Главная страница
Навигация по странице:

  • Пример 1

  • §6. ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

  • Пример 2

  • Пример 4

  • Пример 5

  • §7. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ

  • 7.1. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)

  • Т. В. Труфанова, А. Е. Ситундифференциальные уравненияв примерах и задачах


    Скачать 0.88 Mb.
    НазваниеТ. В. Труфанова, А. Е. Ситундифференциальные уравненияв примерах и задачах
    Дата02.08.2018
    Размер0.88 Mb.
    Формат файлаpdf
    Имя файлаamursu015.pdf
    ТипДокументы
    #48922
    страница3 из 8
    1   2   3   4   5   6   7   8
    §5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
    Линейное однородное уравнение n-го порядка имеет вид
    ( )
    ( )
    ( )
    ( )
    (
    )
    ( )
    ( )
    0
    '
    1 2
    2 1
    1
    =
    +
    +
    +
    +
    +



    y
    x
    a
    y
    x
    a
    y
    x
    a
    y
    x
    a
    y
    n
    n
    n
    n
    n
    (14)
    или
    ( )
    0
    =
    y
    L
    Общее решение линейного однородного уравнения (14) записывается
    ( )
    ( )
    ( )
    x
    y
    c
    x
    y
    c
    x
    y
    c
    y
    n
    n
    +
    +
    +
    =
    2 2
    1 1
    ,
    где
    n
    c
    c
    c
    ,...,
    ,
    2 1
    – произвольные постоянные, а
    ( ) ( )
    ( )
    x
    y
    x
    y
    x
    y
    n
    ,...,
    ,
    2 1
    – фундамен- тальная система частных решений уравнения (14).
    Для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка
    ( )
    ( )
    0
    '
    ''
    2 1
    =
    +
    +
    y
    x
    a
    y
    x
    a
    y

    17
    общее решение имеет вид:
    ( )
    ( )
    x
    y
    c
    x
    y
    c
    y
    2 2
    1 1
    +
    =
    ,
    где
    ( )
    x
    y
    1
    и
    ( )
    x
    y
    2
    – два линейно независимых решения (фундаментальная сис- тема).
    Если для такого уравнения известно одно частное решение
    ( )
    x
    y
    1
    , то второе его частное решение
    ( )
    x
    y
    2
    линейно независимое с первым, можно найти по формуле, являющейся следствием формулы Лиувилля – Остро- градского
    ( )
    ( )
    ( )
    ( )
    dx
    x
    y
    e
    x
    y
    x
    y
    dx
    x
    a



    =
    2 1
    1 2
    1
    Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид:
    ( )
    ( )
    dx
    x
    y
    e
    y
    c
    y
    c
    y
    dx
    x
    a



    +
    =
    2 1
    1 2
    1 1
    1
    и называется формулой Абеля.
    Пример 1. Найти общее решение уравнения
    (
    )
    0 2
    '
    2
    ''
    1 2
    =
    +


    y
    xy
    y
    x
    Решение. Непосредственной проверкой убеждаемся, что это уравне- ние имеет частное решение
    x
    y
    =
    1
    . Найдем общее решение с помощью формулы Абеля, заметив, что
    ( )
    2 1
    1 2
    x
    x
    x
    a


    =
    ( ) ( )
    =
    

    

    +
    +

    +
    ±
    =

    =
    =
    =








    dx
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    dx
    x
    dx
    x
    e
    x
    dx
    x
    e
    x
    y
    x
    dx
    x
    x
    1 2
    1 1
    2 1
    1 1
    2 2
    2 2
    1
    ln
    2 1
    2 2
    2 2







    +
    +
    ±
    x
    x
    x
    x
    1 1
    ln
    2 1
    1
    Общее решение имеет вид:






    ±

    +
    +
    =
    1 1
    1
    ln
    2 1
    2 1
    x
    x
    x
    c
    x
    c
    y
    §6. ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ
    С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
    Линейным однородным уравнением n-го порядка с постоянными коэф- фициентами называется уравнения вида:
    ( )
    ( )
    (
    )
    0 2
    2 1
    1
    =
    +
    +
    +
    +


    y
    a
    y
    a
    y
    a
    y
    n
    n
    n
    n
    ,
    (15)
    где
    n
    a
    a
    a
    ,...,
    ,
    2 1
    – некоторые действительные числа.

    18
    Для нахождения частных решений составляют характеристическое
    уравнение
    0 1
    1 1
    =
    +
    +
    +
    +


    n
    n
    n
    n
    a
    k
    a
    k
    a
    k
    ,
    (16)
    которое получается из уравнения (15), если искать частные решения этого уравнения в виде
    kx
    e
    y
    =
    (метод подбора решений).
    Уравнение (16) является уравнением n-й степени и имеет n корней действительных или комплексных, среди которых могут быть и равные.
    Частные решения уравнения (15) зависят от вида корней характери- стического уравнения (16), и при их нахождении полезно использовать следующую табл. 1.
    Таблица 1
    Характер корня характеристического уравнения (16)
    Частные решения уравнения (15)
    1) kпростой вещественный корень
    kx
    e
    2) k – вещественный корень кратности r
    kx
    r
    kx
    kx
    kx
    e
    x
    e
    x
    xe
    e
    1 2
    ,...,
    ,
    ,

    3)
    i
    β
    α
    ±
    – комплексно сопряженные корни
    x
    e
    x
    e
    x
    x
    β
    β
    α
    α
    sin
    ,
    cos
    4)
    i
    β
    α
    ±
    – комплексно сопряженные корни кратности r
    (
    )
    (
    )
    x
    e
    x
    x
    xe
    x
    e
    x
    e
    x
    x
    xe
    x
    e
    x
    r
    x
    x
    x
    r
    x
    x
    β
    β
    β
    β
    β
    β
    α
    α
    α
    α
    α
    α
    sin
    ,...,
    sin
    ,
    sin cos
    ,...,
    cos
    ,
    cos
    1 1


    Общее решение уравнения (15) записывается
    n
    n
    n
    n
    y
    c
    y
    c
    y
    c
    y
    c
    y
    +
    +
    +
    +
    =


    1 1
    2 2
    1 1
    ,
    где
    n
    y
    y
    y
    ,...,
    ,
    2 1
    n частных линейно независимых решений, образующих фундаментальную систему, а
    n
    c
    c
    c
    ,...,
    ,
    2 1
    – произвольные постоянные.
    Пример 1. Найти общее решение уравнения
    0 4
    '
    4
    ''
    ''
    '
    =

    +

    y
    y
    y
    y
    Решение. Запишем характеристическое уравнение и найдем его корни.
    0 4
    4 2
    3
    =

    +

    k
    k
    k
    ,
    (
    ) (
    )
    ,
    0 1
    4 1
    2
    =

    +

    k
    k
    k
    (
    )
    (
    )
    0 1
    4 2
    =

    +
    k
    k
    ,
    1 1
    =
    k
    ,
    i
    k
    2 3
    ,
    2
    ±
    =
    Все корни простые, следовательно, согласно табл. 1 соответствующие ча- стные решения запишутся:
    x
    y
    x
    y
    e
    y
    x
    2
    sin
    ,
    2
    cos
    ,
    3 2
    1
    =
    =
    =
    Общее решение имеет вид:
    x
    c
    x
    c
    e
    c
    y
    x
    3
    sin
    2
    cos
    3 2
    1
    +
    +
    =

    19
    Пример 2. Найти общее решение уравнения
    0
    ''
    '
    9
    V
    =
    +
    y
    y
    Решение. Напишем характеристическое уравнение
    0 9
    3 5
    =
    +
    k
    k
    , где
    0 1
    =
    k
    корень кратности
    3
    =
    r
    ,
    i
    k
    3 3
    ,
    2
    ±
    =
    Частные решения:
    1 0
    1
    =
    =
    x
    e
    y
    ,
    x
    y
    =
    2
    ,
    2 3
    x
    y
    =
    ,
    x
    y
    3
    cos
    4
    =
    ,
    x
    y
    3
    sin
    5
    =
    Общее решение:
    x
    c
    x
    c
    x
    c
    x
    c
    c
    y
    3
    sin
    3
    cos
    5 4
    2 3
    2 1
    +
    +
    +
    +
    =
    Пример 3. Найти частное решение уравнения
    0
    '
    3
    ''
    3
    ''
    '
    =

    +

    y
    y
    y
    y
    , удов- летворяющее начальным условиям
    ( )
    ( )
    ( )
    3 0
    ''
    ,
    2 0
    '
    ,
    1 0
    =
    =
    =
    y
    y
    y
    Решение. Характеристическое уравнение
    0 1
    3 3
    2 3
    =

    +

    k
    k
    k
    имеет единственный корень k=1 кратности r=3, поэтому частные решения запи- шутся
    x
    x
    x
    e
    x
    y
    xe
    y
    e
    y
    2 3
    2 1
    ,
    ,
    =
    =
    =
    . Следовательно,
    (
    )
    x
    e
    x
    c
    x
    c
    c
    y
    2 3
    2 1
    +
    +
    =
    – общее решение уравнения.
    Для определения произвольных постоянных найдем производные
    (
    )
    (
    )
    x
    x
    e
    x
    c
    c
    e
    x
    c
    x
    c
    c
    y
    3 2
    2 3
    2 1
    2
    '
    +
    +
    +
    +
    =
    ,
    (
    )
    (
    )
    x
    x
    x
    e
    c
    e
    x
    c
    c
    e
    x
    c
    x
    c
    c
    y
    3 3
    2 2
    3 2
    1 2
    2 2
    ''
    +
    +
    +
    +
    +
    =
    Подставляя начальные условия, получим систему уравнений:
    



    =
    +
    +
    =
    +
    =
    3 2
    2 1
    3 2
    1 2
    1 1
    c
    c
    c
    c
    c
    c
    Откуда
    0
    ,
    1
    ,
    1 3
    2 1
    =
    =
    =
    c
    c
    c
    . Следовательно искомое частное решение имеет вид
    (
    )
    x
    e
    x
    y
    +
    =
    1
    Пример 4. Найти общее решение уравнения
    0 4
    8 8
    4
    II
    III
    IV
    V
    VI
    =
    +

    +

    y
    y
    y
    y
    Решение. Составим характеристическое уравнение
    0 4
    8 8
    4 2
    3 4
    5 6
    =
    +

    +

    k
    k
    k
    k
    k
    и найдем его корни.
    Имеем
    (
    )
    0 4
    8 8
    4 2
    3 4
    2
    =
    +

    +

    k
    k
    k
    k
    k
    ,
    (
    )
    0 8
    4 4
    4 4
    2 3
    2 4
    2
    =

    +

    +
    +
    k
    k
    k
    k
    k
    k
    ,
    (
    )
    0 2
    2 2
    2 2
    =
    +

    k
    k
    k
    Откуда
    i
    k
    k
    i
    k
    k
    k
    k

    =
    =
    +
    =
    =
    =
    =
    1
    ,
    1
    ,
    0 6
    5 4
    3 2
    1
    Частные решение имеют вид:
    x
    xe
    x
    xe
    x
    e
    x
    e
    x
    x
    x
    x
    x
    sin
    ,
    cos
    ,
    sin
    ,
    cos
    ,
    ,
    1
    Общее решение запишется:
    (
    )
    x
    x
    c
    x
    x
    c
    x
    c
    x
    c
    e
    x
    c
    c
    y
    x
    sin cos sin cos
    6 5
    4 3
    2 1
    +
    +
    +
    +
    +
    =
    Пример 5. Найти общее решение уравнения
    0 2
    V
    =
    +
    y
    y
    Решение. Корни характеристического уравнения
    0 2
    5
    =
    +
    k
    находим по формуле
    (
    )






    +
    +
    +
    =
    +
    =

    =
    5
    π
    2
    π
    sin
    5
    π
    2
    π
    cos
    2
    sinπ
    cosπ
    2 2
    5 5
    5
    k
    i
    k
    i
    k
    ,
    при
    4
    ,
    3
    ,
    2
    ,
    1
    ,
    0
    =
    k
    имеем:

    20






    +
    =
    5
    π
    sin
    5
    π
    cos
    2 5
    1
    i
    k
    ,






    +
    =
    5
    π
    3
    sin
    5
    π
    3
    cos
    2 5
    2
    i
    k
    ,
    (
    )
    sinπ
    cosπ
    2 5
    3
    i
    k
    +
    =
    ,







    =
    5
    π
    3
    sin
    5
    π
    3
    cos
    2 5
    4
    i
    k
    ,







    =
    5
    π
    sin
    5
    π
    cos
    2 5
    5
    i
    k
    ,
    5 1
    2
    =
    k
    ,






    ±
    =
    5
    sin
    5
    cos
    5 2
    3
    ,
    2
    π
    π
    i
    k
    ,






    ±
    =
    5 3
    sin
    5 3
    cos
    5 2
    5
    ,
    4
    π
    π
    i
    k
    Частные решения запишутся:
    x
    e
    y
    5 2
    1

    =
    ,
    x
    e
    y
    x






    =
    5
    π
    sin
    2
    cos
    5 5
    π
    cos
    2 2
    5
    ,
    x
    e
    y
    x






    =
    5
    π
    sin
    2
    sin
    5 5
    π
    cos
    2 3
    5
    ,
    x
    e
    y
    x






    =
    5
    π
    3
    sin
    2
    cos
    5 5
    π
    3
    cos
    2 4
    5
    ,
    x
    e
    y
    x






    =
    5
    π
    3
    sin
    2
    sin
    5 5
    π
    3
    cos
    2 5
    5
    Общее решение:
    +
    

    







    +






    +
    =

    x
    c
    x
    c
    e
    e
    c
    y
    x
    x
    5
    π
    sin
    2
    sin
    5
    π
    sin
    2
    cos
    5 3
    5 2
    5
    π
    cos
    2 2
    1 1
    5 5
    

    







    +






    +
    x
    c
    x
    c
    e
    x
    5
    π
    3
    sin
    2
    sin
    5
    π
    3
    sin
    2
    cos
    5 5
    5 4
    5
    π
    3
    cos
    2 5
    §7. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
    Структура общего решения линейного неоднородного уравнения
    ( )
    ( )
    ( )
    ( )
    ( )
    x
    f
    y
    x
    a
    y
    x
    a
    y
    n
    n
    n
    =
    +
    +
    +

    1 1
    ,
    (17)
    где
    ( )
    ( )
    x
    a
    x
    a
    n
    ,...,
    1
    переменные или постоянные коэффициенты, имеет вид:
    *
    y
    y
    y
    +
    =
    Здесь
    y
    – общее решение линейного однородного уравнения
    ( )
    0
    =
    y
    L
    , со- ответствующего данному уравнению, а
    *
    y
    – произвольное частное реше- ние неоднородного уравнения
    ( ) ( )
    x
    f
    y
    L
    =
    Методы нахождения
    y
    рассмотрены в §6.
    Рассмотрим общий метод нахождения произвольного частного реше- ния
    *
    y
    методом Лагранжа.
    7.1. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)
    Линейное уравнение с постоянными или переменными коэффициен- тами и с любой правой частью
    ( )
    x
    f
    можно решить методом вариации про- извольных постоянных, если известно общее решение линейного однород- ного уравнения
    y

    21
    Пусть известна фундаментальная система решений
    n
    y
    y
    y
    ,...,
    ,
    2 1
    соответ- ствующего однородного уравнения, его общее решение имеет вид
    n
    n
    y
    c
    y
    c
    y
    c
    y
    +
    +
    +
    =
    2 2
    1 1
    Тогда частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде
    ( )
    ( )
    ( )
    n
    n
    y
    x
    c
    y
    x
    c
    y
    x
    c
    y
    +
    +
    +
    =
    *
    2 2
    1 1
    ,
    где
    ( ) ( )
    ( )
    x
    c
    x
    c
    x
    c
    n
    ,...,
    ,
    2 1
    – неизвестные функции, которые определяются из системы уравнений
    ( )
    ( )
    ( )
    ( )
    ( )
    ( )
    ( )
    ( )
    ( )
    ( )
    ( )
    ( )
    ( )
    ( )
    ( )
    ( )
    ( )
    ( )









    =
    +
    +
    +
    =
    +
    +
    +
    =
    +
    +
    +
    =
    +
    +
    +






    ),
    (
    '
    '
    '
    0
    '
    '
    '
    0
    '
    '
    '
    '
    '
    '
    0
    '
    '
    '
    1 1
    2 2
    1 1
    1 2
    2 2
    2 2
    1 1
    2 2
    1 1
    2 2
    1 1
    x
    f
    y
    x
    c
    y
    x
    c
    y
    x
    c
    y
    x
    c
    y
    x
    c
    y
    x
    c
    y
    x
    c
    y
    x
    c
    y
    x
    c
    y
    x
    c
    y
    x
    c
    y
    x
    c
    n
    n
    n
    n
    n
    n
    n
    n
    n
    n
    n
    n
    n
    n
    (*)
    где
    )
    (x
    f
    – правая часть уравнения.
    Пример 1. Найти общее решение уравнения
    x
    x
    y
    y
    =

    '
    ''
    Решение. Найдем общее решение однородного уравнения
    0
    '
    ''
    =

    x
    y
    y
    Так как
    x
    y
    y
    1
    '
    ''
    =
    , то
    x
    c
    y
    c
    x
    y
    1 1
    '
    ,
    ln ln
    '
    ln
    =
    +
    =
    ,
    2 2
    1
    c
    x
    c
    y
    +
    =
    или
    2 2
    1
    c
    x
    c
    y
    +
    =

    общее решение.
    Запишем
    ( )
    ( )
    x
    c
    x
    x
    c
    y
    2 2
    1
    *
    +
    =
    – частное решение данного уравнения. Соста- вим систему уравнений (*) для нахождения
    ( )
    x
    c
    1
    и
    ( )
    x
    c
    2
    :
    ( )
    ( )
    ( )
    ( )



    =
    +
    =
    +
    x
    x
    c
    x
    x
    c
    x
    c
    x
    x
    c
    0
    '
    '
    2 0
    1
    '
    '
    2 1
    2 2
    1
    или



    =
    =
    +
    '
    2 0
    '
    '
    1 2
    2 1
    x
    x
    c
    c
    x
    c
    Решая систему, находим
    2 1
    '
    1
    =
    c
    ,
    2 2
    2 1
    '
    x
    c

    =
    , откуда в результате интегриро- вания получим:
    ( )
    ( )
    1 1
    1 2
    2 1
    '
    c
    x
    dx
    dx
    x
    c
    x
    c
    +
    =
    =
    =


    (будем считать
    0 1
    =
    c
    т.к. находим част- ное решение),
    ( )
    ( )
    2 3
    2 2
    2 6
    2 1
    '
    c
    x
    dx
    x
    dx
    x
    c
    x
    c
    +

    =

    =
    =


    (будем считать
    0 2
    =
    c
    ).
    Частное решение запишется
    ( )
    ( )
    1 6
    2
    *
    3 2
    2 2
    1 1
    x
    x
    x
    y
    x
    c
    y
    x
    c
    y

    =
    +
    =
    или
    3 6
    2
    *
    3 3
    3
    x
    x
    x
    y
    =

    =
    Общее решение данного уравнения:
    *
    y
    y
    y
    +
    =
    , т.е.
    3 3
    2 2
    1
    x
    c
    x
    c
    y
    +
    +
    =

    22
    Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения
    x
    e
    y
    y
    +
    =

    1 1
    '
    ''
    ,
    удовлетворяющее начальным условиям
    2
    '
    ,
    1 0
    0
    =
    =
    =
    =
    x
    x
    y
    y
    Решение. Общее решение данного уравнения запишется
    *
    y
    y
    y
    +
    =
    Найдем y – общее решение соответствующего линейного однородного уравнения
    0
    '
    ''
    =

    y
    y
    . Корни его характеристического уравнения
    0 2
    =

    k
    k
    вещественные разные
    1
    ,
    0 2
    1
    =
    =
    k
    k
    , тогда
    x
    e
    c
    c
    y
    2 1
    +
    =
    Запишем
    ( ) ( )
    x
    e
    x
    c
    x
    c
    y
    2 1
    *
    +
    =
    Составим систему (*) для нахождения
    ( )
    x
    c
    1
    и
    ( )
    x
    c
    2
    ( )
    ( )
    ( )
    ( )
    



    +
    =
    +
    =
    +
    x
    x
    x
    e
    e
    x
    c
    x
    c
    e
    x
    c
    x
    c
    1 1
    '
    0
    '
    0
    '
    1
    '
    2 1
    2 1
    или
    



    +
    =
    =
    +
    x
    x
    x
    e
    e
    c
    e
    c
    c
    1 1
    '
    0
    '
    '
    2 2
    1
    ,
    откуда получаем
    ( )
    x
    e
    x
    c
    +

    =
    1 1
    '
    1
    ,
    ( )
    (
    )
    x
    x
    e
    e
    x
    c
    +
    =
    1 1
    '
    2
    Следовательно,
    ( )
    (
    )
    x
    x
    e
    x
    e
    dx
    x
    c
    +
    +

    =
    +

    =

    1
    ln
    1 1
    ,
    ( )
    (
    )
    (
    )
    x
    x
    x
    x
    e
    x
    e
    e
    e
    dx
    x
    c
    +
    +


    =
    +
    =

    1
    ln
    1 2
    Запишем
    ( )
    (
    )
    [
    ]
    x
    x
    x
    x
    e
    x
    e
    e
    e
    x
    y
    +
    +


    +
    +
    +

    =

    1
    ln
    1
    ln
    *
    Общее решение:
    ( )
    ( )
    x
    x
    x
    x
    x
    e
    e
    xe
    e
    x
    e
    c
    c
    y
    +
    +


    +
    +

    +
    =
    1
    ln
    1 1
    ln
    2 1
    или
    (
    )
    (
    ) (
    )
    x
    x
    x
    e
    e
    x
    x
    c
    e
    c
    y
    +
    +
    +


    +
    =
    1
    ln
    1 2
    1
    (
    1 1
    1

    =
    c
    c
    ).
    Для определения частного решения найдем производную
    (
    )
    [
    ]
    x
    x
    e
    x
    c
    e
    y
    +
    +

    +

    =
    1
    ln
    1
    '
    2
    Подставляя значения
    2
    '
    ,
    1
    ,
    0
    =
    =
    =
    y
    y
    x
    в выражение
    (
    )
    (
    ) (
    )
    x
    x
    x
    e
    e
    x
    x
    c
    e
    c
    y
    +
    +
    +


    +
    =
    1
    ln
    1 2
    1
    и
    (
    )
    [
    ]
    x
    x
    e
    x
    c
    e
    y
    +
    +

    +

    =
    1
    ln
    1
    '
    2
    ,
    получим систему



    +
    +

    =
    +
    +
    =
    2
    ln
    1 2
    2
    ln
    2 1
    2 2
    1
    c
    c
    c
    Откуда
    2
    ln
    3
    ,
    2
    ln
    2 2
    1

    =


    =
    c
    c
    Искомое частное решение запишется:
    (
    )
    (
    ) (
    )
    2
    ln
    2 1
    ln
    1 2
    ln
    3


    +
    +
    +


    +

    =
    x
    x
    x
    e
    e
    x
    e
    x
    y
    Пример 3. Найти общее решение уравнения
    x
    y
    x
    y
    x
    y
    x
    y
    =

    +

    3 2
    6
    '
    6
    ''
    3
    ''
    '
    Решение. Структура общего решения имеет вид
    *
    y
    y
    y
    +
    =
    Найдем
    y
    - общее решение уравнения
    0 6
    '
    6
    ''
    3
    ''
    '
    3 2
    =

    +

    y
    x
    y
    x
    y
    x
    y

    23
    Решение будем искать в виде многочлена
    n
    ax
    y
    =
    методом подбора. Непо- средственной проверкой убедимся, что многочлены
    3 3
    2 2
    1
    ,
    ,
    x
    y
    x
    y
    x
    y
    =
    =
    =
    являются решениями уравнения и образуют фундаментальную систему решений. Тогда
    3 3
    2 2
    1
    x
    c
    x
    c
    x
    c
    y
    +
    +
    =
    Методом Лагранжа найдем частное решение
    *
    y
    данного уравнения, т.е.
    ( )
    ( )
    ( )
    3 3
    2 2
    1
    *
    x
    x
    c
    x
    x
    c
    x
    x
    c
    y
    +
    +
    =
    Составим систему (*) для определения
    ( ) ( ) ( )
    x
    c
    x
    c
    x
    c
    3 2
    1
    ,
    ,
    :
    ( )
    ( )
    ( )
    ( )
    ( )
    ( )
    ( )
    ( )





    =
    +
    =
    +
    +
    =
    +
    +
    x
    x
    x
    c
    x
    c
    x
    x
    c
    x
    x
    c
    x
    c
    x
    x
    c
    x
    x
    c
    x
    x
    c
    6
    '
    2
    '
    0 3
    '
    2
    '
    1
    '
    0
    '
    '
    '
    3 2
    2 3
    2 1
    3 3
    2 2
    1
    или





    =
    +
    =
    +
    +
    =
    +
    +
    '
    6
    '
    2 0
    '
    3
    '
    2
    '
    0
    '
    '
    '
    3 2
    2 3
    2 1
    3 3
    2 2
    1
    x
    x
    c
    c
    x
    c
    x
    c
    c
    x
    c
    x
    c
    x
    c
    Решая систему, получим
    ( )
    ( )
    ( )
    x
    x
    c
    x
    x
    c
    x
    x
    c
    2 1
    '
    ,
    '
    ,
    2 1
    '
    3 2
    3 1
    =

    =
    =
    , откуда
    ( )
    5 1
    5 1
    x
    x
    c
    =
    ,
    ( )
    3 2
    3 2
    x
    x
    c

    =
    ,
    ( )
    x
    x
    c
    =
    3
    Частное решение запишется
    7 3
    2 3
    5 15 8
    3 2
    5 1
    *
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    y
    =
    +

    =
    Следовательно, общее решение имеет вид:
    7 3
    3 2
    2 1
    15 8
    x
    x
    c
    x
    c
    x
    c
    y
    +
    +
    +
    =
    1   2   3   4   5   6   7   8


    написать администратору сайта