Тиманюк, Животова. Биофизика. Учебник для студентов фармацевтических и медицинских вузов удк 577. 3(075. 8) Ббк 28. 901я73 т 41

• Название: Учебник для студентов фармацевтических и медицинских вузов удк 577. 3(075. 8) Ббк 28. 901я73 т 41
• Дата: 01.03.2020
• Размер: 4.28 Mb.
• Имя файла: Тиманюк, Животова. Биофизика.pdf
• Тип: Учебник; #110412
• страница: 27 из 42

? = ± ?
1, 2, 3,
n
=
…
0
n
?
(15.6.15)
(
0
n
? , так как в этом случае при любых значениях x
0,
? =
то есть частицы нигде нет).
Решая совместно уравнения (15.6.10) и (15.6.15), получаем значение энергии E
n
:
2 2 2
8
n n С учетом формул (15.6.13) и (15.6.15) уравнение (15.6.11) сводится к виду n
x l
?
? = Для нахождения коэффициента
?
0
воспользуемся условием нормировки, которое для одномерного случая перепишется в виде 15.6. Волновая функция. Уравнение Шредингера

480 2
2 0
0
sin d
1.
l n
x x На концах промежутка интегрирования подынтегральная функция обращается в ноль. В этом случае значение определенного интеграла можно вычислить, умножив среднее значение подынтегральной функции на длину промежутка интегрирования. Среднее значение квадрата синуса равно то есть
2 1
sin
;
2
n x
l
?
=
2 0
1
sin d
2
l n
x x Получаем 0
1 откуда 2
l
? Таким образом, решение уравнения (15.6.8) имеет вида собственные значения энергии частицы равны 2 2
8
n n Из формулы (15.6.22) следует, что энергия принимает дискретные значения (то есть квантована, пропорциональные квадрату целого числа n, называемого главным квантовым числом (см. § Спектр энергий частицы в прямоугольной яме показан на рис. Вычислим разность между соседними энергетическими уровнями Рассчитаем значение
?E для некоторых случаев. При
1
n
= ,
?
2 10
l
?
=
(такая широкая потенциальная яма соответствует случаю движения свободных электронов в металле 14 1,81 10 10
?.
E
?
?
? Глава 15. Атомная физика и квантовая механика

Настолько малая разность между энергетическими уровнями обозначает, что энергетический спектр свободного электрона можно считать практически сплошным.
При
1
n
= ,
?
10 10
l
?
=
, что соответствует размерам атома, получаем то есть при движении электрона в пределах атома квантование энергии значительно.
Графики волновых функций (15.6.21) частицы в прямоугольной яме приведены на рис. Вероятность обнаружения частицы в томили ином месте потенциальной ямы представлена на рис. 15.6.3. Как видно из рисунка, в наинизшем энергетическом состоянии) частицу можно с наибольшей вероятностью обнаружить в центре потенциальной ямы при
2
n
= — в середине правой или левой половины и т. д. Исходя из классических представлений, такое поведение частицы объяснить невозможно любое ее положение в прямоугольной потенциальной яме равновероятно.
При увеличении энергии частицы количество максимумов вероятности возрастает. При очень больших п максимумы практически сливаются, и частицу можно с одинаковой вероятностью обнаружить в любом месте ямы.
Рис. 15.6.2. Волновые функции
?
i частицы вод- номерной прямоугольной потенциальной яме
Рис. 15.6.3. Вероятность |
?
i
|
2
обнаружения частицы в томили ином месте потенциальной ямы 15.6. Волновая функция. Уравнение Шредингера

482
§ 15.7. КВАНТОВЫЕ ЧИСЛА. ПРИНЦИП ПАУЛИ
Одна из особенностей квантовомеханических систем — дискретность состояний — объясняется тем, что уравнение Шредингера) имеет целый набор решений, каждому из которых отвечают определенные квантовые числа. В отличие от электрона в потенциальной яме, характеризуемого одним квантовым числом каждое энергетическое состояние электрона в атоме описывается четырьмя квантовыми числами, которые и определяют возможные дискретные значения физических величин — энергии и импульса, характеризующих квантовые системы.
Решив уравнение Шредингера для электрона в атоме водорода, можно получить уже известное нам выражение (15.1.10), описывающее энергетические состояния электрона в атоме и включающее первое квантовое число — главное число Таким образом, главное квантовое число n характеризует энергетические состояния электронов и принимает целые положительные значения, то есть n = 1, 2, 3, … Второе квантовое число — орбитальное квантовое число l — определяет орбитальный момент импульса электрона l
L относительно ядра .
2
l h
L
l Приданном квантовое число l может принимать значения l = 1, 2, 3, …, (n – Третье квантовое число — магнитное квантовое число m l
— определяет проекции орбитального момента импульса электрона на некоторое произвольно выбранное направление z:
2
lz Приданном квантовое число m l
может принимать следующие значения
0,
1,
2, ...,
,
l m
l
=
±
±
± то есть всего (2l + 1) значений.
Четвертое квантовое число — спиновое квантовое число m s
— определяет возможные значения проекции собственного механического момента (спина) электрона на некоторое произвольное направление Глава 15. Атомная физика и квантовая механика

Спиновое квантовое число электрона может принимать только два значения
1 / 2
s m
= Для всех частиц, обладающих полуцелым спином, справедлив принцип Паули в данной квантовой системе водном и том же квантовом состоянии не может находиться более одной час- тицы.
Число состояний с заданными квантовыми числами пи будет равно 2 1 .
n Общее число состояний на некотором энергетическом уровне сданным квантовым числом n следующее 2
0 2
2 1
2 1 3
5 1
2
n n
l
N
l n
n
?
=
?
?
=
+
=
+ + +Совокупность электронов, обладающих одними тем же главным квантовым числом п, называется слоем и обозначается прописными буквами K, L, M, N, O и т. д. Например, слой с n = называется К-слоем, слой с n = 2 — слоем. Согласно формуле, в слое могут находиться не более двух электронов,
в слое — не более 8, в слое — не более 18 и т. д.
Совокупность электронов, имеющих одинаковые квантовые числа пи, называется оболочкой. В оболочке электроны распределяются по подоболочкам, каждая из которых соответствует определенному значению орбитального квантового числа l: подоболочки, соответствующие значениям l = 0, 1, 2, 3, … . Из формулы (15.7.4) следует, что в слое может быть два s-электрона,
шесть электронов, 10 электронов, 14 электронов и т. д.
Состояния электронов в атоме обозначают символами, включающими значение главного квантового числа n и символа подоболочки. Например, 2s (
2
n
= ,
0
l
= ); 1p (
1
n
= ,
1
l
= ); 3d (
3
n
= ,
2
l
= ).
§ 15.8. РЕНТГЕНОВСКОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Рентгеновское излучение представляет собой электромагнитные волны, занимающие спектральную область между ультрафиолетовыми гамма-излучением в пределах длин волн от 10
–7
до 10
–14
мВ качестве источника рентгеновского излучения используется рентгеновская трубка двухэлектродный вакуумный прибор, в котором вылетающие из накаленного катода и ускоренные 15.8. Рентгеновское излучение

электрическим полем электроны попадают на металлический анод
(антикатод). При торможении быстрых электронов под действием электростатического поля вещества анода, как следует из теории
Максвелла (см. § 9.10), излучаются электромагнитные волны возникает тормозное рентгеновское излучение.
При торможении электронов часть их кинетической энергии расходуется на создание фотона рентгеновского излучения, а часть — на нагревание анода. Соотношение между энергией фотонов и тепловой энергией случайно. Поэтому спектр рентгеновского излучения сплошной (рис. Интенсивность тормозного рентгеновского излучения распределена по всем длинам волн,
вплоть до некоторой коротковолновой границы
?
0
, на которой энергия eU бомбардирующих антикатод электронов полностью передается квантам рентгеновского излучения h
?
0
, то есть 0
,
hc eU
h
= ? где U — разность потенциалов ускоряющего электрического поля,
приложенная к электродам рентгеновской трубки
?
0
— частота излучения, соответствующая коротковолновой границе.
Из формулы (15.8.1) следует, что длина волны, соответствующая коротковолновой границе спектра, равна eU
? Из формулы (15.8.2) видно, что, изменяя напряжение на трубке, можно изменять положение коротковолновой границы
?
0
в спектре и, следовательно, спектральный состав излучения (рис. Линейчатый рентгеновский спектр, в котором появляются резкие максимумы, возникает при передаче энергии ускоренных электронов внутренним, близким к атомному ядру электронам вещества анода. При этом внутренние электроны выбрасываются в область свободных состояний, а на их места переходят электро-
Рис. 15.8.1. Спектр тормозного рентгеновского излучения (зависимость потока излучения

? от длины волны при различных напряжениях U в рентгеновской трубке, ?
02
и ?
03
— коротковолновые границы спектров, соответствующие напряжениями Глава 15. Атомная физика и квантовая механика

485
ны с внешних энергетических уровней, излучая кванты электромагнитного излучения определенной частоты (первичное рентгеновское излучение. Частоты этого излучения характерны для атомов каждого элемента и не зависят оттого, в какое химическое соединение входит данный атом, поэтому такой спектр еще называется характеристическим. В слой могут перейти электроны из L-, М, N- слоев, в слой — электроны из М, слоев и т. д. Соответственно характеристический рентгеновский спектр содержит серию, серию и т. д. Каждая из серий состоит из линий
?, ?, ? итак далее,
которые излучаются электронами при переходе с верхних уровней на один из нижних. Например, линия К излучается при переходе электрона из слоя в слой линия K
? из слоя в слой линия из М-слоя в слой и т. д.
Зависимость частоты излучения
? (или длины волны ? соответственно) для любой линии рентгеновского спектра от атомного номера элемента Z определяется законом Мозли:
(
)
2 2
2 1
1
,
c
Rc Z
b n
k
?
?
? где Z — порядковый номер элемента, из которого сделан антикатод постоянная экранирования m и k — номера уровней, между которыми осуществляется переход.
Интенсивность пучка рентгеновских лучей, прошедших сквозь пластинку толщиной x, определяется формулой:
0
e
,
x
I
I
?µ
=
(15.8.4)
где I
0
— интенсивность пучка, падающего на пластинку
µ — линейный коэффициент поглощения, [µ] = м
–1
Линейный коэффициент поглощения
µ зависит от длины волны рентгеновских лучей и от плотности вещества. Поэтому удобнее пользоваться массовым коэффициентом поглощения µ
m
, независящим от плотности и связанным с линейным коэффициентом соотношением m
µ
µ где
? — плотность материала.
Поскольку длина волны рентгеновского излучения имеет порядок межатомных расстояний в твердом теле
10

м, то кристалл является естественной дифракционной решеткой для рентгеновского излучения. Условие дифракции рентгеновских лучей на кристалле называется условием Вульфа—Брэгга:
§ 15.8. Рентгеновское излучение

486 2 sin
,
d n
? = где d — расстояние между соседними атомными плоскостями кристалла, на которых наблюдается дифракция
? — брэгговский угол между атомной плоскостью и падающим на нее (или отраженным)
рентгеновским лучом n = 1, 2, 3, … — порядок дифракции.
Условие Вульфа—Брэгга лежит в основе рентгеноструктурного анализа (подробнее см. § 18.6). Явление дифракции рентгеновских лучей позволяет с высокой точностью определять значение постоянной Планка с помощью формул (15.8.6) и (Рентгеновское излучение находит широкое применение в медицине как в диагностических, таки терапевтических целях (подробнее см. § 16.12).
§ 15.9. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИОНИЗИРУЮЩЕГО
ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ
Ионизирующее излучение (дальняя область ультрафиолетового излучения, рентгеновское и излучение) обладает достаточной энергией для того, чтобы вызвать ионизацию атомов и молекул,
и, как следствие, способно привести к наиболее опасным для биологических структур последствиям поражению и инактивации отдельных структур и гибели организма, а также мутациям.
Ядерные излучения (
?-, ?-, лучи, протоны, нейтроны, взаимодействуя с электронами атомов или ядрами, способны оказывать разнообразные воздействия на вещества. Заряженные частицы и гамма-кванты, взаимодействуя с электронами, могут ионизировать атомы и возбуждать их, а также разрушать молекулы. Эти явления существенно влияют на ход многих химических реакций и могут стимулировать такие реакции, которые не происходят в обычных условиях.
Естественный радиоактивный фон создается космическим излучением и излучением радиоактивных изотопов земной коры.
В последнее время появились искусственные источники излучения, используемые в энергетике, военно-промышленном комплексе, а также в медицине (рентгеновские и
?-установки).
Рентгеновское излучение возникает при торможении ускоренных электронов в веществе, излучение — при переходе атомных ядер из возбужденного состояния в основное или при аннигиляции электронно-позитронной пары, а также при распаде некоторых частиц. При взаимодействии этих видов излучения с веществом возможны следующие эффекты фотоэффект, эффект Комптона и эффект образования пары электрон—позитрон.
Глава 15. Атомная физика и квантовая механика

При фотоэффекте квант рентгеновского или излучения выбивает электрон из электронной оболочки атома (рис. 15.9.1). Для того чтобы это произошло, энергия падающего фотона h
? должна превышать энергию связи электрона в атоме W. Квант полностью передает энергию атому, расходуя ее на работу A выхода электрона и сообщение ему некоторой кинетической энергии Е
кин
:
Е
кин
= h
? – А.
(15.9.1)
Вероятность фотоэффекта увеличивается с ростом заряда ядра и приближением энергии кванта света к энергии связи электрона в атоме.
В случае эффекта Комптона (рис. 15.9.2) квант, сталкиваясь с атомом, расходует часть своей энергии на выбивание электрона и продолжает свое движение, но уже в другом направлении и обладая меньшим количеством энергии. Такой фотон называется рассеянным, а выбитый электрон — комптоновским электроном, или электроном отдачи. Рассеянный фотон способен взаимодействовать с другими атомами и вызывать новые эффекты Комптона или фотоэффект.
Чем меньше длина волны падающего фотона, то есть чем больше его энергия, тем больше вероятность эффекта Комптона и меньше вероятность фотоэффекта. В результате нескольких последовательных эффектов
Комптона энергия рассеянных фотонов постепенно уменьшается по сравнению с первичным фотоном и возрастает вероятность фотоэффекта.
Эффект образования пар. Если энергия фотона превышает МэВ, то взаимодействие падающего кванта с полем ядра может привести к превращению кванта в две частицы электрон и позитрон эффект образования пар (рис. Рис. 15.9.1. Схема фотоэффекта
Рис. 15.9.2. Схема эффекта Комптона 15.9. Взаимодействие ионизирующего излучения с веществом

488
h
? ? e
–
+ Энергия, равная МэВ, расходуется на превращение в массу покоя электрона и позитрона, а остальная часть энергии кванта на сообщение кинетической энергии образующимся частицам где
???
?
E
?
— кинетическая энергия электрона
???
+
E
?
— кинетическая энергия позитрона.
Возможен и обратный эффект, когда электрон и позитрон аннигилируют, в результате чего появляются два кванта + e
+
? Энергия каждого из образующихся квантов составляет не менее МэВ.
Вероятность эффекта образования пар зависит не только от энергии кванта, но и от заряда ядра z. Чем больше величина z, тем выше вероятность образования пары. В состав биологических систем в основном входят легкие ядра, поэтому эффект образования пар происходит редко по сравнению с другими эффектами (фотоэффектом и эффектом Комптона).
В процессе фото, Комптон-эффектов и образования пары происходит первичная ионизация атомов. Выбитые электроны в процессе своего движения могут отдавать свою энергию атомами тем самым приводить к их возбуждению и ионизации, в результате чего порождаются вторичные электроны. Многократно взаимодействуя с атомами, электрон постепенно теряет свою энергию до тех пор,
пока она не снизится настолько, что электрон захватится каким- нибудь нейтральным атомом и образует с ним отрицательный ион.
Помимо рентгеновских и лучей, к ионизирующему излучению относят также потоки частиц (ядер атомов гелия, ?-частиц
(электронов и позитронов, протонов, нейтронов и др. Заряженные частицы, взаимодействуя с электрическими полями электронов,
способны перевести атомы в возбужденное состояние либо ионизировать их. Нейтроны, так как они не обладают зарядом, могут вызывать ионизацию атомов лишь косвенным путем. Например,
поглощение нейтрона ядром атома (чаще всего водорода, иногда азота, углерода, кислорода) приводит к увеличению кинетической
Рис. 15.9.3. Схема эффекта образования электронно-позитронных пар
Глава 15. Атомная физика и квантовая механика

энергии последнего. Образующееся так называемое ядро отдачи, взаимодействуя с другими атомами, может вызвать их ионизацию. Иногда только часть энергии нейтрона идет на сообщение ядру кинетической энергии, а другая часть — на возбуждение ядра. Переход ядра извоз- бужденного состояния в основное сопровождается излучением квантов. При низких скоростях нейтронов их взаимодействие с веществом может привести к ядерным реакциям, в результате которых образуются кванты и заряженные частицы 1
2 1
0 1
(2, 2 ???);
H
n
D
h
+
?
+ ?
14 1
14 1
7 0
6 1
(0, 66 В процессе прохождения через вещество ионизирующее излучение теряет свою энергию и передает ее веществу. Средняя энергия,
переданная веществу на единице длины пробега, называется линейной передачей энергии. Расстояние, которое излучение проходит в веществе, сохраняя способность к ионизации (средний линейный пробег, характеризует проникающую способность излучения. Отношение числа пар ионов N, образованных излучением на длине пробега (линейная плотность ионизации i),
d
,
d
N
i характеризует ионизирующую способность излучения. Чем больше заряди масса частицы, тем выше ее ионизирующая и меньше проникающая способности. Эти величины также зависят от плотности облучаемого вещества и различны для
?-, ?-, ?-излучения.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 15.1. Определите границы серии Бальмера атома водорода = 1) в частотах
? и длинах ? волн.
Решение. Из формулы Бальмера (15.1.14) определяем частоту ?, учитывая, что c
? =
?
2 2
2 1
1
,
c
R cz n
k
?
?
?
? где с — скорость света в вакууме
?
7 1
1,1 10
R
?
? =
?
— постоянная Ридберга и n — номера начальной и конечной орбит соответственно.
Для серии Бальмера n = 2, наименьшая частота излучения (наибольшая длина волны) будет наблюдаться при k = ПРАКТИЧЕСКИЕ И ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ
Практические и тестовые задания

490 7
8 2
14 1
2 2
1 1
1,1 10 3 10 1
4,58 10
c ,
2 3
?
?
?
? =
?
? что соответствует длине волны 7
14 3 10 6,55 10 4,58 10
?
?
?
? Наибольшая частота излучения (наименьшая длина волны) будет наблюдаться при k
= ? :
7 8
2 14 1
2 2
1 1
1,1 10 3 10 1
8, 25 10
c ,
2
[ ]
?
?
?
? =
?
? что соответствует длине волны 7
14 3 10 3, 64 10 8, 25 10
?
?
?
? Таким образом, серия Бальмера расположена в видимой и ближней ультрафиолетовой области спектра.
Задача 15.2. Определите дефект массы m
? и энергию связи E
? для ядра атома трития (изотопа водорода)
3 1
T Решение. Согласно формуле (15.2.5), дефект массы — разность между массой частиц, составляющих ядро, и массой самого ядра равна 1
,
n at m
Zm
A
Z m m
? где
H
1 1
m
= 1,007825 а. ем масса изотопа водорода
H
1 таем масса нейтрона;
т at
— масса атома, которая для трития равна 3,01605 а. ем заряд ядра в единицах элементарного заряда, для трития
1
Z
= ;
N — количество нейтронов в ядре, для трития
2
N
= Для вычислений будем использовать массы атомов m at
, а не ядер, так как, во-первых, экспериментально можно определить только массу атома, а не ядра. Во-вторых, масса всех электронов данного атома с зарядом входит в первое слагаемое со знакома в третье — со знаком (и поэтому сокращается.