Термодинамика. Терм. Техническая термодинамика
 Скачать 1.67 Mb.
|
|
3.11. С ВЯЗЬ МЕЖДУ ТЕРМИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Пусть температура T является функцией объема V и давления p: ( ) , T T p V = (3.96) Тогда для полного дифференциала температуры dT можно записать p V T T dT dp dV p V ∂ ∂ = + ∂ ∂ (3.97) Рассмотрим изотермический процесс (dT=0). Соотношение (3.97) можно записать в форме p V T T T V p V p ∂ ∂ ∂ = − ∂ ∂ ∂ , (3.98) или 1 T p V T p V p V T ∂ ∂ ∂ = − ∂ ∂ ∂ (3.99) Соотношение (3.99) преобразуем, вспомнив выражения для термических коэффициентов: 1 β V T p p ∂ = ∂ ; α p V V T ∂ = ∂ ; 1 T p V V ∂ = − ∂ χ (3.100) Подставим (3.100) в соотношение (3.99), получим связь между термическими коэффициентами α β p = χ (3.101) 41 3.12. К ОЭФФИЦИЕНТ АДИАБАТНОЙ СЖИМАЕМОСТИ . С ВЯЗЬ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ И АДИАБАТНОЙ СЖИМАЕМОСТИ По аналогии с изотермической сжимаемостью можно ввести адиабатную сжимаемость, т.е. сжимаемость вещества, при которой не происходит обмен теплом с окружением: ад ад 1 V V p ∂ χ = − ∂ (3.102) Вспомним коэффициент изотермической сжимаемости 1 T V V p ∂ χ = − ∂ (3.103) Для того чтобы найти связь между этими коэффициентами, воспользуемся уравнением адиабаты (3.63) для простой системы, где давление p является обобщенной силой X, а объем V – обобщенной координатой x: γ 0 p V T T dp dV p V ∂ ∂ + = ∂ ∂ (3.104) Выразим из соотношения (3.104) производную по давлению: ад γ p V T T V p V p ∂ ∂ ∂ = − ∂ ∂ ∂ (3.105) С другой стороны, вспомним соотношение (3.98): p V T T T V p V p ∂ ∂ ∂ = − ∂ ∂ ∂ (3.106) Теперь, сравнивая выражение (3.105) и (3.106), получаем ад γ T V V p p ∂ ∂ = ∂ ∂ (3.107) Или, записав через коэффициенты сжимаемости, имеем ад γ χ = χ (3.108) Получили, что коэффициент изотермической сжимаемости в γ раз больше коэффициента адиабатной сжимаемости. Из соотношения (3.107) легко показать, что адиабата идет круче изотермы в координатах p и V (что было отмечено выше). 42 4. ВТОРОЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ 4.1. О БРАТИМЫЕ И НЕОБРАТИМЫЕ ПРОЦЕССЫ , ЦИКЛЫ Прежде, чем переходить к изучению второго закона, необходимо остановиться на подразделении процессов на обратимые и необратимые. ОБРАТИМЫЙ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС – процесс, после которого система и взаимодействующие с ней системы (окружающая среда) могут возвратиться в начальное состояние без возникновения в системе или среде остаточных изменений. НЕОБРАТИМЫЙ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС – процесс, после которого система и взаимодействующие с ней системы (окружающая среда) не могут возвратиться в начальное состояние без возникновения остаточных изменений в системе или окружающей среде. Схематично изобразим изменение состояния системы и окружающей среды на рис. 4.1. 1′ 2′ 1 2 Рис. 4.1. Изменение состояния системы и окружения Пусть имеется некоторая изучаемая система и ее окружение. Предположим, что при переходе рассматриваемой системы из состояния 1 в состояние 1′ окружение переходит из состояния 2 в состояние 2′. Если можно возвратить одновременно систему в состояние 1, а окружение в состояние 2, то процесс называют обратимым. Целесообразно ввести понятие обратимого и необратимого цикла. ЦИКЛ (круговой процесс) – термодинамический процесс, в результате которого тело возвращается в исходное состояние. Цикл называется ОБРАТИМЫМ, если все части его обратимы. И цикл называется НЕОБРАТИМЫМ, если хотя бы одна его часть необратима. 43 Определение обратимости процессов, которое мы дали, является наиболее общим. Часто в литературе встречается более узкое определение. ПРОЦЕСС СЧИТАЕТСЯ ОБРАТИМЫМ, если на каждой стадии его можно обратить с помощью бесконечно малого изменения окружения. В этом смысле квазистатический процесс обратим. Приведем примеры обратимых и необратимых процессов. К обратимым процессам относятся механические процессы без трения, незатухающие электромагнитные колебания, квазистатические термодинамические процессы; к необратимым – передача тепла от более нагретого тела к менее нагретому, диффузия, механические процессы с трением. 4.2. Ц ИКЛ К АРНО Одним из наиболее интересных и эффективных методов исследования ряда положений, связанных со вторым законом термодинамики, является цикл Карно, использующий некий мысленный эксперимент. ЦИКЛ КАРНО–обратимый термодинамический цикл, состоящий из двух адиабатных и двух изотермических процессов. Цикл Карно сыграл большую роль в развитии теплотехники. Хотя в настоящее время ни одна из применяемых в технике тепловых машин не работает по циклу Карно, он и сейчас имеет большое значение: объясняет целый ряд положений, связанных со вторым законом термодинамики; имеет наибольший КПД, с которым можно сравнить КПДдругих циклов; позволяет ввести термодинамическую температурную шкалу (чуть позже мы введем ее иным путем). Адиабатный и изотермический процессы, используемые в цикле Карно, с точки зрения совершения работы являются наиболее выгодными. Покажем это. Первый закон термодинамики для простой закрытой системы можно записать в виде δ V T U U Q dT p dV T V ∂ ∂ = + + ∂ ∂ (4.1) 44 Для идеального газа, как указывалось ранее, 0 T U V ∂ = ∂ . При изотермическом процессе (dT=0), тогда δQ pdV = , (4.2) т.е. все тепло переходит в работу. При адиабатном процессе (δQ= 0) соответственно получаем δA dU = − (4.3) или δ V A c dT = − , (4.4) т.е. вся работа производится за счет убыли внутренней энергии. Изобразим цикл Карно в координатах p и V (рис. 4.2). 1 Q 2 Q p V 1 2 3 4 V 1 V 4 V 2 V 3 T 1 =const T 2 =const Q 0 δ = Q 0 δ = теплоотдатчик теплоприемник Рис. 4.2. Цикл Карно Рассмотрим замкнутый цикл 1–2–3–4–1. В качестве рабочего вещества возьмем один моль идеального газа (ниже будет показано, что КПДцикла Карно не зависит от рабочего вещества). Приведем несколько определений. ТЕПЛООТДАТЧИК – система, которая сообщает рабочему телу теплоту. ТЕПЛОПРИЕМНИК – система, которая принимает от рабочего тела теплоту. Найдем работу газа за весь цикл Карно, будем считать, как и ранее, работу самого газа положительной, а работу, совершенную над газом, отрицательной. 45 Процесс 1–2 – изотермическое расширение. В соответствии с (4.2) имеем 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 ln V V V V RT V Q A pdV dV RT V V = = = = ∫ ∫ (4.5) Объем V 2 >V 1 , соответственно 2 1 ln 0 V V > и, следовательно, работа А 1 положительна, что и было отмечено. Процесс 2–3 – адиабатное расширение. Для данного процесса справедливо: δ 0 Q = ; δ V A c dT = − , отсюда находим ( ) 2 1 2 1 2 T V V T A c dT c T T = − = − ∫ (4.6) Так как T 1 >T 2 , то работа А 2 положительна. Процесс 3–4 – изотермическое сжатие. Аналогично (4.5) запишем 4 4 3 3 2 4 2 3 2 3 ln V V V V RT V Q A pdV dV RT V V = = = = ∫ ∫ (4.7) Объем V 4 3 , соответственно 4 3 ln 0 V V < и, следовательно, работа А 3 отрицательна. Процесс 4–1 – адиабатное сжатие. В соответствии с (4.6) находим ( ) 1 2 4 1 2 0 T V V T A c dT c T T = − = − − < ∫ (4.8) Алгебраическая сумма (4.5) и (4.7) есть работа газа за пройденный цикл. Окончательно запишем 2 4 1 2 1 3 ln ln V V A RT RT V V = + (4.9) Вспомним уравнение адиабатного процесса для идеального газа в координатах Т, V: γ-1 const TV = (4.10) Запишем (4.10) применительно к процессу 2–3: γ-1 γ-1 1 2 2 3 TV T V = , (4.11) и к процессу 4–1: γ-1 γ-1 1 1 2 4 TV T V = (4.12) 46 Разделив (4.11) на (4.12), получим 3 2 1 4 V V V V = (4.13) Подставим соотношение (4.13) в выражение для полезной работы (4.9): ( ) 2 1 2 1 ln V A R T T V = − (4.14) Работа газа (полезная работа) А равна площади криволинейной фигуры, ограниченной отрезками двух изотерм и двух адиабат. Введем понятие термического коэффициента полезного действия. ТЕРМИЧЕСКИЙ КОЭФФИЦИЕНТ ПОЛЕЗНОГО ДЕЙСТВИЯ – отношение работы, полученной в результате осуществления прямого обратимого цикла, к теплоте, подведенной к рабочему телу от теплоотдатчика: 2 1 1 η 1 T A Q T = = − (4.15) Из соотношения (4.15) видно, что КПД определяется только температурами теплоотдатчика и теплоприемника и не зависит от рабочего вещества. Отметим, что КПДцикла Карно меньше 100 %, так как температура теплоприемника Т 2 >0 . Для практических случаев КПД будет меньше еще и по следующим причинам: − за счет наличия необратимых процессов, при которых часть полезной работы тратится напрасно, − из-за несовершенства цикла: всегда есть процессы, отличающиеся от выгодных (изотермического и адиабатного). КПД цикла Карно можно записать иначе: 2 1 η 1 Q Q = − (4.16) Сравнивая соотношения (4.15) и (4.16) между собой, получаем 2 2 1 1 Q T Q T = (4.17) Соотношение (4.17) служит одним из возможных положений для обоснования существования абсолютной температурной шкалы. 47 4.3. Ф ОРМУЛИРОВКИ ВТОРОГО ЗАКОНА ТЕРМОДИНАМИКИ КЛАУЗИУСА И ТОМСОНА , ИХ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ Формулировка Клаузиуса Невозможен переход тепла от тела, менее нагретого, к телу, более нагретому, самопроизвольно, т.е. без затраты некоторого количества работы внешними телами (без компенсации), или – процесс передачи тепла от более нагретого тела менее нагретому необратим. Формулировка Томсона Невозможно построить периодически действующую машину, которая непрерывно и полностью превращала бы тепло в работу только за счет охлаждения одного тела, чтобы в окружающих телах не произошли одновременно какие-либо изменения, или – невозможен вечный двигатель второго рода. Вечный двигатель второго рода При превращении работы в теплоту данное явление может ограничиться изменением термодинамического состояния только одного тела, получающего тепло. При преобразовании теплоты в работу наряду с охлаждением теплоотдающего тела происходит изменение термодинамического состояния других участвующих в процессе тел: рабочего тела при некруговом процессе или других тел (теплоприемников, холодильников) при циклическом процессе. Отдача части теплоты рабочим телом другим телам и изменение термодинамического состояния этих тел при круговом процессе превращения теплоты в работу называется КОМПЕНСАЦИЕЙ. Опыт показывает, что без компенсации теплоту в работу превратить нельзя. Устройство, которое без компенсации полностью превращало бы теплоту в работу, получило название ВЕЧНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ВТОРОГО РОДА. Это означает, что в то время как теплоту нельзя превратить в работу полностью без компенсации Q A > , работу в теплоту можно превратить полностью: A Q = (4.18) 48 При нарушении формулировки Клаузиуса нарушается формулировка Томсона и наоборот. Покажем их эквивалентность. Пусть формулировка Клаузиуса не выполняется. Рассмотрим теплоотдатчик с температурой Т 1 и теплоприемник с температурой Т 2 ( Т 1 >Т 2 ). Допустим, что имеется некоторый процесс (1), который позволяет без затраты работы передать тепло Q 2 от менее нагретого тела к более нагретому. Рассмотрим далее цикл Карно (2), в результате которого от теплоотдатчика отнимается количество тепла Q=Q 1 +Q 2 и передается теплоприемнику количество тепла Q 2 , при этом совершается работа А=Q 1 В результате обоих циклов термодинамическое состояние теплоприемника не изменилось, т.е. получили сопряженную машину, которая всю теплоту превратила в работу. Таким образом, нарушение принципа Клаузиуса привело к нарушению принципа Томсона (рис. 4.3). Рис. 4.3. Эквивалентность формулировок Клаузиуса и Томсона Пусть нарушается принцип Томсона (рис. 4.4), т.е. в результате цикла (1) вся теплота Q 1 от теплоотдатчика с температурой Т 1 превращается в работу А без изменений в окружающих телах. Рассмотрим обратный цикл Карно (2), при котором от теплоприемника с температурой Т 2 отводится теплота Q 2 и передается теплоприемнику теплота Q 1 +Q 2 . Цикл происходит за счет работы А=Q 1 . При этих процессах не происходит никаких других изменений, кроме передачи теплаQ 2 от теплоприемника к теплоотдатчику, что противоречит принципу Клаузиуса. теплоотдатчик теплоприемник T 1 T 2 Q 2 1 Q 2 2 Q=Q 1 +Q 2 A=Q 1 49 Рис. 4.4. Эквивалентность формулировок Томсона и Клаузиуса 4.4. П РИНЦИП АДИАБАТНОЙ НЕДОСТИЖИМОСТИ К АРАТЕОДОРИ Принцип Каратеодори является одной из формулировок второго закона термодинамики. Из невозможности создания вечного двигателя второго рода вытекает утверждение: вблизи каждого состояния термически однородной равновесной системы существуют такие состояния, которые недостижимы адиабатным путем. ТЕРМИЧЕСКИ ОДНОРОДНАЯ СИСТЕМА– система, все части которой имеют одинаковую температуру. Рассмотрим квазистатический переход системы из состояния 1 в состояние 2 (рис. 4.5). При этом пусть система получает количество тепла Q и совершает работу А 1 . Вспомним первый закон термодинамики для закрытых систем: 2 1 1 Q U U A = − + (4.19) Предположим, что система переходит из состояния 2 в состояние 1 адиабатно, совершив работу А 2 . Тогда 1 2 2 0 U U A = − + (4.20) Складывая (4.19) и (4.20), получим 1 2 Q A A = + (4.21) теплоотдатчик теплоприемник T 2 T 1 Q 1 A=Q 1 Q 1 +Q 2 Q 2 1 2 50 Q δQ=0 1 2 Рис. 4.5. Принцип адиабатной недостижимости Таким образом, адиабатный переход невозможен, поскольку нарушается принцип Томсона, т.е. вся теплота перейдет в работу без компенсации. Принцип адиабатной недостижимости также эквивалентен следующему утверждению: две адиабаты не могут пересекаться. Покажем это. Предположим, что адиабаты могут пересекаться (рис. 4.6). Соединим адиабаты изотермой 1–2 ( const T = ) и получим некоторый цикл 1–2–3–1 . В этом цикле тепло подводится на участке изотермы (1–2). Работа в таком цикле равна площади криволинейной фигуры, ограниченной кривыми процессов цикла. Рис. 4.6. Следствия принципа Каратеодори Получили, что вся теплота в этом процессе полностью превращается в работу без каких-либо изменений состояния системы. Следовательно, нарушается принцип Томсона. Физический смысл принципа адиабатной недостижимости состоит в утверждении, что у всякой равновесной системы существует некоторая новая функция состояния S, называемая ЭНТРОПИЕЙ, которая при квазистатических адиабатных процессах постоянна, т.е. const S = и dS=0. В действительности это положение аналогично следующему. p V T=cons δQ=0 δQ=0 1 2 3 Q 51 Положение о существовании у всякой равновесной системы температуры можно сформулировать в виде принципа изотермической недостижимости: вблизи каждого состояния равновесной системы существуют такие состояния, которые недостижимы изотермически. Действительно, из состояния системы с температурой Т 1 нельзя изотермически перевести систему в состояние с температурой Т 2 . Аналогично, невозможность квазистатическим адиабатным путем перевести систему из состояния 1 в состояние 2 означает, что в состоянии 1 система имеет значение некоторой функции S=S 1 , а в состоянии 2 – 2 1 S S ≠ , причем S не меняется при квазистатических адиабатных процессах. И подобно тому, как при изотермическом процессе const T = , при адиабатном процессе будет постоянна функция S. Поскольку при адиабатном процессе δQ=0 и dS=0, то между этими величинами существует связь. Эта связь при квазистатических процессах выражается равенством Клаузиуса: δQ TdS = (4.22) Далее будет показано, что коэффициентом пропорциональности Т является абсолютная термодинамическая температура. |