Т. В. Труфанова, А. Е. Ситундифференциальные уравненияв примерах и задачах
 Скачать 0.88 Mb.
|
|
§10. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ В некоторых случаях, когда интегрирование дифференциального уравнения в элементарных функциях невозможно, решение такого уравне- ния ищут в виде степенного ряда ∑ ∞ = − = 0 0 ) ( n n n x x c y (22) 29 Неопределенные коэффициенты ) , 2 , 1 , 0 ( Κ = n c n находят подстановкой ряда в дифференциальное уравнение и приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях разности ( ) 0 x x − в обеих частях полученного ра- венства. Если удается найти все коэффициенты ряда, то полученный ряд определяет решение во всей своей области сходимости. В тех случаях, когда для уравнения ) , ( y x f y = ′ требуется решить задачу Коши при начальных условиях 0 0 y y x x = = , решение можно искать с помо- щью ряда Тейлора: , ) ( ! ) ( 0 0 0 ) ( ∑ ∞ = − ⋅ = n n n x x n x y y где 0 0 ) ( y x y = , ), , ( ) ( 0 0 0 y x f x y = ′ а дальнейшие производные ) ( 0 ) ( x y n находим последовательным дифферен- цированием исходного уравнения и подстановкой вместо Κ , , , y y x ′ значений Κ , , , 0 0 0 y y x ′ Аналогично с помощью ряда Тейлора можно интегрировать и уравне- ния высших порядков. Пример 1. Найти общее решение уравнения 0 2 = − ′′ y x y Решение. Будем искать решение этого уравнения в виде ряда Κ Κ + + + + + = n n x C x C x C C y 2 2 1 0 Подставляя y и y ′′ в исходное уравнение, находим [ ] [ ] 0 ) 1 )( 2 ( 3 4 2 3 1 2 2 2 1 0 2 1 2 4 3 2 ≡ + + + + + − − + + + + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + Κ Κ Κ Κ n n n n x C x C x C C x x C n n x C x C C Сгруппируем члены с одинаковыми степенями : x [ ] 0 ) 3 )( 4 ( 2 3 1 2 0 2 4 2 3 2 ≡ − + + + ⋅ + ⋅ ∑ ∞ = + + n n n n x C C n n x C C Приравнивая к нулю все коэффициенты полученного ряда (чтобы уравне- ние обратилось в тождество), находим ; 0 3 2 = = C C ). , 2 , 1 , 0 ( ) 4 )( 3 ( 4 Κ = + + = + n n n C C n n Последнее соотношение позволяет найти по- следовательно все коэффициенты искомого разложения ( 0 C и 1 C остаются произвольными и считаются произвольными постоянными интегрирования): ). , 2 , 1 , 0 ( 0 ; ) 1 4 ( 4 9 8 5 4 ; 4 ) 1 4 ( 8 7 4 3 3 4 2 4 1 1 4 0 4 Κ Κ Κ = = = + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = + + + k C C k k C C k k C C k k k k Таким образом, ) 1 4 ( 4 9 8 5 4 4 ) 1 4 ( 8 7 4 3 0 1 4 1 0 4 0 ∑ ∑ ∞ = + ∞ = + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = k k k k k k x C k k x C y Κ Κ Полученные ряды сходятся на всей числовой оси и определяют два линей- но независимых частных решения исходного уравнения. 30 Пример 2. Проинтегрировать приближенно с помощью ряда Тейлора уравнение , 2 y x y + = ′′ 1 ) 0 ( , 0 ) 0 ( = ′ = y y Найти четыре первых (отличных от нуля) члена разложения. Решение. Дифференцируя уравнение , 2 y x y + = ′′ имеем 6 8 2 , 6 2 , 2 2 , 2 1 2 ) 4 ( ) 6 ( ) 5 ( 2 ) 4 ( y y y yy y y y y y y y y y y y y y ′′ + ′′′ ′ + = ′′ ′ + ′′′ = ′ + ′′ = ′ + = ′′′ При 0 = x получаем , 0 ) 0 ( , 2 ) 0 ( , 1 ) 0 ( , 0 ) 0 ( , 1 ) 0 ( , 0 ) 0 ( ) 5 ( ) 4 ( = = = ′′′ = ′′ = ′ = y y y y y y 16 ) 0 ( ) 6 ( = y Решение имеет вид Κ Κ + + + + = + + + + = 45 12 6 ! 6 16 ! 4 2 ! 3 ! 1 6 4 3 5 4 3 x x x x x x x x y §11. УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ Уравнением Бесселя называется дифференциальное уравнение вида , 0 ) ( 2 2 2 = − + ′ + ′′ y n x y x y x (23) где const n = Решение уравнения определяют в виде произведения некоторой степени x на степенной ряд ∑ ∞ = = 0 k k k r x a x y Коэффициент 0 a мы можем считать отличным от нуля ввиду неопределен- ности показателя x. Перепишем ∑ ∞ = + = 0 k k r k x a y и найдем производные: ) 1 )( ( , ) ( 0 0 2 1 ∑ ∑ ∞ = ∞ = − + − + − + + = ′′ + = ′ k k k r k k r k x a k r k r y x a k r y Подставим эти выражения в уравнение (23): 0 ) ( ) ( ) 1 )( ( 0 2 2 0 1 0 2 2 = − + + + − + + ∑ ∑ ∑ ∞ = + ∞ = − + ∞ = − + k k r k k k r k k k r k x a n x x a k r x x a k r k r x Приравнивая к нулю коэффициенты при x в степени k r r r r + + + , , 2 , 1 , Κ , получаем систему уравнений: [ ] [ ] [ ] [ ] = + − + + − + + = − + + + + = − + + + = − + − − Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ 0 ) ( ) 1 )( ( 0 ) 2 ( ) 1 )( 2 ( 0 ) 1 ( ) 1 ( 0 ) 1 ( 2 2 2 2 1 2 0 2 k k a a n k r k r k r a n r r r a n r r r a n r r r , или [ ] [ ] [ ] = + − + = + − + = − + = − − Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ 0 ) ( 0 ) 2 ( 0 ) 1 ( 0 ) ( 2 2 2 0 2 2 2 1 2 2 0 2 2 k k a a n k r a a n r a n r a n r 31 Рассмотрим равенство [ ] 0 ) ( 2 2 2 = + − + − k k a a n k r . Его можно переписать в виде ( )( ) [ ] 0 2 = + + + − + − k k a a n k r n k r По условию 0 0 ≠ a , следовательно, n r n r n r − = = = − 2 1 2 2 , , 0 1. Пусть n не равно целому числу. Из системы уравнений последовательно определяются все коэффициенты 0 2 1 ,...; , a a a остается произвольным. Пусть r=n, тогда 1 0 = a , 0 1 = a тогда ( ) k n k a a k k + − = − 2 2 , k=(2,3,…). Придавая раз- личные значения k, найдем ( ) = + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − = + + ⋅ = + − = = = = + ...) 2 , 1 ( , ) 2 2 ( ) 4 2 )( 2 2 ( 2 6 4 2 1 1 , , ) 4 2 )( 2 2 ( 4 2 1 , ) 2 2 ( 2 1 0 , , 0 , 0 2 4 2 1 2 3 1 m m n n n m a n n a n a a вообще и a a m m m Κ Κ Κ Κ Подставим найденные коэффициенты в решение уравнения ∑ ∞ = = 0 k k k r x a x y , получим частное решение + + + + ⋅ ⋅ − + + ⋅ + + − = Κ ) 6 2 )( 4 2 )( 2 2 ( 6 4 2 ) 4 2 )( 2 2 ( 4 2 ) 2 2 ( 2 1 6 4 2 1 n n n x n n x n x x y n Решение 1 y , умноженное на некоторую постоянную ) 1 ( 2 1 0 + = n Г a n , называ- ется функцией Бесселя первого рода n-го порядка и обозначается симво- лом ) (x J n Решение 2 y , соответствующее значению r = -n, обозначают символом ) (x J n − и находят по формулам + + − + − + − ⋅ ⋅ − + − + − ⋅ + + − − = − Κ ) 6 2 )( 4 2 )( 2 2 ( 6 4 2 ) 4 2 )( 2 2 ( 4 2 ) 2 2 ( 2 1 6 4 2 2 n n n x n n x n x x y n Таким образом, при n , не равном целому числу, общее решение уравнения (23) имеет вид: ) ( ) ( 2 1 x J C x J C y n n − + = В выборе 0 a участвует гамма-функция ) 1 ( + Γ n , которая определяется не- собственным интегралом ) 0 ( ) ( 0 1 > = Γ ∫ ∞ − − n dx x e n n x (Г(n+1)=nГ(n)), Κ , 8 15 2 7 , 4 3 2 5 , 2 1 2 3 , 2 1 π π π π = Γ = Γ = Γ = Γ 32 2. Если 0 ≥ n есть целое число, то первое решение 1 y будет иметь смысл и являться первым частным решением уравнения (23), но второе решение не будет иметь смысла, так как один из множителей знаменателя в разложении обратится в нуль. При целом положительном n функция Бесселя имеет вид 1 ! 2 1 ) ( y n x J n n ⋅ = (а при 0 = n , 1 y умножается на 1), т. е. + + + + ⋅ ⋅ − + + ⋅ + + − = Κ ) 6 2 )( 4 2 )( 2 2 ( 6 4 2 ) 4 2 )( 2 2 ( 4 2 ) 2 2 ( 2 1 ! 2 ) ( 6 4 2 n n n x n n x n x n x x J n n n или ∑ ∞ = + + − = 0 2 2 )! ( ! ) 1 ( ) ( m m n m n x m n m x J Можно показать, что второе частное решение в этом случае нужно ис- кать в форме ∑ ∞ = − + = 0 ln ) ( ) ( k k k n n n x b x x x J x K Подставляя это выражение в уравнение (23), мы определим коэффициенты k b . Функция ) (x K n с определенными таким образом коэффициентами ум- ноженная на некоторое постоянное, называется функцией Бесселя второго рода n-го порядка. Это и есть решение уравнения (23), образующее с пер- вым линейно независимую систему. Общее решение будет иметь вид: Y=C 1 I n (x)+C 2 K n (x). Отметим, что ∞ → x Lim K n (x)=∞ следовательно, если мы хотим рассматривать конечные решения при n = 0, то в общем решение нужно положить C 2 =0. Пример1. Найти функцию Бесселя при n=0 Решение. ∑ ∑ ∞ = + ∞ = − = + − = 0 2 2 2 0 ) ! ( 4 ) 1 ( 2 ) ( ! ) 1 ( ) ( m m m m m n m m n m x x m n m x I ⋅⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + − = 2 3 6 2 2 4 2 0 ) 3 2 1 ( 4 ) 2 1 ( 4 4 1 ) ( x x x x I Пример 2. Решить уравнение 0 ) 4 1 ( 2 ' '' 2 = − + + y x xy y x Решение: Так как 2 1 = n , то общее решение уравнения имеет вид: ) ( ) ( 2 1 2 1 2 1 x I C x I C y − + = , где = + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ Γ = ...] 7 5 3 6 4 2 5 4 3 2 3 2 1 [ ) ( 2 1 ) ( 6 4 2 2 3 2 1 2 1 2 1 x x x x x I ...) ! 7 ! 5 ! 3 ( 1 2 2 7 5 3 + − + − ⋅ = x x x x x π π 2 sin ⋅ = x x 33 Точно так же получим: π 2 cos ) ( 2 1 x x x I = − Cледовательно, общее решение: x x C x C y π 2 ) cos sin ( 2 1 + = §12. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ В ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ Во многих физических задачах приходится искать решение диффе- ренциальных уравнений не по заданным начальным условиям, а по их зна- чениям на концах интервала. Такие задачи получили название краевых (граничных) задач. Чтобы ре- шить краевую задачу ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 2 1 x f y x a y x a y x a y L = + ′ + ′′ = , b x a ≤ ≤ , 0 ) ( ) ( = ′ + a y a y β α 0 ) ( ) ( = ′ + b y b y δ γ , нужно найти общее решение данного уравнения и подобрать значения произвольных постоянных, входящих в формулу общего решения так, что- бы удовлетворились краевые условия. В отличие от задачи Коши краевая задача не всегда разрешима, а если разрешима, то не обязательно единственным образом. Пример 1. Найти решение уравнения 0 = ′ − ′′ y y удовлетворяющие краевым условиям 1 ) 1 ( ) 1 ( , 3 ) 0 ( = ′ − = y y y Решение. Общее решение данного уравнения имеет вид x e C C y 2 1 + = Подберем С 1 и С 2 так, чтобы удовлетворились заданные краевые условия, т.е. определим постоянные С 1 и С 2 из уравнений: = − + = + 1 3 2 2 1 2 1 e C e C C C C Отсюда С 1 =1, С 2 =2.Таким образом, решением краевой задачи является функция x e y 2 1 + = Пример 2. Найти частное решение уравнения: x e y y y = + − 2 2 ' '' , удовле- творяющее краевым условиям 2 ) ( ) 0 ( 2 π π e y y = + , 1 ) ( ) 0 ( 2 ' ' = + π y y Решение. Общее решение данного уравнения линейного неоднород- ного с постоянными коэффициентами имеет вид: ) 1 sin cos ( 2 1 + + = x C x C e y x Находим ) cos sin ( ) 1 sin cos ( 2 1 2 1 ' x C x C e x C x C e y x x + − + + + = и используем крае- вые условия. Получим систему уравнений для определения С 1 и С 2 : |