Термодинамика. Терм. Техническая термодинамика
 Скачать 1.67 Mb.
|
|
3.6. О СНОВНЫЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В простой и сложной системах возможны три основных процесса. ИЗОТЕРМИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС – термодинамический процесс, происходящий при постоянной температуре системы ( const T = ). АДИАБАТНЫЙ ПРОЦЕСС – термодинамический процесс, в котором система не обменивается теплотой с окружающей средой ( δ 0 Q = ). ПОЛИТРОПНЫЙ ПРОЦЕСС – термодинамический процесс, происходящий при постоянной теплоемкости ( const c = ). В простой системе (если принять за обобщенную силу давление p, за обобщенную координату – объем V) возможны также: − ИЗОХОРНЫЙ ПРОЦЕСС – термодинамический процесс, происходящий при постоянном объеме системы; − ИЗОБАРНЫЙ ПРОЦЕСС – термодинамический процесс, происходящий при постоянном давлении системы. УРАВНЕНИЕМ ПРОЦЕССАназывается функциональная связь, возникающая между параметрами (обычно p, V и T) при том или ином процессе. Уравнения некоторых процессов можно получить непосредственно из термического уравнения состояния. Для получения уравнений адиабатного и политропного процессов необходимо воспользоваться еще и калорическим уравнением состояния. В случае, если термическое уравнение является функцией переменных p, V и T, из него можно получить уравнения изотермического, изобарного и изохорного процессов. Рассмотрим уравнение состояния идеального газа ν pV RT = (3.41) В этом случае уравнения состояния данных процессов будут иметь вид: изотермический процесс ( const T = ) const pV = , (3.42) изохорный процесс ( const V = ) 31 p aT = , (3.43) где νR a V = , (3.44) изобарный процесс ( const p = ) V a T ′ = , (3.45) где νR a p ′ = (3.46) 3.7. У РАВНЕНИЯ ПОЛИТРОПНОГО И АДИАБАТНОГО ПРОЦЕССОВ Известно, что политропный процесс происходит при постоянной теплоемкости const c = Запишем уравнение (3.23) для политропного процесса: x T U dx c c X x dT ∂ = + + ∂ (3.47) Воспользуемся соотношением X x T X U x c c X x T ∂ ∂ − = + ∂ ∂ , (3.48) выразим из него множитель в квадратных скобках и подставим в уравнение (3.47): X x x X c c dx c c x dT T − − = ∂ ∂ (3.49) Используя (3.49), запишем выражение для полного дифференциала температуры: X x X x c c T dT dx c c x − ∂ = − ∂ , (3.50) или 0 X x X x c c T dT dx c c x − ∂ + = − ∂ (3.51) 32 Соотношение (3.51) – дифференциальное уравнение политропы в координатах T, x. Запишем уравнение политропы в координатах X, x. Пусть температура T=T(X, x) , тогда ее полный дифференциал имеет вид x X T T dT dX dx X x ∂ ∂ = + ∂ ∂ (3.52) Подставляем последнее равенство в уравнение (3.51) и получаем 0 X x X x c c T T dX dx X c c x − ∂ ∂ + = ∂ − ∂ (3.53) Выражение (3.53) является дифференциальным уравнением политропы в координатах X, x. Пример. Рассмотрим идеальный газ. Найдем уравнение политропы для идеального газа. Полагая X=p, x=V в соотношении (3.53) и обозначив показатель политропы n в виде p V c c n c c − = − , (3.54) будем иметь 0 p V T T dp n dV p V ∂ ∂ + = ∂ ∂ (3.55) Из термического уравнения состояния ν pV RT = найдем необходимые производные: V T V p R ∂ = ∂ ν , p T p V R ∂ = ∂ ν (3.56) Подставляя (3.56) в соотношение (3.55), получим дифференциальное уравнение первого порядка 0 Vdp npdV + = , (3.57) решая которое путем разделения переменных, находим ln ln const p n V = − + (3.58) 33 Отсюда уравнение политропы для идеального газа в координатах p и V имеет вид const n pV = (3.59) Подставим в (3.59) выражение для давления νRT p V = , получим 1 const n TV − = (3.60) Равенство (3.60) – уравнение политропы идеального газа в координатах T и V. Получим уравнения адиабатного процесса. Вспомним, что адиабатным называется такой процесс, при котором отсутствует теплообмен между системами, т.е. δ 0 Q = Из определения теплоемкости получаем, что при адиабатном процессе теплоемкость равна нулю ( ад 0 c = ). Поэтому уравнение адиабатного процесса можно получить из соотношений (3.51) и (3.53). Введем следующее обозначение: γ X x c c = , (3.61) где γ– показатель адиабаты. Подставляя (3.61) в выражение (3.51), получим уравнение адиабаты в координатах T, x: ( ) γ 1 0 X T dT dx x ∂ + − = ∂ (3.62) Аналогично из соотношения (3.53) найдем уравнение адиабаты в координатах X и x: γ 0 x X T T dX dx X x ∂ ∂ + = ∂ ∂ (3.63) Пример. Рассмотрим идеальный газ. Поскольку уравнение (3.63) аналогично уравнению (3.55), то легко находим уравнения адиабаты: γ const pV = , γ-1 const TV = , (3.64) где γ равна 34 γ p V c c = (3.65) Для реальных газов значения γ известны: для одноатомных газов γ=5 3 , для двухатомных γ= 7 5 и для многоатомных γ=1,33 3.8. Ч АСТНЫЕ СЛУЧАИ ПОЛИТРОПНОГО ПРОЦЕССА Изотермический процесс ( const T = ). Для идеального газа уравнение изотермического процесса выглядит так: const pV = (3.66) При этом процессе любое количество тепла, сообщенное системе, не изменяет ее температуру. Тогда из определения теплоемкости при постоянной температуре (dT=0) можно записать: δ T Q c dT = = ∞ , (3.67) при этом lim 1 c n →∞ = , и соотношение (3.59) преобразуется в уравнение состояния идеального газа при изотермическом процессе. Поэтому изотермический процесс можно рассматривать как политропный при теплоемкости c → ∞ Изохорный процесс происходит при постоянном объеме ( const V = ). Его уравнение для идеального газа p aT = (3.68) В этом случае вводят теплоемкость при изохорном процессе c V Очевидно, что показатель политропы для данного процесса стремится к бесконечности ( const V c c = = ). Удобно записать уравнение политропы идеального газа в виде 1 const n p V = (3.69) Так как n → ∞ , то из уравнения (3.69) получаем уравнение изохоры const V = (3.70) Следовательно, изохорный процесс является частным случаем политропного процесса. 35 Изобарный процесс происходит при постоянном давлении ( const p = ). Здесь const p c c = = Показатель политропы для данного процесса равен нулю ( 0 n = ). Из соотношения (3.59) для идеального газа получаем уравнение изобары const p = . Изобарный процесс также является частным случаем политропного. Важно отметить, что изохорный и изобарный процессы не являются политропными, так как в этих случаях теплоемкости процессов соответственно c V и c p не всегда оказываются постоянными, как этого требует политропный процесс. Они постоянны и не зависят от температуры только для одноатомного идеального газа, поэтому только для него изобарный и изохорный процессы являются политропными. Для двух- и многоатомных идеальных газов наблюдается сильный рост теплоемкостей с увеличением температуры за счет «размораживания» атомарных степеней свободы: вращательных и колебательных. Данный факт изучает общая теория теплоемкостей, которая рассматривается в статистической физике. В обычной термодинамике теплоемкость является опытной величиной. 3.9. Д ИАГРАММНОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ Графически вид изображения каждого из уравнений квазистатических процессов зависит от того, в каких координатах представляется этот процесс. Рассмотрим координаты p и V (рис. 3.2). 1 p V δ Q=0 p=const T=const V=const Рис. 3.2. Изображение ряда процессов в координатах p и V 36 Пусть начальное состояние при всех процессах выбрано одинаковым (на графике – точка 1). Тогда для идеального газа изобара будет изображаться прямой, параллельной оси V и проходящей через точку 1; изохора – прямой, параллельной оси p и проходящей через точку 1; адиабата и изотерма будут изображаться кривыми, тоже проходящими через точку 1. Нетрудно показать, что адиабата идет круче, чем изотерма. Найдем дифференциал уравнения для изотермического процесса идеального газа ( const pV = ): 0 pdV Vdp + = , (3.71) T p p V V ∂ = − ∂ (3.72) Аналогично (3.71) из уравнения адиабатного процесса ( γ const pV = ): γ 0 pdV Vdp + = (3.73) Следовательно, ад γ p p V V ∂ = − ∂ (3.74) Так как ад γ T p p V V ∂ ∂ = ∂ ∂ и γ 1 > , то адиабата идет круче изотермы. 3.10. Т ЕРМИЧЕСКИЕ КОЭФИЦИЕНТЫ В термодинамике широко применяются следующие термические коэффициенты. 3.10.1. Термический коэффициент объемного расширения Известно, что объем тел при постоянном давлении p зависит от температуры T. Найдем эту зависимость. Разложим в ряд Тейлора выражение для объема V некоторого тела по температуре вблизи T=T 0 (T 0 – температура, при которой V=V 0 ) и ограничимся линейным членом разложения ( ) 0 0 p V V V T T T ∂ = + − ∂ (3.75) 37 Представим (3.75) в виде ( ) 0 0 0 1 1 p V V V T T V T ∂ = + − ∂ (3.76) Величина 0 1 α p V V T ∂ = ∂ называется ТЕРМИЧЕСКИМ КОЭФФИЦИЕНТОМ ОБЪЕМНОГО РАСШИРЕНИЯ, или ИЗОБАРНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ РАСШИРЕНИЯ, который характеризует относительное изменение объема в системе с постоянным давлением при изменении температуры. Пример. Рассмотрим идеальный газ. Его уравнение состояния ν pV RT = , (3.77) при температуре T=T 0 и постоянном давлении из соотношения (3.77) следует 0 0 V V T T = (3.78) Найдем производную p V T ∂ ∂ из уравнения состояния (3.77): 0 0 ν p V V R V T p T T ∂ = = = ∂ (3.79) Следовательно, термический коэффициент объемного расширения для идеального газа 0 0 1 α T = (3.80) Если T 0 =273K (или 0 °C t = по стоградусной шкале), -1 0 1 град 273 α = и 0 1 1 273 V V t = + (3.81) Для воды при 0°C -4 -1 0 2,38×10 град α = В общем случае термический коэффициент объемного расширения 1 α p V V T ∂ = ∂ (3.82) 38 3.10.2. Термический коэффициент давления Давление в системе, находящейся при постоянном объеме, зависит от температуры. Аналогично предыдущему случаю разложим давление в некотором теле в ряд Тейлора по температуре вблизи T=T 0 и ограничимся линейным членом ( ) 0 0 V p p p T T T ∂ = + − ∂ (3.83) Перепишем (3.83) в форме: ( ) 0 0 0 1 1 V p p p T T p T ∂ = + − ∂ , (3.84) где p 0 – давление в системе при T=T 0 Величина 0 0 1 V p p T ∂ β = ∂ называется ТЕРМИЧЕСКИМ КОЭФФИЦИЕНТОМ ДАВЛЕНИЯ, или ИЗОХОРНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ ДАВЛЕНИЯ. Он показывает относительное изменение давления в системе с постоянным объемом при изменении температуры. Так же, как и термический коэффициент объемного расширения α 0 , эта величина рассчитывается при температуре T 0 Пример 1. Идеальный газ. Из уравнения состояния νRT p V = находим 0 0 ν V p p R p T V T T ∂ = = = ∂ (3.85) Следовательно, 0 0 1 T β = (3.86) Если T 0 =273K , то -1 0 1 β град 273 = Учитывая выражение для β 0 , из (3.84) получим окончательно 0 1 1 273 p p t = + , (3.87) где t – температура по стоградусной шкале, °C 39 В общем случае термический коэффициент давления определяется соотношением 1 β V p p T ∂ = ∂ (3.88) Пример 2. Газ Ван-дер-Ваальса. Запишем уравнение состояния газа Ван-дер-Ваальса в виде 2 υ υ RT a p b = − − (3.89) Отсюда находим ( ) 1 β υ V p R p T p b ∂ = = ∂ − (3.90) 3.10.3. Коэффициент изотермической сжимаемости Объем и сжимаемость тел при постоянной температуре зависят от давления. Подобно предыдущим случаям, разложим объем V некоторого тела в ряд Тейлора по давлению вблизи некоторого давления p=p 0 , при котором V=V 0 и ограничимся линейным членом ( ) 0 0 T V V V p p p ∂ = + − ∂ (3.91) Аналогично (3.76) имеем ( ) 0 0 0 1 1 T V V V p p V p ∂ = + − ∂ , (3.92) где V 0 – объем системы при некотором давлении p 0 Величина 0 0 1 T V V p ∂ χ = − ∂ называется КОЭФФИЦИЕНТОМ ИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ СЖИМАЕМОСТИ, или ИЗОТЕРМИЧЕСКИМ КОЭФФИЦИЕНТОМ СЖИМАЕМОСТИ. Пример. Рассмотрим идеальный газ. При p=p 0 и V=V 0 производная 0 2 0 ν T V V RT V p p p p ∂ = − = − = − ∂ (3.93) Подставляя (3.93) в соотношение для χ 0 , находим 40 0 0 1 p χ = (3.94) Для идеального газа величина χ 0 обратно пропорциональна давлению. Если 0 1 бар p ≈ , то -1 0 1 бар χ = . Это справедливо для газа. Для воды эта величина существенно отличается от полученной нами (при T=273K -5 -1 0 5,2×10 бар χ = ). Коэффициент изотермической сжимаемости в общем случае 1 T V V p ∂ χ = − ∂ (3.95) |