Т. В. Труфанова, А. Е. Ситундифференциальные уравненияв примерах и задачах
 Скачать 0.88 Mb.
|
|
§8. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, т.е. уравнения вида ( ) ( ) ( ) x f y a y a y a y n n n n = + + + + − − ' 1 1 1 , (17) где ( ) n i a i ,..., 2 , 1 = - действительные числа, а ( ) 0 ≠ x f Общее решение уравнения (17) записывается в виде * y y y + = , где y – общее решение ( ) 0 = y L . соответствующего данному, * y – любое частное решение уравнения ( ) ( ) x f y L = Общее решение y находится с помощью табл. 1. Для отыскания * y в общем случае можно воспользоваться методом Лагранжа вариации произвольных постоянных. В частных случаях, когда функция ( ) x f в уравнении (17) имеет специ- альный вид, частное решение находится методом неопределенных коэф- фициентов (метод подбора частного решения). При этом используют табл. 2. 24 Таблица 2 Вид правой части уравнения (17) Корни характеристического уравнения ( ) 0 = y L Вид частного решения уравнения (17) ( ) ( ) x P e x f m x α = 1) α – не является корнем характеристи- ческого уравнения 2) α – корень харак- теристического урав- нения кратности r 1) ( ) x Q e y m x α = * 2) ( ) x Q e x y m x r α = * ( ) x B x A x f β β sin cos + = 1) i β ± – не является корнем характеристиче- ского уравнения 2) i β ± – корень ха- рактеристического уравнения кратности r 1) x N x M y β β sin cos * + = 2) ( ) x N x M x y r β β sin cos * + = ( ) ( ) [ + = x x P e x f m x β α cos ( ) ] x x P n β sin + 1) i β α ± – не являет- ся корнем характери- стического уравнения 2) i β α ± – корень ха- рактеристического уравнения кратности r 1) ( ) ( ) [ ] x x N x x M e y k k x β β α sin cos * + = 2) ( ) ( ) [ ] x x N x x M e x y k k x r β β α sin cos * + = Замечание 1 (к табл. 2). ( ) k k k x A x A x A A x M + + + + = 2 2 1 0 , ( ) k k k x B x B x B B x N + + + + = 2 2 1 0 , где k – наибольшее из чисел m и n. Замечание 2. Если ( ) ( ) ( ) x f x f x f 2 1 + = , то * * * 2 1 y y y + = , где * 1 y соответ- ствует ( ) x f 1 , а * 2 y - ( ) x f 2 Замечание 3. Многочлены ( ) x Q m должны быть полными (т.е. содер- жать все степени x, от 0 до m). Если в выражение функции ( ) x f входит хо- тя бы одна из функций x β cos или x β sin , то в * y нужно всегда вводить обе функции. Пример 1. Записать вид частного решения уравнения ( ) x f y y = − '' '' ' , если а) ( ) 2 = x f ; б) ( ) 5 2 3 2 + − = x x x f ; в) ( ) x e x f 3 2 − = ; г) ( ) x xe x f 2 = ; д) ( ) x x f 2 sin 3 = ; е) ( ) x x x f 2 cos 5 sin 3 + = ж) ( ) x x x x f 2 cos 5 2 sin + = Решение. Характеристическое уравнение запишется 0 2 3 = − k k , имеем корни 1 , 0 3 2 , 1 = = k k 25 Запишем частные решения уравнения в общем виде (не находя коэффициен- тов): а) 2 * Ax y = ; б) ( ) C Bx Ax x y + + = 2 2 * ; в) x Ae y 3 * − = ; г) ( ) x e B Ax x y + = * ; д) x B x A y 2 sin 2 cos * + = ; е) x D x C x B x A y y y 2 sin 2 cos sin cos * * * 2 1 + + + = + = ; ж) ( ) ( ) x D Cx x B Ax y 2 sin 2 cos * + + + = Пример 2. Найти общее решение уравнения x x y y + = + 2 IV '' Решение. Характеристическое уравнение 0 2 4 = + k k , его корни i k k ± = = 4 , 3 2 , 1 , 0 Общее решение соответствующего однородного уравнения запишется x c x c x c c y sin cos 4 3 2 1 + + + = Частное решение имеет вид ( ) 2 3 4 2 2 * Cx Bx Ax C Bx Ax x y + + = + + = Для определения неизвестных коэффициентов A,B,C вычислим произ- водные от * y : 3 2 4 3 2 *' Ax Bx Cx y + + = , 2 12 6 2 ' *' Ax Bx C y + + = , Ax B y 24 6 '' *' + = , A y 24 * IV = и подставим в уравнение x x y y + = + 2 IV '' . Из полученного тождества 24А+2С+6Вх+12Ах 2 ≡х 2 +х определим коэффициенты A,B,C двумя методами: 1) уравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x , получим = + = = , 0 2 24 1 6 1 12 C A B A откуда 1 , 6 1 , 12 1 − = = = C B A 2) зададим x произвольные значения. Пусть 0 2 24 0 = + ⇒ = C A x , 2 12 6 2 24 1 , 0 12 6 2 24 1 = + + + ⇒ = = + − + ⇒ − = A B C A x A B C A x Решая полученную систему, найдем 1 , 6 1 , 12 1 − = = = C B A . При определе- нии коэффициентов используется или первый или второй метод, а иногда уместно применить одновременно оба. Частное решение запишется 2 3 4 6 1 12 x x x y − + = ∗ . Следовательно, 12 6 1 sin cos 4 3 2 4 3 2 1 x x x x C x C x C C y + + − + + + = есть общее решение уравнения. 26 Пример 3. Найти частное решение дифференциального уравнения ) cos (sin 4 2 x x y y y + = ′ + ′′ − ′′′ , удовлетворяющее начальным условиям: 1 , 0 , 1 0 0 0 − = ′′ = ′ = = = = x x x y y y Решение. Запишем характеристическое уравнение и найдем его корни: 1 , 0 , 0 2 3 2 1 2 3 = = = = + − k k k k k k Общее решение однородного уравнения имеет вид ) ( 3 2 1 x e x C C C y + + = Запишем частное решение sin cos x B x A y + = ∗ Вычислим производные: x B x A y cos sin ) ( + − = ′ ∗ , x B x A y sin cos ) ( − − = ′′ ∗ , ; cos sin ) ( x B x A y − = ′′′ ∗ после подстановки ) ( , ) ( , ) ( , ′′′ ′′ ′ ∗ ∗ ∗ ∗ y y y y в левую часть данного уравне- ния получим x x x B x A sin 4 cos 4 sin 2 cos 2 + ≡ + – тождество, из которого x x y B A sin 2 cos 2 ; 2 , 2 + = = = ∗ - частное решение. Общее решение неодно- родного уравнения ∗ + = y y y или sin 2 cos 2 ) ( 3 2 1 x x e x C C C y x + + + + = Найдем частное решение, соответствующее заданным начальным услови- ям. Продифференцируем последовательно два раза общее решение и полу- чим три равенства: [ ] [ ] ). sin (cos 2 ) 2 ( ), cos sin ( 2 ) 1 ( , sin 2 cos 2 ) ( 3 2 3 2 3 2 1 x x e x C C y x x e x C C y x x e x C C C y x x x + − + + = ′′ + − + + + = ′ + + + + = Подставляя начальные условия 1 , 0 , 1 , 0 − = ′′ = ′ = = y y y x в эти равенства по- лучим, систему уравнений с неизвестными , , 3 2 1 C C C − + = − + + = + + = , 2 2 1 2 0 2 1 3 2 3 2 2 1 C C C C C C откуда 3 , 5 , 4 3 2 1 = − = = C C C Следовательно, ) sin (cos 2 ) 3 5 ( 4 x x e x y x + + + − + = – искомое частное решение данного уравнения, удовлетворяющее задан- ным начальным условиям. § 9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, СВОДЯЩИЕСЯ К ЛИНЕЙНЫМ УРАВНЕНИЯМ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 9.1. Уравнение Эйлера Уравнение вида , 0 1 ) 1 ( 1 1 ) ( = + ′ + + + − − − y a y x a y x a y x n n n n n n Κ (18) где const a i = ). , , 2 , 1 ( n i Κ = Заменой t e x = (или t e x − = при 0 < x ) уравнение сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами. На практике решение уравнения Эйлера ищут в виде ) ( r r t rt x e e y = = = Для на- 27 хождения r получают характеристическое уравнение. Простому корню 1 r соответствует решение 1 r x , а m-кратному корню 1 r – m линейно независи- мых решений вида ) (ln , , ) (ln , ln , 1 2 1 1 1 1 − m r r r r x x x x x x x Κ Если коэффициенты уравнения действительны, а характеристическое уравнение имеет ком- плексно сопряженные корни 0 0 0 β α i r ± = кратности µ , то уравнение Эйлера имеет µ 2 линейно независимых решений вида ). ln sin( ) (ln , ), ln sin( ln ), ln sin( ), ln cos( ) (ln , ), ln cos( ln ), ln cos( 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 x x x x x x x x x x x x x x x x β β β β β β µ α α α µ α α α − − Κ Κ 9.2. Уравнение Лагранжа Уравнение вида Κ Κ , 0 ) ( ) ( ) ( 1 ) 1 ( 1 1 ) ( = + ′ + + + + + + − − − y a y b ax a y b ax a y b ax n n n n n n (19) где ). , , 2 , 1 ( , , n i const a b a i Κ = = Заменой t e b ax = + уравнение Лагранжа сво- дится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами. 9.3. Уравнение Чебышева Уравнение вида , 0 ) 1 ( 2 2 = + ′ − ′′ − y n y x y x (20) где const n = . Заменой t x cos = (при x <1) уравнение Чебышева сводится к уравнению 0 2 2 2 = + y n dt y d 9.4. Линейное однородное уравнение второго порядка Уравнение вида ( ) 0 ) ( 2 1 = + ′ + ′′ y x a y x a y (21) с помощью замены ∫ − ⋅ = dx x a e u y ) ( 1 2 1 сводится к уравнению , 0 ) ( = + ′′ u x Q u где ). ( 2 1 ) ( 4 1 ) ( ) ( 1 2 1 2 x a x a x a x Q ′ − − = Последнее является уравнением с посто- янными коэффициентами или уравнением Лагранжа, если c x Q = ) ( или ) , , ( , ) ( ) ( 2 const c b a b ax c x Q = + = соответственно. 28 Пример 1. Найти общее решение уравнения Эйлера 0 4 5 2 = + ′ + ′′ y y x y x Решение. Будем искать решение уравнения Эйлера в виде r x y = , то- гда получим: , 0 4 5 ) 1 ( 1 2 2 = + + − − − r r r x xrx x r r x , 0 4 4 , 0 4 5 ) 1 ( 2 = + + = + + − r r r r r 2 2 1 − = = r r - двукратный корень характеристического уравнения. Поэтому общее решение имеет вид: ln 2 2 2 1 x x C x C y − − + = Пример 2. Найти общее решение уравнения Чебышева ). 1 ( 0 4 ) 1 ( 2 < = + ′ − ′′ − x y y x y x Решение. Выполним замену )), , 0 ( ( cos π ∈ = t t x тогда × ⋅ + − = − = = ′′ − = ⋅ = = ′ t t dt dy t dt y d dx dt t dt dy dt d dx y d y t dt dy dx dt dt dy dx dy y 2 2 2 2 2 sin cos sin 1 sin 1 , sin 1 t t dt dy t dt y d t 3 2 2 2 sin cos sin 1 sin 1 ⋅ − ⋅ = − × , получим 0 4 2 2 = + y dt y d , откуда + = + = ) arccos 2 cos( 2 sin 2 cos 1 2 1 x C t C t C y 1 2 ) 1 2 ( ) arcsin 2 sin( 2 2 2 1 2 x x C x C x C − + − = + Пример 3. Найти общее решение уравнения 0 ) 6 ( 2 2 = + + ′ + ′′ y x y x y Решение. Имеем уравнение вида (21). Найдем ) (x Q : 5 2 2 1 4 4 1 6 ) ( 2 1 ) ( 4 1 ) ( ) ( 2 2 1 2 1 2 = ⋅ − ⋅ − + = ′ − − = x x x a x a x a x Q Заменой − ⋅ = ∫ xdx u y 2 2 1 exp данное уравнение сводится к уравнению 0 5 = + ′′ u u Составим характеристическое уравнение 5 , 0 5 2 , 1 2 i k k ± = = + Общее реше- ние запишется ). 5 sin 5 cos ( 2 1 2 2 x C x C e y x + ⋅ = − |