Т. В. Труфанова, А. Е. Ситундифференциальные уравненияв примерах и задачах

• Название: Т. В. Труфанова, А. Е. Ситундифференциальные уравненияв примерах и задачах
• Дата: 02.08.2018
• Размер: 0.88 Mb.
• Имя файла: amursu015.pdf
• Тип: Документы; #48922
• страница: 8 из 8

Вариант 16
1.16 2
2 2
1
x
y
y
y
y
=
′
′′′
′
−
′′
2.16 1
)
2
(
,
1
)
2
(
;
1 3
−
=
−
′
=
−
=
′′
y
y
y
y
3.16 4
2 3
2 4
y
x
y
y
x
−
=
′′
4.16 1
)
0
(
,
1
)
0
(
,
2
)
0
(
,
1
)
0
(
,
0
)
0
(
;
0
v
=
′
=
′′′
=
′′
=
′
=
=
′′′
+
v
y
y
y
y
y
y
y
5.16 5
2
v
+
=
′′′
+
x
y
y
6.16
x
e
y
y
y
2 2
4 8
6
−
+
=
+
′
−
′′
7.16
x
y
y
x
ln sin
2 2
=
−
′′
8.16
(
)
6 3
2
до
1
)
0
(
)
0
(
;
x
y
y
y
yx
y
=
′
=
′
+
=
′′
9.16 Найти кривую, у которой радиус кривизны пропорционален кубу нормали.
10.16 Балка длины
l
, лежащая концами на двух опорах, находится под действием равномерно распределенной нагрузки интенсивности
q
. Найти уравнение прогнутой оси балки и ее максимальный прогиб, выбрав начало координат в середине нагруженной балки.
Вариант 17
1.17
x
y
x
y
x
=
′′
+
′′′
2 3
2.17 3
)
1
(
,
1
)
1
(
;
0 9
3
=
′
=
=
+
′′
y
y
y
y

47 3.17 0 2
2
=
′
+
′′
y
y
y
x
4.17 1
)
0
(
,
1
)
0
(
,
1
)
0
(
,
0
)
0
(
;
0
v
=
′′′
−
=
′′
=
′
=
=
−
′
y
y
y
y
y
y
5.17 1
4
v
+
=
′′′
+
x
e
y
y
6.17
x
x
e
e
y
y
y
3 3
1 9
18 9
−
+
=
+
′
−
′′
7.17
(
)
(
)
1 0
2 1
2
>
=
−
′
+
′′
−
x
y
y
x
y
x
8.17
(
)
4
до
1
)
0
(
)
0
(
;
x
y
y
xe
y
y
y
=
′
=
+
′
=
′′
9.17 Найти кривую, у которой радиус кривизны вдвое больше нормали.
10.17 Балка длины
l
, встроенная правым концом в стену, изгибается силой
p
, приложенной к левому концу и равномерно распределенной нагрузкой
q
. Найти уравнение изогнутой балки и ее максимальный прогиб.
Вариант 18
1.18
y
y
thx
v
′′′
=
′
2.18 1
)
0
(
,
1
)
0
(
,
3
)
0
(
;
0 3
2 2
−
=
′′
=
′
−
=
=
′
−
′′′
y
y
y
y
y
3.18 0
3
=
′′
′
+
′′′
y
y
y
y
4.18 1
)
0
(
)
0
(
,
0
)
0
(
)
0
(
;
0 2
v
=
′′′
=
′′
=
′
=
=
+
′′
−
′
y
y
y
y
y
y
y
5.18
x
e
y
y
y
2 2
2
−
−
=
′
+
′′
+
′′′
6.18
(
)
3 9
6 3
+
=
+
′
+
′′
−
x
x
e
y
y
y
x
7.18
(
)
(
)
1
;
0 16 1
2
>
=
−
′
+
′′
−
x
y
y
x
y
x
8.18
(
)
6 2
2
до
1
)
0
(
)
0
(
;
x
y
y
y
y
x
y
=
′
=
′
−
=
′′
9.18 Найти кривые, у которых проекции радиуса кривизны на ось постоянны.
10.18 Тяжелое тело без начальной скорости скользит по наклонной плоскости. Найти закон движения, если угол наклона равен
α
, а коэффициент трения
µ
Указание: сила трения равна
N
µ
, где
N
- сила реакции плоскости.
Вариант 19
1.19
v
y
x
y
′
=
′′′
2.19 2
)
0
(
,
1
)
0
(
;
8 3
=
′
=
=
′′
y
y
y
y
3.19 0
2 2
=
′
+
′′
y
x
y
4.19 1
)
0
(
,
1
)
0
(
,
2
)
0
(
;
0 2
=
′′
=
′
=
=
′
+
′′
+
′′′
y
y
y
y
y
y
5.19
(
)
x
e
x
y
y
−
+
−
=
′
−
′′′
2 2
3 3
6.19
x
tg
y
y
2
=
+
′′
7.19
(
)
(
)
1 0
9 1
2
<
=
+
′
−
′′
−
x
y
y
x
y
x

48 8.19
(
)
6
до
1
)
0
(
)
0
(
)
0
(
;
x
y
y
y
y
x
y
=
′′
=
′
=
′
=
′′′
9.19 Найти линию, для которой проекция радиуса кривизны на ось
Oy
есть величина постоянная, равная
7 10.19 Моторная лодка весом 300кг движется прямолинейно с начальной скоростью66м/с. Сопротивление воды пропорционально скорости и равно
10кг при скорости 1м/с. Через какое время скорость лодки будет 8м/с?
Вариант 20
1.20
y
x
x
y
′′
=
′′′
ln
2.20 2
)
0
(
,
1
)
0
(
;
0 4
3
−
=
′
−
=
=
+
′′
y
y
y
y
3.20
y
y
y
x
y
xy
′
=
′
+
′′
2 2
4.20 0
)
0
(
)
0
(
)
0
(
)
0
(
;
0
v
=
′′′
=
′′
=
′
=
=
+
′
y
y
y
y
y
y
5.20
x
ch
y
y
2 4
=
′
−
′′′
6.20
x
e
y
y
y
x
cos
5 4
2
=
+
′
−
′′
7.20
(
)
(
)
1 0
2 1
2
<
=
+
′
−
′′
−
x
y
y
x
y
x
8.20
(
)
4 2
до
1
)
0
(
,
2
)
0
(
,
1
)
0
(
;
x
y
y
y
y
y
x
y
=
′′
=
′
=
+
′
=
′′′
9.20 Найти линию, длина дуги которой, отсчитываемая от некоторой точки, пропорциональна угловому коэффициенту касательной в конечной точке дуги.
10.20 Материальная точка массы
m
движется прямолинейно под действием силы притяжения к неподвижному центру, пропорциональной расстоянию от точки до центра
(
)
0 1
>
k
. Сила сопротивления среды пропорциональна скорости
(
)
0 2
>
k
. В начальный момент времени точка находится на расстоянии
a
от центра, скорость равна
0
v
и направлена по прямой, соединяющей точку с центром. Найти закон движения, если
(
)
1 2
2 4mk
k
<
Вариант 21
1.21
x
tgx
y
y
2
sin
=
′
+
′′
2.21 2
)
0
(
,
2 2
)
0
(
;
16 4
3
=
′
=
−
=
′′
y
y
y
y
y
3.21 2
2 4
3 2
y
y
y
y
=
′
−
′′
4.21 1
)
0
(
)
0
(
,
0
)
0
(
)
0
(
)
0
(
;
0 2
v v
v v
=
′
=
′′′
=
′′
=
′
=
=
′
+
+
y
y
y
y
y
y
y
y
i
5.21 1
2
sin
4
v
+
=
′′
+
′
x
y
y
6.21
x
x
e
y
y
y
ln
2 4
4
−
=
+
′
+
′′
7.21
x
y
x
y
x
y
x
ln
12 8
2 3
=
′
+
′′
+
′′′
8.21
(
)
6
до
2
)
0
(
)
0
(
,
1
)
0
(
;
1
x
y
y
y
y
x
y
=
′′
=
′
=
+
′
=
′′′

49 9.21 Найти кривые, у которых радиус кривизны пропорционален модулю радиус-вектора из начала координат до точки кривой.
10.21 Груз массы
m
покоится на упругой рессоре. На груз действуют восстанавливающая сила пропорциональная отклонению
kS
(
0
>
k
–
жесткость рессоры) и сила сопротивления, направленная в сторону против движения и пропорциональная скорости движения
v
λ
(
0
>
λ
–
амортизатор)
Записать уравнение движения.
Вариант 22
1.22 3
2y
y
=
′′
2.22 1
)
1
(
)
1
(
;
2 3
=
−
′
=
−
=
′′
y
y
y
y
3.22
y
y
x
y
x
y
y
2 2
′
=
+
′
+
′′
4.22
;
0 2
3 4
3 2
v v
v
=
+
′
−
′′
+
′′′
−
′
+
−
y
y
y
y
y
y
y
i
1
)
0
(
)
0
(
)
0
(
)
0
(
,
0
)
0
(
)
0
(
v v
=
=
′
=
′′′
=
′′
=
′
=
y
y
y
y
y
y
5.22
x
sh
y
y
2 2
4
=
′′
−
′′′
6.22
x
y
y
2
cos
1 4
3
=
+
′′
7.22 2
3 3
x
y
y
x
y
x
=
−
′
−
′′′
8.22
(
)
6 2
до
1
)
0
(
,
2
)
0
(
,
1
)
0
(
,
0
)
0
(
;
x
y
y
y
y
y
x
y
v
=
′′′
=
′′
=
′
=
′′
=
′
9.22 При каких
a
и
b
все решения уравнения
0 0
→
=
+
′
+
′′
by
y
a
y
при
∞
→
x
10.22 Если тело медленно погружается в воду, то его скорость v и ускорение
w
приближенно связаны уравнением
kv
q
w
−
=
(
q
и
k
-
const
).
Установить закон движения тела, если при
0
,
0
,
0
=
=
=
v
S
t
Вариант 23
1.23
( )
2
y
y
′′
=
′′′
2.23 1
)
1
(
)
1
(
;
1 3
−
=
′
=
−
=
′′
y
y
y
y
3.23
y
y
y
x
y
xy
′
=
′
+
′′
2 2
4.23 1
)
0
(
)
0
(
,
0
)
0
(
)
0
(
)
0
(
;
0 16 8
v v
=
′
=
′′′
=
′′
=
′
=
=
′
+
′′′
+
y
y
y
y
y
y
y
y
5.23
x
x
y
y
3
cos
+
=
′
+
′′′
6.23 2
2 4
4
x
e
y
y
y
x
−
=
+
′
+
′′
7.23
(
)
(
)
0 6
2 4
2 2
=
+
′
+
−
′′
+
y
y
x
y
x
8.23
(
)
6 4
до
1
)
0
(
)
0
(
,
0
)
0
(
)
0
(
;
0
x
y
y
y
y
y
x
y
v
=
′′′
=
′′
=
′
=
=
+
′
9.23 При каких
a
и
b
изо всех решений уравнения
0
=
+
′
+
′′
by
y
a
y
имеется хотя бы одно решение
( )
0 0
→
≠
x
y
при
+∞
→
x
?

50 10.23 Груз массой 4кг подвешен на пружине и увеличивает ее длину на
1см. Найти закон движения груза, если верхний конец пружины совершает гармоническое вертикальное колебание
( )
см
t
y
30
sin
2
=
и в начальный момент груз находился в покое (сопротивлением среды пренебречь).
Вариант 24
1.24 2
2y
y
y
′′
=
′′′
′
2.24 2
)
1
(
,
1
)
1
(
;
6 3
=
′
=
=
′′
y
y
y
y
3.24 2
2 4
4 5
2
x
y
y
y
x
xy
y
−
+
′






−
=
′′
4.24 1
)
0
(
)
0
(
,
0
)
0
(
)
0
(
;
0 2
v
=
′′′
=
′′
=
′
=
=
′′
+
′′′
+
′
y
y
y
y
y
y
y
5.24
x
xe
y
y
y
2 10 3
−
=
′
−
′′
+
′′′
6.24
arctgx
e
y
y
y
x
2 4
4
−
=
+
′
+
′′
7.24 0
6 6
3 2
3
=
−
′
+
′′
−
′′′
y
y
x
y
x
y
x
8.24
(
)
4
до
1
)
0
(
)
0
(
;
0
x
y
y
y
y
e
y
x
=
′
=
=
+
′
−
′′
9.24 При каких
k
и
ω
уравнение
t
y
k
y
sin
2
ω
=
+
′′
имеет хотя бы одно периодическое решение?
10.24 Материальная точка массы
m
движется прямолинейно под действием силы отталкивания от неподвижного центра, пропорциональный расстоянию от точки до центра
(
)
0 1
>
k
. Сила сопротивления среды пропорциональна скорости
)
0
(
2
>
k
. В начальный момент точка находится на расстоянии
a
от центра, скорость равна
0
v
и направлена по прямой, соединяющей точку с центром. Найти закон движения точки.
Вариант 25
1.25 0
sin
1
=
+
′
−
′′
⋅
x
y
y
tgx
2.25 2
)
0
(
,
4
)
0
(
;
0 64 3
=
′
=
=
+
′′
y
y
y
y
3.25
y
x
y
x
y
′
−
=
′′
2 4.25 1
)
0
(
)
0
(
,
0
)
0
(
)
0
(
)
0
(
;
0 9
6
v v
v
=
′
=
′′′
=
′′
=
′
=
=
′′′
+
′
−
y
y
y
y
y
y
y
y
5.25
x
x
e
xe
y
y
−
+
=
′
+
′′′
2 6.25
x
e
y
y
y
−
+
=
+
′
−
′′
3 1
2 3
7.25 0
3
=
−
′
+
′′′
y
y
x
y
x
8.25
(
)
6
до
1
)
0
(
)
0
(
)
0
(
;
x
y
y
y
y
e
y
y
=
′′
=
′
=
′′
=
′′′
9.25 Найти кривые, у которых радиус кривизны есть данная функция
( )
α
f
угла
α
, образуемого касательной с осью
Ox
;
( )
a
f
=
α
10.25 Тело массы
m
движется прямолинейно под действием постоянной силы
F
. Найти скорость движения тела и пройденный им путь, если в начальный момент времени они оба равны нулю, а сопротивление среды пропорционально квадрату скорости.

Литература
1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Нау- ка, 1985.
2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы, Ряды. ФКП. М.: Наука, 1985.
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Г.Я. Высшая математика в упраж- нениях и задачах: ч. II. М.: Высшая шк., 1997.
4. Краснов М.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Выс- шая шк., 1983.
5. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. М.: Высшая. шк., 1988.
6. Самойленко А.М., Кривошеев С.А. Дифференциальные уравнения. При- меры и задачи. М.: Вые. шк., 1989.
7. Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы матема- тического анализа / Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. М.: Наука,
1981.
8. Тихонов А.Н., Васильев А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравне- ния. М.: Наука, 1985.
9. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука,
1985.
10. Филиппов А.Ф. Задачи и примеры по дифференциальным уравнениям.
Изд. МГУ, 1998.
11. ФилипповА.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.:
Наука, 1992. 11/ Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравне- ния. М.: Наука. 1985.
51

Оглавление
§ 1. Общие понятия и определения ................................................................... 3
§ 2. Уравнения высших порядков, разрешаемые в квадратурах.................... 5
§ 3. Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка......... 9
§ 4. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков ............... 15
§ 5. Линейные однородные уравнения ........................................................... 16
§ 6. Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами ...... 17
§ 7. Линейные неоднородные уравнения ....................................................... 20
§ 8. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами ....................................................................................... 23
§ 9. Дифференциальные уравнения, сводящиеся к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами....................................... 26
§ 10. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов .. 28
§ 11. Уравнение Бесселя................................................................................... 30
§ 12. Краевые задачи в линейных дифференциальных уравнениях........... 33
§ 13. Решение задач........................................................................................... 34
Варианты заданий для самостоятельной работы по теме:
«Дифференциальные уравнения высших порядков»............................ 39
Литература ......................................................................................................... 51
Татьяна Вениаминовна Труфанова,
доцент кафедры МАиМ АмГУ, канд. техн. наук;
Алевтина Евгеньевна Ситун,
доцент кафедры ОМиИ АмГУ.
Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. Часть II. Уравнения n-го
порядка. Учебно-методическое пособие.
_________________________________________________________________________________________
Изд-во АмГУ. Подписано к печати 21.05.2001. Формат 60х84/16.
Усл. печ. л. 3,02 , уч.-изд. л. 3,1. Тираж 50. Заказ 55.