романович. Романович Ж.А. Диагностирование, ремонт и техническое обслуживан. Учебник 3е издание
 Скачать 4.17 Mb.
|
|
Рисунок 6.10 — Ограничение области допустимых значений параметров касательными Реализация метода возможна с помощью схемы (рису- нок 6.11) с управляемым по программе контроля фазовращате- лем УФВ в цепи опорного сигнала ФЧД. Выражения для расчета 167 углов сдвига фаз Ψ i контролируемых составляющих напряже- ния u R (t) приведены в таблице 6.2, где Таблица 6.2 Формулы для расчета углов сдвига фазы в ФЧД Рисунок 6.11 — Структура измерительной подсистемы ЛСКД с ограничением зоны допустимых значений параметров касательными Пара- метры arctg ψ l z x ϕ x Исключение методических погрешностей возможно при формировании в схеме (рисунок 6.12) потенциальный точек, изображения которых на топографической диаграмме располо- жены в центрах окружностей, ограничивающих область c 1 c 2 c 3 c 4 (см. рисунки 6.6 и 6.7). Рисунок 6.12 — Структура измерительной подсистемы АСКД без методической погрешности 168 Для этого напряжение u 0 (t) сдвигается по фазе управля- емым программой контроля фазовращателем УФВ так, что- бы изображающий его вектор на топографической диаграмме проходил через центр соответствующей граничной окруж- ности. Масштабирующим усилителем МУ 1 устанавливают амплитуду этого сигнала u ФВ (t) такой, чтобы конец изобра- жающего напряжение вектора совпадал с центром граничной окружности. Дифференциальный усилитель-детектор ДУ-Д преобразует амплитуду разности напряжений u ФВ (t) − u R (t) в сигнал постоянного тока. В УС этот сигнал сравнивается с напряжением, пропорциональным радиусу граничной окруж- ности, сформированным по программе масштабирующим уси- лителем МУ 2 . Формулы для расчета углов сдвига фаз в УФВ и равных между собой коэффициентов передачи МУ 1 и МУ 2 приведены в таблице 6.3. Таблица 6.3 Формулы для расчета программируемых параметров в схеме рисунка 6.12 Параметр ϕ ФВ К МУ z x 0 при n z < 1; −π при n z > 1 ϕ x 0 - π/2 для ϕ x < 0; π/2 для ϕ x > 0 Упрощение реализации метода за счет исключения до- статочно сложного управляемого фазовращателя возможно при формировании напряжений, изображаемых линиями, на которых расположены центры граничных окружностей (рису- нок 6.13). Формулы для расчета коэффициентов передачи мас- штабирующих усилителей МУ 1 и МУ 2 во всех режимах, кроме 169 контроля аргумента, остаются неизменными. При контроле ар- гумента коэффициент передачи МУ 1 равен 0,5ctg ϕ x В схеме на рисунке 6.13 с помощью операционного ОУ и масштабирующего МУ 2 усилителей формируется потенциал общей шины узла сравнения УС — точки d — соответствующий центру граничной окружности. УС сравнивает амплитуду на- пряжения, пропорциональную радиусу граничной окружности (u df (t) при контроле модулей или u db (t) в остальных режимах), с амплитудой напряжения u dc (t), пропорциональной фактиче- скому значению радиуса. Резистивный делитель напряжения R 3 − R 4 предназначен для формирования потенциала общей шины ОУ и МУ 2 — точки e, изображение которой расположено в середине вектора ab. Положения переключателей при кон- троле различных параметров приведены в таблице 6.4. Рисунок 6.13 — Упрощение реализации измерительной подсистемы АСКД без методической погрешности Таблица 6.4 Положения переключателей в схеме на рисунке 6.13 Перекл. Параметр П 1 П 2 П 3 П 4 П 5 z x 1 1 при n z > 1; 2 при n z < 1 1 2 1 ϕ x 2 1 при ϕ x > 0; 2 при ϕ x < 0 2 2 1 2 — — 1 2 2 1 2 2 2 При контроле модуля для n z > 1 переключатель П 2 устанав- ливается в положение 1. ОУ инвертирует и усиливает напряже- 170 ние u ea (t), а МУ 2 его масштабирует так, чтобы изображение точ- ки d было в центре граничной окружности слева от точки b. МУ 1 масштабирует u ab (t) так, чтобы изображение точки f на линии ab находилось на граничной окружности. При n z < 1 переключатель П 2 устанавливают в положение 2. Изображение точки d оказы- вается в центре граничной окружности справа от точки a. При контроле аргументов ϕ x > 0 ОУ сдвигает по фазе на угол - π/2 напряжение u ea (t), формируя линию центров гранич- ных окружностей, а при ϕ x < 0 — напряжение u eb (t). При контро- ле потенциал точки d формируется усилителем МУ 2 из на- пряжения u ab (t). При контроле емкостного характера ϕ x > 0 ОУ сдвигает по фазе напряжение u ab (t) на угол π/2, формируя линию центров граничных окружностей, а при ϕ x < 0 выходное напряжение ОУ в МУ 2 кроме масштабирования дополнительно инвертируют. Обработка выходных сигналов ИС с линейной ФП в про- стейшем случае существенно не отличается от применяемой в схемах на рисунках 6.8 и 6.9. Дополнительное использование компенсационных методов преобразования позволяет сущест- венно расширить диапазон соотношений значений параметров контролируемых цепей. Компенсация возможна как непосредс- твенно в ИС, так и после нее. Первый вариант рассмотрим на примере схемы (рису- нок 6.14) с ИС на операционном усилителе, цепь отрицательной обратной связи которого образована последовательным соеди- нением Z x − R 0 Рисунок 6.14 — Структура измерительной подсистемы АСКД с компенсацией одного из параметров на входе ИС 171 На инвертирующий вход ОУ через дополнительный резис- тор R подается компенсирующее напряжение u УДН (t), амплиту- да которого с помощью УДН 1 задается по программе пропорци- онально номинальному значению одного из параметров . При компенсации активной составляющей u УДН (t) формируется не- посредственно из напряжения воздействия, а при компенсации реактивной составляющей — после сдвига этого напряжения в ФВ по фазе на π/2. ФЧД преобразует в сигнал постоянного тока оставшуюся недокомпенсированную часть, пропорциональную разности между фактическим и номинальным значениями пара- метра, или вторую составляющую. Напряжение уставки форми- руется с помощью УДН 2 и детектора Д из напряжения тестового воздействия. Имеет смысл компенсировать большую по значению составляющую. Предельные значения tg ϕ x контролируемой цепи ограничены погрешностью ИС, которая определяется коэффици- ентом усиления ОУ и возрастает по мере роста компенсируемой составляющей из-за уменьшения глубины обратной связи. Во втором варианте (рисунок 6.15) компенсацию осущест- вляют в сумматоре напряжений СН. Диапазон значений tg ϕ x ограничен динамическим диапазоном ОУ и минимально допус- тимым с точки зрения инструментальной погрешности уровнем сигналов. Рисунок 6.15 — Структура измерительной подсистемы АСКД с компенсацией одного из параметров на выходе ИС Инструментальные погрешности значительно уменьша- ются в случае задания компенсирующего сигнала пропор- ′ 172 ционально предельно допустимому значению измеряемой составляющей. Вместо ФЧД можно использовать высокочувс- твительный фазовый нуль-индикатор ФНИ, к которому не предъявляется требований линейности характеристики. Вы- ходной сигнал ФНИ характеризует знак разности фаз между опорным сигналом , ортогональным компенсируемой со- ставляющей, и сигналом, полученным после компенсации, т. е. разности между выходными сигналами ОУ и УДН. Он служит результатом контроля и может быть подан непос- редственно в УФН. Например, на векторной диаграмме (рисунок 6.16) показан случай компенсации активной составляющей для Рисунок 6.16 — Векторная диаграмма, иллюстрирующая сравнение значения компенсируемого параметра с уставкой 6.4 Измерение параметров линейных электрических цепей системами с цифровыми процессорами Современные АСКД используют цифровые процессоры для хранения программы диагностирования, управления про- цессом диагностирования и документирования результатов. Как правило, вычислительные мощности процессора исполь- зуются далеко не полностью. Резерв мощности можно исполь- зовать для замены достаточно дорогостоящих в разработке и производстве аналоговых преобразователей программными цифровыми методами обработки информации. 173 Экономически и технически целесообразно при этом ис- пользовать минимальное число внешних по отношению к про- цессору элементов. Для ввода сигналов в процессор и формиро- вания энергетического воздействия на ИС удобно использовать серийно выпускаемые модули ввода-вывода аналоговых сиг- налов, в состав которых входят АЦП и ЦАП. Дополнительно требуется использование одного на предел измерения калиб- рованного резистора R 0 . Резистор совместно с образуют ИС (см. рисунок 6.3) с нелинейной ФП. Напряжение воздействия u 0 (t) (рис. 6.17) на ИС формирует- ся с помощью ЦАП. АЦП оцифровывает мгновенные значения выходных сигналов ИС и передает их в процессор. Параметры сигналов (амплитуда, эффективное значение, начальная фаза, активная и реактивная составляющие) рассчитываются по программе. Определение параметров осуществляется путем решения системы, составленной из двух уравнений, связыва- ющих параметры иммитанса и напряжений u R (t) и u Z (t). Таким образом, процесс контроля проходит в четыре этапа: прямое измерение мгновенных значений выходных сигналов ИС, кос- венное измерение параметров сигналов, совокупное измерение иммитанса и допусковая оценка его параметров. Наиболее известными методами определения парамет- ров иммитанса по параметрам напряжений, действующих в ИС, являются методы “трех вольтметров” и “двух фазомет- ров”. Метод “трех вольтметров” основан на расчете парамет- ров по параметрам интенсивности напряжений u 0 (t), u R (t) и u Z (t). Выбор конкретного параметра (амплитуды, средневы- прямленного или эффективного значения) при синусоидаль- ном напряжении u 0 (t) не влияет в явном виде на результат измерения, так как во все формулы для расчета входит от- ношение напряжений. Параметр выбирают исходя из удобс- тва программирования, необходимой помехоустойчивости и т. п. В дальнейшем для определенности будет говориться об амплитудных значениях. Метод “двух фазометров” основан на определении параметров по начальным фазам напря- жений u R (t) и u Z (t). Формулы для расчета параметров ме- 174 тодами “трех вольтметров” и “двух фазометров” приведены в таблице 6.5. Методы трех вольтметров и двух фазометров хорошо до- полняют друг друга. Для измерения модуля иммитанса пред- почтительнее использование метода трех вольтметров, а для измерения аргумента — двух фазометров. При этом диапазон измерения, в пределах которого значение R 0 постоянно, огра- ничен только диапазоном АЦП и влиянием помех. В принципе, возможно использование одного калиброванного резистора для измерения z x в диапазоне от единиц Ом до МОм, естественно, если уровень шумов и помех позволяет измерять меньшее из напряжений с требуемой точностью. Таблица 6.5 Формулы для расчета параметров методами “трех вольтметров” и “двух фазометров” Расчетные величины Измеряемые величины U R , U Z ϕ R , ϕ Z z x ϕ x ϕ R – ϕ Z Для измерения активной составляющей иммитанса при ϕ x > 60° лучше подходит метод трех вольтметров, а для измере- ния реактивной составляющей при ϕ x < 30° — двух фазометров. Достоинством методов трех вольтметров и двух фазометров является независимость результатов измерения от входного сопротивления АЦП. 175 При реализации измерения необходимо учитывать осо- бенности построения модулей ввода-вывода в ЭВМ аналоговых сигналов. Как правило, ЦАП и АЦП, входящие в состав моду- лей, подключены к общей шине. Подача напряжения воздейс- твия на ИС и съем измеряемых напряжений производят отно- сительно общего провода (рисунок 6.17). Переход от измерения напряжения u R (t) к измерению напряжения u Z (t) возможен при изменении точки подключения к ИС общей шины модуля вво- да-вывода. В положении 1 переключателя П измеряется u R (t), а в положении 2 − u Z (t). АЦП производит прямое измерение и ввод в процессор мгновенных значений напряжений. По мгновенным значениям процессор рассчитывает амплитуды и начальные фазы напря- жений. Для измерения начальных фаз напряжений требуется привязка по времени результатов аналого-цифрового преобра- зования к напряжению u 0 (t). Синхронизация АЦП с ЦАП в ряде случаев, например когда ЦАП работает от ЭВМ, а АЦП управ- ляется от собственного таймера, может быть затруднительна. Решение проблемы возможно за счет применения модуля ввода-вывода с двумя синхронно работающими АЦП (рису- нок 6.18). АЦП 1 измеряет напряжение u 0 (t), а АЦП 2 — u R (t) или u Z (t) в зависимости от положения переключателя П. Рисунок 6.17 — Схема подключения АЦП к ИС Рисунок 6.18 — Схема под- ключения сдвоенного АЦП к ИС Необходимость коммутаций при измерении рассмотрен- ными методами существенно усложняет процесс измерения, 176 особенно в автоматических системах. Кроме того, требуется дважды дожидаться окончания переходных процессов в ИС, продолжительность которых зависит от параметров Избежать указанных недостатков можно при расчете па- раметров иммитанса по любой паре параметров одного из на- пряжений u R (t) или u Z (t). Предпочтительнее с точки зрения уменьшения погрешности измерения, вызванной влиянием входного сопротивления АЦП, проводить оценку по парамет- рам напряжения u R (t), так как значение сопротивления R 0 мо- жет быть выбрано существенно меньше модуля сопротивления контролируемой цепи z x Далее в разделах 6.5 и 6.6 будет показано, что для расчета параметров напряжений целесообразно использовать аппрок- симацию отсчетов мгновенных значений сигнала экспоненци- альными функциями. При этом в первую очередь определяют- ся амплитуда U R и начальная фаза ϕ R напряжения. Формулы для расчета параметров по амплитуде и начальной фазе напряжения u R (t) приведены в таблице 6.6. Использование для расчетов значений активной и реактивной составляющих на- пряжения практически не дает каких-либо дополнительных преимуществ. Таблица 6.6 Формулы для расчета параметров по амплитуде и начальной фазе напряжения u R (t) Параметры Расчетные формулы z x ϕ x 177 Приведенные в таблице 6.6 выражения позволяют рассчи- тать погрешности измерения по методике, изложенной в разде- ле 6.2. Выражения для весовых коэффициентов при погрешнос- тях косвенного измерения параметров напряжений приведены в таблице 6.7. Погрешности, связанные с калиброванным резис- тором R 0 , не рассмотрены ввиду малости. Значения весовых коэффициентов, отражающих влияние погрешности измерения параметров напряжений на погреш- ность определения параметров , уменьшаются при увели- чении n z (n R ). Однако в этом случае уменьшается амплитуда напряжения u R (t), что приводит к росту погрешностей δU R и Δϕ R . Компромисс обеспечивается при выборе отношения z x /R 0 в диапазоне 1< n z <10. Значения весовых коэффициентов для расчета приведенных погрешностей измерения и (последние две строки таблицы 6.6) несколько меньше, чем рас- чета для относительных погрешностей. Особенно это заметно при оценке погрешности измерения меньшей из составляющих , что согласуется с выводами раздела 6.2. Сумма весовых коэффициентов при погрешностях изме- рений δU 0 и δU R по каждой строке равна нулю (см. табл. 6.7). Следовательно, систематическая составляющая погрешности измерения напряжений, например погрешность, вызванная неточностью опорного напряжения АЦП и ЦАП, не влияет на результат определения параметров иммитанса. При расчетах следует учитывать только случайную составляющую погреш- ности измерений. Систематические погрешности измерения фаз напряжений не компенсируются. Их можно учесть про- граммно. Отсюда следует, что для полной оценки погрешности определения параметров можно использовать среднеквад- ратичное суммирование отдельных составляющих погрешнос- ти в каждой точке диапазона контролируемых значений. Со- ставляющие погрешности измерения параметра находят как произведение погрешности косвенного измерения параметра напряжения, указанного в первой строке таблицы, на весовой коэффициент, записанный в данном столбце в строке соответс- твующего параметра 178 Для полной оценки погрешности измерения параметров нужен анализ погрешностей косвенного измерения параметров напряжений. Она зависит как от погрешностей прямых изме- рений мгновенных значений сигналов, так и от выбранного спо- соба математической обработки отсчетов. 6.5 Способы программного определения информационных параметров сигналов Определение всех параметров гармонического сигнала при известной частоте, в принципе, возможно по двум отсче- там. Дискретные значения гармонического напряжения u(t) в моменты цифрового измерения можно представить в виде , (6.20) Таблица 6.7 Весовые коэффициенты при погрешностях измерения параметров напряжений Погрешность Весовые коэффициенты δU 0 δU R Δϕ R δz x Δϕ -tg ϕ x 1 -1 -sin ϕ x sin ϕ x -sin ϕ x 179 где — отношение общего времени измерения T и к периоду T напряжения u(t) частотой f; — шаг дискретизации; N — общее количество измерений; i = 0, 1, …, N − 1 — порядковый номер измерения; ϕ 0 — фаза u(t) в момент первого измерения при i = 0. Вследствие влияния шумов значения отсчетов отлича- ются от мгновенных значений напряжений, описываемых выра- жением (6.20). При использовании d-разрядного АЦП с двоичным шагом квантования значения отсчетов можно представить в виде , где e(i) — значения аддитивного белого шума с дисперсией σ e в моменты отсчетов; round{x} — ближайшее целое x. С помощью функции round{x} учитываются погрешность и шумы квантования АЦП при условии, что значение амплитуды измеряемого напряжения u(i) не выходит за пределы рабоче- го диапазона АЦП. В качестве иллюстрации ниже приведены взятые за время одного периода девять значений (N = 9, n = 1, ϕ 0 = 0,2 π, U = 0,1): напряжения u(i); отсчетов этого напря- жения 10-разрядным АЦП в отсутствии шума; напряжения u 1 (i) = u(i) + e(i) с нормальным аддитивным шумом при отно- шении сигнал-шум ; результатов аналого-цифрового преобразования этого напряжения , а на рисунке 6.19 для ста отсчетов показаны абсолютные погрешности, вызванные влиянием квантования и белого шума и определенные, соответ- ственно, как u 1 (i) − и u(i) − u 1 (i). По двум отсчетам u(0) и u(1) с заданным сдвигом фаз ϕ = 2πn между ними параметры напряжения находят их реше- ния системы уравнений 180 u (i ) = (0,0588 0,0970 0,0899 0,0407 -0,0276 -0,0829 -0,0995 -0,0695 -6,9756 × 10 -3 ) = (0,0586 0,0967 0,0898 0,0410 -0,0273 -0,0830 -0,0996 -0,0693 -0,0068) u 1 (i ) = (0,0583 0,0964 0,0894 0,0397 -0,0292 -0,0829 -0,0996 -0,0689 -0,0048) = (0,0586 0,0967 0,0898 0,0400 -0,0293 -0,0830 -0,0996 -0,0693 -0,0049) 0 1 02 0 3 04 0 5 06 0 7 0 8 09 0 1 0 0 0,004 0,002 0 0,002 0,004 i u (i ) − u (i ) − u 1 (i ) Рисунок 6.19 — Влияние шума на результаты аналого-цифрового преобразования 181 С учетом физических соображений формулы для расчета амплитуды и фазы ϕ(0) измеряемого напряжения имеют вид , В случае применения 12-разрядного АЦП минимальная погрешность измерения обеспечивается, если фазовый сдвиг между отсчетами задан в пределах 1,2 < ϕ[рад] < 1,6. Погреш- ность измерения не зависит от начальной фазы сигнала и в худ- шем случае, когда амплитуда напряжения U = 0,1 соответству- ет нижнему пределу рабочего диапазона АЦП, не превосходит по амплитуде ±0,15%, а по фазе ±0,0015 рад. Относительные погрешности измерения активной и реактивной составляю- щих напряжения возрастают, соответственно, при ϕ 0 > 1,4 рад и ϕ 0 < 0,2 рад. Отношение дисперсии шума σ e к дисперсии результатов измерения примерно равно единице. Таким образом, шум вхо- дит полным весом в погрешность измерения. Для отношения сигнал-шум погрешность АЦП доминирует при чис- ле разрядов d < 12. С увеличением разрядности АЦП влияние шума начинает превалировать. Повышения помехоустойчивости можно достичь при оп- ределении параметров напряжения по интегральным отсче- там, полученным путем суммирования результатов измерения отдельных мгновенных значений. С этой же целью можно про- водить усреднение результатов измерения амплитуд и фаз на- пряжений, полученных в течение определенного времени. В первом случае возможности повышения помехоустойчи- вости ограничены. При сдвиге фаз между отсчетами ϕ = 0,5 π, частоте напряжения 1 кГц и быстродействии АЦП 200000 из- мерений в секунду для усреднения может быть использовано примерно 45 результатов. То есть можно ожидать уменьшения влияния шума примерно в 6 −7 раз. Во втором случае подавление шума зависит от общей длительности измерения. Во всех вари- 182 антах теряется основное достоинство метода — возможность из- мерения за время, меньшее одного периода напряжения. Применение метода наименьших квадратов (МНК) в пе- реопределенном случае, когда число отсчетов превышает ми- нимально необходимое для расчета параметров, позволяет уменьшить случайную погрешность измерения. В МНК про- водят аппроксимацию временного ряда экспериментально полученных значений функцией , параметры которой под- бираются таким образом, чтобы минимизировать действитель- ную сумму квадратичных ошибок ε 2 аппроксимации по всем отсчетам Наиболее естественно аппроксимировать отсчеты гармо- нического сигнала синусно-косинусными функциями. Аппрок- симирующую функцию можно представить в прямоугольной или полярной системе координат. В первом случае по парамет- рам аппроксимирующей функции определяют значения орто- гональных составляющих измеряемого напряжения. Во втором случае непосредственно находят его амплитуду и фазу. Аппроксимирующую функцию в ортогональной системе координат представляют в виде суммы действительных значе- ний синусной и косинусной компонент , где коэффициенты A и B рассчитывают по формулам , Если отсчет начальной фазы производится от момента первого измерения при i = 0, то эти коэффициенты по сущест- ву представляют собой активную и реактивную составляющие измеряемого напряжения и являются искомыми результатами измерения. По ним можно рассчитать амплитуду и начальную фазу аппроксимирующего колебания: ′ 183 , Минимальную погрешность измерения обеспечивает ра- венство целому числу отношения n времени измерения к пе- риоду измеряемого напряжения. С увеличением длительности наблюдения необходимость обеспечения целого числа перио- дов становится менее острой, даже если количество отсчетов при этом не увеличивают. Погрешности измерения амплитуды и начальной фазы напряжения практически не зависят от на- чальной фазы измеряемого напряжения. Их значения в отсутс- твии шумовой помехи при 12-разрядном АЦП не превосходят для измерения амплитуды 0,025%, а фазы — 0,00025 рад. Относительные погрешности измерения активной δReu и реактивной δImu составляющих напряжения резко возрастают на краях диапазона значений фаз, когда собственные значения этих составляющих стремятся к нулю: для активной составля- ющей при ϕ 0 > 1,35 рад, а для реактивной при ϕ 0 > 0,1 рад. В нашей задаче начальные фазы напряжений могут изме- няться от нуля, если представляет собой чисто активное со- противление, до 1,47 рад при чисто реактивном характере , отличающемся в десять раз по значению от сопротивления R 0 В связи с этим нецелесообразно при использовании МНК вы- бирать для измерения иммитансов, характер сопротивления которых близок к активному, в качестве одного из расчетных параметров напряжения реактивную составляющую, а для им- педансов реактивного характера — активную. Подавление нормального шума зависит от числа отсче- тов. При частоте напряжения 1 кГц и быстродействии АЦП 200000 измерений в секунду за время одного периода может быть получено 200 отсчетов. Коэффициент подавления шума (отношение дисперсии шума σ e к дисперсии результатов изме- рения) составляет примерно и равен 10 при 200 отсчетах и 7 — при 100. Для отношения сигнал-шум погрешность АЦП доминирует при числе разрядов d < 12. С увеличени- 184 ем разрядности АЦП влияние шума начинает превалировать. Увеличение коэффициента подавления шума может быть по- лучено за счет увеличения числа периодов напряжения, во время которых происходит измерение. Рассмотренный способ измерения можно применять, если существует взаимная синхронизация АЦП и ЦАП. При асинх- ронной работе необходимо одновременное измерение фазы на- пряжения u 0 (t) в момент первого измерения при i = 0. Фазовый сдвиг напряжений u(t) и u 0 (t) находят как разность их фаз при i = 0. Соответственно рассчитывают активную и реактивную составляющие напряжения u(t). В варианте с одновременным измерением напряжений u(t) и u 0 (t) отсчеты u 0 (t) можно использовать для аппроксимации на- пряжения u(t). Амплитуда напряжения u(t) для гармонического сигнала рассчитывается через среднеквадратичное значение: Отношение мгновенных значений напряжения воздейс- твия u 0 (t) к его амплитуде U 0 несет информацию о текущем зна- чении фазы u 0 (t) в моменты отсчетов: Учитывая это, активная и реактивная составля- ющие напряжения u(t) можно рассчитать как , В полярной системе координат для нашего случая дейс- твительных отсчетов аппроксимирующую функцию можно представить в виде , где — комплексно-сопряженные амплиту- ды, представляющие собой независимый от времени параметр; 185 — комплексно-сопряженные экспоненты, которые описывают параметр, зависящий от времени (звездоч- ка * обозначает комплексное сопряжение). Решение задачи сводится к нахождению комплексной амп- литуды из системы уравнений, составленной с использова- нием процедуры МНК: . (6.21) Затем рассчитываются амплитуды и начальные фазы ап- проксимирующего колебания: , . (6.22) Оценку погрешностей косвенного измерения параметров напряжений путем аппроксимации мгновенных значений до- статочно сложно провести аналитически. В данном разделе такая оценка была произведена методом математического мо- делирования в среде MATHCAD. Отдельно варьировались зна- чения каждого их факторов, и анализировались полученные при этом результаты. В качестве примера на рисунке 6.20 приведена MATHCAD- программа для анализа влияния числа отсчетов N на погреш- ности измерения U и ϕ(0) при аппроксимации отсчетов экспо- ненциальными функциями. В силу особенностей синтаксиса системы MATHCAD отдельные обозначения в программе не совпадают с принятыми в основном тексте. В программе: v k — отсчеты, V k и ϑ k — результаты измерения амплитуды и на- чальной фазы, k — варьирующий коэффициент. Влияние остальных факторов так же оценено с помощью программы при приравнивании к k значения параметра, вли- яние которого анализировалось. Результаты моделирования представлены на рисунке 6.21. 186 round (x) if(x − floor(x) < 0.5, floor(x), ceil(x)) k := 3…100 d := 12 v := 0.1 ϕ 0 := 0.25·π e := rnorm(250, 0, 0.001) Цикл расчета коплексных коэффициентов: hk := N ← k N — число отсчетов за время измерения, равное одному периоду for i ∈ 0..N − 1 u i — значения измеряемого напряжения U i — отсчеты z 0 , z 1 — аппроксимирующие комплексно-спряженные экспоненты Mz — коэффициенты системы уравнений для определения комплексных коэффициентов методом наименьших квадратов Mz 1,0 ← Mz 0,1 Mu — свободные члены системы уравнений hl ← lsolve(Mz, Mu) hl 1 — решение системы уравнений hl 1 V k := |h k | ϑ k := |arg(h k )| Δϕ k := (ϕ 0 − ϑ k )•100 Рисунок 6.20 — MATHCAD-программа для анализа метода измерения 187 U = 0,1; ϕ 0 = π/4; d = 10; n = 1; U = 0,1; ϕ 0 = π/4; d = 100; N = 100; δU k Δϕ k · 100 0 40 80 120 160 200 Y0,5 Y0,25 0 0,25 0,5 а) N δU k Δϕ k · 100 0 1 2 3 4 5 Y0,5 Y0,25 0 0,25 0,5 б) n U = 0,1; ϕ 0 = π/4; N = 100; n = 1; U = 0,1; d = 10; ϕ 0 = π/4; N = 100; n = 1; δU k Δϕ k · 100 8 10 12 14 16 Y0,2 Y0,1 0 0,1 0,2 в) d δU k Δϕ k · 100 Y0,01 Y0,005 0 0,005 0,01 Y5 Y2,5 0 2,5 5 г) δf, % Рисунок 6.21 — Результаты моделирования метода измерения На графиках погрешность измерения фазы Δϕ дана в ра- дианах, умноженных на 100, а остальные погрешности — в процентах. Вверху каждого рисунка указаны значения посто- янных величин, при которых зависимости получены. Для этого использованы обозначения, принятые в основном тексте. На рисунке 6.21, а показано влияние числа отсчетов сигнала N, используемых для аппроксимации. На рисунке 6.21, б показа- но влияние отношения n общего времени измерения к периоду напряжения u(t). На рисунке 6.21, в показано влияние разрядов АЦП, а на рисунке 6.21, г — влияние относительного отклонения частоты сигнала от заданного априори значения δf. 188 Аппроксимация экспоненциальными функциями в зна- чительной степени сглаживает недостатки ранее рассмотрен- ных методов, а их преимущества аккумулирует. Анализ за- висимостей, приведенных на рисунке 6.21, позволяет оценить погрешности измерения. При отсутствии белого шума погреш- ность измерения не зависит от отношения n времени измере- ния к длительности периода сигнала. Измерение возможно при числе отсчетов N ≥ 3. При шуме зависимость погрешности от продолжительности измерения проявляется. Тем не менее возможно проведение измерения за время, меньшее одного периода, как и при измерении по двум отсчетам. Отпадает не- обходимость обеспечения кратности времени измерения це- лому числу периодов сигнала. При использовании 50 отсчетов 10-разрядного АЦП погрешность измерения амплитуды не превышает 0,1%, а начальной фазы — 0,001 рад, если время измерения составляет не менее одного периода сигнала, а от- ношение сигнал-шум . Коэффициент подавления нор- мального шума вдвое выше по сравнению с предшествующим методом и составляет Особое внимание при применении метода следует обра- тить на точность задания частоты сигнала. В случае отклоне- ния фактического значения частоты от заданного в пределах ±0,001% погрешность измерения фазы достигает 0,005 рад. На погрешности измерения амплитуды отклонение частоты ска- зывается мало. Аппроксимация экспоненциальными функциями может быть использована для оценки амплитудно-фазовых часто- тных характеристик компонентов печатного узла. По харак- теристикам можно рассчитать параметры элементов много- элементных двухполюсных цепей путем решения системы уравнений, связывающих результаты измерения иммитан- са на нескольких частотах воздействия u 0 (t) с параметрами элементов, образующих диагностируемую цепь. Возможны два варианта решения задачи, отличающиеся способом за- дания u 0 (t). 189 В первом варианте используется u 0 (t), представляющее собой сумму нескольких гармонических колебаний заданных частот: Параметры гармонических компонент реакции объекта диагностирования на воздействие определяются аналогично выше рассмотренному случаю измерения параметров синусо- идального сигнала известной частоты. Количество уравнений в системе (6.21) возрастает и равно удвоенному числу p гармони- ческих составляющих тестового воздействия: (6.23) Решение системы уравнений (6.23) в матричной форме имеет вид , (6.24) где верхний индекс H означает комплексно сопряженную транспозицию матрицы, а произведение (Z H Z) имеет вид Эрми- товой матрицы (p × p), обладающей свойством комплексно-со- пряженной симметрии; — вектор отсчетов размерности (N − p) × 1; 190 — вектор комплексных амплитуд (p × 1); — матрица Вандермонда размер- ности (N × p), представляющая комплексные экспоненты. По корням этой системы уравнений рассчитываются амплитуды и начальные фазы аппроксимирующих колебаний согласно формулам (6.22 и 6.23), в которых индекс принимает значения от 1 до m. Измерение может быть произведено за время одного пери- ода напряжения u 0 (t), если быстродействие АЦП обеспечивает получение необходимого для заданной точности числа отсчетов. Погрешности измерения мало зависят от количества гармони- ческих компонент сигнала и соотношения их частот. Число ис- пользуемых гармоник зависит от существующих физических ограничений на максимальное значение напряжения u 0 (t). При заданном максимальном значении u 0 (t) с увеличением количес- тва гармоник амплитуда каждой из них должна быть умень- шена. Отношение сигнал-шум для каждой гармоники также уменьшается, и погрешность измерения возрастает. Во втором варианте используется квазигармоническое колебание, длительность соседних периодов которого изме- няется по заданному закону. В каждом периоде производится измерение параметров реакции объекта диагностирования на соответствующей частоте воздействия с использованием вы- ражений (6.21) и (6.22). Расширение частотного диапазона при 191 этом не приводит к ухудшению соотношения между сигналом и шумом. Однако время измерения прямо пропорционально ширине диапазона частот. Погрешность измерения полностью соответствует указанной ранее. Контрольные вопросы 1. Как классифицируются измерительные схемы для кон- троля иммитанса по виду функции преобразования? 2. Какие причины вызывают появление методической пог- решности допускового контроля параметров иммитанса при использовании пассивной измерительной схемы? 3. На какие основные этапы можно разбить контроль па- раметров иммитанса при использовании программных методов обработки отсчетов сигналов? 4. Какой метод аппроксимации отсчетов сигнала харак- теризуется наибольшим коэффициентом подавления белого шума? 5. В чем сущность метода наименьших квадратов? |