Т. В. Труфанова, А. Е. Ситундифференциальные уравненияв примерах и задачах

• Название: Т. В. Труфанова, А. Е. Ситундифференциальные уравненияв примерах и задачах
• Дата: 02.08.2018
• Размер: 0.88 Mb.
• Имя файла: amursu015.pdf
• Тип: Документы; #48922
• страница: 3 из 8

§5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Линейное однородное уравнение n-го порядка имеет вид
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
0
'
1 2
2 1
1
=
+
+
+
+
+
−
−
−
y
x
a
y
x
a
y
x
a
y
x
a
y
n
n
n
n
n
(14)
или
( )
0
=
y
L
Общее решение линейного однородного уравнения (14) записывается
( )
( )
( )
x
y
c
x
y
c
x
y
c
y
n
n
+
+
+
=
2 2
1 1
,
где
n
c
c
c
,...,
,
2 1
– произвольные постоянные, а
( ) ( )
( )
x
y
x
y
x
y
n
,...,
,
2 1
– фундамен- тальная система частных решений уравнения (14).
Для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка
( )
( )
0
'
''
2 1
=
+
+
y
x
a
y
x
a
y

17
общее решение имеет вид:
( )
( )
x
y
c
x
y
c
y
2 2
1 1
+
=
,
где
( )
x
y
1
и
( )
x
y
2
– два линейно независимых решения (фундаментальная сис- тема).
Если для такого уравнения известно одно частное решение
( )
x
y
1
, то второе его частное решение
( )
x
y
2
линейно независимое с первым, можно найти по формуле, являющейся следствием формулы Лиувилля – Остро- градского
( )
( )
( )
( )
dx
x
y
e
x
y
x
y
dx
x
a
∫
∫
−
=
2 1
1 2
1
Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид:
( )
( )
dx
x
y
e
y
c
y
c
y
dx
x
a
∫
∫
−
+
=
2 1
1 2
1 1
1
и называется формулой Абеля.
Пример 1. Найти общее решение уравнения
(
)
0 2
'
2
''
1 2
=
+
−
−
y
xy
y
x
Решение. Непосредственной проверкой убеждаемся, что это уравне- ние имеет частное решение
x
y
=
1
. Найдем общее решение с помощью формулы Абеля, заметив, что
( )
2 1
1 2
x
x
x
a
−
−
=
( ) ( )
=




+
+
−
+
±
=
−
=
=
=
∫
∫
∫
∫
−
−
∫
−
dx
x
x
x
x
x
x
dx
x
dx
x
e
x
dx
x
e
x
y
x
dx
x
x
1 2
1 1
2 1
1 1
2 2
2 2
1
ln
2 1
2 2
2 2






−
+
+
±
x
x
x
x
1 1
ln
2 1
1
Общее решение имеет вид:






±
−
+
+
=
1 1
1
ln
2 1
2 1
x
x
x
c
x
c
y
§6. ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Линейным однородным уравнением n-го порядка с постоянными коэф- фициентами называется уравнения вида:
( )
( )
(
)
0 2
2 1
1
=
+
+
+
+
−
−
y
a
y
a
y
a
y
n
n
n
n
,
(15)
где
n
a
a
a
,...,
,
2 1
– некоторые действительные числа.

18
Для нахождения частных решений составляют характеристическое
уравнение
0 1
1 1
=
+
+
+
+
−
−
n
n
n
n
a
k
a
k
a
k
,
(16)
которое получается из уравнения (15), если искать частные решения этого уравнения в виде
kx
e
y
=
(метод подбора решений).
Уравнение (16) является уравнением n-й степени и имеет n корней действительных или комплексных, среди которых могут быть и равные.
Частные решения уравнения (15) зависят от вида корней характери- стического уравнения (16), и при их нахождении полезно использовать следующую табл. 1.
Таблица 1
Характер корня характеристического уравнения (16)
Частные решения уравнения (15)
1) k – простой вещественный корень
kx
e
2) k – вещественный корень кратности r
kx
r
kx
kx
kx
e
x
e
x
xe
e
1 2
,...,
,
,
−
3)
i
β
α
±
– комплексно сопряженные корни
x
e
x
e
x
x
β
β
α
α
sin
,
cos
4)
i
β
α
±
– комплексно сопряженные корни кратности r
(
)
(
)
x
e
x
x
xe
x
e
x
e
x
x
xe
x
e
x
r
x
x
x
r
x
x
β
β
β
β
β
β
α
α
α
α
α
α
sin
,...,
sin
,
sin cos
,...,
cos
,
cos
1 1
−
−
Общее решение уравнения (15) записывается
n
n
n
n
y
c
y
c
y
c
y
c
y
+
+
+
+
=
−
−
1 1
2 2
1 1
,
где
n
y
y
y
,...,
,
2 1
– n частных линейно независимых решений, образующих фундаментальную систему, а
n
c
c
c
,...,
,
2 1
– произвольные постоянные.
Пример 1. Найти общее решение уравнения
0 4
'
4
''
''
'
=
−
+
−
y
y
y
y
Решение. Запишем характеристическое уравнение и найдем его корни.
0 4
4 2
3
=
−
+
−
k
k
k
,
(
) (
)
,
0 1
4 1
2
=
−
+
−
k
k
k
(
)
(
)
0 1
4 2
=
−
+
k
k
,
1 1
=
k
,
i
k
2 3
,
2
±
=
Все корни простые, следовательно, согласно табл. 1 соответствующие ча- стные решения запишутся:
x
y
x
y
e
y
x
2
sin
,
2
cos
,
3 2
1
=
=
=
Общее решение имеет вид:
x
c
x
c
e
c
y
x
3
sin
2
cos
3 2
1
+
+
=

19
Пример 2. Найти общее решение уравнения
0
''
'
9
V
=
+
y
y
Решение. Напишем характеристическое уравнение
0 9
3 5
=
+
k
k
, где
0 1
=
k
корень кратности
3
=
r
,
i
k
3 3
,
2
±
=
Частные решения:
1 0
1
=
=
x
e
y
,
x
y
=
2
,
2 3
x
y
=
,
x
y
3
cos
4
=
,
x
y
3
sin
5
=
Общее решение:
x
c
x
c
x
c
x
c
c
y
3
sin
3
cos
5 4
2 3
2 1
+
+
+
+
=
Пример 3. Найти частное решение уравнения
0
'
3
''
3
''
'
=
−
+
−
y
y
y
y
, удов- летворяющее начальным условиям
( )
( )
( )
3 0
''
,
2 0
'
,
1 0
=
=
=
y
y
y
Решение. Характеристическое уравнение
0 1
3 3
2 3
=
−
+
−
k
k
k
имеет единственный корень k=1 кратности r=3, поэтому частные решения запи- шутся
x
x
x
e
x
y
xe
y
e
y
2 3
2 1
,
,
=
=
=
. Следовательно,
(
)
x
e
x
c
x
c
c
y
2 3
2 1
+
+
=
– общее решение уравнения.
Для определения произвольных постоянных найдем производные
(
)
(
)
x
x
e
x
c
c
e
x
c
x
c
c
y
3 2
2 3
2 1
2
'
+
+
+
+
=
,
(
)
(
)
x
x
x
e
c
e
x
c
c
e
x
c
x
c
c
y
3 3
2 2
3 2
1 2
2 2
''
+
+
+
+
+
=
Подставляя начальные условия, получим систему уравнений:




=
+
+
=
+
=
3 2
2 1
3 2
1 2
1 1
c
c
c
c
c
c
Откуда
0
,
1
,
1 3
2 1
=
=
=
c
c
c
. Следовательно искомое частное решение имеет вид
(
)
x
e
x
y
+
=
1
Пример 4. Найти общее решение уравнения
0 4
8 8
4
II
III
IV
V
VI
=
+
−
+
−
y
y
y
y
Решение. Составим характеристическое уравнение
0 4
8 8
4 2
3 4
5 6
=
+
−
+
−
k
k
k
k
k
и найдем его корни.
Имеем
(
)
0 4
8 8
4 2
3 4
2
=
+
−
+
−
k
k
k
k
k
,
(
)
0 8
4 4
4 4
2 3
2 4
2
=
−
+
−
+
+
k
k
k
k
k
k
,
(
)
0 2
2 2
2 2
=
+
−
k
k
k
Откуда
i
k
k
i
k
k
k
k
−
=
=
+
=
=
=
=
1
,
1
,
0 6
5 4
3 2
1
Частные решение имеют вид:
x
xe
x
xe
x
e
x
e
x
x
x
x
x
sin
,
cos
,
sin
,
cos
,
,
1
Общее решение запишется:
(
)
x
x
c
x
x
c
x
c
x
c
e
x
c
c
y
x
sin cos sin cos
6 5
4 3
2 1
+
+
+
+
+
=
Пример 5. Найти общее решение уравнения
0 2
V
=
+
y
y
Решение. Корни характеристического уравнения
0 2
5
=
+
k
находим по формуле
(
)






+
+
+
=
+
=
−
=
5
π
2
π
sin
5
π
2
π
cos
2
sinπ
cosπ
2 2
5 5
5
k
i
k
i
k
,
при
4
,
3
,
2
,
1
,
0
=
k
имеем:

20






+
=
5
π
sin
5
π
cos
2 5
1
i
k
,






+
=
5
π
3
sin
5
π
3
cos
2 5
2
i
k
,
(
)
sinπ
cosπ
2 5
3
i
k
+
=
,






−
=
5
π
3
sin
5
π
3
cos
2 5
4
i
k
,






−
=
5
π
sin
5
π
cos
2 5
5
i
k
,
5 1
2
=
k
,






±
=
5
sin
5
cos
5 2
3
,
2
π
π
i
k
,






±
=
5 3
sin
5 3
cos
5 2
5
,
4
π
π
i
k
Частные решения запишутся:
x
e
y
5 2
1
−
=
,
x
e
y
x






=
5
π
sin
2
cos
5 5
π
cos
2 2
5
,
x
e
y
x






=
5
π
sin
2
sin
5 5
π
cos
2 3
5
,
x
e
y
x






=
5
π
3
sin
2
cos
5 5
π
3
cos
2 4
5
,
x
e
y
x






=
5
π
3
sin
2
sin
5 5
π
3
cos
2 5
5
Общее решение:
+










+






+
=
−
x
c
x
c
e
e
c
y
x
x
5
π
sin
2
sin
5
π
sin
2
cos
5 3
5 2
5
π
cos
2 2
1 1
5 5










+






+
x
c
x
c
e
x
5
π
3
sin
2
sin
5
π
3
sin
2
cos
5 5
5 4
5
π
3
cos
2 5
§7. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Структура общего решения линейного неоднородного уравнения
( )
( )
( )
( )
( )
x
f
y
x
a
y
x
a
y
n
n
n
=
+
+
+
−
1 1
,
(17)
где
( )
( )
x
a
x
a
n
,...,
1
переменные или постоянные коэффициенты, имеет вид:
*
y
y
y
+
=
Здесь
y
– общее решение линейного однородного уравнения
( )
0
=
y
L
, со- ответствующего данному уравнению, а
*
y
– произвольное частное реше- ние неоднородного уравнения
( ) ( )
x
f
y
L
=
Методы нахождения
y
рассмотрены в §6.
Рассмотрим общий метод нахождения произвольного частного реше- ния
*
y
методом Лагранжа.
7.1. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)
Линейное уравнение с постоянными или переменными коэффициен- тами и с любой правой частью
( )
x
f
можно решить методом вариации про- извольных постоянных, если известно общее решение линейного однород- ного уравнения
y

21
Пусть известна фундаментальная система решений
n
y
y
y
,...,
,
2 1
соответ- ствующего однородного уравнения, его общее решение имеет вид
n
n
y
c
y
c
y
c
y
+
+
+
=
2 2
1 1
Тогда частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде
( )
( )
( )
n
n
y
x
c
y
x
c
y
x
c
y
+
+
+
=
*
2 2
1 1
,
где
( ) ( )
( )
x
c
x
c
x
c
n
,...,
,
2 1
– неизвестные функции, которые определяются из системы уравнений
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )









=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
−
−
−
−
−
−
),
(
'
'
'
0
'
'
'
0
'
'
'
'
'
'
0
'
'
'
1 1
2 2
1 1
1 2
2 2
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
x
f
y
x
c
y
x
c
y
x
c
y
x
c
y
x
c
y
x
c
y
x
c
y
x
c
y
x
c
y
x
c
y
x
c
y
x
c
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
(*)
где
)
(x
f
– правая часть уравнения.
Пример 1. Найти общее решение уравнения
x
x
y
y
=
−
'
''
Решение. Найдем общее решение однородного уравнения
0
'
''
=
−
x
y
y
Так как
x
y
y
1
'
''
=
, то
x
c
y
c
x
y
1 1
'
,
ln ln
'
ln
=
+
=
,
2 2
1
c
x
c
y
+
=
или
2 2
1
c
x
c
y
+
=
–
общее решение.
Запишем
( )
( )
x
c
x
x
c
y
2 2
1
*
+
=
– частное решение данного уравнения. Соста- вим систему уравнений (*) для нахождения
( )
x
c
1
и
( )
x
c
2
:
( )
( )
( )
( )



=
+
=
+
x
x
c
x
x
c
x
c
x
x
c
0
'
'
2 0
1
'
'
2 1
2 2
1
или



=
=
+
'
2 0
'
'
1 2
2 1
x
x
c
c
x
c
Решая систему, находим
2 1
'
1
=
c
,
2 2
2 1
'
x
c
−
=
, откуда в результате интегриро- вания получим:
( )
( )
1 1
1 2
2 1
'
c
x
dx
dx
x
c
x
c
+
=
=
=
∫
∫
(будем считать
0 1
=
c
т.к. находим част- ное решение),
( )
( )
2 3
2 2
2 6
2 1
'
c
x
dx
x
dx
x
c
x
c
+
−
=
−
=
=
∫
∫
(будем считать
0 2
=
c
).
Частное решение запишется
( )
( )
1 6
2
*
3 2
2 2
1 1
x
x
x
y
x
c
y
x
c
y
−
=
+
=
или
3 6
2
*
3 3
3
x
x
x
y
=
−
=
Общее решение данного уравнения:
*
y
y
y
+
=
, т.е.
3 3
2 2
1
x
c
x
c
y
+
+
=

22
Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения
x
e
y
y
+
=
−
1 1
'
''
,
удовлетворяющее начальным условиям
2
'
,
1 0
0
=
=
=
=
x
x
y
y
Решение. Общее решение данного уравнения запишется
*
y
y
y
+
=
Найдем y – общее решение соответствующего линейного однородного уравнения
0
'
''
=
−
y
y
. Корни его характеристического уравнения
0 2
=
−
k
k
вещественные разные
1
,
0 2
1
=
=
k
k
, тогда
x
e
c
c
y
2 1
+
=
Запишем
( ) ( )
x
e
x
c
x
c
y
2 1
*
+
=
Составим систему (*) для нахождения
( )
x
c
1
и
( )
x
c
2
( )
( )
( )
( )




+
=
+
=
+
x
x
x
e
e
x
c
x
c
e
x
c
x
c
1 1
'
0
'
0
'
1
'
2 1
2 1
или




+
=
=
+
x
x
x
e
e
c
e
c
c
1 1
'
0
'
'
2 2
1
,
откуда получаем
( )
x
e
x
c
+
−
=
1 1
'
1
,
( )
(
)
x
x
e
e
x
c
+
=
1 1
'
2
Следовательно,
( )
(
)
x
x
e
x
e
dx
x
c
+
+
−
=
+
−
=
∫
1
ln
1 1
,
( )
(
)
(
)
x
x
x
x
e
x
e
e
e
dx
x
c
+
+
−
−
=
+
=
∫
1
ln
1 2
Запишем
( )
(
)
[
]
x
x
x
x
e
x
e
e
e
x
y
+
+
−
−
+
+
+
−
=
−
1
ln
1
ln
*
Общее решение:
( )
( )
x
x
x
x
x
e
e
xe
e
x
e
c
c
y
+
+
−
−
+
+
−
+
=
1
ln
1 1
ln
2 1
или
(
)
(
) (
)
x
x
x
e
e
x
x
c
e
c
y
+
+
+
−
−
+
=
1
ln
1 2
1
(
1 1
1
−
=
c
c
).
Для определения частного решения найдем производную
(
)
[
]
x
x
e
x
c
e
y
+
+
−
+
−
=
1
ln
1
'
2
Подставляя значения
2
'
,
1
,
0
=
=
=
y
y
x
в выражение
(
)
(
) (
)
x
x
x
e
e
x
x
c
e
c
y
+
+
+
−
−
+
=
1
ln
1 2
1
и
(
)
[
]
x
x
e
x
c
e
y
+
+
−
+
−
=
1
ln
1
'
2
,
получим систему



+
+
−
=
+
+
=
2
ln
1 2
2
ln
2 1
2 2
1
c
c
c
Откуда
2
ln
3
,
2
ln
2 2
1
−
=
−
−
=
c
c
Искомое частное решение запишется:
(
)
(
) (
)
2
ln
2 1
ln
1 2
ln
3
−
−
+
+
+
−
−
+
−
=
x
x
x
e
e
x
e
x
y
Пример 3. Найти общее решение уравнения
x
y
x
y
x
y
x
y
=
−
+
−
3 2
6
'
6
''
3
''
'
Решение. Структура общего решения имеет вид
*
y
y
y
+
=
Найдем
y
- общее решение уравнения
0 6
'
6
''
3
''
'
3 2
=
−
+
−
y
x
y
x
y
x
y

23
Решение будем искать в виде многочлена
n
ax
y
=
методом подбора. Непо- средственной проверкой убедимся, что многочлены
3 3
2 2
1
,
,
x
y
x
y
x
y
=
=
=
являются решениями уравнения и образуют фундаментальную систему решений. Тогда
3 3
2 2
1
x
c
x
c
x
c
y
+
+
=
Методом Лагранжа найдем частное решение
*
y
данного уравнения, т.е.
( )
( )
( )
3 3
2 2
1
*
x
x
c
x
x
c
x
x
c
y
+
+
=
Составим систему (*) для определения
( ) ( ) ( )
x
c
x
c
x
c
3 2
1
,
,
:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )





=
+
=
+
+
=
+
+
x
x
x
c
x
c
x
x
c
x
x
c
x
c
x
x
c
x
x
c
x
x
c
6
'
2
'
0 3
'
2
'
1
'
0
'
'
'
3 2
2 3
2 1
3 3
2 2
1
или





=
+
=
+
+
=
+
+
'
6
'
2 0
'
3
'
2
'
0
'
'
'
3 2
2 3
2 1
3 3
2 2
1
x
x
c
c
x
c
x
c
c
x
c
x
c
x
c
Решая систему, получим
( )
( )
( )
x
x
c
x
x
c
x
x
c
2 1
'
,
'
,
2 1
'
3 2
3 1
=
−
=
=
, откуда
( )
5 1
5 1
x
x
c
=
,
( )
3 2
3 2
x
x
c
−
=
,
( )
x
x
c
=
3
Частное решение запишется
7 3
2 3
5 15 8
3 2
5 1
*
x
x
x
x
x
x
x
y
=
+
−
=
Следовательно, общее решение имеет вид:
7 3
3 2
2 1
15 8
x
x
c
x
c
x
c
y
+
+
+
=