Тиманюк, Животова. Биофизика. Учебник для студентов фармацевтических и медицинских вузов удк 577. 3(075. 8) Ббк 28. 901я73 т 41

• Название: Учебник для студентов фармацевтических и медицинских вузов удк 577. 3(075. 8) Ббк 28. 901я73 т 41
• Дата: 01.03.2020
• Размер: 4.28 Mb.
• Имя файла: Тиманюк, Животова. Биофизика.pdf
• Тип: Учебник; #110412
• страница: 26 из 42

+ ? + ?
(15.2.14)
3. Электронный захват заключается в спонтанном захвате ядром электрона с одной из внутренних оболочек атома (K-, L- и т. д.,
соответственно; различают захват, захватит. д, в результате чего протон превращается в нейтрон 0
1 1
1 0
p n
+
?
+ ? ?
+ Общая схема электронного захвата 1
1
X
Y
A
A
Z
Z
?
?
+ ? ?
+ Примером электронного захвата может служить превращение бериллия в литий 0
7 4
1 3
Be
Li
?
+ ? ?
+ Выражения (15.2.7), (15.2.10), (15.2.13) и (15.2.16) называются правилами смещения радиоактивного элемента в Периодической системе при распаде образовавшийся химический элемент смещается по таблице Менделеева на две клетки влево относительно исходного при распаде — на одну клетку вправо при распаде и электронном захвате — на одну клетку влево.
?-Излучением называется коротковолновое (? ? 10
–10
м) электромагнитное излучение, возникающее в тех случаях, когда в процессе- или распада образуются ядра в возбужденном состоянии. Переход ядра с возбужденного энергетического уровня на основной сопровождается излучением кванта с энергией, равной разности энергий между этими энергетическими уровнями 15.2. Ядерные реакции. Радиоактивность

Данный вид радиоактивности не существует самостоятельно, а сопровождает процессы
?- и ?-распада.
В большинстве случаев образовавшиеся в результате
?- или
?-распадов изотопы радиоактивны и способны к дальнейшему превращению. Серии радиоактивных изотопов, в которых каждый последующий изотоп образуется в результате
?- или распада предыдущего, называются радиоактивными рядами (радиоактивными семействами. Известны четыре радиоактивных ряда:
урана, тория, актиния, нептуния.
Радиоактивность имеет вероятностный характер. Невозможно предсказать, когда именно то или иное ядро подвергнется
?- или
?-распаду или возбужденное ядро перейдет в основное состояние.
Явление радиоактивности можно описать только статистическими законами.
Число атомов dN радиоактивного вещества, распадающихся за время dt, пропорционально числу имеющихся на момент времени t атомов и определяется соотношением где
? — постоянная радиоактивного распада. Разделим переменные в выражении (15.2.18):
d d .
N
t
N
= В начальный момент времени (t = 0) число атомов вещества равно N
0
, по истечению времени t оно уменьшается и становится равным N. Интегрируя уравнение (15.2.19) в этих пределах, получаем Выражение (15.2.20) называется законом радиоактивного рас- пада.
Время, по истечении которого начальное число N
0
атомов радиоактивного элемента уменьшается вдвое, называется периодом полураспада Глава 15. Атомная физика и квантовая механика

Положим
0 2
N
N
=
,
1/2
t
T
=
и подставим в формулу (15.2.20):
1/2 1
e
;
2
T
??
=
1/2
ln 2 0, Величина, обратная постоянной распада называется средним временем жизни радиоактивного изотопа.
Число радиоактивных распадов в единицу времени называется активностью изотопа d
N
a
N
t
=
= Единицей активности изотопа в СИ является беккерель (Бк) один распад в секунду. На практике активность часто измеряют в кюри (Ки) — 1 Ки представляет собой активность, создаваемую г радия совместно с продуктами его распада, и равен 3,7•10 10
Бк.
§ 15.3. ФОРМУЛА ПЛАНКА
В основе квантовой или волновой механики лежат представления Макса Планка о квантах энергии, Альберта Эйнштейна о фотонах (квантах электромагнитного излучения) и гипотеза Луи-Викто- ра де Бройля о волновых свойствах элементарных частиц вещества.
Согласно исследованиям классической физики, энергия излучения атома изменяется непрерывно, а энергия системы с большим числом степеней свободы распределяется по ним статистически равномерно (см. § 4.1), то есть средняя энергия, приходящаяся на каждую степень свободы в состоянии теплового равновесия, одинакова. На основании этих предположений получена формула Рэлея—Джинса:
(
)
2 2
2
,
,
T
kT
c
??
? где
(
)
, T
? ?
— спектральная плотность энергетической светимости абсолютно черного тела k — постоянная Больцмана Т — темпе- ратура.
Формула (15.3.1) хорошо согласуется с экспериментальными данными на малых частотах (больших длинах волн) и резко проти-
§ 15.3. Формула Планка

470
воречит им на больших частотах
(малых длинах волн. Согласно этой формуле, спектральная плотность энергетической светимости абсолютно черного тела неограниченно монотонно возрастает с увеличением частоты, а интегральная энергетическая светимость обращается в бесконечность (рис. 15.3.1). Это не только противоречит эксперименту и закону сохранения энергии, но и приводит к физически бессмысленному выводу о бесконечном возрастании энергии излучения с увеличением частоты (так называемая ультрафиолетовая катастрофа По квантовой теории Планка энергия излучения может принимать лишь определенные значения, отличающиеся друг от друга на целое число элементарных порций или квантов энергии. В соответствии с этим излучение и поглощение энергии атомами должно происходить не непрерывно, а дискретно — отдельными квантами, энергия которых определяется формулой Планка = где h — постоянная Планка
? — собственная частота линейного осциллятора. Таким образом, в пространстве должен существовать набор n квантов электромагнитного излучения с частотой
?:
n nh
? Применяя квантовые законы, Планк теоретически вывел формулу для функции распределения энергии излучения абсолютно черного тела по длинам волн (или частотам, хорошо согласующуюся с экспериментом. Эта функция, называемая еще спектральной плотностью энергетической светимости абсолютно черного тела
(см. § 13.8), имеет вид 5
2 1
,
,
exp
1
hc
T
hc kT
?
? или 2
2 1
,
exp
1
h
T
h c
kT
? ?
? ?
=
?
?
?
? Рис. 15.3.1. Зависимость спектральной плотности энергетической светимости от длины волны, вычисленная по формуле Рэлея — Джинса (1), и экспериментальная кривая (Глава 15. Атомная физика и квантовая механика

Из формул (15.3.3) и (15.3.4) можно получить основные законы излучения абсолютно черного тела закон Стефана—Больцма- на (13.8.10), закон смещения Вина (13.8.13), второй закон Вина, а также классический закон Рэлея — Джинса (15.3.1) (при малых частотах h
kT
? Энергетическая светимость абсолютно черного тела равна 0
d d .
R
r
?
?
?
?
=
? = Подставим выражение (15.3.3) в формулу (15.3.5):
0 2
5
d
2
exp
1
R
hc hc kT
?
?
= Произведя замену переменных hc x
kT
=
?
(соответственно hc kTx
? =
,
2
d d ),
hc x
kTx
? = ?
получаем 4
3 4
3 4
4 3 2 3 2 0
2
d
2
d e
1
e
1
x x
k x
x k
x x
R
T
T
h c h c
?
?
?
?
= Вычисление определенного интеграла в этом выражении дает 4
0
d
15
e
1
x Тогда из формулы (15.3.7) получаем закон Стефана—Больцмана
4
R
T
= и значение постоянной Стефана—Больцмана:
?? ? ?
5 4 8
2 4
3 2 2
5, 67032 10
/(
).
15
k h Функция (15.3.3) и соответственно (15.3.4)] имеет максимум. Продифференцируем уравнение (15.3.3) по длине волны
? и приравняем полученное выражение нулю 6
max max d
1 1
2 5
d exp
1
hc hc kT
?
?
?
?
= ?
?
?
+
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
max
7 2
max max exp
0;
exp
1
hc kT
hc kT
hc kT
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
?
=
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
(15.3.10)
§ 15.3. Формула Планка

472
max max exp
5 0,
exp
1
hc kT
hc kT
hc kT
?
?
?
?
?
?
?
? +где max
?
— длина волны, на которой функция (15.3.3) принимает максимальное значение. Обозначив max
,
hc x
kT
=
?
получаем трансцендентное уравнение x
x
?
? решение которого
4, 965.
x =
Тогда из max
4, 965
hc kT
=
?
имеем закон смещения Вина:
max
1
,
T
c
?
=
(15.3.13)
где
? ?
3 1
2,897790 10 4, 965
hc называется первой постоянной Вина.
Чтобы найти максимальное значение функции (15.3.3,) выразим из формулы (15.3.13) и подставим в (15.3.3). Получаем второй закон Вина )
5
max
2
,
T

c где ? ?
5 5 5
2 5
2 4 3 2
1, 28667 10
/
(e
1)
X
X k c
h называется второй постоянной Вина.
При малых частотах ( h kT
? 
или
/
1),
h kT
?

согласно формулам приближенных вычислений (см. приложение, exp
1
h h
kT
kT
?
?
?
? ?
+
?
?
?
?
. Тогда формула (15.3.4) принимает вид 2
2
,
,
T
kT
c
??
? то есть сводится к классическому закону Рэлея — Джинса.
§ 15.4. ФОТОЭФФЕКТ. КОРПУСКУЛЯРНЫЕ
СВОЙСТВА СВЕТА
Вторая группа явлений, которую удалось описать с помощью квантовых представлений это строение атома, дискретное излу-
Глава 15. Атомная физика и квантовая механика

473
чение и поглощение электромагнитной энергии, а также законы фотоэффекта.
Ф ото эффект заключается в появлении свободных электронов (эмиссия или ионизация атомов) при взаимодействии электромагнитного излучения с веществом — так называемый внешний фотоэффект, или в переходе электронов из одной энергетической зоны в другую — внутренний фотоэффект.
Явление внешнего фотоэффекта было открыто Густавом Герцем и исследовано А. Г. Столетовым в 1888—1890 годах. Исследования выявили основные закономерности фотоэффекта. Кинетическая энергия выбиваемых электронов (фотоэлектронов) не зависит от интенсивности освещения и линейно возрастает с увеличением частоты света. Независимо от интенсивности света фотоэффект начинается только с некоторой минимальной частоты, названной красной границей фотоэффекта, специфичной для каждого металла. Число электронов, выбиваемых с поверхности вещества за единицу времени (фототок, пропорционально интенсивности освещения. Явление фотоэффекта практически безынерционно, возникает почти мгновенно после начала освещения (не более чем через си прекращается сразу после отключения освещения.
Если выбивание электронов можно было объяснить действием электрического и магнитного полей света, что подтверждало его волновую природу, то закономерности фотоэффекта не подчинялись волновой теории. Так, электромагнитная волна должна возбуждать колебания электронов с амплитудой, зависящей от амплитуды падающей волны. Но так как интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды, то энергия, а следовательно, и скорость выбиваемых электронов должны были бы зависеть от интенсивности освещения. Волновая теория не могла объяснить пропорциональность скорости электронов и частоты света, существование красной границы фотоэффекта. Согласно этой теории, электрон должен постепенно накапливать энергию, необходимую для выхода. Как показывают расчеты, фотоэффект должен наступать через минуты, часы или даже дни после начала освещения.
Объяснение фотоэффекта дал в 1905 году Альберт Эйнштейн,
на основании сделанного им предположения о том, что свет представляет собой поток частиц — фотонов с энергией h
?. Если Макс
Планк считал, что энергия только поглощается и испускается квантами, а любая система может иметь произвольную энергию, то
Эйнштейн предположил, что и свет имеет дискретную структуру,
а каждый фотон может взаимодействовать только с одним электроном, полностью отдавая ему свою энергию 15.4. Фотоэффект. Корпускулярные свойства света

Из закона сохранения энергии следует уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта h
A
? то есть энергия фотона h
? расходуется на работу выхода электрона из облучаемого вещества
0
A
eU
=
(U
0
— потенциал выхода) и на кинетическую энергию вылетающих электронов. Из формулы) видно, что внешний фотоэффект возможен при частоте излучения
A h
? ?
Приуменьшении частоты
? до некоторой h
? называемой красной границей фотоэффекта, явление прекращается. Этому предельному случаю соответствует нулевая кинетическая энергия фотоэлектронов.
Таким образом, было показано, что электромагнитное излучение имеет двойственную корпускулярно-волновую природу. Корпускулярные свойства излучения, проявляющиеся в фотоэффекте,
определяют массу и импульс кванта электромагнитного излучения фотона. Из соотношения между массой и энергией
2
E
mc
=
(15.4.3)
находим массу фотона и его импульс h
P
mc Фотоны возникают (излучаются) в процессах перехода молекул, атомов, ионов, ядер из возбужденных состояний в состояния с меньшей энергией, а также в результате ускорения заряженных частиц и их аннигиляции 15.5. ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА ЧАСТИЦ.
СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
К моменту выдвижения гипотезы о двойственной природе света было накоплено достаточное количество экспериментальных данных, подтверждающих эту теорию. В 1924 году французский физик Луи-Виктор де Бройль предположил, что не только фото Формула (15.4.1) соответствует нерелятивистскому случаю, то есть справедлива при скоростях электрона, намного меньших скорости света (
v Глава 15. Атомная физика и квантовая механика

475
ны, но и любые движущиеся элементарные частицы (электроны,
нуклоны и тому подобное) обладают корпускулярно-волновыми свойствами (гипотеза об универсальности корпускулярно-волно- вого дуализма. На тот момент эта смелая гипотеза не была подтверждена никакими экспериментальными данными.
По де Бройлю движение элементарной частицы подобно волновому процессу. И, следовательно, длина волны частицы, движущейся со скоростью v,— длины волны де Бройля, по аналогии с формулой) равно h
p mv
? где т — масса частицы
1
Гипотеза де Бройля была экспериментально подтверждена в 1927 году в опытах американских физиков Клинтона Дэвиссона и Л. Джермера, а также независимо от них английским физиком
Джорджем Томпсоном. Изучая рассеяние пучка электронов на кристалле никеля, ученые обнаружили дифракционную картину,
подобную той, которая возникает при дифракции на кристалле коротковолнового рентгеновского излучения. Вычисленная из условия дифракционного максимума длина волны электронов совпала с длиной волны, вычисленной по формуле де Бройля (В 1948 году советскими учеными В. Фабрикантом, Л. Биберма- ном и Н. Сушкиным было показано, что волновыми свойствами обладает не только пучок, но и отдельные электроны. В своих опытах они использовали настолько слабый пучок электронов, что среднее время между испусканием двух электронов враз превышало время прохождения через устройство одного электрона.
Дифракция электронов и возникающая при этом дифракционная картина не означают, что каждый электрон «размазывается»
по всем направлениям. Он ведет себя как целая частица, но вероятность его отклонения при взаимодействии с препятствием зависит от направления. Вероятность отклонения максимальна по тем направлениям, где, согласно расчетам, должны быть максимумы дифракции, и минимальна по направлениям минимумов.
Итак, согласно квантовомеханическим представлениям, одни и те же микрообъекты в одних случаях ведут себя как частицы,
в других — как волны. Некоторые свойства частиц вообще немо- гут быть описаны ни корпускулярной, ни волновой теориями, а требуют введения совершенно новых понятий.
Согласно законам классической физики всякое макроскопическое тело, движущееся вдоль оси x, в любой момент имеет опре-
1
Формула (15.5.1) соответствует нерелятивистскому случаю, то есть справедлива при скоростях частицы, намного меньших скорости света (
v c


).
§ 15.5. Волновые свойства частиц. Соотношение неопределенностей

деленное значение координаты x центра тяжести и обладает определенным импульсом В квантовой механике такое описание состояния частиц, обладающих волновыми свойствами, оказывается невозможным. Импульс частицы не связан с ее координатами, так как понятие координата волны не имеет физического смысла. Поэтому понятие траектории частицы, для которой каждому значению координат соответствует точное значение ее импульса, также лишено физического смысла
Неточность (неопределенность)
?x в определении координаты частицы x связана с неточностью (неопределенностью)
?P
x в определении проекции P
x ее импульса соотношением неопределеннос- тей Гейзенберга h
x
P
? и соответственно для движения вдоль осей y и z
;
2
y h
y
P
? ?
?
?
2
z h
z
P
? Из этих соотношений видно, что чем меньше ?x, то есть чем точнее определяется координата частицы, тем больше
?P
x
, то есть более неопределенным становится импульс частицы. Справедливо и обратное утверждение. Так как в силу соотношения неопреде- ленностей
?x и ?P
x не могут одновременно равняться нулю, то отсюда следует, что у микрочастиц принципиально невозможно одновременно определить точные значения координаты и импульса.
Наглядное представление о принципе неопределенности можно получить, если провести аналогию между ними дифракцией света на щели. Из формулы (13.3.3) следует, что при увеличении ширины щели (в нашем случае — увеличении
?x) ширина дифракционных максимумов уменьшается, то есть уменьшается неопределенность в импульсе частиц.
Подобные соотношения существуют и между другими парами физических величин, относящихся к микрочастицам. Например,
если микрочастица в течение времени
?t находится в нестационарном состоянии, то энергия E этого состояния может быть определена лишь с точностью до

?E, так как ? ?
?
(15.5.4)
1 Принцип неопределенностей открыт в 1927 году немецким физиком Верне- ром Гейзенбергом.
Глава 15. Атомная физика и квантовая механика

Если частица находится в состоянии сточным значением энергии Е (
?E = 0), она будет находиться в этом состоянии неопределенно долгое время, поскольку в данном случае
,
t
? ? ? что и будет стационарным состоянием 15.6. ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ.
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
Поскольку движение элементарной частицы уподобляется волновому процессу, то ее состояние в квантовой механике описывается некоторой функцией координат и времени
(
)
, , ,
,
x y z t
?
называемой волновой или пс и-ф у н к ц и ей. В стационарном случае, то есть если силовое поле, действующее на частицу, не зависит от времени, можно произвести разделение переменных и волновую функцию представить в виде ) (
)
, , ,
, ,
x y z t f t x y Волновая функция является вероятностной характеристикой состояния частицы. Согласно статистической интерпретации волн де Бройля, вероятность нахождения dW частицы в бесконечно малом объеме d
d d d ,
V
x y z
=
в пределах которого значение функции можно считать постоянным, пропорциональна объему и зависит от квадрата модуля функции d ,
W
V
= откуда следует физический смысл волновой функции то есть квадрат модуля волновой функции равен плотности вероятности нахождения частицы в объеме dV. Из формулы (находим вероятность нахождения частицы в некотором заданном объеме * :
V
2
*
d Вероятность обнаружения частицы во всем объеме V равна единице (частицу всегда можно в этом объеме найти 15.6. Волновая функция. Уравнение Шредингера

478 2
d
1.
V
W
V
= Условие (15.6.5) называется условием нормировки.
Вид функции
? для различных случаев движения и взаимодействия микрочастиц определяется с помощью основного уравнения квантовой механики — уравнения Шредингера. В случае стационарных состояний движения частицы уравнение Шредингера имеет вид 2
2 2
2 2
2 2
d d
d
8
, ,
0,
d d
d m
E
U x y z x
y z
h
?
?
?
?
?
?
+
+
+
?
? где Е — полная энергия частицы U — ее потенциальная энергия,
определяемая силовым полем, в котором находится частица.
Решения этого уравнения
(
)
, ,
,
x y z
?
называемые собственными функциями, существуют только при определенных значениях энергии Е, которые называются собственными значениями. Набор собственных значений образует энергетический спектр частиц ы.
В одномерном случае (частица перемещается только вдоль оси) уравнение Шредингера принимает вид )
2 2
2 2
d
8 0.
d m
E
U x x
h
?
?
?
?
+
?
? Одним из самых простых примеров использования уравнения Шредингера является задача о движении частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме.
Пусть микрочастица свободно движется в пределах потенциальной ямы шириной l, ограниченной полностью отражающими бесконечно высокими потенциальными стенками. В промежутке потенциал внутри этого интервала на частицу не действуют силовые поля, а в точках
0
x
= и x l
=
U
= ? (там частицы нет)
(рис. 15.6.1). Тогда уравнение
Шредингера (15.6.7) с учетом для интервала 0 x l
< примет вид:
Рис. 15.6.1. Собственные значения энергии частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме
Глава 15. Атомная физика и квантовая механика

479 2
2 2
2
d
8 0.
d m
E
x h
?
?
+
? Уравнение (15.6.8) может быть сведено к виду, аналогичному дифференциальному уравнению гармонических колебаний 2
2
d
0,
dx
? + ? ? где 2
2 8
m
E
h
?
? Решение уравнения (15.6.9) имеет вид 0
sin (
),
x
? = ?
? + где
0
? — амплитуда волновой функции
0
? — ее начальная фаза.
Чтобы найти
0
? и
0
,
? воспользуемся граничными условиями. При
0
? =
0 0
(0)
sin
0,
?
= ?
? откуда получаем 0
? единственное значение, имеющее физический смысл).
Из условия x l
=
0
? = с учетом, что
0 0,
? = получаем )
sin
0,
l l
?
= ?
? =
(15.6.14)
,
l n