2
1 2
1 2
1 2





















dx
x
x
n
xdx
dx
x
x
n
dx
x
x
n
х
x
x
x
x
x
x
x
x







Рассмотрим отдельно второй интеграл. Так как под знаком интеграла стоит произведение двух переменных, воспользуемся формулой
);
2
cos
2
(cos
4
)
2
sin
2
sin
(
2 1
)
2
sin
2
|
2
sin
2
(
1 2
sin
2
,
2
cos
2
cos
;
,
2
cos
1 1
2 2
2 1
1 2
2 2
1 2
1 2
1
x
n
x
n
n
nx
x
nx
x
n
dx
n
n
nx
n
x
x
n
n
dx
x
n
d
dx
x
n
dx
du
x
u
dx
x
x
n
x
x
x
x
x
x


































































).
2
cos
2
(cos
4
)
2
sin
2
sin
(
2 1
)
(
2 1
(*)
1 2
2 2
1 1
2 2
2 2
2 2
x
n
x
n
n
nx
x
nx
x
n
x
x
х



















Кроме того, волновую функцию можно представить графически. При
n = 1 волновая функция имеет вид и обращается в нуль при x = 0 или при x = ℓ. Волновая функция принимает максимальное значение посередине ямы

1
= A при x = ℓ/2. Это означает, что наиболее вероятное местонахождение электрона - посередине ямы, а плотность этой вероятности определяется квадратом модуля волновой функции При n = 2 волновая функция имеет вид

x
A



2
sin
2
, тогда

2
= 0 при
x = 0, ℓ/2, a и

2
=

A, когда x = ℓ/4 или x = 3ℓ/4. Наконец, при n = 3 волновая функция выглядит так

x
A



3
sin
3
, тогда

3
= 0 при x = 0, ℓ/3, 2ℓ/3 и ℓ. Функция принимает максимальное значение, те.

3
=

A при x = ℓ/6, 3ℓ/6, или 5ℓ/6. Эти координаты и есть наиболее вероятные местоположения электрона в данном случае.

На рис. 1.4. изображены графики соответствующих плотностей вероятностей состояния электрона для тех же значений квантового числа. Как видно из рис. б, в состояниях с n

2 внутри ямы существуют такие точки, вблизи которых вероятность обнаружить частицу равна нулю. В этом проявляется существенное отличие описания движения частицы по квантовой теории от описания по классической теории. Такое же отличие проявляется в представлении дискретного спектра возможных значений энергии.
Необходимо заметить, что самый низкий энергетический уровень будет при n = 1. Он называется основным. Остальные энергетические уровни будут возбужденными.
1.4.2 Прохождение микрочастицы сквозь потенциальный барьер Пусть имеется потенциальный барьер высотой U в виде прямоугольного уступа, показанный на рис. 1.5. Рассмотрим отдельно область 1 - слева от барьера и область 2 - справа от барьера. При этом полагаем, что частица массой m имеет энергию Е и движется к барьеру слева направо. Условие задачи можно сформулировать следующим образом
U = 0 при -∞ <x< 0 (область 1) (1.30)
U = х) при 0 х+ ∞ (область 2) Запишем отдельно для каждой из двух областей уравнение Шредингера, в виде волнового уравнения для одной координаты ха) б) Рис. 1.4. Графики а) собственных функций, б) плотности вероятностей
0
x
e
U(x)
U
U - E Область 2 Область 1 Рис. 1.5 0
x=ℓ
x
n=3
n=2
n=1
E
E
E
1
2
3 0
x=ℓ
x
E
E
E
1 2
3

2


для области 1 0
1 2
1 2
1 2




k
dx
d
; (1.31) для области 2 0
2 2
2 2
2 2




k
dx
d
, (1.32) где

mE
k
2 1

и 2
U
E
m
k


. (1.33) Общие решения уравнений (1.31) и (1.32) можно записать в комплексном виде через экспоненциальные функции область 1:
e
B
e
A
x
ik
x
ik
1 1
1 1
1




; (1.34) область 2:
e
B
e
A
x
ik
x
ik
2 2
2 2
2




. (1.35) Проанализируем эти решения. В решении (1.34) первое слагаемое представляет собой плоскую волну, бегущую в положительном направлении оси х т. e. слева направо или к барьеру. Другими словами, это будет падающая на барьер волна. Точно также легко видеть, что второе слагаемое в (1.34) определяет волну, распространяющуюся в противоположном направлении (вот- рицательном направлении оси х, т. e. волну, отраженную от потенциального барьера. Аналогично этому в решении (1.35) первое слагаемое определяет волну, бегущую в области 2 направо, т. e. волну, проходящую через потенциальный барьер. Из этих же соображений второе слагаемое в (1.35) должно соответствовать волне, бегущей в области 2 справа налево, те. как бы отраженную волну. Однако в области 2 волне нет, отчего отражаться и по смыслу такой волны не может быть. Поэтому в решении (1.35) из физических соображений необходимо положить коэффициент В 0 и брать его решение в виде
e
A
x
ik
2 2
2


. (1.36) Энергетические коэффициенты отражения R и пропускания прозрачности в случае заданного барьера можно оценить, учитывая, что интенсивность волны прямо пропорциональна квадрату её амплитуды. Тогда коэффициент отражения от потенциального барьера будет равен
A
B
R
1 2
1 2

. (1.37) Отношение квадратов модулей амплитуд отражённой и падающей волны определяет вероятность отражения частицы от потенциального барьера и называется коэффициентом отражения. Аналогично этому коэффициент прозрачности потенциального барьера запишется в виде
n
A
A
D
1 2
2 2

, (1.38) где


1 2

n
- коэффициент преломления волны в оптическом смысле, аи- длины волн в областях 2 и 1. Отношение квадратов модулей амплитуд проходящей и падающей волны определяет вероятность прохождения частицей сквозь потенциальный барьер и называется коэффициентом прозрачности. При этом в выражениях (1.37) ив силу комплексности функций

1
и

2 взяты квадраты модулей соответствующих амплитуд. Необходимо также оговориться, что по закону сохранения энергии должно выполняться соотношение) Коэффициент отражения от потенциального барьера R можно выразить из (1.34) и (1.35) с учётом непрерывности волновых функций и их первых производных

 

2 2
1 Тогда коэффициент прозрачности барьера D равен


2 2
1 2
1 По законам классической механики, если энергия частицы меньшей высоты барьера (E < U), то она не может пройти через потенциальный барьер. В квантовой механике существует вполне определенная вероятность проникновения частицы в глубину потенциального барьера наконечную глубину, те. коэффициент прозрачности D не будет равен нулю. Рассмотрим здесь случай высокого потенциального барьера (U > E). В этом случае волновое число для области 2 становится чисто мнимой величиной. В самом деле, из (133), при U > E имеем


)
(
2
)
(
2 2
E
U
m
i
U
E
m
k




(1.40) Волновая функция (1.36), с учётом (1.40) будет экспоненциально убывающей) Плотность вероятности нахождения частицы в области 2 определяется выражением 2
|
)
(
|
х

С учетом (1.41) для случая U > E коэффициент прозрачности D потенциального барьера толщиной d будет определяться выражением
e
D
d
E
U
m
)
(
2 2




. (1.42) Из выражения (1.42) видно, что коэффициент прозрачности барьера убывает с увеличением толщины барьера по экспоненциальному закону. Ниже (таблица 1.2) приведем расчетные значения коэффициента D в зависимости от изменения толщины барьера d: Таблица 1.2
d, Å
1 1,5 2
5
D
0,1 0,03 0,008 Из приведенных данных видно, что легче всего проницаем барьер толщиной в один ангстрем (1 Ǻ= 10
-10
м, те. когда толщина барьера соответствует атомным размерам.

Если барьер имеет произвольную форму, то его можно разбить наряд прямоугольных барьеров. Суммарное действие таких барьеров приводит к формуле
 












2 1
2 Пределы интегрирования определяются из условия U(x) = E. На основании изложенного, можно сделать вывод, что согласно квантовой механике через потенциальный барьер могут проникать даже те микрочастицы, энергия которых меньше высоты барьера. Частицы как бы просачиваются через барьер, проходят через него как через туннель. Это явление и получило название туннельного эффекта. Туннельный эффект объясняет автоэлектронную эмиссию, работу туннельного диода и другие явления. Вопросы для самоконтроля и проверки владения материалом
1. Расскажите о корпускулярно-волновом дуализме в микромире.
2. В чём заключается гипотеза де Бройля?
3. Как определяется длина волны де Бройля?
4. Какова связь между вероятностью dW нахождения частицы в элементе объема dV и амплитудой волны де Бройля?
5. Чему равен квадрат модуля волны де Бройля (волновой функции
6. Что называется условием нормировки
7. Какой физический смысл имеет волновая функция
8. Расскажите об основных свойствах волновой функции.
9. Чему равна групповая скорость волн де Бройля для свободного электрона. Какие физические величины и каким образом связывают соотношения неопределенностей Гейзенберга
11. В чём заключается принцип суперпозиции состояний. Расскажите об уравнении Шредингера.
13. Чем отличается уравнение Шредингера для свободной частицы и частицы в потенциальном поле
14. Что называется оператором Приведите примеры операторов в квантовой механике.
15. Как определяется кинетическая энергия в квантовой механике
16. Что определяет градиент функции U, взятый с обратным знаком
17. Напишите уравнение Шредингера для стационарных состояний электрона (частицы.
18. Какие волновые функции называются собственными
19. Какой энергетический уровень называется вырожденным
20. Как вы понимаете, что такое потенциальная яма
x
1
x
2
x
E Рис. 1.6

21. Какое значение принимает волновая функция на границах потенциальной ямы
22. Какие значения может принимать энергия частицы, находящейся в потенциальной яме
23. Отчего зависит значение потенциальной энергии частицы в потенциальной яме
24. Запишите собственную нормированную волновую функцию для частицы в плоской потенциальной яме (движение вдоль оси х. Как определить среднее значение координаты частицы в некотором интервале квантовой ямы
25. Чему равен коэффициент отражения от потенциального барьера
26. Чему равен коэффициент пропускания (прозрачности
27. Как связаны между собой коэффициент отражения и коэффициент пропускания
28. Чему равен коэффициент прозрачности D потенциального барьера толщиной d для случая высокого барьера
29. Как определить коэффициент прозрачности D, если барьер имеет произвольную форму
30. Какое явление называется туннельным эффектом Примеры решения задач
1. Найти длину волны де Бройля протона, движущегося со скоростью
100 км/с.
2. Масса движущегося электрона в три раза больше его массы покоя. Чему равна минимальная неопределенность координаты электрона Дано
m = 3m
0
m
0
= 9

10
-31 кг

= 1,05

10
-34
Дж∙с Решение Учитывая, что



m
p
, где m – масса,

– скорость частицы, получим из


x
m
x





. Поскольку неопределенность скорости

x
, как и сама скорость, не может превышать скорость света c в вакууме, то Найти Согласно условию
m = Подставляя, получим
c
m
x
0
min
3



= 1,28

10
-13
м. Ответ


min
x
1,28

10
-13
м. Дано
m = 1,67

10
-27 кг

= 10 5
мс
h = 6,626

10
-34
Дж∙с Решение Длина волны де Бройля определяется по формуле. Подставляя численные значения, получим λ=3,95

10
-12
м. Ответ λ = 3,95

10
-12
м. Найти λ

3. Волновая функция, описывающая состояние частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, имеет вид
ψ(x) = A∙sin(kx). Определите а) вид собственной волновой функции ψ
n
(x); б) коэффициент А, исходя из условия нормировки. Дано
ψ(x) = A∙sin(kx) Решение Схема такой ямы приведена на рис. 1.7. Так как стенки ямы бесконечно высоки, то за пределами потенциальной ямы частица оказаться не может и волновая функция равна нулю Найти
ψ
n
(x), Аи а) Внутри ямы волновая функция неравна нулю. В силу непрерывности волновой функции на границах должны выполняться соотношения
ψ(0) = ψ(L) = 0. Подставим выражение для волновой функции
ψ(L) = A∙sin(kL) = 0. Это возможно в том случае, если аргумент синуса kL = πn. Отсюда k = πn/L, и собственные волновые функции равны
ψ
n
(x) = A∙sin(πnx/L). б) Запишем условие нормировки
 
1 0
2



L
n
dx
x
. Подставляя собственные волновые функции, получим






L
L
A
dx
L
x
n
A
0 2
2 2
1 2
sin
. Отсюда Ответ ψ
n
(x) = A∙sin(πnx/L), Задачи для самостоятельного решения
1. При какой скорости электрона его де бройлевская длина волны будет равна а) 500 нм б) 0,1 нм
2. Кинетическая энергия протона в три раза меньше его энергии покоя. Чему равна де бройлевская длина волны протона
3. Вычислить длину волны де Бройдя электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов 511 кВ.
4. Среднее расстояние электрона от ядра в невозбужденном атоме водорода равно 52,9 пм. Вычислить минимальную неопределенность скорости электрона.
5. Чему равна минимальная неопределенность координаты фотона, соответствующего видимому излучению с длиной волны 0,55 мкм.
6. Среднее время жизни эта-мезона составляет 2,4

10
-19
с, а его энергия покоя равна 549 МэВ. Вычислить минимальную неопределенность массы частицы.
E
0
U→∞
L
x Рис. 1.7

8. Атом водорода находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме шириной 0,1 нм. Вычислить разность энергий соседних уровней, соответствующих средней энергии теплового движения атома при температуре К.
7. Известно, что нормированная собственная волновая функция, описывающая состояние электрона в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, имеет вид
 


L
nx
L
x
n



sin
2
, где
L – ширина ямы. Определите среднее значение координаты х электрона.
9. Частица находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме шириной L на втором энергетическом уровне. Определить вероятность обнаружения частицы в пределах от 0 до L/3.
10. Поток электронов, каждый из которых имеет энергию Е = 100 эВ, падает на барьер бесконечной ширины, высотой U
0
< E. Определите высоту потенциального барьера U
0
, если известно, что 4% падающих на барьер электронов отражаются. Выводы В квантовой физике в отличие от классических представлений элементарные частицы обладает как корпускулярными, таки волновыми свойствами. Имеет место корпускулярно - волновой дуализм. Гипотеза Луи де Бройля о волновых свойствах электрона, высказанная им в 1925 году была блестяще подтверждена опытами Девиссона и Джермера в 1927 году при исследовании отражения электронов от монокристалла калия. В квантовой механике состояние частицы определяется комплексной волновой функцией
)
,
,
,
(
t
z
y
x

, которая является решением уравнения Шредингера. Причем квадрат модуля волновой функции
2

равен плотности вероятности нахождения частицы в данной точке пространства. Волновая функция удовлетворяет условию нормировки вероятностей. В квантовой механике, справедливой для микромира, такое понятие как траектория неприменимо. Поэтому координату и импульс частицы одновременно нельзя определить сколь угодно точно. Точность одновременного определения координаты и сопряженного с ней импульса
x
p

ограничена соотношением неопределенностей Гейзенберга На квантовом уровне состояние системы задается суперпозицией всех состояний усредненных посредством некоторых комплексных множителей
n
C
. При этом пси- функцию любого состояния можно разложить по собственным функциям общего решения уравнения Шредингера Решения уравнения Шредингера существуют, в частности, для дискретных значений полной энергии частицы
n
E
E
E
E
,.....
,
2 1

, которые носят название собственных значений энергии, а им соответствуют собственные функции
n





,........
2
,
1

Отличие квантовой частицы от классической наглядно демонстрирует явление прохождения квантовой частицы через потенциальный барьер, так называемый туннельный эффект.