Т. В. Труфанова, А. Е. Ситундифференциальные уравненияв примерах и задачах

• Название: Т. В. Труфанова, А. Е. Ситундифференциальные уравненияв примерах и задачах
• Дата: 02.08.2018
• Размер: 0.88 Mb.
• Имя файла: amursu015.pdf
• Тип: Документы; #48922
• страница: 7 из 8

Вариант 4
1.4
x
y
y
x
1
=
′′
+
′′′
2.4 2
)
0
(
;
3
)
0
(
;
0 36 3
=
′
=
=
+
′′
y
y
y
y
3.4 0
2
=
′
−
′
+
′′
y
y
y
x
y
xy
4.4 2
)
0
(
;
1
)
0
(
;
0
)
0
(
;
0
)
0
(
;
81
v
=
′′′
=
′′
=
′
=
=
′
y
y
y
y
y
y

41 5.4 1
2
''
''
'
+
=
−
x
xe
y
y
6.4
x
x
e
e
y
y
cos
2
=
−
′′
7.4 0
2 2
2 3
2
=
+
+
+
′
−
′′
x
x
y
y
x
y
x
8.4
(
)
6
до
;
1
)
0
(
)
0
(
)
0
(
;
x
y
y
y
y
e
y
x
=
′′
=
′
=
=
′′′
9.4 Найти кривые, у которых в любой точке радиус кривизны вдвое больше отрезка нормали, заключенного между этой точкой кривой и осью абсцисс,
если известно, что кривая обращена выпуклостью к оси абсцисс.
10.4 Груз в Р кг подвешен на пружине и оттянул ее на а см. Затем пружина оттягивается еще на А см и отпускается без начальной скорости. Найти закон движения пружины, пренебрегая сопротивлением среды.
Вариант 5
1.5
(
)
0 1
1 2
2
=
′
+
+
′′
+
y
y
x
2.5
;
2 1
)
0
(
;
2 2
)
0
(
;
16 4
4 3
=
′
=
−
=
′′
y
y
y
y
y
3.5
y
y
y
x
y
xy
′
=
′
−
′′
2 4.5 1
)
0
(
,
1
)
0
(
;
0
)
0
(
;
1
)
0
(
;
0 12 13
−
=
′′′
=
′′
=
′
=
=
−
′
−
′′′
y
y
y
y
y
y
y
5.5
x
x
y
y
y
2
sin cos
2
v
−
=
+
′′
+
′
6.5
x
y
y
sin
1
=
+
′′
7.5 0 3
=
−
′
+
′′′
y
y
x
y
x
8.5
(
)
6
до
;
1
)
0
(
)
0
(
;
x
y
y
y
xy
y
=
′
=
′
=
′′
9.5 Два одинаковых груза подвешены к кольцу пружины. Найти закон движения одного из грузов, если другой оборвется. Дано, что удлинение пружины под влиянием одного из грузов равно а см.
10.5 Решить задачу 9.4 при условии, что кривая обращена выпуклостью к оси ординат.
Вариант 6
1.6 1
'
''
'
2 2
−
=
y
y
xy
2.6 3
)
0
(
;
0
)
0
(
;
0
cos sin
18 3
=
′
=
=
+
′′
y
y
y
y
y
3.6
x
y
y
yy
2 2
15
''
+
′
=
4.6
;
1
)
0
(
)
0
(
)
0
(
;
0
)
0
(
;
0 2
v
=
′′′
=
′′
=
′
=
=
′′
+
′′′
+
′
y
y
y
y
y
y
y
5.6
x
e
y
y
x
cos
9
''
3
=
−
6.6
x
x
e
e
y
y
y
−
+
=
+
′
−
′′
1 2
3 7.6 0
2 2
=
+
′
−
′′
y
y
x
y
x
8.6
(
)
4
до
,
0
)
0
(
)
0
(
;
1
x
y
y
y
y
x
y
=
′
=
+
−
′
=
′′

42 9.6 Найти кривые, у которых радиус кривизны обратно пропорционален косинусу угла между касательной и осью абсцисс.
10.6 Материальная точка массы m отталкивается от центра О с силой,
пропорциональной расстоянию. Сопротивление среды пропорционально скорости движения. Найти закон движения.
Вариант 7
1.7
(
)
2 1
2
=
′
−
′′
−
y
x
y
x
2.7 2
)
1
(
;
6
)
1
(
;
0
sin cos
2
=
−
′
=
−
=
′
−
′
+
′′
y
y
y
y
y
y
y
π
3.7
(
)(
)
y
xy
y
y
y
x
′
=
′′
−
′
+
2 2
1 4.7 1
)
0
(
;
1
)
0
(
;
1
)
0
(
)
0
(
;
0
)
0
(
;
0
v
=
′
=
′′
−
=
′′′
=
′
=
=
′′′
−
v
y
y
y
y
y
y
y
5.7
x
e
x
y
y
+
+
=
+
′′′
1 2
6.7






=
+
′′
2 4
1 4
x
ctg
y
y
7.7
x
y
y
x
y
x
2 2
ln
3 3
3
=
+
′
−
′′
8.7
(
)
4
до
,
2
)
1
(
;
0
)
1
(
;
sin
x
y
y
y
x
y
π
=
′
=
′
=
′′
9.7 Определить формулу равновесия нерастяжимой нити с закрепленными концами, на которую действует нагрузка так, что на каждую единицу длины горизонтальной проекции нагрузка одинакова (цепи цепного листа). Весом самой нити пренебречь.
10.7 Материальная точка медленно погружается в жидкость. Найти закон движения, считая, что при медленном погружении сопротивление жидкости пропорционально скорости погружения.
Вариант 8
1.8 0
=
+
′′
+
′′′
x
y
y
x
2 2
)
0
(
,
2 2
)
0
(
,
1 16 4
4 3
=
′
=
−
=
′′
y
y
y
y
y
3.8 0 2
=
′
−
′
+
′′
y
y
y
x
y
xy
4.8 1
)
0
(
,
2
)
0
(
,
1
)
0
(
,
0
)
0
(
,
0 36 13
v
=
′′′
=
′′
=
′
=
=
+
′′
−
′
y
y
y
y
y
y
y
5.8 1 2
+
=
′′
−
′′′
x
xe
y
y
6.8
x
y
y
2
cos
1 4
=
+
′′
7.8
(
)
0 4
4 1
2
=
−
′
+
′′
+
y
y
x
y
x
8.8
(
)
3 2
до
1
)
0
(
,
1
)
0
(
;
x
y
y
x
y
y
y
=
′
=
−
′
=
′′

43 9.8 Найти интегральную кривую уравнения
1 2
=
′
+
′′
y
y
y
, проходящую через точку
( )
1
,
0
и касающуюся в этой точке прямой
1
=
+
y
x
(почему получается одна интегральная кривая ?).
10.8 Частица массы
m
движется по оси
Ox
, отталкиваясь от точки
0
=
x
с силой
0 3mr
и притягиваясь к точке
1
=
x
с силой
1 4mr
, где
0
r
и
1
r
- расстояние до этих точек. Определить движения частицы с начальными условиями
0
)
0
(
,
2
)
0
(
=
=
x
x
&
Вариант 9
1.9 1
2 3
=
′′
+
′′′
y
x
y
x
2.9 0
)
0
(
,
1
)
0
(
;
2 2
=
′
=
=
′
−
′′
y
y
y
y
y
y
3.9
(
)
2 2
y
x
y
y
y
x
′
−
=
′′
4.9
;
0 12 48 64
viii
=
′′
+
′
+
+
y
y
y
y
v
vi
1
)
0
(
,
1
)
0
(
,
0
)
0
(
,
1
)
0
(
,
1
)
0
(
,
0
)
0
(
,
0
)
0
(
,
0
)
0
(
v v
v v
=
=
=
=
′
=
′′′
=
′′
=
′
=
ii
i
y
y
y
y
y
y
y
y
5.9
x
e
y
y
2 3
4
+
=
′
−
′′′
6.9
x
y
y
sin
1
''
=
+
7.9
x
y
y
x
y
x
1 3
2
=
+
′
+
′′
8.9
(
)
5 2
2
до
1
)
0
(
,
1
)
0
(
;
x
y
y
y
x
y
y
=
′
=
′
+
+
=
′′
9.9 Найти интегральную кривую уравнения
2 3
y
y
y
y
y
′′
+
′
=
′′
′
, касающуюся в начале координат прямой
0
=
+
y
x
10.9 Электрическая цепь состоит из последовательно включенных источников постоянного тока, дающего напряжение
U
, сопротивления
R
,
самоиндукции
L
и выключателя, который включается при
0
=
t
. Найти зависимость силы тока от времени (при
0
>
t
).
Вариант 10
1.10 0
1
=
+
′′
−
′′′
x
y
y
x
2.10 1
)
0
(
,
1
)
0
(
;
2
=
′
=
′
=
′′
y
y
y
y
y
3.10
(
)
(
)
x
y
x
y
y
x
y
−
′
=
′
+
′′
1 2
4.10 1
)
0
(
,
0
)
0
(
,
2
)
0
(
;
−
=
′′
=
′
=
′
−
=
′′′
y
y
y
y
y
5.10
x
x
y
y
y
v
2
sin
2 6
5
+
=
′′
+
′′′
−
′
6.10
x
x
x
y
y
1 4
2
+
=
−
′′
7.10 2
4 3
2 2
x
y
y
x
y
x
=
+
′
−
′′

44 8.10
(
)
(
)
3 2
до
1
)
0
(
,
1
)
0
(
;
0 1
x
y
y
y
y
x
y
x
=
′
=
=
−
′
+
′′
+
9.10 Последовательно включены источники тока, напряжение каждого меняется по закону
t
v
E
sin
ω
=
, сопротивление
R
и самоиндукция
L
. Найти силу тока в цепи (установившийся режим).
10.10 Найти плоские кривые, радиус кривизны которых пропорционален кубу длины отрезка нормали.
Вариант 11
1.11 2
2y
y
y
′′
=
′′′
′
2.11 1
)
1
(
,
4
)
1
(
;
2 2
=
−
′
=
−
′
=
′′
y
y
y
y
y
3.11 0
2 2
=
′
+
′′
y
y
y
x
4.11 2
)
0
(
,
1
)
0
(
,
0
)
0
(
,
0
)
0
(
;
0
''
2
v
=
′′′
=
′′
=
′
=
=
+
+
′
y
y
y
y
y
y
y
5.11 5
2
v
+
=
′′′
+
x
y
y
6.11
x
x
y
y
2
cos sin
=
′
+
′′′
7.11
(
)
0 2
1 2
=
−
′
+
′′
−
y
y
x
y
x
8.11 0
)
0
(
,
1
)
0
(
;
0
=
′
=
=
−
′
−
′′
y
y
y
y
x
y
9.11 Найти уравнение кривой, касающейся оси абсцисс в начале кординат,
если ее кривизна в любой точке равна






<
<
−
2 2
cos
π
π
x
x
10.11 Найти закон движения тела, падающего в воздухе без начальной скорости, считая сопротивление воздуха пропорциональным квадрату скорости.
Вариант 12
1.12
(
)
ctgx
y
y
1 2
−
′′
=
′′′
2.12 2
)
0
(
,
1
)
0
(
;
2
=
′
=
′
=
′′
+
′
y
y
y
y
y
y
y
3.12
(
)
y
y
y
y
xy
′
+
′
=
′′
4.12 2
)
0
(
,
1
)
0
(
,
0
)
0
(
;
0 5
4
=
′′
=
′
=
=
′
+
′′
−
′′′
y
y
y
y
y
y
5.12
x
e
x
y
y
+
=
−
′
2
v
6.12
x
x
e
e
y
y
2 2
1
−
=
′
−
′′
7.12
x
y
y
x
ln
12 6
2
=
−
′′
8.12
(
)
4
до
3
)
0
(
,
1
)
0
(
;
cos
x
y
y
y
xy
y
π
=
′
=
′
=
′′
9.12 Найти уравнения кривых, у которых радиус кривизны в любой точке равен длине отрезка нормали, заключенного между этой точкой и осью абсцисс, если кривая вогнута вверх.

45 10.12 Мяч массой 400г падает с высоты 16,7м без начальной скорости.
Сопротивление воздуха пропорционально скорости мяча и равно 0,0048Н
при скорости 1 м/с. Вычислить время падения и скорость мяча в конце падения. Принять g=10 м/с
2
Вариант 13
1.13 2
2
y
y
x
′′
=
′′′
2.13
y
x
y
y
x
y
x
4 6
3 2
2 2
−
=
′
−
′′
;
( )
1 1
=
y
,
( )
4 1
=
′
y
3.13
(
)(
)
x
y
x
y
y
x
y
y
x
−
′
−
′
−
=
′′
3 4.13 1
)
0
(
,
1
)
0
(
,
0
)
0
(
;
0 2
3
−
=
′′
=
′
=
=
+
′
−
′′′
y
y
y
y
y
y
5.13
x
e
y
y
y
x
−
=
+
′
−
′′′
2 3
6.13
x
y
y
2
cos
1
=
+
′′
7.13 0
3 3
2
=
′
+
′′
−
′′′
y
y
x
y
x
8.13
(
)
4 2
до
1
)
0
(
,
2
)
0
(
;
x
y
y
y
xy
y
=
′
=
′
−
=
′′
9.13 Найти уравнение кривых, у которых радиус кривизны в любой точке равен длине отрезка нормали заключенного между этой точкой и осью абсцисс, если кривая вогнута вниз.
10.13 Тело массы
m
движется прямолинейно под действием постоянной силы
p
. Найти скорость движения и пройденный им путь как функцию времени, если в начальный момент они оба равны нулю, а сопротивление среды пропорционально квадрату скорости.
Вариант 14
1.14 2
y
y
′′
=
′′′
2.14 1
)
1
(
,
4
)
1
(
;
2 2
=
−
′
=
−
′
=
′′
y
y
y
y
y
3.14
(
)
y
xy
y
y
y
x
′
−
=
′
−
′′
2 1
2 2
2 4.14 1
(0)
y
,
1
)
0
(
,
1
)
0
(
,
0
)
0
(
;
0 16 8
v
=
′′′
=
′′
=
′
=
=
+
′′
+
′
y
y
y
y
y
y
5.14
x
e
y
y
x
sin
5
v
=
−
′
6.14
x
x
e
e
y
y
2 2
1 4
2
−
−
+
=
′
−
′′
7.14 0
2 2
=
′
−
′′′
y
y
x
8.14
(
)
4
до
1
)
0
(
,
1
)
0
(
;
x
y
y
e
y
y
x
y
x
=
′
=
+
−
′
=
′′
9.14 Найти кривые постоянного радиуса кривизны.
10.14 Найти закон прямолинейного движения материальной точки массы
m
под действием отталкивающей силы, обратно пропорциональной кубу расстояния от точки до неподвижного центра. В начальный момент точка находится в покое и отстоит от центра на расстояние
0
x

46
Вариант 15
1.15 2
x
y
x
y
y
′
−
=
′′
2.15 2
)
0
(
,
1
)
0
(
;
3 2
=
′
=
′
−
′
=
′′
y
y
y
y
y
y
3.15
(
)
2 2
y
x
y
y
y
x
′
−
=
′′
4.15 2
)
0
(
,
1
)
0
(
,
0
)
0
(
,
0
)
0
(
;
0 2
v
=
′′′
=
′′
=
′
=
=
+
′′
+
′
y
y
y
y
y
y
y
5.15
x
x
y
y
y
sin
2 2
v
=
+
′′
+
′
6.15
x
y
y
3
cos
9 9
=
+
′′
7.15
(
)
0 4
4 1
2
=
−
′
+
′′
+
y
y
x
y
x
8.15
(
)
6
до
1
)
0
(
,
0
)
0
(
;
x
y
y
e
y
x
y
y
=
′
=
+
′
=
′′
9.15 Найти кривые, у которых радиус кривизны равен нормали.
10.15 Материальная точка массы
m
движется прямолинейно к неподвижному центру, притягивающему ее силой, обратно пропорциональной кубу расстояния от точки до неподвижного центра. В
начальный момент точка находится в покое и отстоит от центра на расстояние
0
x
. Определить время, по истечении которого точка достигает центра.