Т. В. Труфанова, А. Е. Ситундифференциальные уравненияв примерах и задачах
 Скачать 0.88 Mb.
|
|
§13. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Задача1. Если тело медленно погружается в воду, то его скорость v и ускорение w приближенно связаны уравнением v k q w − = , где q и k – посто- янные. Установить зависимость между пройденным путем s и временем t, если при t=0 s=v=0. Решение. Так как ускорение 2 2 dt s d w = и скорость dt ds = v , то зависи- мость между s и t выражается дифференциальным уравнением второго по- рядка dt ds k q dt s d − = 2 2 , не содержащим неизвестной функции S (см. уравнение (9)). Положив в нем v = dt ds и dt d dt s d v 2 2 = , получим дифференциальное урав- нение первого порядка с разделяющимися переменными относительно не- известной функции v(t): v v k q dt d − = , или dt k q d = − v v , 1 ) v ln( 1 C t k q k + = − − Определим C 1 , учтя, что v(0)=0. 1 ln 1 C q k = − . Подставив найденное значение C 1 в предыдущее равенство и решая его получим: k k q q t 1 ) v ln( − = или kt e k q q = − v , 35 откуда ) 1 ( v kt e k q dt ds − − = = . Разделим переменные и проинтегрируем обе части равенства: ∫ + − = − 2 ) 1 ( ) ( C dt e k q t S kt или 2 2 ) ( C e k q t k q t S kt + + = − Из начального условия S(0)=0 определим C 2 : 2 2 0 C k q + = , 2 2 k q C − = Подставив найденное значение C 2 в предыдущее равенство, получим искомую зависимость: ) 1 ( ) ( 2 − + = − kt e k q t k q t S Задача 2. Найти кривую, у которой радиус кривизны равен кубу нор- мали; искомая кривая должна проходить через точку M(0;1) и иметь в этой точке касательную, составляющую с осью Ох угол 45 градусов. Решение. Так как радиус кривизны плоской кривой выражается фор- мулой '' 2 ' 2 3 ) 1 ( y y R + = , а длина нормали 2 ' 1 y y N + = , то дифференциальное уравнение задачи имеет вид: 3 2 ' '' 2 ' ) 1 ( ) 1 ( 2 3 y y y y + = + Отсюда, сократив на 2 3 ) 1 ( 2 ' y + ,приходим к уравнению: 1 3 '' = ⋅ y y (см. уравне- ние (10)). Полагая dy dp p y p y = = '' ' ; , получим уравнение: 1 3 = ⋅ y dy dp p Интегрируя его, находим: dy y pdp 3 − = , 1 2 2 2 1 2 1 2 1 C y p + − = − , 2 1 2 − − = y C p Возвращаясь к переменной у, приходим к уравнению: 2 1 2 ' − − = y C y Произвольную постоянную С 1 найдем из условия, что касательная в точке M(0;1) составляет с осью OX угол 45 градусов, т.е. 1 45 ' = = M y tg ο или 1 ) 0 ( ' = y . Следовательно, 1=С 1 –1, т.е. C 1 =2. Таким образом, для определе- ния y получено уравнение первого порядка y ′ 2 =2-y -2 , откуда y y y 1 2 2 ' − = ; разделяя переменные и интегрируя, получим ; 1 2 2 dx y ydy = − ; 2 1 1 2 2 1 2 2 C x y + = − [ ] 1 ) 2 ( 2 1 2 2 2 + + = C x y Произвольную постоянную C 2 находим из условия прохождения кривой через точку M(0;1), т.е. [ ] ; 1 ) 0 2 ( 2 1 1 2 2 + + ⋅ = C C 2 =1. 36 Следовательно, искомая кривая определяется уравнением: y 2 =2x 2 +2x+1. Задача 3. Материальная точка массы m движется по оси OX под дей- ствием восстанавливающей силы, направленной к началу координат и пропорциональной расстоянию движущейся точки от начала; среда, в ко- торой происходит движение, оказывает движению точки сопротивление, пропорциональное скорости движения. Найти закон движения. Решение. Пусть x & – скорость точки, x & & – ее ускорение; на точку дей- ствуют две силы: восстанавливающая F 1 = –ax и сила сопротивления среды F 2 = –b x & . Согласно второму закону Ньютона имеем ax x b x m − − = & & & , или 0 = + + ax x b x m & & & . Имеем линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Его характеристическое уравнение mk 2 +bk+a=0 имеет кор- ни m ma b b k 2 4 2 2 , 1 − ± − = 1. Если b 2 – 4ma>0 , то корни – действительные, различные и оба отри- цательные; вводя для них обозначения 1 2 1 2 4 r m ma b b k − = − + − = , 2 2 2 2 4 r m ma b b k − = − + − = , находим общее решение уравнения движения в ви- де t r t r e c e c x 2 1 2 1 − − + = (случай так называемого апериодического движения). 2. Если b 2 –4ma=0, то корни характеристического уравнения – дейст- вительные равные r m b k k − = − = = 2 2 1 . В этом случае общее решение уравне- ния движения имеет вид x=(C 1 +C 2 t)e -rt 3. Если b 2 –4ma<0 , характеристическое уравнение имеет комплексные сопряженные корни k 1 = – α + β i, k 2 = – α – β i , где m b 2 = α , m b am 2 4 2 − = β . Общее решение уравнений движения имеет вид x=e - α t (C 1 cos β t+C 2 sin β t), или x=Ae - α t sin( β t+ ϕ 0 ), где 2 2 2 1 C C A + = , A C 1 0 sin = ϕ , A C 2 0 cos = ϕ (затухающие колебания). Задача 4. Свободно висящая на крючке однородная цепь соскальзывает с него под действием силы тяжести (трением можно пренебречь). Опреде- 37 лить, за какое время соскользнет с крюка вся цепь, если в начальный мо- мент цепь покоилась, длинна ее с одной стороны крюка была 10 м, а с дру- гой – 8 м. Решение. Пусть масса одного погонного метра цепи равна m. Обозначим через x длину большей части цепи, свешивающейся с крюка через время t после начала движения. К центру тяжести цепи приложена сила F=[x–(18–x)]mg . Масса всей цепи равна 18m, ее ускорение равно x & & . Итак приходим к уравнению движения центра тяжести цепи: 18m x & & =(2x–18)mg , или x & & – 9 gx =–g. Это уравнение нужно интегрировать при начальных усло- виях: x=10, x & =0 при t=0. Имеем линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициента- ми (см. уравнение 17). Общее решение определим по формуле : x= x +x*. Составим характеристическое уравнение k 2 – 9 g =0 и найдем его корни k 1,2 = 3 g ± . Частное решение x*=A; после подстановки в уравнение находим A=9. Таким образом, общее решение уравнения есть x= 9 3 3 2 1 + − + t g t g e C e C Используя начальное условие, получим: = − = + + 0 ) )( 3 ( 10 9 2 1 2 1 C C g C C Откуда С 1 =С 2 = 2 1 . Следовательно x= ) 3 ( 9 9 2 3 3 t g ch e e t t g g + = + + − Время за которое соскользнет вся цепь, определим из условия: x=18m при t=T. Следовательно, 18=9+ch( 3 g T ) или 9 2 3 3 = + − g T g T e e . Решая получен- ное уравнение относительно T, находим T=( g 3 ) ) 5 4 9 ln( + ≈ 2,76 c. Задача 5. Один конец пружины закреплен неподвижно, а к другому при- креплен груз массы m , на который действует периодическая возмущаю- 38 щая сила Hsin( ω t+ ϕ ), направленная по вертикали. При отклонении груза на расстояние x от положения равновесия пружина действует на него с силой kx (упругая сила пружины), направленной к положению равновесия; при движении груза со скоростью v сила сопротивления среды равна bv ( ω >0, k>0, H>0, 0<b<m, ϕ – постоянные). Найти движение груза в установившем- ся режиме и частоту возмущающей силы ω рез (резонансную частоту), при которой амплитуда колебаний груза в установившемся режиме будет наи- большей. Найти эту амплитуду. Решение. Пусть x=x(t) – отклонение груза от положения равновесия в мо- мент времени t. Согласно второму закону Ньютона, m x & & = –kx –b x & +Hsin( ω t+ ϕ ), откуда для определения закона движения груза x=x(t) получаем неоднородное линейное уравнение вида: ) sin( ϕ ω + = + + t m H qx x p x & & & где p= m b , q= m k Запишем общее решение x(t)= x (t)+x*(t).Поскольку p>0, q>0, то x (t) → 0 при ∞ → t , а x*(t)= A( ω )sin ( ω t+ ϕ + α ), где A( ω )= 2 2 2 2 ) ( ω ω p q m H + − , α = q p arctg − 2 ω ω . Частоту ω рез , при которой амплитуда A( ω ) колебаний гру- за в установившемся режиме достигает наибольшего значения, можно най- ти из условия минимума функции 2 2 2 2 ) ( ) ( ω ω ω p q + − = Ψ . Имеем 0 2 ) ( 4 ) ( 2 2 = + − − = Ψ′ ω ω ω p q , откуда 2 2 2 рез 2 4 m b m k p q − = − = ω Амплитуда колебаний груза при резонансе такова: 2 2 рез 4 2 4 ) ( b km b mH p q mp H A − = − = ω 39 ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ: «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ» Задания: 1. Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение. 2. Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям. 3. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь однородностью, и решить уравнение. 4. Решить задачу Коши. 5. Найти общее решение дифференциального уравнения. 6. Найти общее решение дифференциального уравнения методом вариации произвольных постоянных. 7. Найти общее решение уравнения Эйлера, Лагранжа или Чебышева. 8. Решить дифференциальное уравнение методом разложения в степенной ряд (до указанной степени). 9. Решить задачу. 10. Решить задачу. Вариант 1 1.1 2 3 2 ' y y x y x = ′ + ′′ 2.1 2 1 ) 0 ( ; 2 2 ) 0 ( ; 1 16 4 4 3 = ′ = − = ′′ y y y y y 3.1 0 2 2 2 2 2 = + ′ + ′ − ′′ y y xy y x y y x 4.1 1 ) 0 ( ; 1 ) 0 ( ; 1 ) 0 ( ; 0 9 − = ′′ = ′ = = ′ + ′′′ y y y y y 5.1 x x y y cos 2 + − = ′ − ′′′ 6.1 x y y 2 cos 1 4 = + ′′ 7.1 0 21 9 2 = + ′ − ′′ y y x y x 8.1 ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( 1 0 0 ; 0 0 0 ; 6 v x до y y y y y y e y x = ′′′ = ′′ = ′ = ′ + = ′ 9.1 Найти плоские кривые, у которых радиус кривизны пропорционален длине отрезка нормали. Рассмотреть случаи, когда коэффициент пропорциональности k равен 2 , 1 ± ± 10.1 Найти скорость, с которой тело падает на поверхность Земли, если считать, что оно падает с бесконечно большой высоты и движение происходит только под влиянием притяжения Земли. Радиус Земли считать равным 6400 км. 40 Вариант 2 1.2 ( ) 0 1 = ′′ − − ′′′ y x y 2.2 2 ) 0 ( ; 0 ) 0 ( ; 0 cos sin 8 3 = ′ = = + ′′ y y y y y 3.2 ( ) 2 2 y x y y y x ′ − ′ = ′′ 4.2 1 ) 0 ( ; 2 ) 0 ( ; 1 ) 0 ( ; 0 ) 0 ( ; 0 36 13 v = ′′′ = ′′ = ′ = = + ′′ − ′ y y y y y y y 5.2 x x e e y y 2 v 8 + = − ′ 6.2 ( ) 1 2 2 2 3 − = − ′′ x x y y 7.2 x y xy y x = + + ′′ ' 2 8.2 ( ) 7 2 v до 1 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ; 0 ) 0 ( ; x y y y y x xy y = ′′′ = ′′ = ′ = + = ′ 9.2 Найти форму равновесия однородной нерастяжимой нити под действием силы тяжести (цепная линия). 10.2 Найти закон движения тела , падающего без начальной скорости . Допуская, что сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости и что скорость имеет своим пределом при ∞ → t величину с м / 75 Вариант 3 1.3 chx y y cthx = ′ + ′′ 2.3 6 ) 2 ( ; 1 ) 2 ( ; 72 3 = ′ = = ′′ y y y y 3.3 ( ) 2 2 2 2 2 y y x y y xy y y y x + ′ = ′ + ′ − ′′ 4.3 1 ) 0 ( ; 1 ) 0 ( ; 0 ) 0 ( ; 1 ) 0 ( ; 16 8 v = ′′′ − = ′′ = ′ = − ′′ = ′ y y y y y y y 5.3 x e y y y x cos 4 2 2 = + ′ − ′′′ 6.3 x e y y y x ln 4 4 2 − = + ′ + ′′ 7.3 x x y x y y 2 2 = + ′ − ′′ 8.3 ( ) ( ) 4 2 до ; 1 ) 0 ( , 0 ) 0 ( ) 0 ( ; x y y y y y = ′′ = ′ = ′ = ′′′ 9.3 Составить дифференциальное уравнение семейства плоских кривых 0 3 2 1 2 2 = + + + + c y c x c y x 10.3 Цепь длиной 6м соскальзывает со стола. В момент начала движения со стола свисал 1м цепи. В течении какого времени со стола соскользнет вся цепь (трением пренебрегаем). |