Т. В. Труфанова, А. Е. Ситундифференциальные уравненияв примерах и задачах
Скачать 0.88 Mb.
|
Вариант 16 1.16 2 2 2 1 x y y y y = ′ ′′′ ′ − ′′ 2.16 1 ) 2 ( , 1 ) 2 ( ; 1 3 − = − ′ = − = ′′ y y y y 3.16 4 2 3 2 4 y x y y x − = ′′ 4.16 1 ) 0 ( , 1 ) 0 ( , 2 ) 0 ( , 1 ) 0 ( , 0 ) 0 ( ; 0 v = ′ = ′′′ = ′′ = ′ = = ′′′ + v y y y y y y y 5.16 5 2 v + = ′′′ + x y y 6.16 x e y y y 2 2 4 8 6 − + = + ′ − ′′ 7.16 x y y x ln sin 2 2 = − ′′ 8.16 ( ) 6 3 2 до 1 ) 0 ( ) 0 ( ; x y y y yx y = ′ = ′ + = ′′ 9.16 Найти кривую, у которой радиус кривизны пропорционален кубу нормали. 10.16 Балка длины l , лежащая концами на двух опорах, находится под действием равномерно распределенной нагрузки интенсивности q . Найти уравнение прогнутой оси балки и ее максимальный прогиб, выбрав начало координат в середине нагруженной балки. Вариант 17 1.17 x y x y x = ′′ + ′′′ 2 3 2.17 3 ) 1 ( , 1 ) 1 ( ; 0 9 3 = ′ = = + ′′ y y y y 47 3.17 0 2 2 = ′ + ′′ y y y x 4.17 1 ) 0 ( , 1 ) 0 ( , 1 ) 0 ( , 0 ) 0 ( ; 0 v = ′′′ − = ′′ = ′ = = − ′ y y y y y y 5.17 1 4 v + = ′′′ + x e y y 6.17 x x e e y y y 3 3 1 9 18 9 − + = + ′ − ′′ 7.17 ( ) ( ) 1 0 2 1 2 > = − ′ + ′′ − x y y x y x 8.17 ( ) 4 до 1 ) 0 ( ) 0 ( ; x y y xe y y y = ′ = + ′ = ′′ 9.17 Найти кривую, у которой радиус кривизны вдвое больше нормали. 10.17 Балка длины l , встроенная правым концом в стену, изгибается силой p , приложенной к левому концу и равномерно распределенной нагрузкой q . Найти уравнение изогнутой балки и ее максимальный прогиб. Вариант 18 1.18 y y thx v ′′′ = ′ 2.18 1 ) 0 ( , 1 ) 0 ( , 3 ) 0 ( ; 0 3 2 2 − = ′′ = ′ − = = ′ − ′′′ y y y y y 3.18 0 3 = ′′ ′ + ′′′ y y y y 4.18 1 ) 0 ( ) 0 ( , 0 ) 0 ( ) 0 ( ; 0 2 v = ′′′ = ′′ = ′ = = + ′′ − ′ y y y y y y y 5.18 x e y y y 2 2 2 − − = ′ + ′′ + ′′′ 6.18 ( ) 3 9 6 3 + = + ′ + ′′ − x x e y y y x 7.18 ( ) ( ) 1 ; 0 16 1 2 > = − ′ + ′′ − x y y x y x 8.18 ( ) 6 2 2 до 1 ) 0 ( ) 0 ( ; x y y y y x y = ′ = ′ − = ′′ 9.18 Найти кривые, у которых проекции радиуса кривизны на ось постоянны. 10.18 Тяжелое тело без начальной скорости скользит по наклонной плоскости. Найти закон движения, если угол наклона равен α , а коэффициент трения µ Указание: сила трения равна N µ , где N - сила реакции плоскости. Вариант 19 1.19 v y x y ′ = ′′′ 2.19 2 ) 0 ( , 1 ) 0 ( ; 8 3 = ′ = = ′′ y y y y 3.19 0 2 2 = ′ + ′′ y x y 4.19 1 ) 0 ( , 1 ) 0 ( , 2 ) 0 ( ; 0 2 = ′′ = ′ = = ′ + ′′ + ′′′ y y y y y y 5.19 ( ) x e x y y − + − = ′ − ′′′ 2 2 3 3 6.19 x tg y y 2 = + ′′ 7.19 ( ) ( ) 1 0 9 1 2 < = + ′ − ′′ − x y y x y x 48 8.19 ( ) 6 до 1 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ; x y y y y x y = ′′ = ′ = ′ = ′′′ 9.19 Найти линию, для которой проекция радиуса кривизны на ось Oy есть величина постоянная, равная 7 10.19 Моторная лодка весом 300кг движется прямолинейно с начальной скоростью66м/с. Сопротивление воды пропорционально скорости и равно 10кг при скорости 1м/с. Через какое время скорость лодки будет 8м/с? Вариант 20 1.20 y x x y ′′ = ′′′ ln 2.20 2 ) 0 ( , 1 ) 0 ( ; 0 4 3 − = ′ − = = + ′′ y y y y 3.20 y y y x y xy ′ = ′ + ′′ 2 2 4.20 0 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ; 0 v = ′′′ = ′′ = ′ = = + ′ y y y y y y 5.20 x ch y y 2 4 = ′ − ′′′ 6.20 x e y y y x cos 5 4 2 = + ′ − ′′ 7.20 ( ) ( ) 1 0 2 1 2 < = + ′ − ′′ − x y y x y x 8.20 ( ) 4 2 до 1 ) 0 ( , 2 ) 0 ( , 1 ) 0 ( ; x y y y y y x y = ′′ = ′ = + ′ = ′′′ 9.20 Найти линию, длина дуги которой, отсчитываемая от некоторой точки, пропорциональна угловому коэффициенту касательной в конечной точке дуги. 10.20 Материальная точка массы m движется прямолинейно под действием силы притяжения к неподвижному центру, пропорциональной расстоянию от точки до центра ( ) 0 1 > k . Сила сопротивления среды пропорциональна скорости ( ) 0 2 > k . В начальный момент времени точка находится на расстоянии a от центра, скорость равна 0 v и направлена по прямой, соединяющей точку с центром. Найти закон движения, если ( ) 1 2 2 4mk k < Вариант 21 1.21 x tgx y y 2 sin = ′ + ′′ 2.21 2 ) 0 ( , 2 2 ) 0 ( ; 16 4 3 = ′ = − = ′′ y y y y y 3.21 2 2 4 3 2 y y y y = ′ − ′′ 4.21 1 ) 0 ( ) 0 ( , 0 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ; 0 2 v v v v = ′ = ′′′ = ′′ = ′ = = ′ + + y y y y y y y y i 5.21 1 2 sin 4 v + = ′′ + ′ x y y 6.21 x x e y y y ln 2 4 4 − = + ′ + ′′ 7.21 x y x y x y x ln 12 8 2 3 = ′ + ′′ + ′′′ 8.21 ( ) 6 до 2 ) 0 ( ) 0 ( , 1 ) 0 ( ; 1 x y y y y x y = ′′ = ′ = + ′ = ′′′ 49 9.21 Найти кривые, у которых радиус кривизны пропорционален модулю радиус-вектора из начала координат до точки кривой. 10.21 Груз массы m покоится на упругой рессоре. На груз действуют восстанавливающая сила пропорциональная отклонению kS ( 0 > k – жесткость рессоры) и сила сопротивления, направленная в сторону против движения и пропорциональная скорости движения v λ ( 0 > λ – амортизатор) Записать уравнение движения. Вариант 22 1.22 3 2y y = ′′ 2.22 1 ) 1 ( ) 1 ( ; 2 3 = − ′ = − = ′′ y y y y 3.22 y y x y x y y 2 2 ′ = + ′ + ′′ 4.22 ; 0 2 3 4 3 2 v v v = + ′ − ′′ + ′′′ − ′ + − y y y y y y y i 1 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( , 0 ) 0 ( ) 0 ( v v = = ′ = ′′′ = ′′ = ′ = y y y y y y 5.22 x sh y y 2 2 4 = ′′ − ′′′ 6.22 x y y 2 cos 1 4 3 = + ′′ 7.22 2 3 3 x y y x y x = − ′ − ′′′ 8.22 ( ) 6 2 до 1 ) 0 ( , 2 ) 0 ( , 1 ) 0 ( , 0 ) 0 ( ; x y y y y y x y v = ′′′ = ′′ = ′ = ′′ = ′ 9.22 При каких a и b все решения уравнения 0 0 → = + ′ + ′′ by y a y при ∞ → x 10.22 Если тело медленно погружается в воду, то его скорость v и ускорение w приближенно связаны уравнением kv q w − = ( q и k - const ). Установить закон движения тела, если при 0 , 0 , 0 = = = v S t Вариант 23 1.23 ( ) 2 y y ′′ = ′′′ 2.23 1 ) 1 ( ) 1 ( ; 1 3 − = ′ = − = ′′ y y y y 3.23 y y y x y xy ′ = ′ + ′′ 2 2 4.23 1 ) 0 ( ) 0 ( , 0 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ; 0 16 8 v v = ′ = ′′′ = ′′ = ′ = = ′ + ′′′ + y y y y y y y y 5.23 x x y y 3 cos + = ′ + ′′′ 6.23 2 2 4 4 x e y y y x − = + ′ + ′′ 7.23 ( ) ( ) 0 6 2 4 2 2 = + ′ + − ′′ + y y x y x 8.23 ( ) 6 4 до 1 ) 0 ( ) 0 ( , 0 ) 0 ( ) 0 ( ; 0 x y y y y y x y v = ′′′ = ′′ = ′ = = + ′ 9.23 При каких a и b изо всех решений уравнения 0 = + ′ + ′′ by y a y имеется хотя бы одно решение ( ) 0 0 → ≠ x y при +∞ → x ? 50 10.23 Груз массой 4кг подвешен на пружине и увеличивает ее длину на 1см. Найти закон движения груза, если верхний конец пружины совершает гармоническое вертикальное колебание ( ) см t y 30 sin 2 = и в начальный момент груз находился в покое (сопротивлением среды пренебречь). Вариант 24 1.24 2 2y y y ′′ = ′′′ ′ 2.24 2 ) 1 ( , 1 ) 1 ( ; 6 3 = ′ = = ′′ y y y y 3.24 2 2 4 4 5 2 x y y y x xy y − + ′ − = ′′ 4.24 1 ) 0 ( ) 0 ( , 0 ) 0 ( ) 0 ( ; 0 2 v = ′′′ = ′′ = ′ = = ′′ + ′′′ + ′ y y y y y y y 5.24 x xe y y y 2 10 3 − = ′ − ′′ + ′′′ 6.24 arctgx e y y y x 2 4 4 − = + ′ + ′′ 7.24 0 6 6 3 2 3 = − ′ + ′′ − ′′′ y y x y x y x 8.24 ( ) 4 до 1 ) 0 ( ) 0 ( ; 0 x y y y y e y x = ′ = = + ′ − ′′ 9.24 При каких k и ω уравнение t y k y sin 2 ω = + ′′ имеет хотя бы одно периодическое решение? 10.24 Материальная точка массы m движется прямолинейно под действием силы отталкивания от неподвижного центра, пропорциональный расстоянию от точки до центра ( ) 0 1 > k . Сила сопротивления среды пропорциональна скорости ) 0 ( 2 > k . В начальный момент точка находится на расстоянии a от центра, скорость равна 0 v и направлена по прямой, соединяющей точку с центром. Найти закон движения точки. Вариант 25 1.25 0 sin 1 = + ′ − ′′ ⋅ x y y tgx 2.25 2 ) 0 ( , 4 ) 0 ( ; 0 64 3 = ′ = = + ′′ y y y y 3.25 y x y x y ′ − = ′′ 2 4.25 1 ) 0 ( ) 0 ( , 0 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ; 0 9 6 v v v = ′ = ′′′ = ′′ = ′ = = ′′′ + ′ − y y y y y y y y 5.25 x x e xe y y − + = ′ + ′′′ 2 6.25 x e y y y − + = + ′ − ′′ 3 1 2 3 7.25 0 3 = − ′ + ′′′ y y x y x 8.25 ( ) 6 до 1 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ; x y y y y e y y = ′′ = ′ = ′′ = ′′′ 9.25 Найти кривые, у которых радиус кривизны есть данная функция ( ) α f угла α , образуемого касательной с осью Ox ; ( ) a f = α 10.25 Тело массы m движется прямолинейно под действием постоянной силы F . Найти скорость движения тела и пройденный им путь, если в начальный момент времени они оба равны нулю, а сопротивление среды пропорционально квадрату скорости. Литература 1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Нау- ка, 1985. 2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы, Ряды. ФКП. М.: Наука, 1985. 3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Г.Я. Высшая математика в упраж- нениях и задачах: ч. II. М.: Высшая шк., 1997. 4. Краснов М.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Выс- шая шк., 1983. 5. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. М.: Высшая. шк., 1988. 6. Самойленко А.М., Кривошеев С.А. Дифференциальные уравнения. При- меры и задачи. М.: Вые. шк., 1989. 7. Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы матема- тического анализа / Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. М.: Наука, 1981. 8. Тихонов А.Н., Васильев А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравне- ния. М.: Наука, 1985. 9. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985. 10. Филиппов А.Ф. Задачи и примеры по дифференциальным уравнениям. Изд. МГУ, 1998. 11. ФилипповА.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1992. 11/ Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравне- ния. М.: Наука. 1985. 51 Оглавление § 1. Общие понятия и определения ................................................................... 3 § 2. Уравнения высших порядков, разрешаемые в квадратурах.................... 5 § 3. Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка......... 9 § 4. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков ............... 15 § 5. Линейные однородные уравнения ........................................................... 16 § 6. Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами ...... 17 § 7. Линейные неоднородные уравнения ....................................................... 20 § 8. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами ....................................................................................... 23 § 9. Дифференциальные уравнения, сводящиеся к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами....................................... 26 § 10. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов .. 28 § 11. Уравнение Бесселя................................................................................... 30 § 12. Краевые задачи в линейных дифференциальных уравнениях........... 33 § 13. Решение задач........................................................................................... 34 Варианты заданий для самостоятельной работы по теме: «Дифференциальные уравнения высших порядков»............................ 39 Литература ......................................................................................................... 51 Татьяна Вениаминовна Труфанова, доцент кафедры МАиМ АмГУ, канд. техн. наук; Алевтина Евгеньевна Ситун, доцент кафедры ОМиИ АмГУ. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. Часть II. Уравнения n-го порядка. Учебно-методическое пособие. _________________________________________________________________________________________ Изд-во АмГУ. Подписано к печати 21.05.2001. Формат 60х84/16. Усл. печ. л. 3,02 , уч.-изд. л. 3,1. Тираж 50. Заказ 55. |