Т. В. Труфанова, А. Е. Ситундифференциальные уравненияв примерах и задачах
 Скачать 0.88 Mb.
|
|
§3. УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА Ниже приводятся некоторые виды дифференциальных уравнений n-го порядка, допускающие понижение порядка. 3.1. Уравнения вида 0 ) ,..., , ( ) ( ) ( = n k y y x F , (9) т.е. уравнения, не содержащие явно искомой функции и ее производ- ных до порядка k-1 включительно. 10 С помощью замены ( ) ( ) x p y k = , где ( ) x p , новая неизвестная функция, порядок уравнения понижается на k единиц: 0 ) ,..., ' , , ( ) ( = − k n p p p x F Предположим, что для полученного уравнения мы можем найти общее решение ) ,..., , , ( ) ( 2 1 k n c c c x x p − = ϕ Следовательно имеем промежуточный интеграл ) ,..., , , ( 2 1 ) ( k n k c c c x y − = ϕ Общее решение уравнения (9) получается путем k-кратного интегрирова- ния обеих частей полученного выражения. Пример 1. Найти частное решение уравнения 1 '' 2 '' ' 3 4 = + y x y x , 2 1 ) 1 ( = y , 2 1 ) 1 ( ' = y , 1 ) 1 ( '' − = y Решение. Данное уравнение не содержит y и y’. Положим ( ) x p y = '' , тогда dx dp y = '' ' и уравнение имеет вид 1 2 3 4 = + p x dx dp x или 4 1 2 x p x dx dp = + Это линейное уравнение первого порядка, которое решается заменой ) ( ) ( ) ( x v x u x p = , ' ' ' uv v u p + = . Производя замену получим: 4 1 2 ' ' x uv x uv v u = + + , 4 1 ' 2 ' x u v x u u v = + + , откуда, с учетом возможности произвольного выбора функции u(x), = = + 1 0 2 4 x u dx dv x u dx du Решая первое уравнение системы, найдем функцию 2 1 x u = , из второго уравнения – функцию 1 1 c x v + − = . Найдем функцию uv p = , 2 1 3 1 x c x p + − = Используя начальное условие 1 ) 1 ( ) 1 ( '' − = = p y , получим 0 1 = c . Следова- тельно, 3 1 '' x y − = , откуда 2 2 2 1 ' c x y + = . Начальное условие 2 1 ) 1 ( ' = y позволяет найти 0 2 = c . Следовательно, 2 2 1 ' x y = , 3 2 1 c x y + − = . Из условия 2 1 ) 1 ( = y следует, что 1 3 = c Итак, искомое частное решение есть x y 2 1 1 − = 11 3.2. Уравнения вида 0 ) ,..., ' , ( ) ( = n y y y F (10) Уравнение (10) явно не содержит независимую переменную. Подстановкой ) ( ' y p y = , dy dp p y = '' , '' ' '' ' 2 2 2 2 2 2 p p pp dy p d p dy dp p y + = + = и т.д. по- рядок уравнения понижается на единицу. Пример 2. Найти общее решение уравнения 0 '' 3 '' ' ' 2 = − y y y Решение. Пусть ) ( ' y p y = , dy dp p y = '' , 2 2 2 2 '' dy p d p dy dp p y + = . Тогда уравне- ние преобразуется к виду 0 3 2 2 2 2 2 2 = − + dy dp p dy p d p dy dp p p Приведя подобные члены и сократив на 2 p (при этом следует учесть те- ряемое решение p=0, или y=c), получим: 0 2 2 2 2 = − dy dp dy p d p , 0 ' 2 '' 2 = − p pp Положив здесь z dy dp = , dp dz z dy p d = 2 2 , приводим уравнение к виду: 0 2 2 = − z dp dz pz Сократив на z (при этом следует учесть еще одно решение 0 = = dy dp z , т.е. 1 c p = и 2 1 c x c y + = ), получим 0 2 = − p dp z dz , откуда 1 2 ln ln ln c p z = − , или 2 1 p c dy dp z − = = . Интегрируя последнее уравнение, находим: 2 1 1 c y c p − − = − , или 2 1 c y c dy dx + = Общий интеграл уравнения запишется 3 2 2 1 c y c y c x + + = В общее решение входят потерянные ранее частные решения. 3.3. Уравнения вида 0 ) ,..., ' , , ( ) 1 ( = − n y y y x F dx d , (11) т.е. уравнения, в которых левая часть может быть представлена как полная производная по x от некоторой функции ) ,..., ' , , ( ) 1 ( − n y y y x F . 12 Интегрируя по x, получим новое уравнение, порядок которого на еди- ницу ниже порядка исходного уравнения. Такие уравнения называются уравнениями в точных производных. Пример 3. Найти общее решение уравнения ( ) 3 2 ' 2 '' 1 x xy y x = + + Решение. Левая часть уравнения есть полная производная по x от функции ( ) ' 1 2 y x + , а правая – от функции 4 4 x , т.е. уравнение можно перепи- сать так: ′ = ′ ′ + 4 ) ) 1 (( 4 2 x y x Отсюда интегрированием получаем ( ) 4 4 ' 1 1 4 2 c x y x + = + или ( ) dx x c x dy 2 1 4 1 4 + + = Следовательно, 2 1 3 arctg 4 4 1 12 1 c x c x x y + + − = есть общее решение уравнения. 3.4. Уравнения вида 0 ) ,..., ' , , ( ) ( = n y y y x F (12) Однородные относительно функции и ее производных, т.е. такие, что ) ,..., ' , , ( ) ,..., ' , , ( ) ( ) ( n m n y y y x F y y y x F λ λ λ λ = , 0 > λ однородности порядка m. Подстановкой yz y = ' порядок уравнения понижается на единицу, где ) (x z z = – новая неизвестная функция. Пример 4. Найти общее решение уравнения 0 ' ' '' 2 = − − yy xy xyy Решение. Проверим однородность уравнения. Пусть ' ' '' ) '' ,' , , ( 2 yy xy xyy y y y x F − − = , ( ) ( ) = − − = − − = ' ' '' ' ' '' ) '' ,' , , ( 2 2 yy xy xyy y y y x y y x y y y x F λ λ λ λ λ λ λ λ λ = ( ) '' ,' , , 2 y y y x F λ , m=2. Положим yz y = ' , тогда ( ) ' ' ' '' 2 ' yz yz y z z y yz y + = + = = , или ( ) ' '' 2 z z y y + = , и урав- нение запишется ( ) 0 ' 2 2 2 2 2 2 = − − + z y z xy z z xy Сокращая на 2 y (при этом теряется решение y=0), находим 0 ' = − z xz или 0 = − x dx z dz , x c z 1 = . Так как y y z ' = , то xy c y 1 ' = , xdx c y dy 1 = Откуда 2 2 1 ln 2 ln c x c y + = или 2 2 2 1 x c e c y = – общее решение уравнения (со- держит потерянное частное решение y=0, если 0 2 = c ). 13 3.5. Уравнения вида 0 ) ,..., ' , , ( ) ( = n y y y x F (12-А) обобщенно – однородное, если существуют числа k и m такие, что: ) ,..., ' , , ( ) ,..., ' , , ( ) ( ) ( 1 n m n n k k k y y y x F y y y x F λ λ λ λ λ = − − . С помощью замены t e x = , kt ze y = (при х>0, а при x<0 полагаем t e x − = ), где t – новая независимая переменная, ( ) t z z = – новая искомая функция. Уравнение (12-А) приводится к уравнению, не содержащему незави- симой переменной t и, следовательно, допускающему понижение порядка на единицу. Производные при замене преобразуются по формулам: ( ) ( ) t k t kt kt t e kz z e kze e dt dz e dt dy y 1 ' ' − − − + = + = = , ( ) ( ) ( ) t k t e z k k dt dz k dt z d e dt dy y 2 2 2 1 1 2 ' '' − − − + − + = = и т.д. Пример 5. Найти общее решение уравнения ( ) 0 ' '' 3 4 = − + y xy y x Решение. Положим ( ) ( ) 3 4 ' '' '' ,' , , y xy y x y y y x F − + = Имеем ( ) = − − '' ,' , , 2 1 y y y x F k k k λ λ λ λ ( ) = − + − − 3 1 4 2 4 ' '' y y x y x k k k λ λ λ λ λ ( ) = − + + 3 3 4 2 ' '' y xy y x k k λ λ ( ) '' ,' , , 3 y y y x F λ = (k=1), откуда следует, что данное уравнение является обобщенно – однородным (m=3, k=1 ). Выполним замену t e x = , t ze y = . Тогда z z y + = ' ' , ( ) t e z z y − + = '' '' Отсюда ( ) ( ) [ ] 0 ' '' 3 4 = − + + + − t t t t ze z z e e z z e , 0 ' ' '' 3 = + + z z z Полученное уравнение явно не содержит независимой переменной t. Пусть ) ( ' z p z = , ( dz dp p z = '' ). Тогда 0 3 = + + p p dz dp p , 0 1 2 = + + p dz dp p , откуда имеем два уравнения 0 1 2 = + + p dz dp и 0 = p 14 Из второго уравнения 0 = p следует 0 ' = z , c z = или cx y = Из первого уравнения: dz p dp − = + 2 1 , z c p − = 1 arctg , ( ) z c tg p − = 1 Поэтому ( ) z c tg z − = 1 ' , ( ) dt dz z c ctg = − 1 , ( ) c t dz z c ctg ln 1 − = − ∫ ( ) 0 > c , ( ) c t c z ln sin ln 1 + − = − , ( ) t e c c z − = − 2 1 sin ( ) 0 2 ≠ c , t e c c z − + = 2 1 arcsin Учитывая замену zx y = , x e t 1 = − , находим + = x c c x y 2 1 arcsin Если c c = 1 , 0 2 = c , то имеем рассмотренное выше решение cx y = Замечание 1. В некоторых случаях найти решение дифференциально- го уравнения методом понижения порядка в виде явной или неявной функ- ции затруднительно, однако удается получить решение в параметрической форме. Пример 6 (к замечанию 1). Найти общее решение уравнения ( ) 1 ' ln 2 1 '' = + y y Решение. Пусть t y = ' , dx dt y = '' . Тогда уравнение примет вид ( ) 1 ln 2 1 = + t dx dt , или ( ) dt t dx ln 2 1 + = , откуда 1 ln 2 c t t t x + + − = . Так как tdx dy = , то ( ) dt t t dy ln 2 1 + = , откуда 2 2 ln c t t y + = Общее решение запишется в параметрической форме: ( ) + = + + − = ln ln 2 1 2 2 1 c t t y c t t x 15 §4. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнения вида ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x f y x a y x a y x a y x a y n n n n n = + + + + + − − − ' 1 2 2 1 1 (13) Здесь функции ( ) ( ) ( ) ( ) x f x a x a x a n , ,..., , 2 1 заданы и непрерывны на интервале ( ) b a, Если ( ) 0 ≡ x f , то уравнение (13) называется линейным однородным, если ( ) 0 ≠ x f , то уравнение (13) называется линейным неоднородным, или линейным уравнением с правой частью. Краткая запись линейного неоднородного уравнения (13) имеет вид ( ) ( ) x f y L = , где L – линейный дифференциальный оператор n-го порядка, т.е. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y x a y x a y y L n n n + + + = − 1 1 , определенный на множестве n раз непрерывно дифференцируемых на ( ) b a, функций. Краткая запись линейного однородного уравнения соответственно имеет вид ( ) 0 = y L 4.1. Решение линейных однородных и неоднородных дифферен- циальных уравнений n-го порядка методом понижения порядка уравнения. Зная одно частное решение ( ) x y 1 линейного однородного уравнения, можно с помощью замены искомой функции ( ) ( ) ( ) ∫ = dx x z x y x y 1 понизить его порядок, а следовательно, и порядок соответствующего неоднородного уравнения (13) на единицу. Полученное уравнение (n-1)-го порядка отно- сительно z также является линейным. Пример 1. Дано уравнение x y x x y y x y = + − + ln 1 ' '' 2 '' ' и известно частное решение x y ln 1 = соответствующего однородного уравнения: 0 ln 1 ' '' 2 '' ' = + − + y x x y y x y Понизить порядок уравнения. Решение. Выполним замену ∫ = zdx x y ln , где z – новая неизвестная функция. Тогда, подставляя соответствующие производные x z zdx x y ln 1 ' + = ∫ , 16 x z x z zdx x y ln ' 2 1 '' 2 + + − = ∫ , x z x z x z zdx x y ln '' ' 3 3 2 '' ' 2 3 + + − = ∫ в данное уравнение, по- лучим: x z x x z x x x z = − + + + ln 1 ' ln 2 3 ln '' 2 Порядок линейного неоднородного уравнения понижен на единицу. Пример 2. Найти общее решение уравнения 0 ' 2 '' = + + y y x y , если известно его частное решение x x y sin 1 = Решение. Выполним замену ∫ = zdx x x y sin , тогда z x x zdx x x x x y sin sin cos ' 2 + − = ∫ , ( ) ( ) ∫ + − − − + = zdx x x x x x z x x x x z x x y 3 2 2 cos 2 sin 2 sin cos 2 ' sin '' Имеем уравнение 0 cos 2 sin ' = + x z x z , решая которое найдем функцию x c z 2 1 sin = Следовательно, ( ) x x c x x c x c c x x x dx c x x y cos sin ctg sin sin sin 1 2 1 2 2 1 − = − = = ∫ Общее решение уравнения: x x c x x c y cos sin 1 2 − = |