Т. В. Труфанова, А. Е. Ситундифференциальные уравненияв примерах и задачах
Скачать 0.88 Mb.
|
Вариант 4 1.4 x y y x 1 = ′′ + ′′′ 2.4 2 ) 0 ( ; 3 ) 0 ( ; 0 36 3 = ′ = = + ′′ y y y y 3.4 0 2 = ′ − ′ + ′′ y y y x y xy 4.4 2 ) 0 ( ; 1 ) 0 ( ; 0 ) 0 ( ; 0 ) 0 ( ; 81 v = ′′′ = ′′ = ′ = = ′ y y y y y y 41 5.4 1 2 '' '' ' + = − x xe y y 6.4 x x e e y y cos 2 = − ′′ 7.4 0 2 2 2 3 2 = + + + ′ − ′′ x x y y x y x 8.4 ( ) 6 до ; 1 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ; x y y y y e y x = ′′ = ′ = = ′′′ 9.4 Найти кривые, у которых в любой точке радиус кривизны вдвое больше отрезка нормали, заключенного между этой точкой кривой и осью абсцисс, если известно, что кривая обращена выпуклостью к оси абсцисс. 10.4 Груз в Р кг подвешен на пружине и оттянул ее на а см. Затем пружина оттягивается еще на А см и отпускается без начальной скорости. Найти закон движения пружины, пренебрегая сопротивлением среды. Вариант 5 1.5 ( ) 0 1 1 2 2 = ′ + + ′′ + y y x 2.5 ; 2 1 ) 0 ( ; 2 2 ) 0 ( ; 16 4 4 3 = ′ = − = ′′ y y y y y 3.5 y y y x y xy ′ = ′ − ′′ 2 4.5 1 ) 0 ( , 1 ) 0 ( ; 0 ) 0 ( ; 1 ) 0 ( ; 0 12 13 − = ′′′ = ′′ = ′ = = − ′ − ′′′ y y y y y y y 5.5 x x y y y 2 sin cos 2 v − = + ′′ + ′ 6.5 x y y sin 1 = + ′′ 7.5 0 3 = − ′ + ′′′ y y x y x 8.5 ( ) 6 до ; 1 ) 0 ( ) 0 ( ; x y y y xy y = ′ = ′ = ′′ 9.5 Два одинаковых груза подвешены к кольцу пружины. Найти закон движения одного из грузов, если другой оборвется. Дано, что удлинение пружины под влиянием одного из грузов равно а см. 10.5 Решить задачу 9.4 при условии, что кривая обращена выпуклостью к оси ординат. Вариант 6 1.6 1 ' '' ' 2 2 − = y y xy 2.6 3 ) 0 ( ; 0 ) 0 ( ; 0 cos sin 18 3 = ′ = = + ′′ y y y y y 3.6 x y y yy 2 2 15 '' + ′ = 4.6 ; 1 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ; 0 ) 0 ( ; 0 2 v = ′′′ = ′′ = ′ = = ′′ + ′′′ + ′ y y y y y y y 5.6 x e y y x cos 9 '' 3 = − 6.6 x x e e y y y − + = + ′ − ′′ 1 2 3 7.6 0 2 2 = + ′ − ′′ y y x y x 8.6 ( ) 4 до , 0 ) 0 ( ) 0 ( ; 1 x y y y y x y = ′ = + − ′ = ′′ 42 9.6 Найти кривые, у которых радиус кривизны обратно пропорционален косинусу угла между касательной и осью абсцисс. 10.6 Материальная точка массы m отталкивается от центра О с силой, пропорциональной расстоянию. Сопротивление среды пропорционально скорости движения. Найти закон движения. Вариант 7 1.7 ( ) 2 1 2 = ′ − ′′ − y x y x 2.7 2 ) 1 ( ; 6 ) 1 ( ; 0 sin cos 2 = − ′ = − = ′ − ′ + ′′ y y y y y y y π 3.7 ( )( ) y xy y y y x ′ = ′′ − ′ + 2 2 1 4.7 1 ) 0 ( ; 1 ) 0 ( ; 1 ) 0 ( ) 0 ( ; 0 ) 0 ( ; 0 v = ′ = ′′ − = ′′′ = ′ = = ′′′ − v y y y y y y y 5.7 x e x y y + + = + ′′′ 1 2 6.7 = + ′′ 2 4 1 4 x ctg y y 7.7 x y y x y x 2 2 ln 3 3 3 = + ′ − ′′ 8.7 ( ) 4 до , 2 ) 1 ( ; 0 ) 1 ( ; sin x y y y x y π = ′ = ′ = ′′ 9.7 Определить формулу равновесия нерастяжимой нити с закрепленными концами, на которую действует нагрузка так, что на каждую единицу длины горизонтальной проекции нагрузка одинакова (цепи цепного листа). Весом самой нити пренебречь. 10.7 Материальная точка медленно погружается в жидкость. Найти закон движения, считая, что при медленном погружении сопротивление жидкости пропорционально скорости погружения. Вариант 8 1.8 0 = + ′′ + ′′′ x y y x 2 2 ) 0 ( , 2 2 ) 0 ( , 1 16 4 4 3 = ′ = − = ′′ y y y y y 3.8 0 2 = ′ − ′ + ′′ y y y x y xy 4.8 1 ) 0 ( , 2 ) 0 ( , 1 ) 0 ( , 0 ) 0 ( , 0 36 13 v = ′′′ = ′′ = ′ = = + ′′ − ′ y y y y y y y 5.8 1 2 + = ′′ − ′′′ x xe y y 6.8 x y y 2 cos 1 4 = + ′′ 7.8 ( ) 0 4 4 1 2 = − ′ + ′′ + y y x y x 8.8 ( ) 3 2 до 1 ) 0 ( , 1 ) 0 ( ; x y y x y y y = ′ = − ′ = ′′ 43 9.8 Найти интегральную кривую уравнения 1 2 = ′ + ′′ y y y , проходящую через точку ( ) 1 , 0 и касающуюся в этой точке прямой 1 = + y x (почему получается одна интегральная кривая ?). 10.8 Частица массы m движется по оси Ox , отталкиваясь от точки 0 = x с силой 0 3mr и притягиваясь к точке 1 = x с силой 1 4mr , где 0 r и 1 r - расстояние до этих точек. Определить движения частицы с начальными условиями 0 ) 0 ( , 2 ) 0 ( = = x x & Вариант 9 1.9 1 2 3 = ′′ + ′′′ y x y x 2.9 0 ) 0 ( , 1 ) 0 ( ; 2 2 = ′ = = ′ − ′′ y y y y y y 3.9 ( ) 2 2 y x y y y x ′ − = ′′ 4.9 ; 0 12 48 64 viii = ′′ + ′ + + y y y y v vi 1 ) 0 ( , 1 ) 0 ( , 0 ) 0 ( , 1 ) 0 ( , 1 ) 0 ( , 0 ) 0 ( , 0 ) 0 ( , 0 ) 0 ( v v v v = = = = ′ = ′′′ = ′′ = ′ = ii i y y y y y y y y 5.9 x e y y 2 3 4 + = ′ − ′′′ 6.9 x y y sin 1 '' = + 7.9 x y y x y x 1 3 2 = + ′ + ′′ 8.9 ( ) 5 2 2 до 1 ) 0 ( , 1 ) 0 ( ; x y y y x y y = ′ = ′ + + = ′′ 9.9 Найти интегральную кривую уравнения 2 3 y y y y y ′′ + ′ = ′′ ′ , касающуюся в начале координат прямой 0 = + y x 10.9 Электрическая цепь состоит из последовательно включенных источников постоянного тока, дающего напряжение U , сопротивления R , самоиндукции L и выключателя, который включается при 0 = t . Найти зависимость силы тока от времени (при 0 > t ). Вариант 10 1.10 0 1 = + ′′ − ′′′ x y y x 2.10 1 ) 0 ( , 1 ) 0 ( ; 2 = ′ = ′ = ′′ y y y y y 3.10 ( ) ( ) x y x y y x y − ′ = ′ + ′′ 1 2 4.10 1 ) 0 ( , 0 ) 0 ( , 2 ) 0 ( ; − = ′′ = ′ = ′ − = ′′′ y y y y y 5.10 x x y y y v 2 sin 2 6 5 + = ′′ + ′′′ − ′ 6.10 x x x y y 1 4 2 + = − ′′ 7.10 2 4 3 2 2 x y y x y x = + ′ − ′′ 44 8.10 ( ) ( ) 3 2 до 1 ) 0 ( , 1 ) 0 ( ; 0 1 x y y y y x y x = ′ = = − ′ + ′′ + 9.10 Последовательно включены источники тока, напряжение каждого меняется по закону t v E sin ω = , сопротивление R и самоиндукция L . Найти силу тока в цепи (установившийся режим). 10.10 Найти плоские кривые, радиус кривизны которых пропорционален кубу длины отрезка нормали. Вариант 11 1.11 2 2y y y ′′ = ′′′ ′ 2.11 1 ) 1 ( , 4 ) 1 ( ; 2 2 = − ′ = − ′ = ′′ y y y y y 3.11 0 2 2 = ′ + ′′ y y y x 4.11 2 ) 0 ( , 1 ) 0 ( , 0 ) 0 ( , 0 ) 0 ( ; 0 '' 2 v = ′′′ = ′′ = ′ = = + + ′ y y y y y y y 5.11 5 2 v + = ′′′ + x y y 6.11 x x y y 2 cos sin = ′ + ′′′ 7.11 ( ) 0 2 1 2 = − ′ + ′′ − y y x y x 8.11 0 ) 0 ( , 1 ) 0 ( ; 0 = ′ = = − ′ − ′′ y y y y x y 9.11 Найти уравнение кривой, касающейся оси абсцисс в начале кординат, если ее кривизна в любой точке равна < < − 2 2 cos π π x x 10.11 Найти закон движения тела, падающего в воздухе без начальной скорости, считая сопротивление воздуха пропорциональным квадрату скорости. Вариант 12 1.12 ( ) ctgx y y 1 2 − ′′ = ′′′ 2.12 2 ) 0 ( , 1 ) 0 ( ; 2 = ′ = ′ = ′′ + ′ y y y y y y y 3.12 ( ) y y y y xy ′ + ′ = ′′ 4.12 2 ) 0 ( , 1 ) 0 ( , 0 ) 0 ( ; 0 5 4 = ′′ = ′ = = ′ + ′′ − ′′′ y y y y y y 5.12 x e x y y + = − ′ 2 v 6.12 x x e e y y 2 2 1 − = ′ − ′′ 7.12 x y y x ln 12 6 2 = − ′′ 8.12 ( ) 4 до 3 ) 0 ( , 1 ) 0 ( ; cos x y y y xy y π = ′ = ′ = ′′ 9.12 Найти уравнения кривых, у которых радиус кривизны в любой точке равен длине отрезка нормали, заключенного между этой точкой и осью абсцисс, если кривая вогнута вверх. 45 10.12 Мяч массой 400г падает с высоты 16,7м без начальной скорости. Сопротивление воздуха пропорционально скорости мяча и равно 0,0048Н при скорости 1 м/с. Вычислить время падения и скорость мяча в конце падения. Принять g=10 м/с 2 Вариант 13 1.13 2 2 y y x ′′ = ′′′ 2.13 y x y y x y x 4 6 3 2 2 2 − = ′ − ′′ ; ( ) 1 1 = y , ( ) 4 1 = ′ y 3.13 ( )( ) x y x y y x y y x − ′ − ′ − = ′′ 3 4.13 1 ) 0 ( , 1 ) 0 ( , 0 ) 0 ( ; 0 2 3 − = ′′ = ′ = = + ′ − ′′′ y y y y y y 5.13 x e y y y x − = + ′ − ′′′ 2 3 6.13 x y y 2 cos 1 = + ′′ 7.13 0 3 3 2 = ′ + ′′ − ′′′ y y x y x 8.13 ( ) 4 2 до 1 ) 0 ( , 2 ) 0 ( ; x y y y xy y = ′ = ′ − = ′′ 9.13 Найти уравнение кривых, у которых радиус кривизны в любой точке равен длине отрезка нормали заключенного между этой точкой и осью абсцисс, если кривая вогнута вниз. 10.13 Тело массы m движется прямолинейно под действием постоянной силы p . Найти скорость движения и пройденный им путь как функцию времени, если в начальный момент они оба равны нулю, а сопротивление среды пропорционально квадрату скорости. Вариант 14 1.14 2 y y ′′ = ′′′ 2.14 1 ) 1 ( , 4 ) 1 ( ; 2 2 = − ′ = − ′ = ′′ y y y y y 3.14 ( ) y xy y y y x ′ − = ′ − ′′ 2 1 2 2 2 4.14 1 (0) y , 1 ) 0 ( , 1 ) 0 ( , 0 ) 0 ( ; 0 16 8 v = ′′′ = ′′ = ′ = = + ′′ + ′ y y y y y y 5.14 x e y y x sin 5 v = − ′ 6.14 x x e e y y 2 2 1 4 2 − − + = ′ − ′′ 7.14 0 2 2 = ′ − ′′′ y y x 8.14 ( ) 4 до 1 ) 0 ( , 1 ) 0 ( ; x y y e y y x y x = ′ = + − ′ = ′′ 9.14 Найти кривые постоянного радиуса кривизны. 10.14 Найти закон прямолинейного движения материальной точки массы m под действием отталкивающей силы, обратно пропорциональной кубу расстояния от точки до неподвижного центра. В начальный момент точка находится в покое и отстоит от центра на расстояние 0 x 46 Вариант 15 1.15 2 x y x y y ′ − = ′′ 2.15 2 ) 0 ( , 1 ) 0 ( ; 3 2 = ′ = ′ − ′ = ′′ y y y y y y 3.15 ( ) 2 2 y x y y y x ′ − = ′′ 4.15 2 ) 0 ( , 1 ) 0 ( , 0 ) 0 ( , 0 ) 0 ( ; 0 2 v = ′′′ = ′′ = ′ = = + ′′ + ′ y y y y y y y 5.15 x x y y y sin 2 2 v = + ′′ + ′ 6.15 x y y 3 cos 9 9 = + ′′ 7.15 ( ) 0 4 4 1 2 = − ′ + ′′ + y y x y x 8.15 ( ) 6 до 1 ) 0 ( , 0 ) 0 ( ; x y y e y x y y = ′ = + ′ = ′′ 9.15 Найти кривые, у которых радиус кривизны равен нормали. 10.15 Материальная точка массы m движется прямолинейно к неподвижному центру, притягивающему ее силой, обратно пропорциональной кубу расстояния от точки до неподвижного центра. В начальный момент точка находится в покое и отстоит от центра на расстояние 0 x . Определить время, по истечении которого точка достигает центра. |