курс физики том 4. Курс физики ТОМ 4. Т. В. Стоянова, на. Тупицкая, Ю. И. Кузьмин курс физики том 4 квантовая механика. Физика твёрдого тела. Атомная и ядерная физика учебник санкт петербург 2014 удк 539. 1 530. 145(075. 8)
 Скачать 2.93 Mb.
|
|
. (C и - константы, имеющие своё значение для каждой спектральной линии. Закон Мозли позволяет по измеренной длине волны рентгеновской линии точно установить атомный номер данного элемента. K α K β K γ К-серия серия Возбуждение К-серии Возбуждение серии К L M N 1 2 3 4 n Рис. 2.5 Схема переходов 2.2 Атом как квантовомеханическая система На основе квантовой механики разработаны методы точного описания поведения электронов в атоме, которое определяет свойства атомов иве- ществ. Задача сводится к отысканию волновой функции для электрона в атоме, удовлетворяющей стандартным условиям она должна быть однозначной, непрерывной, кроме того непрерывной и конечной должна бытье производная. Для нахождения волновой функции для электрона в атоме составляют уравнение Шредингера. В общем случае решение его очень сложная математическая задача. Для простейших атомов, содержащих один электрон (это водородоподобные атомы атом водорода, ионизированный атом гелия, дважды ионизированный атом лития и др, решение можно получить в аналитическом виде. 2.2.1 Уравнение Шредингера для электрона в кулоновском поле ядра Рассмотрим уравнение Шредингера для электрона в кулоновском поле ядра атома водорода. Водород – простейший атом, состоящий из ядра и одного электрона. Масса ядра водорода значительно (примерно враз) превосходит массу электрона, поэтому в первом приближении ядро можно считать неподвижными рассматривать движение электрона вокруг этого неподвижного ядра. Между ядром и электроном действует сила кулоновского притяжения. Кулоновское поле ядра, в котором движется электрон, представляет собой поле точечного заряда, те. является центрально-симметричным полем, в котором потенциальная энергия U зависит только от расстояния до центра поля. Поэтому при решении уравнения Шредингера оператор Лапласа обычно записывают в сферической системе координат r, , и волновую функцию электрона Ψ получают как функцию этих координат. Потенциальная энергия электрона в кулоновском поле ядра равна r e 2 0 4 1 - U , где r – расстояние от электрона до ядра. Волновая функция электрона в основном состоянии является функцией только r. Уравнение Шредингера для основного состояния атома водорода имеет вид 0 ) 4 ( 2 2 0 2 1 2 2 2 r e E m rdr d dr d e . (2.13) Ищем решение (2.13) в виде 0 / a r Се где 0 a имеет размерность длины С – некоторая постоянная, определяемая из условия нормировки вероятности. Подставим функцию и продифференцируем по r. Тогда получим 1 0 2 0 2 0 2 4 ) 2 1 ( 2 Е r e ra a m e Это равенство верно при выполнении двух условий 1 2 0 2 1 Е, (*) 0 2 0 2 4 Следовательно 2 0 2 Последнее выражение совпадает с первым Боровским радиусом 0 a для атома водорода. Подставим его в (*) и получим 1 2 0 2 4 8 Е h e m e Это значение энергии основного состояния атома водорода, соответствующее. Сравнивая полученный результат с формулой (2.11) для энергии в атоме водорода, полученной по теории Бора, увидим, что теория Бора дает такие же значения n E , как и квантовая механика. Однако в рамках квантовой механики этот результат появляется как результат решения основного уравнения для частного случая, в то время как Бор вынужден был ввести для этого частного случая специальные предположения. Для квантового числа n, нумерующего уровни, сохранилось название главного квантового числа. Уравнение Шредингера имеет решения при любых положительных значениях энергии (Е > 0) и при дискретных отрицательных значении энергии Е < 0). Для любых квантовых чисел n энергия определяется) Случай Е > 0 соответствует электрону, который из бесконечности подлетает к ядру и снова удаляется от него в бесконечность. То есть, в случае Е > 0 уравнение описывает процесс рассеивания электрона на ядре. Случай Е < 0 соответствует электрону, связанному с ядром (рис. 2.6). 2.2.2 Квантовые числа Связанное состояние электрона в атоме водорода с фиксированным значением полной энергии Е описывается волновой функцией , являющейся решением уравнения Шредингера при Е = E n . Волновая функция зависит от параметра n. Дискретные значения полной энергии Ев теории дифференци- Рис. 2.6 альных уравнений называют собственными числами задачи. Значения Е, при которых существуют решения уравнения Шредингера, называются собственными значениями. Каждому значению Е соответствует решение уравнения Шредингера – n , называемое собственной функцией уравнения (Решение уравнения Шредингера в сферических координатах привели к тому, что волновая функция Ψ определяется четырьмя параметрами – квантовыми числами n, , m, m s . Главное квантовое число n совпадает с номером энергетического уровня электрона, то есть определяет энергию электрона в атоме. Состояние электрона, помимо главного квантового числа n, определяется орбитальным квантовым числом , магнитным квантовым числом m и спиновым квантовым числом m s . Орбитальное квантовое число определяет модуль момента импульса электрона. Для заданного n орбитальное квантовое число может принимать любое из n значений = 0, 1, 2, …, n – 1. Момент импульса электрона в атоме L квантуется и может принимать 1 2 ориентаций в пространстве. Например, возможные ориентации векторов для электронов в состоянии ( = 1) (см. 2.3.3) всего три (рис. 2.7). Модуль момента импульса может принимать дискретные значения 1 L . (2.15) Магнитное квантовое число m характеризует пространственную ориентацию орбит в магнитном поле и может принимать значения m = 0, 1, 2, 3,…., Момент импульса электрона может иметь лишь такие ориентации в пространстве, при которых проекция вектора z L на направление Z внешнего поля принимает квантовые значения, кратные m L z . (2.16) Орбитальный момент импульса электрона L и пропорциональный ему магнитный момент m p ориентированы перпендикулярно плоскости орбиты электрона и направлены в противоположные стороны. Между векторами L и m p существует связь где ) 2 /( e m e - орбитальное гиромагнитное отношение e m - масса электрона, а 24 10 274 , 9 ) 2 /( e Б m e Дж/Тл - магнетон Бора. Следовательно, маг 0 -Рис. 2.7 нитный момент может содержать некоторое число магнетонов Бора. Модуль магнитного момента электрона определяется 1 Б P Магнитные моменты электронов и атомов выражаются в магнетонах Бора. Позже С. Гаудсмитом и Дж. Уленбеком (1925) для характеристики электрона было введено ещё одно квантовое число s, определяющее квантование собственного момента импульса, называемого спином. Спин электрона (и любой другой частицы) – это квантовая величина, не имеющая аналога в классической физике, не сязанная сдвижением электрона в пространстве это внутреннее неотъемлемое свойство электрона, подобное его заряду и массе. Из общих выводов квантовой механики следует, что спин должен быть квантован по закону где s – квантовое число, называемое спиновым квантовым числом. Проекция SZ L спина на ось Z, совпадает с направлением внешнего магнитного поля, квантована, и вектор S L может иметь 2s+1 различных ориентаций в магнитном поле. Для спина электрона таких ориентацией существует всего 2, поэтому, то есть s = 1/2. По аналогии с магнитным квантовым числом m иногда применяют понятие магнитное спиновое квантовое число s m , которое отличается от спинового числа s лишь тем, что может принимать одно из двух значений 2 или 2 1 . Тогда, проекция спина на заданное направление в пространстве может быть выражена s sz m L , (2.17) где 2 1 s m S . Полный момент импульса электрона в атоме водорода складывается из орбитального и собственного (спина. s j L L L (2.18) Полный момент импульса также квантуется и его модуль определяется ) 1 ( j j L j , (2.19) где j – квантовое число полного момента импульса, которое может иметь значения s j , | | s . (2.20) При 0 , 2 1 s s j , при 0 возможны два значения 2 и 1 j j . Из-за разных гиромагнитных отношений для спинового и орбитального моментов суммарный магнитный момент оказывается не параллельным суммарному механическому моменту (рис. 2.8.) Поэтому вводится специальный коэффициент фактор Ланде, который есть нечто иное, как коэффициент пропорциональности между j L и j P : Б, ) 1 ( j j g Р Б j , (2.21) где g – множитель Ланде или g – фактор (фактор магнитного расщепления ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 j j s s j j g . (2.22) Таким образом, решение уравнения Шредингера естественно приводит к квантованию энергии, момента импульса и проекции момента импульса. Именно квантовые числа используются для качественной характеристики квантовой системы 2.2 Вырожденные состояния Все состояния электрона в атоме водорода с фиксированным значением главного квантового числа n и произвольными допустимыми значениями квантовых чисел , m, m s , имеют одинаковую энергию E n , определяемую (2.14). Состояния с одинаковой энергией называются вырожденными. Можно подсчитать кратность вырождения энергетических уровней в атоме водорода. Квантовые числа , m, m s могут принимать любое из возможных значений, причем принимает одно из двух значений, m при фиксированном значении одно из (2 +1) значений, а изменяется от 0 до n – 1. Для нахождения кратности вырождения уровня Е нужно найти удвоенную сумму нечетных чисел 2 1 0 2 ) 1 Таким образом, каждому уровню энергии E n в атоме водорода отвечает 2n 2 различных состояний электрона. Эти состояния обладают одинаковой энергией, но различными другими характеристиками. В электрическом и магнитном полях вырождение снимается (эффекты Штарка и Зеемана. Рис. 2.8 Рис. 1.2 Квантовая яма Спектры излучения и поглощения объясняются переходом электрона из одних состояний в другие, при этом электрон отдает или получает энергию Е (атом поглощает или излучает фотон. Количество линий в спектре определяется правилами отбора. В атоме возможны такие переходы электрона из одного состояния в другое, при которых 1 и 1 , 0 m При этом изменяется форма электронного облака (орбитали. Яркость линий спектра объясняется вероятностью переходов. От формы орбиталей зависит способность атома взаимодействовать с другими атомами, то есть образовывать молекулы Многоэлектронные атомы 2.3.1 Неразличимость частиц в квантовой механике Принцип неразличимости тождественных частиц относится к фундаментальным принципам квантовой механики. Из него вытекают закономерности распределения частиц по энергетическим состояниям в данной квантовой системе. Именно от него зависят свойства этой системы и её поведение. В случае системы частиц с целым спином, когда волновая функция системы симметрична, любое количество частиц системы может находиться водном и том же квантовом состоянии. Естественно, что основным состоянием системы в данном случае является такое, когда все частицы занимают уровень с наименьшим значением энергии. Заметим, что поведение таких частиц подчиняется законам квантовой статистики, разработанной Бозе и Эйнштейном, поэтому частицы с целым спином называют бозонами. В случае системы частиц с полуцелым спином волновая функция системы антисимметрична. При перестановке координат, определяющих состояние любых двух частиц, она меняет знак, нос другой стороны, если эти частицы находятся водном и том же квантовом состоянии, когда все координаты совпадают, такая перестановка не должна изменить волновую функцию. Указанное противоречие можно разрешить, предположив, что волновая функция равна нулю. Поведение частиц с полуцелым спином (фермионов) подчиняется квантовой статистике Ферми-Дирака. 2.3.2 Принцип Паули Обобщение опытных данных позволило В. Паули разрешить это противоречие следующим утверждением частицы с полуцелым спином встречаются в природе только в состояниях, описываемых антисимметричными волновыми функциями. В любом атоме не может быть двух электронов, находящихся в двух одинаковых стационарных состояниях, определяемых набором четырех квантовых чисел главного n, орбитального , магнитного m, спинового m s . Это утверждение получило название Принцип Паули. Применительно к системе электронов в атоме принцип Паули можно записать следующим образом z(n, , m, m s ) = 0 или 1, где z(n, , m, m s ) есть число электронов, находящихся в состоянии, описываемом набором квантовых чисел n, , m, m s 2.3.3 Взаимодействие электронов в атоме Многоэлектронный атом элемента, имеющего порядковый номер Z в периодической таблице элементов, представляет собой систему, состоящую из положительно заряженного ядра с зарядом е и Z электронов. Энергия электронов в многоэлектронном атоме зависит от двух квантовых чисел n и Этим энергетические уровни в многоэлектронном атоме отличаются от уровней энергии водородоподобных атомов водорода, зависящих только от главного квантового числа n. Электроны с одинаковым значением главного квантового числа образуют оболочку (иногда оболочки называют слоем. В спектроскопии принято обозначать оболочки заглавными латинскими буквами таблица 2.1.) в зависимости от значения n: Таблица 2.1 значение n 1 2 3 4 5 6 обозначение оболочки K L M N O R В магнитном полена энергию влияет и значение квантового числа m, уровни с > 0 расщепляются. Каждая оболочка подразделяется на подоболочки в зависимости от значения орбитального квантового числа. Размер и форма электронной оболочки (или электронного облака) зависят от квантовых чисел n и , а ориентация в пространстве – от числа m риса состояние, б – cостояние р. Подоболочки (таблица 2.2.) также принято обозначать латинскими буквами Таблица 2.2 значение 0 1 2 3 4 5 обозначение подoболочки s p D f g h Количество электронов в подоболочке определяется в соответствии с принципом Паули. Количество различных возможных состояний приданном значении орбитального квантового числа равно (2 +1), так как они различаются значениями числа l , l - m и 2 1 , 2 1 s m . Количество электронов в оболочке со значением главного квантового числа n равно 2 1 0 2 2 ) 1 Из формулы (2.12) видно, что число возможных состояний в оболочках КМ равно 2, 8, 18…, то есть 2n 2 Полностью заполненные оболочки и подоболочки имеют равные нулю суммарный орбитальный момент и суммарный спиновый момент (рис. 2.9.а). На рис. б суммарный орбитальный момент импульса неравен суммарному спиновому моменту. а) б) Рис. 2.9 2.3.4 Связь квантовой теории с периодической системой Закономерности заполнения энергетических состояний в атоме электронами являются физической основой фундаментального закона природы - периодической системы элементов Д.И. Менделеева. Каждый последующий элемент таблицы получается из предыдущего прибавлением к ядру одного протона и соответственно прибавлением к электронной оболочке атома одного электрона. Этот электрон занимает определенное место в схеме энергетических уровней в соответствии с двумя принципами. Первый принцип общий для всех физических систем всякая система стремится занять положение с минимальной энергией, так как это наиболее устойчивое состояние. Второй принцип справедлив для частиц с полуцелым спином (фермионов) - квантовомеханический принцип Паули. Распределение электронов по состояниям называют электронной конфигурацией, в которой цифрами указаны номера оболочек (числа n), буквами - состояния, в степени - количество электронов. Например, для атома Na электронная конфигурация имеет вид 1s 2 2s 2 2p 6 Оболочку (подоболочку, полностью заполненную электронами, называют замкнутой, например, у атомов Не, Ве, Ne и др. Наблюдаемая периодичность химических и физических свойств атомов объясняется повторяемостью в структуре внешних оболочек у атомов родственных элементов. Например, инертные газы имеют одинаковые внешние оболочки из 8 электронов (заполненные s- и р-состояния). У щелочных металлов) во внешней оболочке по одному электрону в S- состоянии и т.д. Вплоть до калия последовательность заполнения оболочек и подоболочек является идеальной. Первое отклонение наблюдается у калия внешний электрон, вместо состояния, занимает 4s. Это и другие отклонения в периодической системе элементов связано стем, что такие конфигурации оказываются более выгодными в энергетическом отношении (расчет это полностью подтвердил. Порядок заполнения уровней в атоме определяется эмпирическими правилами Клечковского. Первое правило Клечковского: сначала будут заполняться уровни с наименьшей суммой квантовых чисел (n + ℓ). Второе правило Клечковского: если два уровня имеют одинаковую сумму квантовых чисел (n + ℓ), то первым будет заполняться энергетический уровень с меньшим значением n. Квантовая теория атома позволила объяснить химические, магнитные, оптические свойства веществ с большой точностью. Вопросы для самоконтроля и проверки владения материалом 1. В чем состоит ядерная модель атома Резерфорда 2. Почему ядерная модель атома противоречит законам классической электродинамики 3. Каковы современные представления о строении атома 4. Какие опытные данные подтверждают сложность строения атома 5. Каков механизм излучения и поглощения электромагнитных волн атомами. Дайте характеристику атомных спектров . 7. Запишите обобщенную формулу Бальмера для спектра атома водорода. Какое излучение называется характеристическим 9. Сформулируйте закон Мозли. 10. Сформулируйте постулаты Бора. 11. Каковы результаты опыта Франка – Герца 12. Какое состояние атома называется основным 13. Какие состояния называют вырожденными 14. Когда атом излучает электромагнитные волны 15. Что такое энергия ионизации атома 16. Что характеризуют главное квантовое число Что характеризуют орбитальное квантовое число Какое максимальное значение оно может принимать. Что характеризует магнитное квантовое число Какое максимальное значение оно может принимать 18. Чему равен модуль момента импульса электрона 19. Какие значения может принимать проекция момента импульса на направление внешнего поля 20. Что называется спином электрона Чему он равен 21. Что такое магнетон Бора 22. Что является физической основой периодической системы элементов Как распределяются электроны в атоме 24. Запишите электронную конфигурацию для атома азота. 25. Сформулируйте принцип Паули. Примеры решения задач 1. Электрон в атоме водорода перешел с четвертого энергетического уровня на второй. Определить энергию испущенного при этом фотона. Дано n 1 = 4 n 2 = 2 Решение Для определения энергии фотона воспользуемся обобщенной формулой Бальмера для водородоподобных ионов 2 2 2 1 2 1 1 1 n n RZ , Е ф – ? где – длина волны фотона R – постоянная Ридберга Z – заряд ядра в относительных единицах (при Z = 1 формула переходит в сериальную формулу для водорода n 1 – номер орбиты, на которую перешел электрон n 2 – номер орбиты, с которой перешел электрон (n 1 и n 2 – главные квантовые числа. Энергия фотона Е ф выражается формулой Планка hc Е ф Умножив обе части формулы Бальмера на hc, получим выражение для энергии фотона 2 2 2 ф 1 n n RhcZ hc Е Так как Rhc есть энергия ионизации Е атома водорода, то 2 2 2 ф 1 n n Z E hc Е i Подставляя данные из условия Е = 13,6 эВ Z = 1; n 1 = 2; n 2 = 4, получим Е ф = 13,6 1 2 (1/2 2 –1/4 2 ) эВ = 3,16 эВ = 2,25 эВ. Ответ Е ф = 2,25 эВ 2. Атом водорода перешел из возбужденного состояния, характеризуемого главным квантовым числом, равным трем, в основное. Определить возможные спектральные линии в спектре излучения водорода. Найти максимально возможную энергию фотона. Дано Решение n 1 = 1 n 2 = 3 Из рисунка видно, что при переходе атома из состояния, характеризуемого главным квантовым числом n = 3, в основное (n = 1), возможно излучение трех спектральных линий. Для определения длины волны воспользуемся сери- альной формулой для водородоподобных ионов Найти - ? ф Е - ? 2 2 2 1 2 1 1 1 n n RZ , где – длина волны фотона R – постоянная Ридберга Z – заряд ядра в относительных единицах (при Z = 1 формула переходит в сериальную формулу для водорода n 1 – главное квантовое число состояния, в которое перешел атом n 2 – главное квантовое число исходного состояния. Найдем длину волны линии, излученной при переходе атома из состояния в состояние n 1 = 2, приняв постоянную Ридбергам м мкм. Аналогично находим длину волны спектральной линии, излученной атомом при переходе из состояния n 2 = 2 в состоянием мкм. При переходе из состояния n 2 = 3 в состояние n 1 = 1 длина волны линии равна 2 2 7 3 3 1 1 1 10 1 , 1 1 , 1 , 0 10 1 , 0 1 , 1 10 8 9 6 7 м мкм. Энергия фотона определяется из выражения hc Е ф , где h – постоянная Планка, 34 10 62 , 6 h Дж с, с – скорость света в вакууме, с = 3 10 8 мс. Максимальная энергия фотона соответствует минимальной длине волны, следовательно эВ Дж 3 , 12 10 2 10 10 3 10 6 , 6 18 7 8 34 min ф hc Е Ответ: эВ 3 , 12 ф Е ; 65 , 0 1 мкм 2 мкм 3 мкм. 3. Длина волны линии L α вольфрама равна 0,148 нм. Найти постоянную экранирования. Дано Z = 74 0,148 нм линия Решение Используем закон Мозли с учетом того, что Z = 74 – порядковый номер вольфрама, n 1 = 3 для линии, n 2 = 2 номер уровня, на который переходит электрон, для серии. ) 1 1 ( ) ( 2 2 2 Найти σ=? 4 , 7 ) 3 1 4 1 ( 14 , 3 2 74 ) 1 1 ( 2 2 2 2 2 2 1 R с n n R Z Ответ: σ = 7,4. Задачи для самостоятельного решения 1. Какому элементу принадлежит водородоподобный спектр, длины волн спектральных линий которого в четыре раза короче, чему атомарного водорода 2. Найти наибольшую и наименьшую длины волн в видимой области спектра излучения атома водорода. 3. Определите частоты всех возможных спектральных линий, возникающих при переходе атома водорода из возбужденного состояния с главным квантовым числом равным 3, в основное. 4. Атом водорода в основном состоянии поглотил фотон с длиной волны 0,1215 мкм. Определить главное квантовое число возбужденного состояния атома водорода. 5. Какую наименьшую энергию должны иметь электроны, чтобы возбужденный этими электронами спектр водорода имел три спектральные линии 6. Определите энергию и длину волны фотона, испускаемого при переходе электрона в атоме водорода из возбужденного состояния с главным квантовым числом, равным трём, в основное состояние. 7. Определите диапазон длин волн монохроматического излучения, чтобы при возбуждении атома водорода этим излучением наблюдались три спектральные линии 8. В водородоподобном ионе лития электрон перешел из состояния с главным квантовым числом, равным четырем, в состояние, характеризуемое главным квантовым числом, равным двум. Определить энергию кванта и длину волны излучения, испущенного ионом. 9. Электрон в атоме водорода движется по первой орбите. Найти скорость электрона и длину волны де Бройля. Сравнить длину волны де Бройля с длиной орбиты. Нужно ли учитывать волновые свойства электрона при изучении движения электрона в атоме водорода 10. Определите радиус, частоту и скорость обращения электрона для первой орбиты по теории Бора, а также энергию ионизации для атома гелия. Выводы Классические опыты по изучению атома, проведенные Резерфордом в 1911 году показали, что строение атома имеет планетарный характер. В центре атома расположено положительно заряженное массивное ядро, размеры которого порядкам. Вокруг ядра движутся отрицательно заряженные электроны в огромной (по сравнению с ядром) области, размеры которой порядкам Спектры испускания (поглощения) атомов имеют дискретный (линейчатый) характер. Причем расположение спектральных линий различных химических элементов различно, а для одного итого же элемента спектры испускания и поглощения одинаковы. Дискретный характер атомных спектров объяснила теория Бора в 1913 году, в которой использована гипотеза Планка о дискретности излучения. Квантовые постулаты Бора нашли экспериментальное подтверждение в опытах Франка и Герца. Точное значение волновой функции электрона в атоме водорода дает решение уравнения Шредингера в сферических координатах для кулоновского потенциала ядра. Из решения уравнения Шредингера следует, что волновая функция определяется четырьмя параметрами квантовыми числами s m m l n , , , . Главное квантовое число n определяет энергию электрона в атоме. Орбитальное квантовое число l определяет модуль момента импульса электрона ) 1 ( l l L . Магнитное квантовое число m характеризует пространственную ориентацию электронных орбит в магнитном поле. Для квантования собственного момента импульса электрона Гоудсмитом и Уленбеком в 1925 году введено еще одно квантовое число s m , называемого спином Все состояния электрона в атоме водорода с фиксированным значением n и произвольными значениями квантовых чисел s m m l , , имеют одинаковую энергию и называются вырожденными. Таким образом, каждому уровню энергии E в атоме водорода отвечают n 2 различных состояний электрона. В электрическом и магнитном поле вырождение снимается (эффекты Штарка и Зеемана. Все частицы, имеющие целый спин носят название бозонов, а частицы с полуцелым спином фермионов. В частности фотоны относятся к бозонам, а электроны к фермионам. Обобщение опытных данных привело Паули к утверждению, что в атоме не может быть двух электронов, находящихся в двух одинаковых стационарных состояниях, определяемых одинаковым набором квантовых чисел n , Закономерности заполнения энергетических состояний в атоме электронами является физической основой фундаментального закона природы периодической системы элементов Д.И. Менделеева. |