Тиманюк, Животова. Биофизика. Учебник для студентов фармацевтических и медицинских вузов удк 577. 3(075. 8) Ббк 28. 901я73 т 41
 Скачать 4.28 Mb.
|
|
?? = ? ? ? = ? ? ? ? ? = ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 , x n x n x n x где 1 1 , c v n = 2 2 c v n = — скорости распространения волн в соответствующих средах 2 , T ? ? = cT ? = — длина волны света в вакууме. Произведение xn является оптической длиной пути. Разность этих величин называется оптической разностью хода волн 1 2 2 r x n x n ? Подставив уравнение (13.2.6) в формулу (13.2.5), получаем соотношение между разностью фаз и оптической разностью хода волн Если оптическая разность хода волн равна четному числу по- луволн 2 , 2 r k ? ? = 0, 1, 2, 3, то ?? = 2k? и наблюдается максимум интенсивности света при ин- терференции. Если оптическая разность хода волн равна нечетному числу полуволн ( ) 2 1 , 2 r k ? ? имеем ?? = 2(k +1)? — минимум интенсивности света при интер- ференции. Глава 13. Оптика Такое пространственное распределение амплитуды результирующей волны с чередующимися максимумами и минимумами называется интерференционной картиной. При наблюдении на экране видно чередование светлых и темных полос, так как интенсивность света прямо пропорциональна квадрату амплитуды результирующей волны. Излучение от обычных источников света, состоящих из огромного числа излучающих атомов, некогерентно. Излучение отдельного атома носит случайный характер, поэтому среднее значение cos ?? равно нулю. Тогда, складывая амплитуды излучения от двух различных источников, имеем 2 2 0 01 Учитывая, что интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды, получаем, что интенсивность суммарного излучения от двух источников равна сумме интенсивностей от каждого источника в отдельности Для наблюдения явления интерференции необходимо получить когерентные волны. Источником когерентного излучения являются лазеры, а до их появления когерентные световые пучки получали путем разделения и последовательного сведения лучей, исходящих от одного итого же источника. Впервые интерференцию наблюдал английский врач Томас Юнг в 1802 году. В своем опыте он пропускал свет через небольшое отверстие в непрозрачном экране Э, освещая этим светом щели в другом непрозрачном кране Эрис. Рис. 13.2.1. Схема опыта Юнга: справа сплошной линией представлена зависимость интенсивности на экране Э от координаты, нормальной щелям пунктиром показана освещенность экрана при поочередном закрывании щелей 13.2. Интерференция света Полученные два пучка света являются когерентными (при условии, что R S d ? ? , где S — площадь отверстия в экране Э — средняя длина волны света R — расстояние от экрана Э до экрана Э со щелями d — расстояние между щелями. В результате на экране Э наблюдается интерференционная картина. При параллельном расположении экранов Э и Э расстояние между интерференционными полосами составит где L — расстояние от источников когерентных волн (экрана Э 2 ) до экрана Э (L >> Рассмотрим явление интерференции в тонких пленках. Пусть на тонкую прозрачную плоскопараллельную пленку с относительным показателем преломления n падает пучок света под углом i (рис. 13.2.2). Луч частично отражается в точке О, а частично преломляется по углом и переходит в пленку. В точке А опять происходит частичное отражение и преломление луча. В результате из верхней поверхности пленки выходят два параллельных луча 2 и а из нижней — лучи 4 и 5. Так как все они образовались из одного луча (луча 1), то обе пары являются когерентными и будут интерферировать. Различают интерференцию в проходящем свете (здесь — лучей 4 и 5) ив отраженном свете (лучей 2 и Вычислим оптическую разность лучей 4 и 5: ( ) 2 , r n AB BC AD n AB AD ? где ( ) n AB BC + — оптическая длина пути луча 5 в веществе пленки AD — расстояние, которое прошел луч 4 в среде, окружающей пленку. Из треугольника АВЕ находим Рис. 13.2.2. Интерференция в тонкой пленке — падающий лучи когерентные отраженные лучи 4 и 5 — когерентные прошедшие лучи i — угол падения света r — угол преломления показатель преломления пленки d — ее толщина На самом деле образуются не два, а бесконечное множество параллельных лучей, но уже после второго отражения их интенсивность будет бесконечно мала по сравнению с интенсивностью падающего луча 1. 2 Показатель преломления окружающей среды полагаем равным единице. Глава 13. Оптика 407 , cos cos BE d AB r где d — толщина пленки. Из треугольника ACD следует sin 2 sin а из треугольника ABE: tg tg . AE BE r Тогда sin . AD d Из закона Снеллиуса выразим sin sin . i Получаем 2 sin 1 cos 2 2 tg sin 2 2 2 cos . cos cos cos r r dn AD dn r r dn dn dn r r Подставив выражения (13.2.14) ив, получаем 2 2 cos 2 cos . cos cos dn dn r dn r dn r r r ? ? ? Используя формулу 2 cos 1 sin r r = ? и выразив sin r из закона преломления Снеллиуса, получаем 2 2 2 2 sin 2 1 sin 2 1 2 sin i r dn r dn d n i n ? Таким образом, оптическая разность хода лучей в случае интерференции в проходящем свете равна 2 2 sin r d n i ? Условие максимума интенсивности (13.2.8) в данном случае имеет вида условие минимума (13.2.9): ( ) 2 2 2 sin 2 1 2 d n i k ? ? = + (13.2.24) § 13.2. Интерференция света При рассмотрении интерференции в отраженном свете необходимо учитывать тот факт, что отражение света от оптически более плотной среды (в точке О, рис. 13.2.2) сопровождается изменением фазы волны на ? (в точке А изменение фазы отсутствует, так как отражение происходило от оптически менее плотной среды) 1 Чтобы учесть изменение фазы на ?, необходимо от оптической разности хода волн отнять (или добавить) половину длины волны света в вакууме 2 2 sin 2 r d n i ? ? Приравняв формулы (13.2.25) и (13.2.8), получаем условие максимума интенсивности света при интерференции в отраженном свете 2 2 sin 2 1 2 d n i Из уравнений (13.2.25) и (13.2.9) получаем условие минимума 2 2 sin 2 2 d n i Таким образом, условие максимума интерференции в отраженном свете соответствует условию минимума в проходящем свете, и наоборот. Этот факт можно было бы предсказать на основании закона сохранения энергии. В отсутствие поглощения света пленкой падающий пучок света разделяется на отраженный и проходящий. Если интенсивность отраженного света максимальна, то интенсивность проходящего света должна быть минимальна и наоборот. Падающий на пленку пучок света никогда не состоит из строго параллельных лучей и поэтому не имеет определенного угла падения. Чем толще пленка, тем более расходящимися получаются пучки отраженного и прошедшего света, вследствие чего условия максимума или минимума выполняются лишь для отдельных лучей пучка. Поэтому интерференцию света можно наблюдать только в очень тонких пленках. Так, для наблюдения интерференции в случае освещения пленки солнечным светом необходимо, чтобы ее толщина не превышала нескольких сотых миллиметра Если имеется «сэндвич» сред с показателями преломления n 1 < n 2 < n 3 , то отражение света от обеих поверхностей пленки будет сопровождаться каждый раз изменением фазы на ?. Поэтому в сумме изменения фазы не произойдет. Глава 13. Оптика Законы интерференции света в тонких пленках лежат в основе так называемого просветления оптики. В оптических приборах на поверхность линз наносят пленки (чаще всего из кремнезема или фтористых солей) с показателем преломления иным, чему линзы. Толщина пленок подбирается таким образом, чтобы выполнялся минимум интерференции в отраженном свете для средней в заданном диапазоне длины волны. Это приводит к значительному уменьшению потерь света на отражение, улучшению качества изображения и устраняет блики на поверхности линз. Оптические изделия с таким покрытием называются просветленной оптикой. При освещении пленки монохроматическим светом она будет яркой или темной, а при освещении белым светом — окрашенной в какой-либо цвет, так как в последнем случае условия максимума и минимума выполняются лишь для определенной длины волны. Цвет отраженного света всегда дополняет цвет прошедшего света до белого. Тонкие пленки могут исполнять роль светофильтров, так как приданной толщине отражают или пропускают свет в узком интервале длин волн. Если пленка имеет неодинаковую толщину, тона различных ее участках будут наблюдаться максимумы интенсивности волн разной длины, и пленка окрасится в разные цвета. В случае интерференции света в оптическом клине интерференционная картина будет представлять собой чередующиеся темные и светлые полосы (при освещении монохроматическим светом) или радужные полосы (при освещении белым светом). Интерференционная картина наиболее отчетлива при вершине клина. По мере удаления от нее условия когерентности становятся менее благоприятными, отчетливость полос снижается, пока, наконец, не устанавливается равномерная освещенность. Роль клина может выполнять зазор между соприкасающимися плоскопараллельной пластинкой и плосковыпуклой линзой с большим радиусом кривизны (выпуклая сторона линзы обращена к пластинке) (риса. Линза и пластинка делаются достаточно толстыми, чтобы устранить возможность интерференции в них самих. Интерференционная картина, наблюдаемая в этом случае, называется кольцами Ньютона и представляет собой чередующиеся темные и светлые кольца (при освещении монохроматическим светом) или радужные кольца (при освещении белым светом, центры которых лежат на оси симметрии линзы (рис. 13.2.3, б. При нормальном падении света наблюдаются окружности, при наклонном — эллипсы. Радиусы светлых колец Ньютона в отраженном свете (или темных колец в проходящем) вычисляются по формуле 13.2. Интерференция света 410 ( ) 2 1 ; 2 k радиусы темных колец Ньютона в отраженном свете (или светлых колец в проходящем где k = 1, 2, 3, … Центр колец в отраженном свете темный, в проходящем — свет- лый. Соотношения (13.2.28) и (13.2.29) позволяют с хорошей точностью определять длину волны монохроматического света по измерениям радиусов колец. При известных значениях ? эти соотношения могут быть использованы для определения радиуса кривизны линз и контроля правильности формы сферических и плоских поверхностей. Явление интерференции света используют в специальных устройствах интерферометрах — для измерения с высокой степенью точности длин волн, малых расстояний, показателей преломления вещества и определения качества оптических поверхностей. Рис. 13.2.3. Кольца Ньютона: а — установка для наблюдения колец Ньютона плосковыпуклая линза 1 с большим радиусом кривизны R лежит на плоскопараллельной стеклянной пластине 2; б — интерференционная картина в проходящем свете Глава 13. Оптика 411 § 13.3. ДИФРАКЦИЯ СВЕТА Явление огибания светом малых препятствий (неоднородностей среды, сопровождающееся проникновением волн в область геометрической тени, называется дифракцией. В общем смысле дифракцией называется любое отклонение распространения света от законов геометрической оптики. Дифракция приводит к тому, что вместо резкой границы между светом и тенью, как того требуют законы геометрической оптики, получается сложная картина распределения интенсивности света — дифракционная картина. В основе теории дифракции лежит принцип Гюйгенса—Френеля. Согласно гипотезе Гюйгенса, выдвинутой в 1678 году, каждая точка волновой поверхности S 1 , которой достигла в данный момент волна, является источником вторичных волн их внешняя огибающая дает положение волнового фронта S 2 в следующий момент времени (рис. 13.3.1). Принцип Гюйгенса по своей сути является законом геометрической оптики, так как позволяет определить направление распространения волны, ноне объясняет явление дифракции. В 1815 году этот принцип был дополнен французским физиком О. Ж. Френелем, который предположил, что элементарные вторичные волны являются когерентными и могут интерферировать между собой. Таким образом, согласно принципу Гюйгенса—Френеля, результирующее колебание в некоторой точке пространства является суперпозицией элементарных вторичных волн, излучаемых каждым элементом некоторой волновой поверхности. Возникающая при этом дифракционная картина представляет собой чередующиеся максимумы и минимумы интенсивности света. Из вышесказанного следует, что между дифракцией и интерференцией нет принципиальных различий. Оба эти явления заключаются в пространственном перераспределении интенсивности светового излучения вследствие сложения волн. Только интерференцией принято называть перераспределение интенсивности, вызванное сложением волн, испускаемых конечным числом отдельно расположенных когерентных источников, а дифракцией перераспределение интенсивности, вызванное сложением волн, испускаемых непрерывно расположенными когерентными источни- Рис. 13.3.1. Принцип Гюйгенса—Френеля § 13.3. Дифракция света 412 ками. Например, рассмотренное в § 13.2 явление сложения когерентных пучков от двух отверстий (опыт Юнга, рис. 13.2.1) называется интерференцией, а явление сложения когерентных волн, прошедших через одно отверстие (рис. 13.3.2), — дифракцией (см. ниже дифракцию света на щели). Различают дифракцию плоских световых волн дифракцию Фраунгофера, и сферических световых волн — дифракцию Френеля. Рассмотрим один из простейших случаев — дифракцию Фраунгофера на щели. Пусть на узкую длинную щель шириной а нормально падает плоская монохроматическая волна длиной ? (a ?). Плоскую световую волну можно получить, если взять настолько узкую щель, чтобы можно было пренебречь кривизной фронта волны, или, если расположить точечный источник света на большом расстоянии от щели, так чтобы лучи, идущие от него и попадающие в щель, могли считаться параллельными. Последний способ может быть реализован, если поместить точечный источник света в фокус линзы, расположенной перед щелью. Для наблюдения дифракции Фраунгофера на щели между щелью и экраном помещают собирающую линзу, а экран располагают в фокальной плоскости линзы (рис. 13.3.2). В отсутствии дифракции все лучи сфокусировались бы в точке Оно, согласно принципу Гюйгенса, лучи, прошедшие через отверстие, являются вторичными источниками света и будут распространяться по всем направлениям. В результате в каждой точке экрана линза будет фокусировать лучи, идущие под одним углом ? к направлению падающего пучка. Все лучи, распространяющиеся по нормали к экрану, соберутся в точке О. Линза не создает дополнительной оптической разности хода волн, поэтому в точке О амплитуды всех волн сложатся и освещенность экрана будет максимальной. Результат дифракции на экране в произвольной точке Р будет зависеть от оптической разности ?r (отрезок ВС на рис. 13.3.2) хода лучей, идущих в эту точку от краев щели. Из рисунка находим , r a ? где ? — угол дифракции. Рис. 13.3.2. Схема наблюдения дифракции Фраунгофера на щели — собирающая линза Э — экран Глава 13. Оптика Разобьем отрезок ВС на участки длиной ?/2. При этом фронт первичной волны также разбивается на участки, или зоны, отрезки) так, что расстояния от границ соседних зон до точки наблюдения Р отличаются на полдлины волны. Эти зоны называются зонами Френеля. Подобное разбиение фронта первичной волны, впервые введенное Френелем, значительно облегчает расчеты интерференции вторичных волн. Для любой волны, исходящей из одной зоны Френеля, всегда найдется соответствующая волна, исходящая из соседней зоны, такая, что оптическая разность хода волн между ними будет равна. Две такие волны взаимно погашают друг друга. Соответственно все волны двух соседних зон Френеля взаимно уничтожаются. В результате, если оптическая разность хода волн (отрезок ВС) равна 2 , 2 r k ? ? = где порядок дифракции k = 1, 2, 3, … (то есть на щели укладывается четное число зон Френеля, как на рис. 13.3.2), тов точке Р будет наблюдаться минимум освещенности. Из соотношений) и (13.3.2) получаем условие минимума дифракции k k ? ? = Соответственно если на щели укладывается нечетное число зон Френеля, то наблюдается максимум дифракции 1) 2 a k ? ? Строгие расчеты показывают, что амплитуда результирующего колебания в направлении, составляющем угол ? с нормалью к плоскости щели, имеет вид sin ( ) , sin a A A a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? где А — амплитуда падающей на щель плоской волны (амплитуда в центре дифракционной картины. Интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды, поэтому 13.3. Дифракция света 414 ( ) ( ) ( ) 2 0 2 sin / sin , / sin a I I a ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? где I 0 — интенсивность в середине дифракционной картины I( ?) интенсивность в точке, соответствующей углу Из формулы (13.3.6) видно, что при выполнении условия (наблюдается минимум интенсивности, а при выполнении условия) — максимум. В направлении, соответствующем углу дифракции a = 0, также будет наблюдаться максимум интенсивности, потому что вторичные волны придут в точку О в одинаковой фазе. Таким образом, на экране получится серия темных и светлых полос, симметричных относительно центрального максимума. Его интенсивность с максимальным значением функции (13.3.6) при ? = значительно превосходит интенсивности остальных максимумов, которые убывают в направлении от центра картины как 1 : 0,045 : 0,016 : … График функции (13.3.6) приведен на рис. 13.3.3. Если щель освещать белым светом, то получится серия цветных полос, и только центральный максимум будет белым. Для наблюдения дифракции щель должна быть достаточно малых размеров. Так, при а >> ? из формулы (13.3.4) получаем sin lim (2 1) 0, 2 a a k a ?? ?? ? ? ? ? ? ? то есть дифракционные максимумы не наблюдаются. Наоборот, при малых размерах щели (а ? ?) из формулы (получаем = однако sin 1 ? ? . Поэтому вместо системы максимумов и минимумов интенсивность света монотонно убывает от середины дифракционной картины к краям. Рис. 13.3.3. Зависимость интенсивности от sin ? при дифракции от одной щели Глава 13. Оптика Рассмотрим теперь дифракцию на большом числе одинаковых и отстоящих друг от друга на равных расстояниях щелей. Такое устройство называется дифракционной решеткой, которую можно получить нанесением непрозрачных штрихов на прозрачную пластинку. Ширина щелей аи расстояние между ними b в сумме определяют период или постоянную дифракционной решетки c (рис. 13.3.4): c a b = +При нормальном падении на решетку плоской монохроматической волны происходит интерференция вторичных волн, идущих по всевозможным направлениям из разных щелей, формируя после фокусировки дифракционную картину на экране. В произвольной точке Р экрана, расположенного в фокальной плоскости линзы, сфокусируются все лучи, которые до линзы распространялись под определенным углом ? к нормали (рис. Результирующее колебание в точке Р определяется интерференцией вторичных волн от всех щелей и зависит от разности хода волн . r c ? При равенстве оптической разности хода волн четному числу полуволн наблюдается максимум интенсивности 2 2 c k k ? ? При этом на экране возникают главные максимумы дифракционной картины, здесь k = 1, 2, 3, … — порядок главных максимумов интенсивности (порядок спектра. Они расположены симметрично относительно центрального максимума, k = 0 и ? = Формула (13.3.9) позволяет с высокой точностью измерять длину волны монохроматического излучения при известном периоде ре- шетки. Рис. 13.3.4. Дифракция света на дифракционной решетке 13.3. Дифракция света В тех точках, где интенсивность, созданная каждой из щелей в отдельности, равна нулю, наблюдается минимум интенсивности 2 a k ? ? = ± , см. условие (Каждая щель дифракционной решетки создает свою собственную дифракционную картину со своими максимумами и минимумами. Поэтому между каждыми двумя главными максимумами располагаются добавочные максимумы и минимумы, число которых определяется количеством N щелей в решетке. Образуется ) добавочных дифракционных минимумов и ( 2 N ? ) добавочных максимумов, интенсивность которых составляет не более % от интенсивности главного максимума (рис. Рис. 13.3.5. Зависимость интенсивности I от sin при дифракции на дифракционной решетке (для N = При падении на дифракционную решетку излучения сложного спектрального состава для каждой длины волны получается свой набор спектральных полос. Следовательно, падающее немонохро- матическое излучение будет разложено в спектры по числу возможных значений k. Таким образом, дифракционная решетка, также как призма и щель, является спектральным прибором, основное свойство которого — способность разлагать падающий на него свет Глава 13. Оптика по длинам волн. Поэтому дифракционная решетка используется в качестве диспергирующего элемента в спектральных приборах. Основными характеристиками дифракционной решетки являются те, которые позволяют оценить ее способность разрешать (различать) спектральные линии — угловая дисперсия и разрешающая способность. Угловая дисперсия D характеризует угловую ширину спектра, то есть определяет угловое расстояние между двумя спектральными линиями, отличающимися по длине волны на d ?: d Продифференцировав уравнение (13.3.9), получаем d d , c k ? ? откуда d d cos Для небольших углов дифракции ? таких, что cos ? ? Таким образом, угловая дисперсия обратно пропорциональна периоду решетки си возрастает с увеличением порядка спектра Разрешающая способность дифракционной решетки, то есть способность давать раздельное изображение двух близких спектральных линий, определяется как , R ? = ?? (13.3.15) где ?? — минимальная разность длины волн двух спектральных линий, при которой они еще видны раздельно. Разрешающая способность зависит как от расстояния между линиями, таки от ширины линий. Глаз воспринимает две линии раздельно, если интенсивность минимума между ними составляет не более 80 % от интенсивности максимума. Можно показать, что для дифракционной решетки R kN = (13.3.16) Это условие реализуется при выполнении критерия Релея: две близкие спектральные линию полностью разрешены, если макси 13.3. Дифракция света Дифракционные решетки, применяемые для работы в различных областях спектра, отличаются размерами, формой, материалом поверхности, профилем штрихов и их частотой (от 0,25 штрих/мм в ИК-области до 6000 штрих/мм в рентгеновской области спектра). Большинство современных дифракционных решеток имеют штрихи ступенчатого профиля (эшелетт), позволяющие сконцентрировать основную часть падающего излучения в направлении какого-либо одного ненулевого порядка спектра, ослабляя остальные. Использование таких решеток позволяет создавать спектральные приборы с большой светосилой и очень высокой разрешающей способ- ностью. Разрешающая способность оптических приборов характеризует способность этих систем давать раздельное изображение двух расположенных близко друг к другу точек объекта. Минимальное линейное (или угловое) расстояние между двумя точками, начиная с которого их изображения сливаются и перестают быть различимыми, называется линейным (или угловым) пределом разрешения. Обратная величина является количественной мерой разрешающей способности оптических приборов, которая обусловлена волновыми свойствами света. Вследствие дифракции лучей от предмета в оптической системе любая точка объекта изображается в виде светлого пятна, окруженного попеременно темными и светлыми кольцами. Поэтому выражение для предела разрешения можно получить, только учитывая дифракционные явления. Рис. 13.3.6. Зависимость интенсивности I от длины волны ? для отдельных линий (сплошные линии) и их суммарная интенсивность (пунктирная линия): а — две близкие спектральные линии сливаются в одну, и два максимума воспринимаются как один б — максимум одной спектральной линии совпадает с ближайшим минимумом другой, и две линии воспринимаются раздельно мум интенсивности одной линии с длиной волны ? совпадает с минимумом интенсивности для другой линии с длиной волны ? + рис. Глава 13. Оптика Так, для микроскопа предел разрешения (в отраженном свете) при наклонном падении света на объект определяется следующим образом /2 z где п — показатель преломления среды между предметом и линзой объектива и — апертурный угол (угол между крайними лучами конического светового пучка, входящего в объектив). Глаз также имеет предел разрешения z 0 = 70 мкм на расстоянии, поэтому вводится понятие полезного увеличения микроскопа. ДИСПЕРСИЯ СВЕТА Распространение электромагнитных волн в материальных средах сопровождается целым рядом явлений, обусловленных их взаимодействием с атомами вещества. Свет, проходящий даже через прозрачные среды, поглощается, рассеивается, меняет фазовые и групповые скорости распространения, а также положение плоскости поляризации (в случае оптически активных сред. Объяснение этих явлений с позиции классической физики возможно при использовании модели резонансного поглощения света атомами вещества. Явление зависимости абсолютного показателя преломления вещества пот частоты света ?, проходящего через вещество света, называется дисперсией света. Явление дисперсии используют при разложении белого света в спектр с помощью призмы. Поскольку показатель преломления и скорость света связаны соотношением, то последняя также зависит от частоты распространяющегося света. Строгое объяснение механизма дисперсии дает аппарат квантовой механики. Однако часто для упрощения рассуждений пользуются классическими представлениями об электроне как колебательной системе, возбуждаемой электрическим полем световой волны. Несмотря на целый ряд допущений, полученные таким образом результаты совпадают сданными квантовой механики Рассматриваются электроны внешних оболочек, называемые валентными или оптическими электронами, так как электроны внутренних оболочек практически не возбуждаются в оптическом диапазоне 13.4. Дисперсия света Запишем уравнение вынужденных колебаний 2 0 0 2 d d 2 sin , d d x x e x E t t m t + ? + где m — масса электрона e — заряд электрона ? — коэффициент затухания, который в данном случае определяет потери энергии электрона на излучение eE 0 — амплитуда вынуждающей силы световой волны ? 0 собственная частота колебаний электрона ? — частота световой волны. Решение данного уравнения, определяющее мгновенное смещение электрона в атоме, имеет вид ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 0 , 4 e m x t E t = ? ? ? + ? где E(t) — напряженность электрического поля световой волны в момент времени t (Е изменяется по гармоническому закону). Смещение электрона от положения равновесия вызовет появление дипольного момента P(t) = ex(t) (смещением ядер под действием поля волны можно пренебречь. Произведение дипольного момента на число молекул N в единице объема дает поляризованность ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 0 4 e N m P t E t = ? ? ? + ? Согласно формуле (9.3.3), ( ) ( ) 0 P t E t = ? Из уравнений (13.4.3) и (13.4.4) выразим диэлектрическую восприимчивость и подставим в сотношение (9.3.6). Получаем выражение для диэлектрической проницаемости среды 0 2 2 2 2 2 0 1 1 4 e N m ? ? = + ? = + ? ? ? + ? Диэлектрическая проницаемость связана с коэффициентом преломления соотношением (9.10.21). Для большинства прозрачных веществ ? 1, поэтому n ? Из формул (13.4.5) и (13.4.6) получаем зависимость коэффициента преломления от частоты излучения: Глава 13. Оптика 421 ( ) 2 0 2 2 2 2 2 0 1 4 e N m n ? = + ? ? ? + ? График функции (13.4.7) представлен на рис. 13.4.1. На участках и CD d 0, d n > ? то есть с увеличением частоты коэффициент преломления возрастает. Эти участки соответствуют так называемой нормальной дисперсии. На участке BC дисперсия аномальная Если пренебречь потерями энергии на излучение, то формула) перепишется в виде 2 0 2 2 0 1 e N m n ? = + ? ? В этом случаев точке ? 0 функция будет терпеть разрыв при стремлении ? к ? 0 слева n 2 |