Тема Модель парной линейной регрессии Понятие регрессии. Спецификация модели регрессии

• Название: Тема Модель парной линейной регрессии Понятие регрессии. Спецификация модели регрессии
• Дата: 23.09.2021
• Размер: 1.6 Mb.
• Имя файла: 2.docx
• Тип: Документы; #235694
• страница: 6 из 7

Проверка статистической значимости параметра модели регрессии заключается в проверке нулевой гипотезы о равенстве нулю его значения в генеральной совокупности:


Для проверки выдвинутой гипотезы используется t-критерий, подчиняющийся распределению Стьюдента:


где – t-критерий для параметра ;

– оценка параметра в выборочной совокупности;

– стандартная ошибка параметра .
t-критерий показывает во сколько раз разность между оценкой параметра и его истинным значением больше стандартной ошибки параметра.

Учитывая, что согласно выдвинутой гипотезе , а стандартная ошибка параметра представляет собой стандартное отклонение его выборочной оценки , формулу для расчета t-критерия можно представить в следующем виде:

Критическое значение t-критерия ( ) определяется по таблицам распределения Стьюдента для проверки двусторонних (two tailed) гипотез при заданном уровне значимости и числе степеней свободы . Если используются таблицы распределения Стьюдента для проверки односторонних (one tailed) гипотез, следует указывать уровень значимости .

Область допустимых значений задается условием , а критическая область – условием .

Таким образом, если рассчитанное по выборочным данным значение t-критерия больше критического значения ( ), то нулевая гипотеза о равенстве нулю параметра регрессии отвергается с вероятностью ошибки и параметр считается статистически значимым.

Если рассчитанное по выборочным данным значение t-критерия меньше или равно критическому значению ( ), то нулевая гипотеза о равенстве нулю параметра регрессии принимается и параметр регрессии считается статистически незначимым.

С учетом рассмотренных выше формул оценки дисперсии МНК-оценок параметров парной линейной регрессии, формулы для расчета t-критерия будут иметь следующий вид:


Пример 2.8. Рассмотрим оценку статистической значимости параметров модели парной линейной регрессии на примере зависимости между оборотом розничной торговли и доходами населения регионов Центрального федерального округа. Исходные данные для анализа представлены в таблице 2.6.3.

Таблица 2.6.3

Исходные данные для анализа статистической значимости параметров регрессии

№ п/п	Среднедушевые доходы населения, тыс. руб. (x)	Ср.-месячный оборот розничной торговли на душу населения, тыс. руб. (y)
1	16,6	7,8	275,56	7,43	0,73
2	13,2	7,2	174,24	0,46	0,14
3	12,5	5,6	156,25	1,89	0,72
4	12,7	6,9	161,29	1,38	0,12
5	10,9	5,6	118,81	8,85	0,00
6	15,2	8,1	231,04	1,76	0,04
7	12,7	5,7	161,29	1,38	0,73
8	14,6	7,2	213,16	0,53	0,14
9	15,7	8,4	246,49	3,33	0,05
10	12,9	6,6	166,41	0,95	0,00
11	13,3	7	176,89	0,33	0,01
12	14,6	8,6	213,16	0,53	1,04
13	13,6	7,5	184,96	0,08	0,21
14	13,8	7,8	190,44	0,01	0,43
15	15,3	8,1	234,09	2,03	0,02
16	14,4	6,9	207,36	0,28	0,33
Всего:			3 111,44	31,19	4,73

Определим критическое значение t-критерия по таблице распределения Стьюдента для проверки двусторонних гипотез:

Расчетное значение t-критерия для параметра попадает в область принятия гипотезы , следовательно мы не можем отклонить нулевую гипотезу о его равенстве нулю с приемлемой вероятностью ошибки. Однако ранее мы отмечали, что в построенной нами модели параметр не имеет экономического смысла и, соответственно, мы можем не делать никаких предположений относительно его значения.

Расчетное значение t-критерия для параметра попадает в критическую область , следовательно с вероятностью 95% мы отвергаем нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента регрессии и считаем его статистически значимым.

Табличное значение t-критерия можно получить используя функцию СТЬЮДРАСПОБР из категории «Статистические» в Microsoft Office Excel:

В диалоговом окне функции необходимо:

1. 
   в поле «Вероятность» - ввести уровень значимости (обычно 0,05 или 5%);
   
2. 
   в поле «Степени_свободы» ввести число степеней свободы для объясненной суммы квадратов отклонений (в модели парной линейной регрессии – , в нашем примере 16-2=14).
   

Полученное значение t-критерия равное 2,14 совпадает с тем значением, которое мы определили по таблице t-распределения.

С помощью функции СТЬЮДРАСПР входящей в категорию «Статистические» Microsoft Office Excel возможно по рассчитанному значению t-критерия определить соответствующую ему р-величину:



В диалоговом окне функции необходимо:

1. 
   в поле «Х» - ввести рассчитанное по выборочным данным значение t-критерия (в нашем примере 5,18);
   
2. 
   в поле «Степени_свободы» ввести число степеней свободы для объясненной суммы квадратов отклонений (в модели парной линейной регрессии – , в нашем примере 16-2=14);
   
3. 
   в поле «Хвосты» ввести число 2, поскольку t-критерий используется для проверки двухсторонней гипотезы.
   

р-значение говорит нам о том, что вероятность ошибки при отклонении нулевой гипотезы составляет . Таким образом, вероятность того, что коэффициент регрессии принимает значение, отличное от нуля, составляет 99,99%.

Проверка статистической значимости линейного коэффициента корреляции заключается в проверке нулевой гипотезы о равенстве нулю его значения в генеральной совокупности:

Учитывая, что стандартная ошибка коэффициента корреляции определяется по формуле:


расчетное значение t-критерия составит:


Порядок проверки нулевой гипотезы относительно значения коэффициента корреляции с использованием t-критерия аналогичен проверке гипотезы о значении параметров модели регрессии.

Применение t-критерия для проверки гипотезы о равенстве нулю коэффициента корреляции целесообразно при выполнении следующих условий:

1. 
   значительное число наблюдений (объем выборки
   
2. 
   абсолютное значение коэффициента корреляции значительно меньше 1 ( ).
   

Если указанные условия не выполняются, то распределение оценок коэффициента корреляции не подчиняется нормальному распределению, в силу того, что их значения ограничены интервалом .

Для решения данной проблемы Р. Фишером было предложено использовать вспомогательную нормально распределенную величину , имеющую стандартную ошибку .

Рассчитанное значение критерия:

сопоставляют с табличным значением, определенным по таблице нормального распределения с заданным уровнем значимости .

Пример 2.9. Рассмотрим пример оценки статистической значимости коэффициента корреляции между оборотом розничной торговли и величиной доходов населения, рассчитанным по данным 16 регионов Центрального федерального округа:

Рассчитанное значение превышает табличное значение при , и следовательно коэффициент корреляции между оборотом розничной торговли и величиной доходов населения является статистически значимым.

Однако исходные данные не удовлетворяют условиям использования t-критерия. Поэтому проведем оценку статистической значимости коэффициента корреляции с использованием преобразования Фишера:

Табличное значение критерия определим, используя функцию НОРМСТОБР входящую в категорию «Статистические» Microsoft Office Excel:

Поскольку проверяемая гипотеза является двухсторонней, а нормальное распределение – симметричным, в поле «Вероятность» необходимо указать величину .

Поскольку рассчитанное значение критерия (4,06) превышает табличное (1,96), нулевая гипотеза о равенстве нулю коэффициента корреляции отвергается с вероятностью ошибки 5%, и коэффициент корреляции между оборотом розничной торговли и доходами населения является статистически значимым.

Учитывая, что , а мы можем признать равносильными гипотезы . Таким образом, если уравнение парной регрессии в целом статистически значимо, то статистически значимыми являются коэффициент регрессии и коэффициент корреляции. Поскольку квадрат случайной величины имеющей распределение Стьюдента имеет распределение Фишера можно записать следующее соотношение:

Действительно: