Финансовая математика. Тема Простые проценты

• Название: Тема Простые проценты
• Дата: 30.10.2022
• Размер: 0.99 Mb.
• Имя файла: Финансовая математика.docx
• Тип: Документы; #761756
• страница: 3 из 6

Тема 3. Финансовые ренты
Вопрос 1. Виды платежей. Финансовые ренты. Основные параметры рент.

 

Потоки платежей.

Очень часто в контрактах финансового характера предусматриваются не отдельные разовые платежи, а серия платежей, распределенных во времени. Примерами могут быть регулярные выплаты с целью погашения долгосрочного кредита вместе с начисленными на него процентами, периодические взносы на расчетный счет, на котором формируется некоторый фонд различного назначения (инвестиционный, пенсионный, страховой, резервный, накопительный и т.д.), дивиденды, выплачиваемые по ценным бумагам, выплаты пенсий из пенсионного фонда и пр. Ряд последовательных выплат и поступлений называют потоком платежей. Выплаты представляются отрицательными величинами, а поступления - положительными.

Обобщающими характеристиками потока платежей являются наращенная сумма и современная величина. Каждая из этих характеристик является числом.

Наращенная сумма потока платежей – это сумма всех членов последовательности платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты.

Под современной величиной потока платежей понимают сумму всех его членов, дисконтированных (приведенных) на некоторый момент времени, совпадающий с началом потока платежей или предшествующий ему.

Конкретный смысл этих обобщающих характеристик определяется природой потока платежей, причиной, его порождающей. Например, наращенная сумма может представлять собой итоговый размер формируемого инвестиционного или какого-либо другого фонда, общую сумму задолженности. Современная величина может характеризовать приведенную прибыль, приведенные издержки.

 

Финансовые ренты (аннуитеты).

Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы постоянны, называют финансовой рентой или аннуитетом.

Финансовая рента имеет следующие параметры:

·     член ренты – величина каждого отдельного платежа;

·     период ренты – временной интервал между двумя соседними платежами, срок ренты – время, измеренное от начала финансовой ренты до конца ее последнего периода;

·     процентная ставка – ставка, используемая при наращении или дисконтировании платежей, образующих ренту, число платежей в году;

·     число начислений процентов в году, моменты платежа внутри периода ренты.

 

Виды финансовых рент.

Классификация рент может быть произведена по различным признакам.

В зависимости от продолжительности периода, ренты делят на годовые и p-срочные, где p - число выплат в году.

По числу начислений процентов различают ренты с начислением один в году, m раз или непрерывно. Моменты начисления процентов могут не совпадать с моментами рентных платежей.

По величине членов различают постоянные (с равными членами) и переменные ренты. Если размеры платежей изменяются по какому-либо математическому закону, то часто появляется возможность вывести стандартные формулы, значительно упрощающие расчеты.

По вероятности выплаты членов различают ренты верные и условные. Верные ренты подлежат безусловной выплате, например, при погашении кредита. Выплата условной ренты ставится в зависимость от наступления некоторого случайного события. Поэтому число ее членов заранее неизвестно. Например, число выплат пенсий зависит от продолжительности жизни пенсионера.

По числу членов различают ренты с конечным числом членов или ограниченные и бесконечные или вечные. В качестве вечной ренты можно рассматривать выплаты по облигационным займам с неограниченными или не фиксированными сроками.

В зависимости от наличия сдвига момента начала ренты по отношению к началу действия контракта или какому-либо другому моменту ренты подразделяются на немедленные и отложенные или отсроченные. Срок немедленных рент начинается сразу, а у отложенных запаздывает.

Ренты различают по моменту выплаты платежей.

Если платежи осуществляются в конце каждого периода, то такие ренты называются обычными или постнумерандо.

Если же выплаты производятся в начале каждого периода, то ренты называются пренумерандо. Иногда предусматриваются платежи в середине каждого периода.

Анализ потоков платежей в большинстве случаев предполагает расчет наращенной суммы или современной величины ренты.

 

Вопрос 2. Формулы для наращенной суммы и современной величины обычной годовой ренты постнумерандо и пренумерандо.

 

Пусть в конце каждого года в течение n лет на расчетный счет вносится по R рублей, проценты начисляются один раз в года по ставке i.

В этом случае первый взнос к концу срока ренты возрастет до величины R(1+i)^n-1, так как на сумму R проценты начислялись в течение n-1 года. Второй взнос увеличится до R(1+i)^n-2 и т.д. На последний взнос проценты не начисляются. Таким образом, в конце срока ренты ее наращенная сумма будет равна сумме членов геометрической прогрессии:

 

,

 

в которой первый член равен R, знаменатель (1+i), число членов n.

Эта сумма равна:

 

                (84)

 

где

 

,                (85)

 

называется коэффициентом наращения ренты.

 

Он зависит только от срока ренты n и уровня процентной ставки i.

 

Пример 1.

В фонд ежегодно в конце года поступают средства по 100000 руб. в течение 5 лет, на которые начисляют проценты по ставке 15 % годовых. Найти величину фонда на конец срока.

 

Решение:

 



 

Годовая рента, начисление процентов m раз в году.

Предположим теперь, что платежи делают один раз в конце года, а проценты начисляют m раз в году. Это означает, что применяется каждый раз ставка j/m, где j – номинальная ставка процентов. Тогда члены ренты с начисленными до конца срока процентами имеют вид:

 

.

 

Если прочитать предыдущую строку справа налево, то нетрудно увидеть, что перед нами опять геометрическая прогрессия, первым членом которой является R, знаменателем (1+j/m)^m, а число членов n. Сумма членов этой прогрессии и будет наращенной суммой ренты. Она равна:

 

.                   (86)

 

 

Пример 2.

В фонд ежегодно в конце года поступают средства по 100000 руб. в течение трех лет, на которые начисляют проценты по ставке 15 % годовых, причем проценты начисляются поквартально. Найти величину фонда на конец срока.

 

Решение:

По формуле (86) имеем:

 



 

Рента p-срочная,  .

В контрактах часто начисление процентов и поступление платежа совпадают во времени. Таким образом число платежей p в году и число начислений процентов m совпадают, т.е. p=m.

Тогда для получения формулы расчета наращенной суммы можно воспользоваться аналогией с годовой рентой и одноразовым начислением процентов в конце года, для которой:

 

.

 

Различие будет лишь в том, что все параметры теперь характеризуют ставку и платеж за период, а не за год. Таким образом получаем:

 

.           (87)

 

Пример 3.

В течение 30 лет создается пенсионный фонд. На поступающие средства начисляются сложные проценты по ставке 8,5 %. Сумма годовых взносов составляет 200 тыс. руб. Определить величину фонда на конец срока, если взносы и начисление процентов производятся поквартально.

 

Решение:

По формуле (87) имеем:

 

.

 

Рента p-срочная, p≥1, m≥1.

Это самый общий случай p-срочной ренты с начислением процентов m раз в году, причем, возможно p≥m.

Наращенная сумма:

 

.             (88)

 

Отметим, что из нее легко получить все рассмотренные выше частные случаи, задавая соответствующие значения p и m.

 

Пример 4.

В фонд ежегодно в конце года поступают средства по 50000 руб. в течение семи лет, на которые начисляют проценты по ставке 15 % годовых, причем выплаты производятся поквартально, а проценты начисляются ежемесячно. Найти коэффициент наращения ренты и величину фонда на конец срока.

 

Решение:

Коэффициент наращения рент находят по формуле:

 

.

 

Наращенная сумма:

 



 

Формулы современной величины.

Обычная годовая рента:

·     А – современная величина ренты.

 

.               (89)

 

Коэффициент приведения ренты зависит только от двух параметров: срока ренты n и процентной ставки i. Поэтому его значения могут быть представлены в табличном виде. Такие таблицы можно найти в книгах или построить самим на компьютере.

 

Рента p-срочная, p≥1, m≥1.

 

Аналогичные рассуждения позволяют получить формулу для расчета современной величины ренты в самом общем случае для произвольных значений p и m:

 

,             (90)

 

от которой нетрудно перейти к частным случаям при различных p и m.

 

Пример 5.

В фонд ежегодно в конце года поступают средства по 50000 руб. в течение семи лет, на которые начисляют проценты по ставке 15 % годовых, причем выплаты производятся и проценты начисляются ежеквартально. Найти современную стоимость фонда.

 

Решение:____Пример_8.'>Решение:

 

.

 

Рента пренумерандо.

Рассмотрим теперь ренту, когда платежи производятся в начале каждого периода, – ренту пренумерандо. Различие между рентой постнумерандо и рентой пренумерандо заключается лишь в том, что у последней на один период начисления процентов больше. В остальном структура потоков с одинаковыми параметрами одинакова. Поэтому наращенные суммы обоих видов рент (с одинаковой периодичностью платежей и начисления процентов и размером выплат) тесно связаны между собой.

Если обозначить через наращенную сумму ренты пренумерандо, а через S, как и раньше, наращенную сумму соответствующей ренты постнумерандо, то в самом общем случае получим:

 

.             (91)

 

Точно также для современной величины ренты пренумерандо и соответствующей ей ренты постнумерандо имеем следующее соотношение:

 

.            (92)

 

Пример 6.

Инвестиции производятся на протяжении 4 лет один раз в конце года по 2 млн руб. Ставка сложных процентов 17 % годовых. Найти сумму инвестиций к концу срока.

 

Решение:

Наращенная сумма инвестиций:

 

.

 



 

Пример 7.

В течение 3 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 10 млн руб., на которые начисляются проценты по сложной годовой ставке 10 %. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

 

Решение:

 



 

Пример 8.

Найти наращенную сумму годовой ренты, если проценты начисляются по номинальной ставке 16 % ежемесячно, член ренты 50000 руб., срок ренты 4 года.

 

Решение:

 

.

 



 

Пример 9.

В течение 3 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 10 млн руб., на которые начисляются проценты по сложной годовой ставке 10 %. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

 

Решение:

 



 

Пример 10.

Бизнесмен арендовал виллу за 10 000 долларов в год. Какова выкупная цена аренды при годовой ставке процента 5 %?

 

Решение:

Выкупная цена есть современная величина всех будущих арендных платежей и равна:

 



 

Пример 11.

Инвестиции в проект к концу первого года его реализации составят 10000 руб. В последующие три года ожидаются годовые доходы по проекту 3000 руб., 4200 руб., 6800 руб. Издержки привлечения капитала 10 %.

Рассчитать чистую текущую стоимость проекта.

 

Решение:

В данной задаче применяем формулу расчета наращенной суммы постоянной ренты пренумерандо:

 

.

 

Так как 10000 руб. – вложенные деньги, то будем их учитывать со знаком «-»:

 

.

 

Пример 12.

В фонд ежегодно в конце года поступают средства по 50000 руб. в течение 7 лет, на которые начисляют проценты по ставке 15 % годовых, причем выплаты производят поквартально, а проценты начисляются ежемесячно. Определить коэффициент наращения ренты и величину фонда на конец срока.

 

Решение:

Коэффициент наращения ренты находят по формуле:

 



 

Наращенная сумма:

 



 

Пример 13.

Вкладчик в течение 5 лет ежегодно вносит в банк R =100000 руб. Проценты на вклад начисляются по сложной процентной ставке i=15 % годовых. Найти наращенную сумму и современную величину ренты пренумерандо.

 

Решение:

 

.

 

Определение параметров финансовой ренты.

Иногда при разработке контрактов возникает задача определения по заданной наращенной сумме ренты S или ее современной стоимости A остальных параметров ренты: R, n, i, p, m. Такие параметры как m и p обычно задаются по согласию двух подписывающих сторон. Остаются параметры R, n, i. Два из них задаются, а третий рассчитывается. Такие расчеты могут быть неоднократно повторены при различных значениях задаваемых параметров, пока не будет достигнуто согласие сторон.

Определение размера ежегодной суммы платежа R в зависимости от того какая обобщающая характеристика постоянной ренты задана S или A, возможны два варианта расчета:

 

,            (93)

 

или

 

.             (94)

 

Пример 14.

В фонд ежегодно в конце года поступают средства по 100000 руб. в течение 7 лет, на которые начисляют проценты по ставке 15 % годовых. Найти коэффициент приведения ренты и современную стоимость фонда.

 

Решение:

Коэффициент приведения ренты находится по формуле:

 



 

Современная стоимость определяется соотношением:

 



 

Пример 15.

В фонд ежегодно в конце года поступают средства в течение 7 лет, на которые начисляют проценты по ставке 15 % годовых, причем выплаты производятся поквартально, а проценты начисляются ежемесячно. Наращенная сумма к концу срока составит 100 тысяч рублей. Определить коэффициент наращения ренты и годовую выплату.

 

Решение:

Коэффициент наращения ренты находится по формуле:

 



 

Наращенная стоимость ренты определяется соотношением:

 



 

Определение срока постоянной ренты.

Рассмотрим решение этой задачи на примере обычной годовой ренты с постоянными заданными платежами. Решая исходные формулы для S и A:

 

,

 

или

 

.

 

Относительно срока n, получаем соответственно следующие два выражения:

 

                (95)

 

Последнее выражение, очевидно, имеет смысл только при R>Ai.

 

Пример 16.

Долг в размере 300000 рублей погашается равными частями в конце каждого года по ставке 12 % годовых, причем размер ежегодных выплат R=50000 руб. Определить время погашения долга.

 

Решение:

Для ренты постнумерандо:

 



 

Определение ставки процентов.

Для того, чтобы найти ставку i, необходимо решить одно из нелинейных уравнений (предполагаем, что речь идет о постоянной годовой ренте постнумерандо) следующего вида:

 

,

 

или

 

,

 

которые эквивалентны двум другим:

 

,

 

или

 

.                (96)

 

В этих уравнениях единственным неизвестным является процентная ставка i. Решение нелинейных уравнений может быть найдено лишь приближенно. Известно несколько методов решения таких уравнений:

·     метод линейной интерполяции;

·     метод Ньютона-Рафсона и др.

 

Мы рассмотрим сначала первый из них.

Метод линейной интерполяции.

Прежде всего нужно найти с помощью прикидочных расчетов нижнюю (i_н) и верхнюю (i_в) оценки ставки. Это осуществляется путем подстановки в одну из формул (97) различных числовых значений i и сравнения результата с правой частью выражения.

Далее корректировка нижнего значения ставки производится по следующей интерполяционной формуле:

 

,              (97)

 

в которой s_ви s_н– значения коэффициента наращения (или коэффициента приведения) ренты для процентных ставок i_ни i_всоответственно. Полученное значение ставки проверяют, подставляя его в левую часть исходного уравнения и сравнивая результат с правой частью. Если достигнутая точность недостаточна, повторно применяют формулу (97), заменив в ней значение одной из приближенных оценок ставки на более точное, найденное на предыдущей итерации, и соответствующее ей значение множителя наращения (или приведения).

 

Метод Ньютона-Рафсона.

В этом методе решение также находят итеративно, постепенно шаг за шагом уточняя оценку. В общем случае метод Ньютона-Рафсона состоит в последовательном приближении к решению х₀ нелинейных уравнений вида:

 

.

 

В нашем конкретном случае алгоритм поиска сводится к трем операциям на каждом шаге, которые зависят от постановки задачи (задана S или A) и типа ренты.

Сначала будем считать, что известна наращенная сумма S и найдена какая-то начальная оценка процентной ставки (например, методом проб).

а)       Постоянная годовая рента постнумерандо, проценты начисляются один раз в конце года, p=1, m=1.

Требуется решить уравнение вида:

 

,

 

или

 

.

 

Если ввести обозначение q=1+i и умножить обе части уравнения на –(q-1), то получим алгоритм уточнения оценки на каждом шаге k, состоящий из следующих трех операций:

 



 



 



 

б)       Постоянная p-срочная рента постнумерандо, проценты начисляются один раз в конце года, p≥1, m=1.

Требуется решить уравнение вида:

 

,

 

или

 

.

 

Вновь используем обозначение q=1+i и получим алгоритм уточнения оценки на каждом шаге k, состоящий из следующих трех операций:

 



 



 



 

Замечания:

1.  Начальную оценку q₀=1+i₀, требующуюся для начала итеративной процедуры, следует выбирать такой, чтобы соответствующий ей множитель наращения был как можно ближе к заданному отношению S/R. Это сократит число итераций и обеспечит сходимость алгоритма.

2.  Остановка вычислений осуществляется после того как проверка, заключающаяся в сравнении множителя наращения и отношения S/R, свидетельствует об их совпадении с достаточной (наперед заданной) точностью.

 

Теперь будем считать, что известна современная стоимость A и найдена какая-то подходящая начальная оценка процентной ставки:

а)       Постоянная годовая рента постнумерандо, проценты начисляются один раз в конце года, p=1, m=1.

Требуется решить уравнение вида:

 

,

 

или

 

.

 

Здесь также используем обозначение q=1+i и после умножения обеих частей равенства на (q-1), то получим алгоритм уточнения оценки на каждом шаге k, состоящий из следующих трех операций:

 



 



 



 

б)       Постоянная p-срочная рента постнумерандо, проценты начисляются один раз в конце года, p≥1, m=1. Требуется решить уравнение вида:

 

,

 

или

 

.

 

Сделав подстановку q = 1+i, получим алгоритм уточнения оценки на каждом шаге k, состоящий из следующих трех операций:

 



 



 



 

Вопрос 3. Эквивалентные платежи. Принцип эквивалентности. Консолидация(объединение) потока платежей в один. Уравнение эквивалентности.

 

Эквивалентные платежи. Принцип эквивалентности.

В практике часто возникает необходимость в изменении условий контракта: например, должник может попросить об отсрочке срока погашения долга или, напротив, изъявить желание погасить его досрочно, в ряде случаев может возникнуть потребность объединить (консолидировать) несколько долговых обязательств в одно и т.д. Во всех этих случаях применяется принцип финансовой эквивалентности старых (заменяемых) и новых (заменяющих) обязательств. Для решения задач по изменению условий контракта разрабатывается так называемое уравнение эквивалентности, в котором сумма заменяемых платежей, приведенных к какому-либо одному моменту времени, приравнивается сумме платежей по новому обязательству, приведенных к той же дате. При этом соблюдается неизменность финансовых отношений сторон до и после заключения контрактов или, как говорят финансовая эквивалентность, обязательств. Расчет платежей в этом случае базируется на уравнении эквивалентности.

Уравнением эквивалентности называется равенство сумм заменяемых и заменяющих платежей, приведенных к одному моменту времени.

Принцип финансовой эквивалентности позволяет сравнивать два отдельных платежа в различные моменты времени. При оценке этих платежей сравнивают их современные стоимости и тот платеж считается большим, у которого современная стоимость больше.

 

Пример 17.

Первый платеж в 90000 рублей должен быть выплачен через 30 дней, а второй, равный 92 000 рублей, - через 270 дней. Сравнить эти платежи при простой процентной ставке 15 %, К = 360.

 

Решение:

Современная стоимость первого платежа:

 



 

Современная стоимость второго платежа:

 



 

При заданной ставке первый платеж превышает второй.

 

Для краткосрочных контрактов применяются простые процентные ставки, а для средне- и долгосрочных – сложные ставки.

При определении срока консолидированного платежа уравнение эквивалентности представляют как равенство современных стоимостей заменяемых и консолидированного платежей.

Уравнение эквивалентности для простых процентов:

 

          (98)

 

Если сумму в правой части обозначить через n, то решение эквивалентности относительно n₀ имеет вид:

 

                   (99)

 

Аналогично для сложных процентов:

 

           (100)

 

Пример 18.

Три платежа: 200 тыс. руб. со сроком 2 года, 400 тыс. руб. со сроком 3 года 300 тыс. руб. со сроком 4 года заменяются одним – в размере 800 тыс. руб. Стороны договорились об использовании сложной процентной ставки 18 % годовых. Определить срок консолидированного платежа.

 

Решение:

При определении современной стоимости заменяемых платежей найдем n по формуле сложных процентов:

 



 

Срок консолидированного платежа равен:

 



 

Консолидация (объединение) потока платежей в один. Уравнение эквивалентности. В случае с объединением (консолидированием) нескольких платежей в один сумма заменяемых платежей, приведенных к одной и той же дате, приравнивается к новому обязательству:

 

           (101)

 

где

t_j – временной интервал между сроками, t_j=n₀-n_j.

 

Пример 19.

Решено консолидировать два платежа со сроками 20.04 и 10.05 и суммами платежа 20 тыс. руб. и 30 тыс. руб. Срок консолидации платежей 31.05. Определить сумму консолидированного платежа при условии, что ставка равна 10 % годовых.

 

Решение:

Определим временной интервал между сроками для первого платежа и консолидированного платежа:^[1]

 

t1= 11(апрель) + 31(май) - 1 = 41 день,

 

для второго платежа и консолидированного платежа:

 

t2 = 22(май) - 1 = 21 день.

 

Отсюда сумма консолидированного платежа S_об будет равна:

 

.

 

Таким образом, консолидированный платеж со сроком 31.05 составит 50 402,78 руб.

 

Пример 20.

Три платежа: 200 тыс. руб. со сроком 2 года, 400 тыс. руб. со сроком 3 года 300 тыс. руб. со сроком 4 года заменяются двумя, причем через год выплачивается 200 тыс. руб., а остаток – через 5 лет. Перерасчет осуществляется по сложной процентной ставке 25 % годовых. Определить остаток долга.

 

Решение:

Запишем уравнение эквивалентности:

 

.

 

Отсюда находим остаток S_2.

 



 

Пример 21.

Три платежа: 200 тыс. руб. со сроком 2 года, 400 тыс. руб. со сроком 3 года 300 тыс. руб. со сроком 4 года заменяются двумя с выплатами 200 тыс. руб. через 1 год и 850 тыс. руб. Перерасчет осуществляется по сложной процентной ставке 25 % годовых. Определить срок выплаты суммы 850 тыс. руб.

 

Решение:

Уравнение эквивалентности имеет вид:

 



 



 

Решая уравнение относительно n, получим:

 



 

Конечно, существуют различные возможности изменения условий финансового соглашения, и в соответствии с этим многообразие уравнений эквивалентности. Готовыми формулами невозможно охватить все случаи, возникающие в практической деятельности, но в каждой конкретной ситуации при замене платежей уравнение эквивалентности составляется похожим образом.

Если платеж S₁ со сроком n₁ надо заменить платежом S_об. со сроком n_об. (n_об. > n₁) при использовании сложной процентной ставки i, то уравнение эквивалентности имеет вид:

 

.                  (102)

 

Пример 22.

Предлагается платеж в 45 тыс. руб. со сроком уплаты через 3 года заменить платежом со сроком уплаты через 5 лет. Найти новую сумму платежа, исходя из ставки 12 % годовых.

 

Решение:

Поскольку n_об. > n₁, то платеж составит:

 



 

Таким образом, в новых условиях финансовой операции будет предусмотрен платеж 56 448 руб.

 

Вопрос 4. Рента с непрерывным начислением процентов. Рента с платежами, изменяющимися по закону геометрической прогрессии. Рента с платежами, изменяющимися по закону арифметической прогрессии.

 

Рента с непрерывным начислением процентов.

Формула для наращенной суммы ренты с непрерывным начислением процентов:

 

.                  (103)

 

Формула для современной стоимости ренты с непрерывным начислением процентов:

 

.                 (104)

 

Пример 23.

В фонд ежегодно в конце года поступают средства по 50000 рублей в течение 7 лет, на которые начисляют проценты по ставке 15 %, причем выплаты производятся поквартально, а проценты начисляются непрерывно. Определить коэффициенты наращения и приведения ренты, величину фонда на конец и начало срока ренты.

 

Решение:

Определим наращенную сумму и коэффициент наращения, современную стоимость коэффициент приведения ренты с непрерывным начислением процентов:

 



 

S=50000·12,1535=607679,2.

A=50000·4,2529=212642,99.

 

Вечная рента.

Под вечной рентой понимается последовательность платежей, число членов которой не ограничено, то есть она выплачивается бесконечное число лет (например, выплаты по бессрочным облигационным займам). В этом случае наращенная сумма с течением времени возрастает бесконечно. А вот современная величина имеет вполне определенное конечное значение.

Рассмотрим, например, бесконечную постоянную годовую ренту постнумерандо (p = 1, m = 1):

 

.                 (105)

 

Пример 24.

Требуется выкупить вечную ренту, член которой равен 5 млн рублей, выплачиваемых в конце каждого полугодия под 25 % годовых.

 

Решение:

Капитализированная стоимость такой ренты составит:

 



 

Отложенная рента.

Начало отложенной (или отсроченной) ренты отодвигается от момента заключения сделки на какой-то момент в будущем. Наращенная сумма такой ренты может быть подсчитана по тем формулам, которые нам уже известны. А ее современную величину можно определить в два этапа: сначала найти современную величину соответствующей немедленной ренты (эта сумма характеризует ренту на момент начала ее срока), а затем с помощью дисконтирования этой величины по принятой ставке в течение срока задержки привести ее к моменту заключения договора.

Например, если современная величина годовой немедленной ренты равна A, то современная величина отложенной на t лет ренты составит:

 

                  (106)

 

где

v^t– дисконтный множитель за t лет, v=1/(1+i)<1.

 

Пример 25.

Спустя три года после образования фонда начинают поступать средства по 100000 руб. в конце каждого года в течение 7 лет, на которые начисляют проценты по ставке 15 % годовых. Найти современную стоимость и наращенную сумму фонда.

Современная стоимость фонда определяется по формуле:

 

.

 

Наращенная сумма фонда определяется по формуле:

 



 

Рента с платежами в середине периодов.

Наращенная сумма (S1/2) и современная стоимость (A1/2) ренты с платежами в середине периодов и соответствующей ренты постнумерандо связаны так:

 

,

 

и

 

.               (107)

 

Наращенная сумма всей ренты:

 

.

 

Пример 26.

В фонд ежегодно в середине периода поступают средства по 100000 руб. в течение 7 лет, на которые начисляют проценты по ставке 15 % годовых, причем выплаты производят поквартально, а проценты начисляются ежемесячно. Определить наращенную сумму ренты и величину фонда на конец срока.

 

Решение:

Наращенная сумма ренты постнумерандо определяется по формуле:

 



 

Современная стоимость ренты постнумерандо:

 

.

 

Рента с платежами, изменяющимися по закону геометрической прогрессии.

Если платежи годовой ренты изменяются с постоянным темпом роста q, то члены ренты будут представлять собой ряд: R, Rq, … , Rq ^n-1.

Величина t-го члена равна Rt=Rq ^t-1.

Для того чтобы получить современную величину, дисконтируем эти величины:

 

.

 

Мы получили геометрическую прогрессию.

Наращенная сумма S равна:

 

.                  (108)

 

Рента с платежами, изменяющимися по закону арифметической прогрессии.

Пусть размер платежей изменяется с постоянным приростом a (положительным или отрицательным), т.е. с платежами, изменяющимися по закону арифметической прогрессии.

Если рента годовая постнумерандо, то размеры последовательных платежей составят R:

 

.

 

Величина t-го члена равна R_t=R+(t-1)a. Тогда современная стоимость такой ренты равна:

 

,                 (109)

 

а наращенная сумма:

 

.            (110)

 

В случае p-срочной ренты с постоянным приростом платежей (m=1) последовательные выплаты равны:

 

,

 

где

a– прирост платежей за год;

R– первый платеж, то есть R_t=R+(a×t-1);

t– номер члена ряда, t=1, 2, … , np.

 

Современная величина:

 

,                           (111)

 

а наращенная сумма:

 

.                  (112)

 

Пример 27.

В долг берется 300000 руб. под годовую ставку 6 %. В год выплачивается по 34000 руб. Сколько лет займут эти выплаты?

 

Решение:

 

.

 



 

.

 



 

Пример 28.

Предположим, что есть два варианта инвестирования средств в течение 4 лет: в начале каждого года под 26 % годовых или в конце каждого года под 38 % годовых. Пусть ежегодно вносится 300000 руб. Определить, сколько денег окажется на счете в конце 4-го года для каждого варианта.

В данном случае производятся периодические платежи, и расчет ведется по формулам наращенной суммы постоянной ренты пренумерандо и наращенная сумма постоянной ренты постнумерандо.

 

Решение:

Для первого варианта:

 



 



 

Для второго варианта:

 



 



 

Пример 29.

Два платежа S₁ = 100 тыс. руб. и S₂ = 50 тыс. руб. со сроками 150 и 180 дней, отсчитываемыми от одной базы, заменяются одним со сроком 200 дней. Стороны согласились на замену при использовании простой ставки, равной 6 % годовых. Найти величину консолидированного платежа S.

 

Решение:

Для замены ренты S₁, S₂ платежом S можно воспользоваться тем, что платеж S должен равняться сумме наращений выплат S1, S2 за период их отсрочки: