курс физики том 4. Курс физики ТОМ 4. Т. В. Стоянова, на. Тупицкая, Ю. И. Кузьмин курс физики том 4 квантовая механика. Физика твёрдого тела. Атомная и ядерная физика учебник санкт петербург 2014 удк 539. 1 530. 145(075. 8)

• Название: Т. В. Стоянова, на. Тупицкая, Ю. И. Кузьмин курс физики том 4 квантовая механика. Физика твёрдого тела. Атомная и ядерная физика учебник санкт петербург 2014 удк 539. 1 530. 145(075. 8)
• Анкор: курс физики том 4
• Дата: 22.04.2023
• Размер: 2.93 Mb.
• Имя файла: Курс физики ТОМ 4.pdf
• Тип: Учебник; #1081332
• страница: 5 из 18

3 КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА
3.1 Квантово-статистические распределения Бозе-Эйнштейна и Ферми-
Дирака Подсистемой понимается совокупность большого количества тел или частиц. Рассмотрим поведение большого количества микрочастиц, те. системы. Макроскопические свойства таких систем и макроскопические процессы, протекающие в них, разумеется, будут зависеть от поведения элементов системы, те. от микроскопических процессов, происходящих с частицами. Основной задачей квантовой статистики является нахождение закона распределения частиц по координатам, импульсам, энергиями другим параметрам, а также отыскание их средних значений, характеризующих макроскопическое состояние всей системы частиц. Для описания состояния системы вводится понятие фазового пространства. В классической статистике и классической механике, движение частицы однозначно определено, если заданы три ее координаты и три составляющих импульса. Поэтому элемент объема такого фазового пространства, с учетом соотношения Гейзенберга, не может быть сколь угодно малым. Удовлетворяя соотношению неопределенностей, мы можем разбить фазовое пространство на такие элементарные ячейки, которые по размеру будут не меньше, чем
3

:
3








z
y
x
р
р
р
z
y
x
Рассмотрим, каково же наиболее вероятное распределение всех частиц по таким ячейкам. При этом главным фактором является количество частиц в ячейке. Для неразличимых частиц состояние не изменяется, если переставить частицы как внутри данной ячейки, таки между ячейками. Для частиц с полуцелым спином необходимо учитывать принцип Паули. Он приводит кто- му, что в 1 ячейке могут быть лишь 2 частицы с противоположными спинами и можно считать, что на 1 частицу приходится половина объёма фазовой ячейки. Частицы с нулевым или целым спином описываются симметричными, ас полуцелым – несимметричными волновыми функциями. В общем случае, различные ячейки могут соответствовать одинаковым энергиям. Пусть энергии Е соответствует
i
q
ячеек. Если
i
n
число частиц с энергией Е, то полная энергия системы Е и полное число частиц
n
удовлетворяют условиям
n
n
i
i


;
Е
n
Е
i
i
i


Для частиц с полуцелым спином число различных перестановок из пустой ячейки (0) и занятой (1) равно !
i
q
(
i
q
- число ячеек с энергией Е) Число перестановок всех единиц будет
!
i
n
. Число перестановок всех 0 будет (
i
q
-
i
n
)! Тогда, число различных способов размещения для энергии Е будет определяться
)!
(
!
!
i
i
i
i
i
n
q
n
q
a


. Вероятность данного макросостояния определяет число способов размещения частиц по микросостояниям и равна

)!
(
!
!
i
i
i
i
i
i
i
n
q
n
q
П
a
П
Р



. (3.1) Состоянию термодинамического равновесия соответствует максимум функции (3.1). При достаточно большом числе частиц максимум острый, те. сколько-нибудь значительные отклонения системы от этого равновесного состояния весьма маловероятны – возможны лишь малые отклонения около равновесного состояния. Если найти максимум вероятности Р, взяв производную от функции (3.1) и приравняв её к нулю, то получим распределение
Ферми-Дирака: Е. (3.2) Частицы с полуцелым спином согласно статистике Ферми-Дирака, могут находиться в квантовых состояниях только поодиночке и называются фермионами. Среднее число частиц в состоянии с энергией Е определяется функцией заполнения ячеек Е. (3.3) Аналогично для частиц с нулевым или целочисленным спином число различных способов размещения
i
n
частиц по
i
q
ячейкам имеет вид Тогда, термодинамическая вероятность будет определяться
)!
-
(
!
)!
1
-
(
i
i
i
i
i
i
n
q
n
n
q
П
Р


Так как число ячеек
i
q
>> 1, то формула вероятности упростится ПР. (3.4) Исследуя функцию (3.4) на максимум, получим распределение Бозе-
Эйнштейна:
1
-
)]
-
(
exp[



i
i
i
Е
q
n
Частицы с нулевым или целым спином, согласно статистике Бозе-
Эйнштейна, могут находиться в пределах данной системы в одинаковом состоянии в неограниченном количестве и называются бозонами. Среднее число частиц с нулевым или целочисленным спином в состоянии с энергией Е определяется функцией заполнения ячеек Е. (3.5)

где
kT
1


, а

- это химический потенциал, который показывает изменение энергии системы
dU
, при постоянном объёме V и энтропии S, при условии изменения числа частиц dn на единицу Так как среднее число частиц в данном квантовом состоянии не может быть отрицательным, то для бозонов
0
≤

. У фермионов химический потенциал может быть больше нуля. В макроскопической системе уровни энергии Е квазинепрерывны, поэтому индекс
i
можно опустить и тогда функции заполнения ячеек можно записать в единой формуле
1
)]
/(
)
- exp[(
1



kT
Е
f
Для Ферми газа
1 Для
Бозе-газа Если
1
)]
/(
)
- Е, то оба распределения переходят в распределение Мак- свелла-Больцмана:
))
/(
- exp(
)]
/(
exp[
kT
Е
kT
f
i


т.е. при высоких температурах оба газа ведут себя подобно классическому газу. Величина А называется параметром вырождения. При параметре вырождения А << 1 распределения Бозе-Эйнштейна и Ферми-
Дирака переходят в классическое распределение Максвелла-Больцмана. Температура, при которой квантовые эффекты становятся существенными, называется температурой вырождения. Грубо оценить температуру вырождения можно по формуле
)
3
/(
3 2
0 в. (3.6) В строгой формуле вместо коэффициента 1/3 стоят коэффициенты различные для бозонов и фермионов. В вырожденном газе происходит взаимное квантовомеханическое влияние частиц газа, обусловленное неразличимостью тождественных частиц. Поведение фермионов и бозонов различно при вырождении. Однако различные коэффициенты в формуле (3.6) для бозонов и фермионов не влияют на порядок значения температуры вырождения.
3.2 Понятие об электронном, фононном и фотонном газе На ранних этапах исследования поведения микросистем делались попытки применить для электронов статистическое распределение Максвелла-
Больцмана, которое первоначально применялось для молекул. Однако, как было показано позже, для электронов в общем случае справедливой является квантовая статистика Ферми-Дирака. Металл представляет собой две подсистемы – кристаллическую решетку из ионизированных атомов и коллектив почти свободных электронов. Свободные электроны в металлах ведут себя аналогично молекулам идеального

газа. Металлический образец представляет собой для электронов трёхмерную потенциальную яму. Решение уравнения Шредингера для электронов в квантовой яме, указывает на то, что энергия частицы может иметь только дискретные (квантовые) значения. Так как электроны являются фермионами спин равен
2 1

), то, следовательно, обладают одной и той же энергией в двух состояниях, отличающихся ориентацией спина. Для Фермионов квантовое состояние может быть либо заселено (1), либо пусто (0). Поэтому на графике зависимости функции заполнения
f
ячеек от энергии Е наблюдается ступенька рис. 3.1.). На рис. 3.1. представлены гра- графики функции Ферми f для случаев Т = 0 и Т > 0. Из этих графиков видно, что при Т = 0 вероятность заполнения электроном уровня с энергией Е < равна, те. Наоборот, f = 0, если Е >

. Если же Т > 0, то f

0 при Е >

, и имеет конечное значение. Разумеется, что если функция Ферми f определяет вероятность заполнения энергетического уровня электроном, то вероятность того, что уровень будет пустой, равна (1 - f). При Е =

, квантовые состояния с более низкой энергией заняты, ас более высокой – пусты. Таким образом,

- это максимальная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны в металле. Среднее число электронов, находящихся на уровне энергии Е, определяется выражением
1
]
/
)
- exp[(
2


kT
Е
Е
n
F
i
i
где Е - энергия Ферми. Как видно из рис. 3.1, вероятность заселения уровня (состояния) с энергией Е =

равна ½ при любой температуре. Этот уровень называется уровнем Ферми, а соответствующая ему энергия - энергией Ферми
 
m
n
E
F
2 3
)
0
(
2 3
2 где n - концентрация электронов. Для металла Е (0) = 5 эВ. При абсолютном нуле уровень Ферми Е совпадает с верхним заполненным электронами энергетическим уровнем. Среднее число заполнений равно
i
n
=2 если ЕЕ если ЕЕ. Рис. 3.1
kT
T>0
Ю
ю Е

Независимо от температуры, при ЕЕ, среднее число заполнений
i
n
равно единице. Средняя энергия свободных электронов при абсолютном нуле равна
)
0
(
5 3
F
Е
Е

Величину Е, где k постоянная Больцмана, называют температурой Ферми. Для металла температура Ферми равна около 60000 К. Так как температура Ферми для металла высока, то даже при температуре плавления, электронный газ в металлах остаётся вырожденным. В полупроводниках уровень Ферми мал, поэтому уже при комнатной температуре электронный газ во многих полупроводниках является невырожденными подчиняется классической статистике. Если Т << T
F
, то есть Е, электронный газ называется вырожденным, если Т >> T
F
, то есть Е, электронный газ называется невырожденным. Распределение свободных электронов по энергиям в металле определяется не только вероятностью заполнения уровней f, но и числом состояний, приходящихся на единичный интервал энергии в единице объёма, теплот- ностью состояний N(E): где
)
(E
dn
- число электронов, приходящихся на энергетический интервал от Е до Е,


E
m
E
N
n
2 3
2 При Т ≠ 0 К 
1
exp
2 2
1 2
3 2
2






 Вблизи Т = 0 К 3
2 2
2 Общую концентрацию электронов в металле можно найти путем интегрирования по всем заполненным состояниям
2 3
2 3
2 0
2 Зависимость уровня Ферми от температуры для металла определяется формулой


















2 2
)
0
(
12 Однако, температурный сдвиг уровня Ферми для металлов очень мал при Т = 300 К отличие от Т = 0 К составляет лишь 0,002%), поэтому можно считать, что положение уровня Ферми в металлах с температурой не изменяется.

Рассмотрим, как ведёт себя электронный газ при нагревании. При повышении температуры электроны должны увеличить свою энергию на kT, что соответствует переходу в состояния с более высокой энергией. Так как состояния ниже уровня Ферми заняты, то основная часть электронов не может изменить свою энергию и лишь их малое количество с энергиями вблизи энергии Ферми может перейти на вышележащие уровни энергии. Эта часть составляет примерно 2kT/E
F
. Поэтому энергия электронов единицы объема должна быть порядка
F
F
эл
E
nT
k
n
E
kT
kT
U
2 2
3 2
2 3
≈

. (3.7) Теплоемкость тела - это скалярная физическая величина, характеризующая изменение тепловой энергии U тела, при изменении температуры тела на один градус. Теплоемкость металла равна сумме теплоемкостей электронной
эл
С
и решеточной (фононной) подсистем
ф
С . Из формулы (3.7) следует, что теплоёмкость электронного газа равна
F
F
эл
E
nT
k
n
E
kT
k
С
2 3
2 2
3
≈

, где n – концентрация свободных электронов в металле. Для одного моля электронов n = N
A
и
F
эл
E
kT
R
C
3
≈
Более аккуратный расчет дает вместо коэффициента 3 величину π
2
/2:
F
эл
E
kT
R
C
2 Поскольку энергия Ферми E
F
в металлах практически не зависит от температуры, концентрация свободных электронов n также изменяется слабо, то электронная теплоемкость металла оказывается прямо пропорциональной температуре C
эл

T. Так как функция распределения Ферми-Дирака заметно изменяется лишь вблизи
F
E
, тов процессе нагревания металла участвуют лишь небольшая часть всех электронов проводимости, основная масса электронов, раз- мещённых на более глубоких уровнях, останется в прежних состояниях и не поглощает энергию. Этим определяется малая теплоёмкость электронного газа в металлах и отсутствие заметной разницы между теплоёмкостями металлов и диэлектриков, что не могло быть объяснено классической теорией. Помимо электронного газа в металлах в квантовой статистике вводится понятие фононного газа. Фонон не может возникнуть в вакууме – для своего возникновения и существования фонон нуждается в некоторой среде. Фонон представляет собой возбуждённое состояние, распределённое по всему кристаллу, то есть является квазичастицей. Многие процессы в кристаллах (рассеяние рентгеновских лучей или нейтронов) протекают так, как если бы фонон обладал импульсом р, где k

- волновой вектор. Модуль импульса определяется р, где k - волновое число, соответствующее нормальному колебанию,

- скорость упругих волн в кристалле. Особое свойство импульса фонона – при взаимодействии фононов друг с другом их импульс может дискретными порциями передаваться кристаллической решётке и, следовательно, не сохраняется. Поэтому импульс фонона является квазиимпульсом. Фонон также является бозоном. Рассмотрим возникновение фононов на примере кристалла. При конечной температуре частицы, находящиеся в узлах кристаллической решетки, участвуя в тепловом движении, колеблются около положений равновесия. Амплитуда этих колебаний для большинства кристаллов обычно не превышает нм, что составляет около 5% равновесного расстояния между соседними частицами. Характер этого колебания весьма сложен, ибо каждый колеблющийся атом связан со всеми своими соседями. В трехмерной кристаллической решетке возможны многие виды колебаний с различными частотами. Если рассматривать индивидуальные частицы, то отыскание законов движения огромного числа атомов является безнадежной задачей. Однако такую совокупность колеблющихся частиц удается свести к коллективной модели, те. представить колебания решетки в виде совокупности невзаимодействующих плоских волн. Каждой волне, следуя идеям де Бройля, можно сопоставить частицу. В случае колебаний атомов в твердом теле эти частицы называются фононами. Сточки зрения колебательной энергии кристалла, твердое тело в этом случае представляет собой газ фононов, так как именно в газе энергия системы равна сумме энергий отдельных частиц. В единице объема кристалла имеется конечное число частиц N. Это означает, что всего может быть 3N различных типов колебаний (которые называются модами колебаний) или 3N фононов, распространяющихся со скоростью звука.
Возникновение колебаний эквивалентно рождению фонона, а прекращение колебаний – уничтожению фонона. При повышении температуры твёрдого тела возрастает частота колебаний кристаллической решетки. Существует максимальная частота колебаний кристаллической решетки ω
m
, которая носит название частоты Дебая. Максимальная частота колебаний атомов в упругой среде определяется
3 2
6
n
m




, n – число атомов в единице объёма,

- скорость упругих волн. Максимальной частоте колебаний можно сопоставить температуру Дебая

:
k
m




, где k – постоянная Больцмана. Так для меди температура Дебая -

Cu
= 335 Ка для алюминия

Al
= 419 К.
Температура, указывающая для каждого вещества область, где становится существенным квантование энергии колебаний, называется характеристической температурой Дебая.

Дальнейшее повышение температуры не может вызывать появление новых нормальных колебаний. В этом случае действие температуры сводится лишь к увеличению степени возбуждения каждого нормального колебания, приводящего к возрастанию их средней энергии. В общем случае теплоемкость металла складывается из теплоемкостей электронной
эл
С
и фононной
ф
С подсистем
dT
dU
dT
dU
C
C
dT
dU
C
эл
ф
эл
ф





При высоких температурах T > Θ возбуждаются в основном фононы максимально возможной частоты, что связано с зависимостью плотности фононных состояний от волнового вектора - она пропорциональна k
2
. Энергия кристалла равна средней энергии фонона ћω
m
, умноженной на их число и на 3N число мод (видов колебаний) в единице объема ф Соответственно теплоемкость при высоких температурах равна ф
= 3Nk. Для одного моля вещества N = N
A
и ф
= 3R ≈ 25 Дж/(моль К, где
R – газовая постоянная. Это есть закон Дюлонга и Пти, гласящий, что теплоемкость любого твердого тела не зависит от температуры и определяется только числом его атомов в единице объема. В случае низких температур T << Θ возбуждаются лишь фононы с низкой энергией, те. длинноволновые фононы и энергия ф равна
4 3
2 4
2 0
10
T
k
U
U
зв
ф





Отсюда решеточная (фононная) теплоемкость при низких температурах определяется
3 3
3 4
2 5
2
T
k
dT
dU
C
зв
ф





Таким образом, при низких температурах теплоемкость подчиняется закону Дебая ф
T
3
. При этом наиболее существенным фактором являются уменьшение концентрации и увеличение длины свободного пробега фононов. Вклад подсистем металла в теплоёмкость можно оценить по отношению
C
ф
/С
эл
, которое при комнатных температурах и выше имеет порядок E
F
/kT. Энергия Ферми при типичной концентрации свободных электронов в металле
5·10 28 м равна 5 эВ, тепловая энергия kT ≈ 0,025 эВ. Поэтому C
ф
/С
эл
200, те. теплоемкость металлов при комнатной температуре и выше определяется теплоемкостью кристаллической решетки. Однако при низких температурах в силу линейной зависимости С
эл
от температуры она может стать доминирующей. Обычно решеточная и электронная теплоемкости сравниваются при температуре в несколько Кельвинов. В то время как квантом механического колебания кристаллической ре- шётки (квантом звука) является фонон, квантом света является фотон. Электромагнитное излучение, находящееся в равновесии со стенками полости, в которой оно заключено, можно представить как идеальный фотонный газ.

Спин фотона равен единице, следовательно, фотоны являются бозонами, – энергия фотона не зависит от координат и направления его движения. Фотонный газ при любой температуре является вырожденным, те. его свойства отличаются от свойств классического идеального газа. Фотон, пролетающий сквозь кристалл, может возбудить в нём фонон, на который расходуется часть энергии фотона, вследствие чего частота фотона уменьшается, – возникает красный спутник (фотон с меньшей частотой. Если в кристалле уже возбуж- дн фонон, то пролетающий фотон может поглотить его, увеличив за счёт этого свою энергию, - возникает фиолетовый спутник (фотон с большей частотой. Вопросы для самоконтроля и проверки владения материалом
1. Чему равен минимальный размер ячейки в фазовом пространстве
2. Какие частицы называются фермионами
3. Какие частицы называются бозонами
4. Чем отличается распределение Ферми-Дирака от распределения Бозе-
Эйнштейна?
5 Что показывает химический потенциал
6. Какие возможные значения может принимать химический потенциалу бозонов
7. У фермионов может ли быть больше нуля химический потенциал

?
8. Как ведут себя бозе-газ и ферми-газ при высоких температурах
9. Какой газ называется вырожденным
10. Что называется параметром вырождения
11. Как ведут себя распределения Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака при параметре вырождения А << 1?
12. Как выглядит график зависимости функции заполнения
f
ячеек от энергии Е для фермионов
13. Чему равна при Т = 0 вероятность заполнения электроном уровня с энергией Е <

?
14. Чему равна при Т = 0 вероятность заполнения электроном уровня с энергией Е >

?
15. Как определяется вероятность того, что энергетический уровень будет пустой (незанят электроном
16. Заполняются энергетические уровни при Е =

?
17. Чему равна максимальная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны в металле
18. Что называется уровнем (энергией) Ферми
19. Чему равна средняя энергия свободных электронов в металле при абсолютном нуле
20. Что называется температурой Ферми
21. Как зная температуру Фермии энергию Ферми, определить вырожденным или невырожденным является электронный газ
22. Зависит ли уровень Ферми от температуры

23. Существует ли заметная разница между теплоёмкостями металлов и диэлектриков Почему
24. Бозоном или фермионом является фотон
25. Что представляет собой фонон
26. Бозоном или фермионом является фонон
27. Что называется частотой Дебая
28. Как определяется температура Дебая
29. При каких температурах выполняется закон Дюлонга – Пти?
30. Какова зависимость от температуры теплоёмкости металла, если его температура ниже температуры Дебая Примеры решения задач
1. Найти среднюю энергию свободных электронов в металле при Т ≈ 0 К. Дано Т ≈ 0 К
Решение:
При Т ≈ 0 К уровень Ферми характеризует максимальную энергию электронов в металле. В соответствии с распределением Ферми-Дирака при
E < E
F
функция f = 1, а при E > E
F
функция f(E) = 0. Найти Для определения средней энергии электронов необходимо суммарную энергию всех электронов, находящихся в единице объема, разделить на их концентрацию n:
 
 






F
F
F
E
E
E
dE
E
EN
n
dE
E
f
E
EN
n
E
Edn
n
E
0 0
0 1
)
(
1
)
(
1
,
5 3
2 3
2 4
1 2
8 3
0 2
3 0
2 3
2 2
3 2
3 Ответ Е 3

2. Рассчитать положение уровня Ферми в 1 см серебра при температуре вблизи абсолютного нуля, полагая, что число свободных электронов равно количеству атомов серебра. Плотность серебра ρ = 10,49

10 3
кг/м
3
Дано: Т = 0 К
V = 1 см
= 10
-6 м
Ρ = 1,049

10 4
кг/м
3
m
e
= 9,1∙10
-31 кг
Решение:
Концентрация свободных электронов равна концентрации атомов
A
N
AV
m
N
n
A
A



, где N
A
–
число Авогадро, А – атомная (или молекулярная) масса, m масса образца, V –объём образца, ρ - плотность материала. Отсюда энергия Ферми Найти
E
F
= ?
3 2
2 3
8









A
N
m
h
E
A
F

Подставляя числовые значения величин, получаем E
F
= 8,8

10
-19 Дж = 5,5 эВ. Ответ E
F
= 5,5 эВ
3. Дебаевская температура кристалла равна 150 К. Определите максимальную частоту колебаний кристаллической решетки. Сколько фононов такой частоты возбуждается в среднем в кристалле при температуре 300 К Дано
θ
D
= 150 К Т = 300 К
Решение: Дебаевская температура θ
D
=hν
max
/k, где ν
max
– максимальная частота колебаний кристаллической решетки, h –
постоянная Планка, k – постоянная Больцмана. Отсюда найдем ν
max
= kθ
D
/h. Подставляя численные значения, получаем ν
max
= 3,12∙10 12
Гц. Среднее число фононов с энергией Найти
ν
max
= ?
?

i
N




1 1
exp




kT
N
i
i
, где Т – термодинамическая температура кристалла. Энергия фонона, соответствующая частоте колебаний ν
max
, равна
ε
i
= hν
max
= kθ
D
. Учитывая это, находим




56
,
1 Ответ ν
max
= 3,12∙10 12
Гц, Задачи для самостоятельного решения
1. Так называемая "холодная плазма" характеризуется температурой Т = 10 4
К и концентрацией частиц n = 10 18
м. Оценить температуру вырождения протонной составляющей водородной плазмы. Классической или квантовой статистикой описывается состояние частиц в этой плазме
2. Оценить температуру вырождения электронного газа в меди.
3. Определить вероятность заполнения электронами энергетического уровняв металле, расположенного на 10 kT выше уровня Ферми.
4. Определить, как и во сколько раз изменится вероятность заполнения электронами в металле энергетического уровня, расположенного на 0,1 эВ выше уровня Ферми, если температуру металла повысить от 300 К до 1000 К.
5. Определить температуру, при которой вероятность нахождения электрона с энергией E = 0,5 эВ выше уровня Ферми в металле равна 1%.
6. Вычислить минимальную длину волны де Бройля для свободных электронов в медном проводнике, где энергия Ферми составляет 7 эВ.
7. Вычислить молярные теплоемкости алмаза и цезия при температуре
200 К. Температура Дебая для алмаза и цезия соответственно равна 1860 К и
38 К.
8. Вычислить удельную теплоемкость рубидия при температурах 3 К и
300 К. Температура Дебая для рубидия 56 К.
9. Молярная теплоемкость селена при температуре 5 К равна
0,333 Дж/(моль∙К). Вычислить по значению теплоемкости дебаевскую температуру селена.
10. Найти количество теплоты, необходимое для нагревания 50 г железа от 10 К до 20 К. Температура Дебая для железа равна 470 К.

Выводы В классической статистике и классической механике движение частицы однозначно определено, если заданы три координаты и три составляющие импульса. В квантовой статистике необходимо учитывать соотношения не- определенностей Гейзенберга и наличие спина у частиц. Частицы с нулевым или целым спином могут находиться в пределах системы в одинаковом состоянии в неограниченном количестве. Они подчиняются статистике Бозе -
Эйнштейна и называются бозонами. Частицы с полуцелым спином согласно принципу Паули не могут находиться в пределах системы в одинаковом состоянии. Они подчиняются статистике Ферми - Дирака и называются фермионами. Функции заполнения ячеек в системе можно для обеих статистик записать в единой форме
)
1
)]
/
)
/(exp[(
1




kT
E
f
, где


химический потенциал. Знак «+» соответствует статистике Ферми - Дирака, а знак «

» соответствует статистике Бозе- Эйнштейна. При высоких температурах Ферми-газ и
Бозе-газ ведут себя подобно классическому газу и подчиняются статистике
Максвелла-Больцмана. Свободные электроны в металлах ведут себя аналогично молекулам идеального газа, но являясь фермионами обладают одной и той же энергией в двух состояниях, отличающихся ориентацией спина. При
0

T
и


E
нижние квантовые состояния заняты, а высшие вакантны. Таким образом, химический потенциал равен максимальной энергии, которую могут иметь электроны в металле (энергия Ферми. При повышении температуры электроны должны увеличить свою энергию на величину равную. Однако основная часть электронов не может изменить свою энергию из-за занятости вышерасположенных уровней. Лишь малое количество электронов с энергиями вблизи уровня Ферми может перейти на вышележащие уровни энергии. Поэтому теплоемкость электронного газа очень мала и при комнатной температуре отсутствует заметная разница между теплоемкостями металла и диэлектрика. Излучение, находящееся в равновесии со стенками полости, в которой оно заключено, можно представить как идеальный фотонный газ. Фотонный газ при любой температуре является вырожденным, то есть его свойства отличаются от свойств классического идеального газа. В квантовой теории квант звука носит название фонон. Фонон представляет собой возбужденное состояние, распределенной по всему кристаллу, то есть является квазичастицей. Возникновение колебаний эквивалентно рождению фонона. Существует максимальная частота колебаний кристаллической решетки
D

, которая носит название частоты Дебая. Температура, указывающая для каждого вещества область, где становится существенным квантование энергии колебаний, называется температурой Дебая Теплоемкость металлов при комнатной температуре и выше определяется теплоемкостью кристаллической решетки. Однако, при низких температурах вклад электронной теплоемкости возрастает и обе теплоемкости сравниваются, при температурах в несколько градусов Кельвина.