курс физики том 4. Курс физики ТОМ 4. Т. В. Стоянова, на. Тупицкая, Ю. И. Кузьмин курс физики том 4 квантовая механика. Физика твёрдого тела. Атомная и ядерная физика учебник санкт петербург 2014 удк 539. 1 530. 145(075. 8)
 Скачать 2.93 Mb.
|
|
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования НАЦИОНАЛЬНЫЙ МИНЕРАЛЬНО-СЫРЬЕВОЙ УНИВЕРСИТЕТ ГОРНЫЙ Т.В. СТОЯНОВА, НА. ТУПИЦКАЯ, Ю.И. КУЗЬМИН КУРС ФИЗИКИ ТОМ 4 КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА. ФИЗИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА. АТОМНАЯ И ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА Учебник САНКТ – ПЕТЕРБУРГ 2014 УДК 539.1/2.+530.145(075.8) ББК 22.314+22.37/38 С Авторы Т.В. Стоянова, НА. Тупицкая, Ю.И. Кузьмин Учебник разработан в соответствии с требованиями государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования. В учебнике изложены основные вопросы квантовой механики, физики твердого тела, атомной и ядерной физики, являющиеся составными частями дисциплины Физика. Учебник предназначен для студентов всех специальностей и направлений подготовки бакалавров, изучающих дисциплину Физика. Дополнительные темы в учебнике предназначены для более глубокого изучения перечисленных разделов физики и для всех студентов и аспирантов, интересующихся проблемами современной физики. Научный редактор Стоянова Т.В. Рецензенты: доцент кафедры технологии строительных материалов и метрологии Санкт- Петербургского государственного архитектурно-строительного университета, кандидат физмат. наук Д.Г. Летенко; кафедра физической электроники РГПУ им. АИ. Герцена, доктор физмат. наук, профессор С.Д. Ханин С829 Курс физики. Том 4. Квантовая механика. Физика твёрдого тела. Атомная и ядерная физика Учебник / Т.В. Стоянова, НА. Тупицкая, Ю.И. Кузьмин; Национальный минерально-сырьевой университет Горный. СПб, 2014. 174 с. УДК 539.1/2.+530.145(075.8) ББК 22.314+22.37/38 ISBN Национальный минерально-сырьевой университет Горный, 2014 ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящий учебник предназначен для студентов всех специальностей Национального минерально-сырьевого университета Горный, изучающих курс общей физики, но может быть также использован для обучения студентов других ВУЗов. Учебник состоит из шести основных глав и одной дополнительной, в которой дано более углубленное и расширенное освещение вопросов, изучаемых данной дисциплиной. В разделе Связь фундаментального образования с современными методами исследования представлены методики исследований, которые имеются в наличии на кафедре общей и технической физики. Авторы стремились в лаконичной и доступной форме выделить узловые моменты различных разделов квантовой механики, физики твердого тела, физики атомного ядра и элементарных частиц. ВВЕДЕНИЕ Закономерности физических процессов в макромире и микромире существенно различаются. Вначале века изучение законов теплового излучения, внешнего фотоэффекта и эффекта Комптона привело к пониманию что обычная, классическая механика неприменима к микрообъектам, в том числе и к атому, а также к микрочастицам, из которых атом состоит. Это привело к созданию квантовой механики, а к середине века – к формулировке релятивистской теории элементарных частиц, основанной на квантовой теории поля, образующей фундамент всех физических воззрений на природу микрочастиц, их строение, свойства, взаимодействия и взаимные превращения. Поскольку же свойства макроскопических тел обусловлены движением и взаимодействием их микрочастиц, квантовые законы позволяют объяснить большинство явлений макромира, такие как стабильность атомов, линейчатые спектры, химические силы, вид спектра абсолютно черного тела, квантовые переходы между уровнями молекул (лазеры, сверхпроводимость и сверхтекучесть, ферромагнетизм и т.д. Успехи квантовой физики сыграли важнейшую роль в научно- технической революции. Полупроводниковая электроника, квантовая электроника, ядерная энергетика, даже возможность осуществления в земных условиях реакции термоядерного синтеза связаны в конечном итоге с квантовыми законами. Дальнейшее развитие квантовой физики и ее новые открытия приблизят нас к пониманию окружающего нас мира, построению единой физической картины мира, контуры которой вырисовываются все отчетливее. В данном учебнике рассматриваются основные элементы квантовой механики и квантовой статистики, физики твёрдого тела, атомной и ядерной физики в объеме, необходимом для изучения курса физики. Каждая глава заканчивается вопросами для самоконтроля и проверки владения материалом, примерами решения задача также списком задач для самостоятельного решения и выводами. Седьмая глава содержит темы, дополняющие основные главы. В ней рассмотрены вопросы повышенной трудности, такие как метод возмущений в квантовой механике, трехмерная задача для электрона в потенциальном ящике, гармонический осциллятора также вопросы, имеющие прикладной характер. В отдельном разделе исследована связь фундаментального образования с современными методами исследований КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 1.1 Волны де Бройля. Волновые свойства микрочастиц При исследовании теплового излучения абсолютно черного тела и явления фотоэффекта было установлено, что испускание и поглощение излучения происходит отдельными порциями (квантами, причем энергия кванта излучения равна Е=h или в другой записи Е, (1.1) где - угловая частота соответствующего электромагнитного излучения постоянная Планка с Дж h 34 10 625 , 6 , а ħ = h/2 - модифицированная постоянная Планка ( с Дж 34 10 05 , 1 ). Квант электромагнитного излучения, или фотон как частица (корпускула) особого рода, не имеющая массы покоя, обладает энергией (1.1) и импульсом Е. (1.2) Кроме того, исходя из общего соотношения между массой и энергией Е, фотону можно также приписать некоторую величину, по размерности совпадающую с массой (не следует, смешивать это понятие с понятием массы в классической механике c с Е m ф 2 2 , (1.3) где с - скорость света в вакууме. Итак, было установлено, что свет (излучение) обладает как волновыми, таки корпускулярными свойствами. Впервые гипотезу о волновых свойствах электрона высказал в 1925 г. французский физик Луи де Бройль 1 . Основная мысль де Бройля сводилась к тому, что можно применить квантовую теорию света для описания волновых свойств движущихся элементарных частиц. При этом он предположил, что движущийся свободный электрон, имеющий импульс и кинетическую энергию Е, описывается такой же функцией, что и плоская волна ) , ( 0 r p t E i e , (1.4) где скалярное произведение r , p равно 1 LouisdeBroglie (1892-1987) - выдающийся французский физик, лауреат Нобелевской премии (1929 га- постоянная амплитуда. По аналогии с квантовой теорией света де Бройль предположил, что соотношения) и (1.2), определяющие энергию и импульс фотона, справедливы и для волны, сопоставляемой свободному электрону, те. частота такой волны и волновое число k определяются формулами E ; (1.6) p k 2 . (1.7) Отсюда с учетом (1.6) и (1.7) выражение для обычной плоской электромагнитной волны )) , ( ( 0 r k t i e , принимает вид (1.4), те. получаем плоскую волну, названную позже волной де Бройля. В более простом случае движения свободного электрона вдоль оси Ох соответствующая (1.4) волновая функция будет иметь вид х x E . (1.8) В 1927 г. гипотеза де Бройля была подтверждена опытами по дифракции электронов, а еще позже на опыте были установлены волновые свойства и других элементарных частиц. Поэтому можно сказать, что электрону, движущемуся со скоростью , при условии, что сбудет соответствовать длина волны р m h h , (1.9) называемая длиной волны де Бройля. Распространение волн де Бройля не связано с распространением в пространстве электромагнитного поля. Волны де Бройля имеют специфическую квантовую природу, не имеющую аналогов в классической физике. Движущаяся частица обладает кинетической энергией 2 Так как модуль импульса равен m p , то можно записать выражение кинетической энергии через модуль импульса m p m m E 2 2 2 2 2 , а модуль импульса выразить через кинетическую энергию Тогда соотношение (1.9) можно представить в виде mЕ h 2 Для электрона, ускоренного электрическим полем с разностью потенциалов (или ), кинетическая энергия может быть выражена через разность потенциалов и заряде, где е – заряд электрона. ) ( 225 , 1 2 нм U U e m h В 1927 году Дэвиссон и Джермер подтвердили экспериментально гипотезу де Бройля, исследуя отражение электронов от монокристалла никеля, принадлежащего кубической системе. Кристалл был сошлифован перпендикулярно диагонали кристаллической ячейки (рис. Пучок электронов падал на сошлифованную грань. Изменялись интенсивность электронного пучка и угол . На пути отражённого электронного пучка был расположен цилиндрический электрод (D). Интенсивность отражённого пучка оценивалась по силе тока, текущего через гальванометр. Рассеяние оказалось особенно интенсивным при опреде- лённом угле , который соответствовал отражению от атомных плоскостей. Сила тока оказалась значительной при напряжении 54 В. Брэгговская длина волны была вычислена по формуле k d sin 2 , где d - расстояние между атомными плоскостями и получилась равной 1,65∙10 -10 м. Вычисления по формуле (1.9) дали длину волны 1,67∙10 -10 м. Это послужило экспериментальным доказательством гипотезы де Бройля. Аналогично тому, как согласуются между собой квантовая и волновая теории света, согласуются корпускулярные и волновые свойства элементарных частиц, в частности электронов. Пусть число электронов (или других частиц, попавших в данный элемент объёма dV, пропорционально квадрату амплитуды волны де Бройля и величине элемента объема, те. число электронов приблизительно равно dV 2 0 . Тогда вероятность dW того, что частица находится в данном элементе объема dV, пропорциональна квадрату амплитуды волны де Бройля, или квадрату модуля этой волны, те dV dV dW 2 . (1.10) где - функция, комплексно сопряжённая с самой волновой функцией. Из этого равенства следует, что квадрат модуля волны де Бройля (волновой функции) равен плотности вероятности нахождения свободной частицы в 2 (111) - кристаллографические индексы Рис. 1.1 данной точке пространства. Такое толкование волновой функции справедливо не только для свободного электрона, но и для связанного электрона. Волновая функция удовлетворяет условию нормировки вероятностей V dV 1 Это означает, что пребывание частицы где-либо в пространстве, есть достоверное событие и вероятность этого события равна 1. Следовательно, физический смысл волновой функции состоит в том, что квадрат ее модуля есть плотность вероятности обнаружить частицу (электрон) в данной точке пространства, причем сама волновая функция является комплексной величиной. Волновые свойства электрона сточки зрения квантовой теории движение электронов можно рассматривать как электронные волны, определяемые волновыми функциями . Хотя сама волновая функция, вообще говоря, не имеет особого физического смысла, однако для свободного электрона существует определенная и весьма наглядная связь движения волны сдвижением самого электрона. В самом деле, если рассматривать нестрого монохроматическую волну с определенными величинами и k 2 , а почти монохроматическую волну или группу волн (пакет, то dk k e k t x kx t i Δk 0 k ) ( ) , ( 0 0 , где k o — есть волновое число, соответствующее середине группы. Известно, что групповая скорость гр или скорость группы волн v определяется формулой dk d u гр v С другой стороны, для свободного электрона из (1.6) и (1.7) имеем m k m p E 2 2 2 Тогда на основании последнего выражения скорость группы волн, или скорость пакета, будет равна v m k m k dk d u 2 2 , где v – есть модуль мгновенной скорости свободного электрона. Таким образом, для простейшего случая свободного электрона можно заключить, что групповая скорость волн де Бройля равна скорости движения электрона (частицы. В этом смысле можно сказать, что волновая функция для свободного электрона или волна де Бройля имеет наглядное физическое истолкование. Поэтому с известным приближением движение свободного электрона можно рассматривать как движение группы (пакета) волн де Бройля. В отличие от электромагнитных волн для волн де Бройля существует дисперсия даже для частицы в вакууме. Связь между корпускулярными и волновыми свойствами частиц, обладающих массой покоя m, отражена в таблице 1.1. Таблица 1.1 Корпускулярные свойства частиц Волновые свойства частиц Модуль скорости, Длина волны де Бройля: p p h m h / 2 / ) /( Модуль импульса, р Частота волны де Бройля: Энергия свободной частицы Фазовая скорость волн де Бройля: 2 / / / p E k фаз Групповая скорость волн де Бройля: m p m p dp d dp dE dk d u 2 2 1.2 Принцип неопределенности Гейзенберга В классической механике, справедливой для макроскопических объемов, считается, что координата и импульс (скорость) тела могут быть определены одновременно и с любой точностью. Такой вывод связан стем, что в классической механике частица считается движущейся по траектории, на которой в каждый момент времени она должна иметь вполне определенную координату и импульс. В квантовой же механике, справедливой для микромира, дело обстоит иначе, и такое классическое понятие, как траектория, здесь неприменимо. В квантовой механике координату и импульс одновременно нельзя определить сколь угодно точно. Чем точнее задается координата, тем менее точно определяется импульс, и, наоборот, при более точно заданном значении импульса будет уменьшаться точность в определении координаты. Это следует из того, что волновая функция, определяющая волновые свойства микрочастиц, имеет вероятностный смысл. Рассмотрим, например, электрон, движущийся вдоль оси х. Неточность в определении координаты обозначим через ха неточность в определении импульса через p x . В квантовой механике выводится соотношение, согласно которому произведение этих неточностей не может быть меньше постоянной Планка 2 / x p x . или x p x (1.11) Выражение (1.11) впервые было введено Гейзенбергом и получило название соотношения неопределенностей. Это выражение следует понимать так, что одновременно координату и импульс микрочастицы можно определить с точностью, не превышающей величины постоянной Планка. Приведем примерна применение соотношения (1.11) для случая движения электрона в периодическом потенциальном поле кристаллического полупроводника. Если через a обозначить постоянную решетки кристалла, то можно допустить, что неточность в определении координаты ( x) электрона будет порядка ат. е. x=a. Тогда на основании (1.11) получим, что неточность в определении мгновенной скорости электрона будет не меньшей, чем a m x p x x , или Подставив сюда значение постоянной решетки а м, массу электрона m= 9,11·10 -31 кг и с Дж 34 10 05 , 1 , получим см 10 10 11 , 9 10 05 , 1 7 9 31 С другой стороны известно, что при обычных температурах скорость теплового движения электрона по порядку величины равна 10 6 мс. Отсюда следует, что неточность в определении мгновенной скорости электрона оказывается больше самой величины скорости. Следовательно, для полупроводника определение мгновенной скорости теряет смысли очевидно, что можно говорить лишь о средней скорости электрона. Принцип неопределённости Гейзенберга справедлив также и для энергии и времени Е или Е, где Е - неопределённость значения энергии, t - неопределённость времени жизни квантовой системы в данном энергетическом состоянии. 1.3 Основное уравнение квантовой механики - уравнение Шредингера 1.3.1 Свойства волновой функции Волновая функция движущейся элементарной частицы (например, электрона) позволяет определить все характеристики ее движения координату, импульс и энергию. Пусть, например, волновая функция для свободного электрона задана выражением (1.4), причем скалярное произведение определяется выражением (1.5). Если электрон движется вдоль оси х, то его координата, импульс и энергия определяются по производным E i t p i x x i p x x ; ; (1.12) или х. (1.13) Возникает вопрос о том, как же определяется сама волновая функция для элементарной частицы, в данном случае, для электрона. Волновая функция является решением уравнения Шредингера, представляющего собой дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных. Основные свойства волновой функции 1. Функция конечна (вероятность не может быть больше 1); однозначна вероятность не может быть неоднозначной величиной непрерывна (вероятность не может изменяться скачком 2. Производные х должны быть непрерывны 3. Функция 2 | | должна быть интегрируема, те. интеграл должен быть конечным. |