Главная страница
Навигация по странице:

  • Пример 2

  • § 9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, СВОДЯЩИЕСЯ К ЛИНЕЙНЫМ УРАВНЕНИЯМ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 9.1. Уравнение Эйлера

  • 9.2. Уравнение Лагранжа

  • 9.3. Уравнение Чебышева

  • 9.4. Линейное однородное уравнение второго порядка

  • Пример 1

  • Пример 3

  • Т. В. Труфанова, А. Е. Ситундифференциальные уравненияв примерах и задачах


    Скачать 0.88 Mb.
    НазваниеТ. В. Труфанова, А. Е. Ситундифференциальные уравненияв примерах и задачах
    Дата02.08.2018
    Размер0.88 Mb.
    Формат файлаpdf
    Имя файлаamursu015.pdf
    ТипДокументы
    #48922
    страница4 из 8
    1   2   3   4   5   6   7   8
    §8. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
    С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
    Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, т.е. уравнения вида
    ( )
    ( )
    ( )
    x
    f
    y
    a
    y
    a
    y
    a
    y
    n
    n
    n
    n
    =
    +
    +
    +
    +


    '
    1 1
    1
    ,
    (17)
    где
    (
    )
    n
    i
    a
    i
    ,...,
    2
    ,
    1
    =
    - действительные числа, а
    ( )
    0

    x
    f
    Общее решение уравнения (17) записывается в виде
    *
    y
    y
    y
    +
    =
    , где
    y
    – общее решение
    ( )
    0
    =
    y
    L
    . соответствующего данному,
    *
    y
    – любое частное решение уравнения
    ( ) ( )
    x
    f
    y
    L
    =
    Общее решение
    y
    находится с помощью табл. 1.
    Для отыскания
    *
    y
    в общем случае можно воспользоваться методом
    Лагранжа вариации произвольных постоянных.
    В частных случаях, когда функция
    ( )
    x
    f
    в уравнении (17) имеет специ- альный вид, частное решение находится методом неопределенных коэф- фициентов (метод подбора частного решения). При этом используют табл. 2.

    24
    Таблица 2
    Вид правой части уравнения (17)
    Корни характеристического уравнения
    ( )
    0
    =
    y
    L
    Вид частного решения уравнения (17)
    ( )
    ( )
    x
    P
    e
    x
    f
    m
    x
    α
    =
    1)
    α
    – не является корнем характеристи- ческого уравнения
    2)
    α
    – корень харак- теристического урав- нения кратности r
    1)
    ( )
    x
    Q
    e
    y
    m
    x
    α
    =
    *
    2)
    ( )
    x
    Q
    e
    x
    y
    m
    x
    r
    α
    =
    *
    ( )
    x
    B
    x
    A
    x
    f
    β
    β
    sin cos
    +
    =
    1)
    i
    β
    ±
    – не является корнем характеристиче- ского уравнения
    2)
    i
    β
    ±
    – корень ха- рактеристического уравнения кратности r
    1)
    x
    N
    x
    M
    y
    β
    β
    sin cos
    *
    +
    =
    2)
    (
    )
    x
    N
    x
    M
    x
    y
    r
    β
    β
    sin cos
    *
    +
    =
    ( )
    ( )
    [
    +
    =
    x
    x
    P
    e
    x
    f
    m
    x
    β
    α
    cos
    ( )
    ]
    x
    x
    P
    n
    β
    sin
    +
    1)
    i
    β
    α ±
    – не являет- ся корнем характери- стического уравнения
    2)
    i
    β
    α ±
    – корень ха- рактеристического уравнения кратности r
    1)
    ( )
    ( )
    [
    ]
    x
    x
    N
    x
    x
    M
    e
    y
    k
    k
    x
    β
    β
    α
    sin cos
    *
    +
    =
    2)
    ( )
    ( )
    [
    ]
    x
    x
    N
    x
    x
    M
    e
    x
    y
    k
    k
    x
    r
    β
    β
    α
    sin cos
    *
    +
    =
    Замечание 1 (к табл. 2).
    ( )
    k
    k
    k
    x
    A
    x
    A
    x
    A
    A
    x
    M
    +
    +
    +
    +
    =
    2 2
    1 0
    ,
    ( )
    k
    k
    k
    x
    B
    x
    B
    x
    B
    B
    x
    N
    +
    +
    +
    +
    =
    2 2
    1 0
    , где k – наибольшее из чисел m и n.
    Замечание 2. Если
    ( )
    ( )
    ( )
    x
    f
    x
    f
    x
    f
    2 1
    +
    =
    , то
    *
    *
    *
    2 1
    y
    y
    y
    +
    =
    , где
    *
    1
    y
    соответ- ствует
    ( )
    x
    f
    1
    , а
    *
    2
    y
    -
    ( )
    x
    f
    2
    Замечание 3. Многочлены
    ( )
    x
    Q
    m
    должны быть полными (т.е. содер- жать все степени x, от 0 до m). Если в выражение функции
    ( )
    x
    f
    входит хо- тя бы одна из функций
    x
    β
    cos или
    x
    β
    sin
    , то в
    *
    y
    нужно всегда вводить обе функции.
    Пример 1. Записать вид частного решения уравнения
    ( )
    x
    f
    y
    y
    =

    ''
    ''
    '
    , если а)
    ( )
    2
    =
    x
    f
    ; б)
    ( )
    5 2
    3 2
    +

    =
    x
    x
    x
    f
    ; в)
    ( )
    x
    e
    x
    f
    3 2

    =
    ; г)
    ( )
    x
    xe
    x
    f
    2
    =
    ; д)
    ( )
    x
    x
    f
    2
    sin
    3
    =
    ;
    е)
    ( )
    x
    x
    x
    f
    2
    cos
    5
    sin
    3
    +
    =
    ж)
    ( )
    x
    x
    x
    x
    f
    2
    cos
    5 2
    sin
    +
    =
    Решение. Характеристическое уравнение запишется
    0 2
    3
    =

    k
    k
    , имеем корни
    1
    ,
    0 3
    2
    ,
    1
    =
    =
    k
    k

    25
    Запишем частные решения уравнения в общем виде (не находя коэффициен- тов):
    а)
    2
    * Ax
    y
    =
    ; б)
    (
    )
    C
    Bx
    Ax
    x
    y
    +
    +
    =
    2 2
    *
    ; в)
    x
    Ae
    y
    3
    *

    =
    ; г)
    (
    )
    x
    e
    B
    Ax
    x
    y
    +
    =
    *
    ;
    д)
    x
    B
    x
    A
    y
    2
    sin
    2
    cos
    *
    +
    =
    ; е)
    x
    D
    x
    C
    x
    B
    x
    A
    y
    y
    y
    2
    sin
    2
    cos sin cos
    *
    *
    *
    2 1
    +
    +
    +
    =
    +
    =
    ;
    ж)
    (
    )
    (
    )
    x
    D
    Cx
    x
    B
    Ax
    y
    2
    sin
    2
    cos
    *
    +
    +
    +
    =
    Пример 2. Найти общее решение уравнения
    x
    x
    y
    y
    +
    =
    +
    2
    IV
    ''
    Решение. Характеристическое уравнение
    0 2
    4
    =
    +
    k
    k
    , его корни
    i
    k
    k
    ±
    =
    =
    4
    ,
    3 2
    ,
    1
    ,
    0
    Общее решение соответствующего однородного уравнения запишется
    x
    c
    x
    c
    x
    c
    c
    y
    sin cos
    4 3
    2 1
    +
    +
    +
    =
    Частное решение имеет вид
    (
    )
    2 3
    4 2
    2
    *
    Cx
    Bx
    Ax
    C
    Bx
    Ax
    x
    y
    +
    +
    =
    +
    +
    =
    Для определения неизвестных коэффициентов A,B,C вычислим произ- водные от
    *
    y
    :
    3 2
    4 3
    2
    *'
    Ax
    Bx
    Cx
    y
    +
    +
    =
    ,
    2 12 6
    2
    '
    *'
    Ax
    Bx
    C
    y
    +
    +
    =
    ,
    Ax
    B
    y
    24 6
    ''
    *'
    +
    =
    ,
    A
    y
    24
    *
    IV
    =
    и подставим в уравнение
    x
    x
    y
    y
    +
    =
    +
    2
    IV
    ''
    . Из полученного тождества
    24А+2С+6Вх+12Ах
    2
    ≡х
    2

    определим коэффициенты A,B,C двумя методами:
    1)
    уравниваем коэффициенты при одинаковых степенях
    x
    , получим
    



    =
    +
    =
    =
    ,
    0 2
    24 1
    6 1
    12
    C
    A
    B
    A
    откуда
    1
    ,
    6 1
    ,
    12 1

    =
    =
    =
    C
    B
    A
    2)
    зададим
    x
    произвольные значения.
    Пусть
    0 2
    24 0
    =
    +

    =
    C
    A
    x
    ,
    2 12 6
    2 24 1
    ,
    0 12 6
    2 24 1
    =
    +
    +
    +

    =
    =
    +

    +


    =
    A
    B
    C
    A
    x
    A
    B
    C
    A
    x
    Решая полученную систему, найдем
    1
    ,
    6 1
    ,
    12 1

    =
    =
    =
    C
    B
    A
    . При определе- нии коэффициентов используется или первый или второй метод, а иногда уместно применить одновременно оба.
    Частное решение запишется
    2 3
    4 6
    1 12
    x
    x
    x
    y

    +
    =

    . Следовательно,
    12 6
    1
    sin cos
    4 3
    2 4
    3 2
    1
    x
    x
    x
    x
    C
    x
    C
    x
    C
    C
    y
    +
    +

    +
    +
    +
    =
    есть общее решение уравнения.

    26
    Пример 3. Найти частное решение дифференциального уравнения
    )
    cos
    (sin
    4 2
    x
    x
    y
    y
    y
    +
    =

    +
    ′′

    ′′′
    , удовлетворяющее начальным условиям:
    1
    ,
    0
    ,
    1 0
    0 0

    =
    ′′
    =

    =
    =
    =
    =
    x
    x
    x
    y
    y
    y
    Решение. Запишем характеристическое уравнение и найдем его корни:
    1
    ,
    0
    ,
    0 2
    3 2
    1 2
    3
    =
    =
    =
    =
    +

    k
    k
    k
    k
    k
    k
    Общее решение однородного уравнения имеет вид
    )
    (
    3 2
    1
    x
    e
    x
    C
    C
    C
    y
    +
    +
    =
    Запишем частное решение sin cos
    x
    B
    x
    A
    y
    +
    =

    Вычислим производные:
    x
    B
    x
    A
    y
    cos sin
    )
    (
    +

    =


    ,
    x
    B
    x
    A
    y
    sin cos
    )
    (


    =
    ′′

    ,
    ;
    cos sin
    )
    (
    x
    B
    x
    A
    y

    =
    ′′′

    после подстановки
    )
    (
    ,
    )
    (
    ,
    )
    (
    ,
    ′′′
    ′′





    y
    y
    y
    y
    в левую часть данного уравне- ния получим
    x
    x
    x
    B
    x
    A
    sin
    4
    cos
    4
    sin
    2
    cos
    2
    +

    +
    – тождество, из которого
    x
    x
    y
    B
    A
    sin
    2
    cos
    2
    ;
    2
    ,
    2
    +
    =
    =
    =

    - частное решение. Общее решение неодно- родного уравнения

    +
    =
    y
    y
    y
    или sin
    2
    cos
    2
    )
    (
    3 2
    1
    x
    x
    e
    x
    C
    C
    C
    y
    x
    +
    +
    +
    +
    =
    Найдем частное решение, соответствующее заданным начальным услови- ям. Продифференцируем последовательно два раза общее решение и полу- чим три равенства:
    [
    ]
    [
    ]
    ).
    sin
    (cos
    2
    )
    2
    (
    ),
    cos sin
    (
    2
    )
    1
    (
    ,
    sin
    2
    cos
    2
    )
    (
    3 2
    3 2
    3 2
    1
    x
    x
    e
    x
    C
    C
    y
    x
    x
    e
    x
    C
    C
    y
    x
    x
    e
    x
    C
    C
    C
    y
    x
    x
    x
    +

    +
    +
    =
    ′′
    +

    +
    +
    +
    =

    +
    +
    +
    +
    =
    Подставляя начальные условия
    1
    ,
    0
    ,
    1
    ,
    0

    =
    ′′
    =

    =
    =
    y
    y
    y
    x
    в эти равенства по- лучим, систему уравнений с неизвестными
    ,
    ,
    3 2
    1
    C
    C
    C
    




    +
    =

    +
    +
    =
    +
    +
    =
    ,
    2 2
    1 2
    0 2
    1 3
    2 3
    2 2
    1
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    откуда
    3
    ,
    5
    ,
    4 3
    2 1
    =

    =
    =
    C
    C
    C
    Следовательно,
    )
    sin
    (cos
    2
    )
    3 5
    (
    4
    x
    x
    e
    x
    y
    x
    +
    +
    +

    +
    =
    искомое частное решение данного уравнения, удовлетворяющее задан- ным начальным условиям.
    § 9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, СВОДЯЩИЕСЯ
    К ЛИНЕЙНЫМ УРАВНЕНИЯМ
    С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
    9.1. Уравнение Эйлера
    Уравнение вида
    ,
    0 1
    )
    1
    (
    1 1
    )
    (
    =
    +

    +
    +
    +



    y
    a
    y
    x
    a
    y
    x
    a
    y
    x
    n
    n
    n
    n
    n
    n
    Κ
    (18)
    где
    const
    a
    i
    =
    ).
    ,
    ,
    2
    ,
    1
    (
    n
    i
    Κ
    =
    Заменой
    t
    e
    x
    =
    (или
    t
    e
    x

    =
    при
    0
    <
    x
    ) уравнение сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами. На практике решение уравнения Эйлера ищут в виде
    )
    (
    r
    r
    t
    rt
    x
    e
    e
    y
    =
    =
    =
    Для на-

    27
    хождения
    r
    получают характеристическое уравнение. Простому корню
    1
    r
    соответствует решение
    1
    r
    x
    , а m-кратному корню
    1
    r
    – m линейно независи- мых решений вида
    )
    (ln
    ,
    ,
    )
    (ln
    ,
    ln
    ,
    1 2
    1 1
    1 1

    m
    r
    r
    r
    r
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    Κ
    Если коэффициенты уравнения действительны, а характеристическое уравнение имеет ком- плексно сопряженные корни
    0 0
    0
    β
    α
    i
    r
    ±
    =
    кратности
    µ
    , то уравнение Эйлера имеет
    µ
    2
    линейно независимых решений вида
    ).
    ln sin(
    )
    (ln
    ,
    ),
    ln sin(
    ln
    ),
    ln sin(
    ),
    ln cos(
    )
    (ln
    ,
    ),
    ln cos(
    ln
    ),
    ln cos(
    0 1
    0 0
    0 1
    0 0
    0 0
    0 0
    0 0
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    β
    β
    β
    β
    β
    β
    µ
    α
    α
    α
    µ
    α
    α
    α


    Κ
    Κ
    9.2. Уравнение Лагранжа
    Уравнение вида
    Κ
    Κ
    ,
    0
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    1
    )
    1
    (
    1 1
    )
    (
    =
    +

    +
    +
    +
    +
    +
    +



    y
    a
    y
    b
    ax
    a
    y
    b
    ax
    a
    y
    b
    ax
    n
    n
    n
    n
    n
    n
    (19)
    где
    ).
    ,
    ,
    2
    ,
    1
    (
    ,
    ,
    n
    i
    const
    a
    b
    a
    i
    Κ
    =
    =
    Заменой
    t
    e
    b
    ax
    =
    +
    уравнение Лагранжа сво- дится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами.
    9.3. Уравнение Чебышева
    Уравнение вида
    ,
    0
    )
    1
    (
    2 2
    =
    +


    ′′

    y
    n
    y
    x
    y
    x
    (20)
    где
    const
    n
    =
    . Заменой
    t
    x cos
    =
    (при
    x
    <1) уравнение Чебышева сводится к уравнению
    0 2
    2 2
    =
    +
    y
    n
    dt
    y
    d
    9.4. Линейное однородное уравнение второго порядка
    Уравнение вида
    ( )
    0
    )
    (
    2 1
    =
    +

    +
    ′′
    y
    x
    a
    y
    x
    a
    y
    (21)
    с помощью замены



    =
    dx
    x
    a
    e
    u
    y
    )
    (
    1 2
    1
    сводится к уравнению
    ,
    0
    )
    (
    =
    +
    ′′
    u
    x
    Q
    u
    где
    ).
    (
    2 1
    )
    (
    4 1
    )
    (
    )
    (
    1 2
    1 2
    x
    a
    x
    a
    x
    a
    x
    Q



    =
    Последнее является уравнением с посто- янными коэффициентами или уравнением Лагранжа, если
    c
    x
    Q
    =
    )
    (
    или
    )
    ,
    ,
    (
    ,
    )
    (
    )
    (
    2
    const
    c
    b
    a
    b
    ax
    c
    x
    Q
    =
    +
    =
    соответственно.

    28
    Пример 1. Найти общее решение уравнения Эйлера
    0 4
    5 2
    =
    +

    +
    ′′
    y
    y
    x
    y
    x
    Решение. Будем искать решение уравнения Эйлера в виде
    r
    x
    y
    =
    , то- гда получим:
    ,
    0 4
    5
    )
    1
    (
    1 2
    2
    =
    +
    +



    r
    r
    r
    x
    xrx
    x
    r
    r
    x
    ,
    0 4
    4
    ,
    0 4
    5
    )
    1
    (
    2
    =
    +
    +
    =
    +
    +

    r
    r
    r
    r
    r
    2 2
    1

    =
    =
    r
    r
    - двукратный корень характеристического уравнения. Поэтому общее решение имеет вид: ln
    2 2
    2 1
    x
    x
    C
    x
    C
    y


    +
    =
    Пример 2. Найти общее решение уравнения Чебышева
    ).
    1
    (
    0 4
    )
    1
    (
    2
    <
    =
    +


    ′′

    x
    y
    y
    x
    y
    x
    Решение. Выполним замену
    )),
    ,
    0
    (
    (
    cos
    π

    =
    t
    t
    x
    тогда
    ×
    

    


    +





    −
    =
    

    






    −
    =
    =
    ′′





    −
    =

    =
    =

    t
    t
    dt
    dy
    t
    dt
    y
    d
    dx
    dt
    t
    dt
    dy
    dt
    d
    dx
    y
    d
    y
    t
    dt
    dy
    dx
    dt
    dt
    dy
    dx
    dy
    y
    2 2
    2 2
    2
    sin cos sin
    1
    sin
    1
    ,
    sin
    1
    t
    t
    dt
    dy
    t
    dt
    y
    d
    t
    3 2
    2 2
    sin cos sin
    1
    sin
    1



    =





    −
    ×
    ,
    получим
    0 4
    2 2
    =
    +
    y
    dt
    y
    d
    , откуда
    +
    =
    +
    =
    )
    arccos
    2
    cos(
    2
    sin
    2
    cos
    1 2
    1
    x
    C
    t
    C
    t
    C
    y
    1 2
    )
    1 2
    (
    )
    arcsin
    2
    sin(
    2 2
    2 1
    2
    x
    x
    C
    x
    C
    x
    C

    +

    =
    +
    Пример 3. Найти общее решение уравнения
    0
    )
    6
    (
    2 2
    =
    +
    +

    +
    ′′
    y
    x
    y
    x
    y
    Решение. Имеем уравнение вида (21). Найдем
    )
    (x
    Q
    :
    5 2
    2 1
    4 4
    1 6
    )
    (
    2 1
    )
    (
    4 1
    )
    (
    )
    (
    2 2
    1 2
    1 2
    =




    +
    =



    =
    x
    x
    x
    a
    x
    a
    x
    a
    x
    Q
    Заменой





    −

    =

    xdx
    u
    y
    2 2
    1
    exp данное уравнение сводится к уравнению
    0 5
    =
    +
    ′′
    u
    u
    Составим характеристическое уравнение
    5
    ,
    0 5
    2
    ,
    1 2
    i
    k
    k
    ±
    =
    =
    +
    Общее реше- ние запишется
    ).
    5
    sin
    5
    cos
    (
    2 1
    2 2
    x
    C
    x
    C
    e
    y
    x
    +

    =

    1   2   3   4   5   6   7   8


    написать администратору сайта