Т. В. Труфанова, А. Е. Ситундифференциальные уравненияв примерах и задачах

• Название: Т. В. Труфанова, А. Е. Ситундифференциальные уравненияв примерах и задачах
• Дата: 02.08.2018
• Размер: 0.88 Mb.
• Имя файла: amursu015.pdf
• Тип: Документы; #48922
• страница: 1 из 8

Т.В. Труфанова, А.Е. Ситун
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ
Часть II. Уравнения n-го порядка

Министерство образования Российской Федерации
АМУРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Факультет математики и информатики
Т.В. Труфанова, А.Е. Ситун
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ
Часть II. Уравнения n-го порядка
Благовещенск

ББК 22.161.6я73
Печатается по решению
Т80
редакционно-издательского совета
факультета математики и информатики
Амурского государственного
университета
Т.В. Труфанова, А.Е. Ситун
Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. Часть II.
Уравнения n-го порядка. Учебно-методическое пособие. Благовещенск:
Амурский гос. ун-т, 2001.
Пособие содержит краткие теоретические сведения по общему курсу
«Дифференциальные уравнения». Подробно рассматриваются методы ре- шения основных типов дифференциальных уравнений n-го порядка. Сту- дентам предлагаются варианты самостоятельной работы по данной теме.
Материал пособия позволяет выработать практические навыки в решении и исследовании дифференциальных уравнений.
Пособие предназначено для студентов специальностей 010100 – мате- матика, 010200 – прикладная математика, 010400 – физика.
Рецензент: А.И. Родионов, доцент кафедры ТМ и СМ НГТУ,
канд. физ.-мат. наук.

Амурский государственный университет, 2001

3
§1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид
( )
(
)
0
,...,
''
,'
,
,
=
n
y
y
y
y
x
F
,
(1)
где х – независимая переменная, у – искомая функция, а функция F опре- делена и непрерывна в некоторой области
(
)
1 2
≥
⊆
+
n
G
n
R
Дифференциальное уравнение n-го порядка, разрешенное относи-
тельно старшей производной, имеет вид
( )
( )
(
)
0
,...,
''
,'
,
,
1
=
=
−
n
n
y
y
y
y
x
f
y
,
(2)
где функция f также предполагается непрерывной в некоторой области
1
+
⊆
n
D
R
изменения своих аргументов.
Решением уравнения (2) на интервале (a,b) называется функция
( )
x
y
,
удовлетворяющая условиям:
1)
( )
x
y
непрерывно дифференцируема n раз на (a,b);
2)
( ) ( )
( )
( )
(
)
( )
b
a
x
D
x
y
x
y
x
y
x
n
,
,
,...,
'
,
,
1
∈
∀
∈
−
;
3)
( )
x
y
обращает уравнение (2) в тождество
∀
х
∈
(a,b).
Аналогично определяется решение уравнения (1).
Задачей Коши для дифференциального уравнения (2) называется за- дача отыскания решения
( )
x
y
, удовлетворяющего заданным начальным ус- ловиям:
( )
0 0
y
x
y
=
,
( )
0 0
'
'
y
x
y
=
,…,
( )
( )
( )
1 0
0 1
−
−
=
n
n
y
x
y
,
(3)
где
( )
b
a
x
,
0
∈
,
0
y
,
0
'
y
,…,
( )
1 0
−
n
y
– заданные числа.
Теорема Пеано. Если функция f непрерывна в области D, то для любой точки
( )
(
)
D
y
y
y
x
n
∈
−
1 0
0 0
0
,...
'
,
,
существует решение уравнения (2), определенное в некоторой окрестности точки
( )
b
a
x
,
0
∈
и удовлетворяющее условиям (3).
Существование и единственность решения задачи Коши определяется следующей теоремой.

4
Теорема Коши – Пикара. Если функция f непрерывна в области D и имеет непрерывные частные производные
( )
1
,...,
'
,
−
∂
∂
∂
∂
∂
∂
n
y
f
y
f
y
f
, то для любой точ- ки
( )
(
)
D
y
y
y
x
n
∈
−
1 0
0 0
0
,...
'
,
,
существует единственное решение уравнение (2), оп- ределенное в некоторой окрестности точки
( )
b
a
x
,
0
∈
и удовлетворяющее ус- ловиям (3).
Общим решением уравнения (1) или (2) называется такая функция
(
)
n
c
c
x
y
,...,
,
1
ϕ
=
, которая при любых допустимых значениях параметров
n
c
c
c
,...,
,
2 1
является решением этого дифференциального уравнения и для лю- бой задачи Коши с условиями (3) найдутся постоянные
n
c
c
c
,...,
,
2 1
, опреде- ляемые из системы уравнений:
(
)
(
)
( )
( )
(
)







=
=
=
−
−
,...,
,
,...,
,
'
'
,...,
,
2 1
0 1
1 0
2 1
0 0
2 1
0 0
n
n
n
n
n
c
c
c
x
y
c
c
c
x
y
c
c
c
x
y
ϕ
ϕ
ϕ
Уравнение
(
)
0
,...,
,
,
,
2 1
=
Φ
n
c
c
c
y
x
, (4)
определяющее общее решение как неявную функцию, называется общим
интегралом дифференциального уравнения.
Частным решением уравнения (1) или (2) называется любое решение, получаемое из общего решения при конкретных числовых значе- ниях
n
c
c
c
,...,
,
2 1
Аналогично вводится понятие частного интеграла.
Если
( )
x
y
– решение уравнения (1), то график функции
( )
x
y
y
=
на- зывается интегральной кривой уравнения (1).
Геометрически общее решение (общий интеграл) представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости, зависящие от n параметров
n
c
c
c
,...,
,
2 1
Функция
( )
x
φ
называется особым решением дифференциального уравне- ния (1), если:
1)
( )
x
φ
обращает дифференциальное уравнение (1) в тождество;
2)
для любой точки
( )
b
a
x
,
0
∈
задача Коши с начальными условиями
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
0 1
0 1
0 0
0 0
,...,
'
'
,
x
x
y
x
x
y
x
x
y
n
n
−
−
=
=
=
φ
φ
φ
имеет более одного решения.

5
§ 2. УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ,
РАЗРЕШАЕМЫЕ В КВАДРАТУРАХ
2.1 Уравнение вида
( )
(
)
0
,
=
n
y
x
F
,
(5)
которое содержит только производную n-го порядка искомой функции
и независимую переменную.
Запишем уравнение (5) в параметрической форме
( )
t
x
ϕ
=
,
( )
( )
t
y
n
φ
=
,
где
( )
t
ϕ
– дифференцируемая функция. Общий интеграл уравнения (5)
найдется в параметрической форме.
Имеем
( )
( )
dx
y
dy
n
n
=
−
1
,
( )
( )
t
dy
n
φ
=
−
1
( )
dt
t
'
ϕ
, откуда
( )
( )
∫
′
=
−
t
y
n
ϕ
1
( )
( )
1 1
1
,
c
t
c
dt
t
φ
φ
=
+
Аналогично находим
(
)
2
−
n
y
и т.д. Система
( )
(
)



=
=
n
n
c
c
c
t
y
t
x
,...,
,
,
2 1
φ
ϕ
является общим интегралом уравнения (5).
Пример 1. Найти общее решение уравнения
2 1
''
'
x
y
−
=
Решение. Введем параметр t, положив







−
∈
=
2
,
2
sin
π
π
t
t
x
, тогда
t
t
y
cos cos
''
'
=
=
Данное уравнение в параметрической форме имеет вид:
t
y
t
x
cos
''
'
,
sin
=
=
Проинтегрируем полученное выражение
tdt
dx
y
dy
2
cos
''
'
''
=
=
,
2
cos
''
1 2
c
tdt
y
+
=
∫
,






+
+
=
1 2
sin
2 1
2 1
''
c
t
t
y
;
tdt
c
t
t
dx
y
dy
cos
2
sin
2 1
2 1
''
'
1






+
+
=
=
,
2
cos cos
2
sin
2 1
cos
2 1
'
2 1
c
dt
t
c
t
t
t
t
y
+






+
+
=
∫
,






+
+
−
+
=
2 1
3
sin cos
3 1
cos sin
2 1
'
c
t
c
t
t
t
t
y
;
tdt
c
t
c
t
t
t
t
dx
y
dy
cos sin cos
3 1
cos sin
2 1
'
2 1
3






+
+
−
+
=
=
,
2
cos
2
sin
2 1
cos
3 1
cos
2
sin
2 1
2 1
3 2
1 4
2
c
dt
t
c
t
c
t
t
t
t
y
+






+
+
−
+
=
∫
,






+
+
−
−
+
+
−
=
3 2
1
sin
2
cos
4 1
4
sin
96 1
2
sin
24 7
8 3
2
cos
4 1
2 1
c
t
c
t
c
t
t
t
t
t
y

6
Общее решение в параметрической форме записывается






+
+
−
−
+
+
−
=







−
∈
=
,
2
sin
2 2
cos
8 4
sin
192 1
2
sin
48 7
16 3
2
cos
8 1
2
,
2
sin
3 2
1
c
t
c
t
c
t
t
t
t
t
y
t
t
x
π
π
где C
1
,C
2
,C
3
– произвольные постоянные.
Пример 2. Найти частное решение уравнения
1
''
2 2
=
−
x
y
, y(0)=0,
y’(0)=1.
Решение. Решим задачу Коши. Для этого найдем общее решение за- данного уравнения и, учитывая начальные условия, получим частное ре- шение уравнения. Введем параметр t, положив
R
∈
=
t
t
x
,
sh
. Тогда
t
ch
t
sh
y
2 2
2 1
''
=
+
=
,
cht
y
=
''
Запишем заданное уравнение в параметрической форме:



=
=
,
ch
''
sh
t
y
t
x
имеем:
tdt
dx
y
dy
2
ch
''
'
=
=
,
1 2
ch
'
c
tdt
y
+
=
∫
,
(
)
1 1
2
sh
4 1
2 1
2
ch
1 2
1
'
c
t
t
c
dt
t
y
+
+
=
+
+
=
∫
,
dt
t
c
t
t
dx
y
dy
ch
2
sh
4 1
2 1
'
1






+
+
=
=
,
2 1
ch ch
2
sh
4 1
ch t
2 1
c
dt
t
c
t
t
t
y
+






+
+
=
∫
,
2 1
3
sh ch
6 1
ch
2 1
sh
2 1
c
t
c
t
t
t
t
y
+
+
+
−
=
Запишем общее решение уравнения в параметрической форме:




+
+
+
−
=
=
sh ch
6 1
ch
2 1
sh
2 1
sh
2 1
3
c
t
c
t
t
t
t
y
t
x
Учитывая начальные условия, найдем C
1
и C
2
. Если x=0, то sh t=0 или
(
)
0 2
1
=
−
−
t
t
e
e
, откуда
0 0
=
t
. Подставляя в решение t=0, y(0)=0, y’(0)=1, по- лучим
3 1
,
1 2
1
=
=
c
c
. Запишем частное решение уравнения в параметриче- ской форме:




+
+
+
−
=
=
3 1
sh ch
6 1
ch
2 1
sh
2 1
sh
3
t
t
t
t
t
y
t
x

7
Выразим t через x. Имеем
(
)
x
e
e
t
t
=
−
−
2 1
,
0 1
2 2
=
−
−
t
t
xe
e
, откуда
1 2
+
+
=
x
x
e
t
,
(
)
1
ln
2
+
+
=
x
x
t
,
1
ch
2
+
=
x
t
Частное решение уравнения записывается
(
)
(
)
3 1
1 6
1 1
2 1
1
ln
2 1
3 2
2 2
+
+
+
+
+
−
+
+
=
x
x
x
x
x
x
y
2.2. Уравнения вида
( )
( )
x
f
y
n
=
(6)
Данное уравнение рассматривается как частный случай уравнения (5),
где f(x) непрерывная функция на (a,b).
Если принять
( )
b
a
x
x
,
∈
=
в качестве параметра, то общее решение уравне- ния (6) получим в форме:
( )
n
n
n
n
c
x
c
x
c
x
c
dx
dxdx
x
f
y
+
+
+
+
+
=
−
−
−
∫∫ ∫
1 2
2 1
1
Общее решение уравнения (6) в форме Коши имеет вид:
( )
( )
(
) (
)
(
)
(
) (
)
+
+
−
−
+
−
−
+
=
−
−
−
−
∫ ∫ ∫
!
2
!
1 2
0 2
0 1
0 1
0 0
0 0
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
x
n
y
x
x
n
y
dx
dxdx
x
f
y
(
)
0 0
0
'
y
x
x
y
+
−
,
где
( )
( )
1 0
0 0
0
,...,
'
,
,
,
−
∈
n
y
y
y
b
a
x
- любые числа.
Пример 3. Найти общее решение уравнения
x
y
2
cos
1
''
=
Решение. Интегрируя первый раз, получим
1
tg
'
c
x
y
+
=
Повторное интегрирование приводит к общему решению
2 1
cos ln
c
x
c
x
y
+
+
−
=
2.3. Уравнения вида
( )
( )
(
)
0
,
1
=
−
n
n
y
y
F
(7)
Если данное уравнение разрешимо относительно
( )
n
y
, т.е.
( )
( )
( )
1
−
=
n
n
y
f
y
,
то, вводя новую функцию
( )
1
−
=
n
y
u
, приведем уравнение к виду
( )
u
f
u
=
'
Общий интеграл полученного уравнения имеет вид:
( )
∫
=
+
u
f
du
c
x
1
( )
(
)
0
≠
u
f
или
(
)
1
, c
x
u
φ
=
,
( )
( )
1 1
, c
x
y
n
φ
=
−
,
( )
n
n
n
c
x
c
x
c
dx
dxdx
c
x
y
+
+
+
+
=
−
−
∫∫ ∫
1 2
2 1
1
- n
,
φ

8
Если уравнение (7) имеет параметрическое представление
( )
( )
t
y
n
ϕ
=
,
( )
( )
t
y
n
φ
=
−
1
,
то
( )
dx
y
dy
n
n
=
−
1
,
( )
( )
( )
( )
dt
t
t
y
dy
dx
n
n
ϕ
φ
'
1
=
=
−
,
откуда
( )
( )
( )
1 1
,
'
c
t
c
dt
t
t
x
ξ
ϕ
φ
=
+
=
∫
Далее
(
)
( )
( ) ( )
( )
dt
t
t
t
dx
y
dy
n
n
ϕ
φ
φ
'
1 2
=
=
−
−
,
(
)
( ) ( )
( )
2
'
2
c
dt
y
t
t
t
n
+
=
∫
−
ϕ
φ
φ
,
( )
(
)
dx
y
dy
n
n
2 3
−
−
=
,
dx
y
dy
'
=
,
(
)
n
n
c
c
c
t
c
dx
y
y
,...,
,
,
'
3 2
η
=
+
=
∫
Общий интеграл уравнения (7) записывается в параметрической форме:
( )
(
)



=
=
,...,
,
,
,
3 2
1
n
c
c
c
t
y
c
t
x
η
ξ
Пример 4. Найти общее решение уравнения
2
''
1
''
''
'
y
y
y
+
=
Решение. Пусть
u
y
=
''
, тогда
2 1
'
u
u
u
+
=
,
dx
u
udu
=
+
2 1
,
1 2
1
c
x
u
+
=
+
,
(
)
1 2
1
−
+
±
=
c
x
u
, или
(
)
1
''
2 1
−
+
±
=
c
x
y
Последовательным интегрированием находим
(
) (
)
(
)
2 2
1 1
2 1
1 1
ln
2 1
1 2
1
'
c
c
x
c
x
c
x
c
x
y
+




−
+
+
+
−
−
+
+
±
=
,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3 2
2 1
2 1
1 1
3 2
1 1
2 1
1
ln
2 1
1 6
1
c
x
c
c
x
c
x
c
x
c
x
c
x
y
+
+




−
+
+
−
+
+
+
+
−
−
+
±
=
Знак плюс соответствует общему решению для области
0
''
>
y
, знак минус
– для области
0
''
<
y
Пример 5. Найти решение задачи Коши
1
'
2
''
=
−
y
y
,
( )
4 5
0
=
y
,
( )
1 0
'
=
y
Решение. Пусть
u
y
=
'
, тогда
1 2
'
=
−
u
u
,
dx
u
du
=
+
2 1
,
x
c
u
=
+
1 2
1
ln
2 1
,
2 1
2 1
−
=
x
e
c
u
или
2 1
'
2 1
−
=
x
e
c
y
Интегрируя полученное уравнение, находим общее решение:
2 2
1 2
1 2
1
c
x
e
c
y
x
+
−
=
Учитывая начальные условия, определим
1
c
и
2
c
:
2 3
1
=
c
,
2 1
2
=
c
Частное решение уравнения запишется
2 1
2 1
4 3
2
+
−
=
x
e
y
x

9
2.4. Уравнения вида
(
)
( )
(
)
0
,
2
=
−
n
n
y
y
F
(8)
С помощью замены
(
)
u
y
n
=
−
2
уравнение (8) приводится к уравнению второго порядка
0
)
''
,
(
=
u
u
F
Если полученное уравнение разрешимо относительно функции u", то,
учитывая замену, получаем промежуточный интеграл вида:
(
)
(
)
0
,
,
,
2 1
2
=
−
c
c
y
x
n
φ
,
т.е. дифференциальное уравнение (n-2) порядка, которое интегрируется в квадратурах.
Пример 6. Понизить порядок уравнения до первого порядка (решать уравнение не требуется)
1
'
''
'
=
−
y
y
Решение. С помощью замены
u
y
=
'
приведем данное уравнение к уравнению второго порядка
1
''
=
−
u
u
,
u
u
+
=
1
''
Умножая на интегрирующий множитель '
2u
=
µ
, приходим к уравнению '
)
1
(
2
''
'
2
u
u
u
u
+
=
Интегрируя, получим первый интеграл уравнения
( )
1 2
2 2
1 2
'
c
u
u
+
+
=
,
( )
1 2
2 1
'
c
u
u
+
+
=
Откуда находим общий интеграл вспомогательного уравнения
( )
1 2
1
'
c
u
u
+
+
±
=
,
( )
dx
c
u
du
=
+
+
±
1 2
1
,
( )
1 2
2 1
1
ln
c
u
u
c
x
+
+
+
+
=
+
Возвращаясь от переменной u к '
y
, получим уравнение первого порядка
(
)
1 2
2
'
1
'
1
ln
c
y
y
c
x
+
+
+
+
=
+