умк_Вабищевич_Физика_ч.1. умк_Вабищевич_Физика_ч. Учебнометодический комплекс для студентов технических специальностей в двух частях Часть 1 Новополоцк 2005 2 удк 53 (075. 8)
 Скачать 1.81 Mb.
|
Физические свойства макросистем, состоящих из большого количества частиц, изучаются взаимно дополняющими методами статистическими термодинамическим. Термодинамический метод основан на анализе условий и количественных соотношений при различных превращениях энергии, происходящих в системе. Внутренняя энергия термодинамической системы включает в себя кинетическую энергию движения частиц (поступательного и вращательного движения, а также потенциальную энергию их взаимодействия. В идеальном газе пренебрегают силами межмолекулярного взаимодействия, поэтому внутренняя энергия может быть принята как сумма кинетических энергий хаотического движения всех молекул 2 2 2 A i m i i m U N kT N kT RT M M = = = , где i – число степеней свободы молекулы. Изменение внутренней энергии газа связано с изменением температуры 2 i Обмен энергий между системой и внешними телами может осуществляться двумя качественно различными способами путем совершения работы и путем теплообмена. Элементарная работа, совершаемая газом при изменении его объема dA Полная работа при изменении объема газа вычисляется с помощью интегрирования 2 1 V V A pdV = ∫ , где V 1 и V 2 – соответственно начальный и конечный объемы газа. Количество теплоты, переданное системе, определяется по формуле Q Cm T ∆ = ∆ , где С – удельная теплоемкость газа приданном процессе. Связь между молярной Си удельной С теплоемкостями газа m C C = µ , где µ – молярная масса газа. Первое начало термодинамики утверждает, что количество теплоты Q, сообщаемое системе, затрачивается на приращение внутренней энергии системы ∆U и совершение системой работы А над внешними телами Q U A = ∆ + . Первое начало термодинамики в дифференциальной форме Q dU A δ = + δ . Отличия в записи малых величин отражают тот факт, что внутренняя энергия является функцией состояния системы, а работа и теплота – функции процесса. В отличие от внутренней энергии системы, которая является однозначной функцией состояния этой системы, понятия теплоты и работы имеют смысл только в связи с процессом изменения состояния системы. Они являются энергетическими характеристиками процесса изменения состояния системы. Применим первое начало термодинамики к изопроцессам. Запишем закон в развернутом виде CmdT Так, при изохорном процессе dV = 0, те. работа Аи вся теплота идет на изменение внутренней энергии газа CmdT dU = , где 2 i m dU RdT M = , откуда теплоемкость газа при изохорном процессе 2 V dU i R C Во всех других процессах объем газа изменяется. При изобарном процессе работа газа ( ) 2 1 A p V V = − , или ( ) 2 1 m A R T T М = − Изменение внутренней энергии 2 i m U R T M ∆ = ∆ или 2 i U p V ∆ = ∆ . Количество теплоты 2 2 2 i m m i m Q U p V R T R T R ММ ∆ + ∆ = ∆ + ∆ = ∆ . Теплоемкость газа при изобарном процессе 2 2 p Q i R C C m Молярные теплоемкости газа при постоянном объеме и постоянном давлении 2 , 2 2 V p i i C R Уравнение Майера связывает молярные теплоемкости газа при изохорном и изобарном процессах p V C C R = + . При изотермическом процессе температура газа постоянна, поэтому количество теплоты идет на совершение работы dQ dA = , где dA Работа вычисляется интегрированием 2 2 1 1 2 1 ln V V V V m RT m V A pdV dV RT M V M V = = = ∫ ∫ или 1 Адиабатный процесс реализуется в условиях теплоизоляции системы, но адиабатным можно считать также процесс, протекающий столь быстро, что за время его осуществления не успевает произойти существенный теплообмен с внешней средой. Из первого начала термодинамики следует, что в адиабатном процессе работа совершается за счет изменения внутренней энергии dA dU = − . Те. если газ расширяется, то его температура понижается, а прирезком сжатии – нагревается. Получим соотношение между параметрами состояния газа. Записывая выражения для работы и изменения внутренней энергии dA pdV = , V dU C dT = , где 2 V i m C R M = – теплоемкость газа при изохорном процессе, имеем V pdV C dT = Так как mRT p MV = , получаем V m RT dV C dT M V = − , V dT mR dV T MC V = − т.к. 1 p V V V C C mR MC C − = = γ − , где 2 p V C i C i + γ = = – безразмерная величина, называемая постоянной адиабаты или коэффициентом Пуассона. Считая, что теплоемкости не зависят от температуры, получаем дифференциальное уравнение ( ) 1 dT dV T V = − γ Интегрируя, получаем ln ( 1)ln const T V = − γ − + , ln ( 1)ln const T V + γ − = , ( ) 1 ln Таким образом, связь температуры и объема газа при адиабатном процессе имеет вид 1 const TV γ− = . (1) Поскольку при любом процессе для идеального газа const pV T = , то давление и объем связаны соотношением const pV γ = . (2) Соотношение (2) называют уравнением Пуассона. На p – диаграмме адиабатный процесс 2 круче, чем изотермический (рис. 3.1). Работа при адиабатном процессе противоположна по знаку изменению внутренней энергии ( ) 2 1 V m A C T T M = − − , и с учетом связи параметров (1) при адиабатном процессе может быть записана в виде 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 RT m V p М − γ − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ , где T 1 , T 2 , и V l , V 2 – соответственно начальные и конечные температуры и объемы газа. Политропическими называются процессы, при которых теплоемкость тела остается постоянной. Для идеального газа уравнение политропы имеет вид const n pV = , где n – показатель политропы p V C C n C Рассмотренные ранее процессы относятся к категории политропиче- ских. Изобарическому процессу соответствует n = 0, изотермическому – n = 1, адиабатическому n = γ. Для описания термодинамических процессов одного первого начала термодинамики недостаточно, поскольку оно не позволяет определить направление протекания процесса. В самом деле, процесс самопроизвольной передачи теплоты от холодного тела к горячему не противоречит первому началу термодинамики. Однако опыты показывают, что самопроизвольно данные процессы не протекают. Прежде всего, расширим представления о термодинамических процессах. Введем понятие обратимого процесса. Термодинамический процесс называется обратимым, если после него Рис. 3.1 можно возвратить систему в начальное состояние таким образом, чтобы в других телах не осталось каких-либо изменений. Необходимое условие обратимого процесса – его равновесность. Реальные процессы являются неравновесными, и поэтому являются необратимыми. Круговым процессом называется термодинамический процесс, в итоге которого система возвращается в исходное состояние. Круговые процессы изображаются в диаграммах p – V, p – T и др. в виде замкнутых кривых (рис. 3.2). Круговые процессы лежат в основе всех тепловых машин – устройств, которые превращают внутреннюю энергию в механическую энергию. Основные части тепловой машины нагреватель, рабочее тело и холодильник. Рабочее тело (обычно газ) получает количество теплоты Q 1 от нагревателя, совершает работу A за цикл, отдает холодильнику количество теплоты Q 2 . На графике работа равна площади фигуры, ограниченная графиками процесса. Изменение внутренней энергии в круговом процессе равно нулю. Работа, совершаемая за цикл равна 1 А Q Q = − . Эффективность тепловой машины определяется термическим коэффициентом полезного действия (КПД) для кругового процесса (цикла) 1 2 2 1 1 1 1 A Q Q Q Q Q Q − η = = = Среди всех круговых процессов большое значение имеет процесс, составленный из четырех обратимых процессов двух изотерм и двух адиабат – цикл Карно (рис. 3.3). Определим КПД данного цикла. Запишем выражение для количеств теплоты и работ, совершаемых рабочим телом на разных участках процесса Участок 1 – 2: изотерма – Т, 2 1 12 Участок 2 – 3: адиабата, 23 0 Q = , ( ) 23 23 2 1 V A U C T T = −∆ = Участок 3 – 4: изотерма Т, 4 2 34 Участок 4 – 1: адиабата, 41 0 Q = , ( ) 41 41 1 2 V A U C T T = −∆ = − − ; 12 23 34 41 12 34 1 1 A A A A A A Q Q + + + + η = = , Рис. 3.3 Рис. 3.2 216 2 4 3 1 1 2 1 2 1 3 2 4 2 1 1 1 ln ln ln ln ln m V m V V V RT RT T T M V M V V V m V T RT M V + − η Температура и объем в состояниях 2 – 3 и 1 – 4 связаны 1 const TV γ− = ; 1 1 1 2 2 3 1 1 2 1 4 1 T V T V T V T V γ − γ − γ − γ Откуда следует, что 3 2 1 4 V V V V = , следовательно 1 2 1 T T T − η = , где Т – температура нагревателя Т – температура холодильника. КПД любого реального теплового двигателя не может превышать КПД цикла Карно. Можно показать, что КПД реального цикла меньше чем цикла Карно, т.к. протекающие в нем процессы являются неравновесными. Поскольку КПД равен 1 2 2 1 1 1 Q Q Q Q Q − η = = − , с другой стороны 1 2 2 1 1 1 T T T T T − η = = − , 2 2 1 1 1 1 Q T Q T − = − , тов обратимом цикле Карно справедливо соотношение 1 2 1 Мы получили выражение, похожее на закон сохранения. При работе тепловой машины в цикле Карно величина 1 1 Q T , взятая от нагревателя, равная, отданной холодильнику. Эту величину называют энтропией. Можно показать, что в отличие от количества теплоты Q δ , величина Q T δ в обратимом процессе есть полный дифференциал функции состояния системы, называемый энтропией S системы. Энтропия – функция состояния системы, изменение которой в обратимом процессе равно отношению бесконечно малого количества теплоты dQ , сообщенного системе, к абсолютной температуре системы По знаку dS судят о направленности теплообмена между системой и окружающей средой. Энтропия dS и теплота dQ имеют один и тот же знак. При нагревании Q δ > 0 и энтропия возрастает, при охлаждении энтропия тела убывает. При обратимом адиабатном процессе dQ = 0, так что dS = 0, S = const. Таким образом, обратимый адиабатный процесс является изоэнтропийным. В произвольном необратимом процессе dQ dS T > , те. изменение энтропии системы больше величины dQ T , где T – температура внешнего тела. Тогда для любых процессов dQ dS T ≥ , где знак равенства относится к обратимым процессам, а знак больше – к необратимым. Если система адиабатически изолирована, те. 0 Q δ = , то при любых процессах, происходящих в системе, энтропия изолированной системы не может убывать, а значит 0 dS ≥ . Это утверждение является вторым началом термодинамики. Реальные процессы являются неравновесными, поэтому энтропия системы может только возрастать, достигая максимума в состоянии термодинамического равновесия. Изменение энтропии при равновесном переходе системы из состояния в состояние 2 вычисляется через интеграл 2 2 1 2 2 1 1 1 dQ dU dA S S S T T → + ∆ = − = = ∫ ∫ . (3) Допустим, начальное состояние характеризуется параметрами T 0 , V 0 , конечное – T, V, тогда, записывая выражения для элементарных работ, изменения внутренней энергии и теплоты, получаем mRT dA pdV dV MV = = ; V dU C dT = ; V mRT dQ dU dA C Используя соотношение (3), вычисляем изменение энтропии в данном процессе перехода из состояния начального в состояние конечное 0 0 T V V T V C dT mR S dV T MV ∆ = + ∫ ∫ ; 0 0 ln ln V T m V S C R T M V ∆ Так как для идеального газа const pV T = , выражение для энтропии идеального газа можно переписать в других эквивалентных формах. Энтропия, подобно внутренней энергии, – аддитивная величина энтропия системы равна сумме энтропий всех тел, входящих в состав системы. В термодинамике доказывается, что энтропия изолированной системы в любом обратимом процессе не изменяется. Дело в том, что при передаче теплоты Q δ от тела 1 к телу 2 в обратимом процессе температуры обоих тел одинаковы. Поэтому изменение энтропии dS 2 тела 2 получающего теплоту Q δ , равно и противоположно по знаку изменению энтропии dS 1 тела 1, отдающего теплоту Q δ : 1 2 0 dS dS dS = + = . До сих пор, рассматривая второй закон термодинамики, мы пользовались термодинамическим методом исследования. Однако существует связь второго закона термодинамики с молекулярно-кинетической теорией строения вещества. Раскрытие этой связи позволяет глубже понять физический смысл энтропии. С молекулярно-кинетической точки зрения каждому состоянию газа системы частиц) соответствует некоторое распределение его молекул по объему, а также по скоростям (импульсами энергиям. Предположим, что система, изолированная от внешней среды, содержит 4 частицы (n = 4) и занимает объем V (рис. 3.4). Предположим, что частицы меченные, а объем разбит на две равные части. Будем считать, что различные состояния отличаются только распределением молекул 1, 2, 3, 4 по двум ячейкам. Представим в виде таблицы всевозможные состояния такой системы. Макросостояние Возможные микросостояния * Г, Число микросостояний ω, Вероятность макросостояния 1. Справа нет частиц 0000 1 1/16 2. Справа одна частица 1000 0100 0010 0001 4 4/16 3. Справа две частицы 1100 1010 1001 0110 0101 0011 6 6/16 4. Справа три частицы 0111 1011 1101 1110 4 4/16 5. Справа четыре частицы 1111 1 1/16 Примечание * Если частица находится слева, это обозначено цифрой «0», если справа – «1». Состояния, перечисленные водной строке, в макро-масштабе неразличимы и обладают одинаковой энергией. Число микросостояний определяется соотношением Рис. 3.4 С n Число микросостояний, с помощью которого реализуется данное макросостояние, называется статистическим весом Г или кратностью вырождения макросистемы. Из таблицы видно, что статистический вес Г и вероятность состояния одновременно достигают максимального значения. Минимальной вероятностью обладает состояние, реализуемое единственным способом. Рассмотрим сосуд, в котором содержится N A частиц, и они занимают объем V 0 . Выделим внутри малый объем V. Вероятность обнаружить там одну частицу 1 0 V V ω = , вероятность встретить там две частицы 2 2 0 V V ⎛ ⎞ ω = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , вероятность там встретить все N A частиц 0 A A N N V V ⎛ ⎞ ω = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . (4) Поскольку выделенный объем мал, то вероятность 1 A N ω << , поэтому состояние никогда не реализуется. Для этого состояния статистический вес равен Г = 1, те. состояние реализуется единственным способом. Прологарифмируем выражение (4) Сравним это выражение с соотношением, полученным ранее для энтропии (для одного моля 0 Можно записать ln A N S k ω . Поскольку вероятность состояния Г, то между энтропией системы и статистическим весомее состояния существует связь, которая описывается формулой Больцмана ln S k Г = Данная формула позволяет дать статистическое толкование второго начала термодинамики. Для реальных процессов 0 S ∆ ≥ , следовательно, замкнутая термодинамическая система переходит из состояний менее вероятных в состояния более вероятные, пока не достигнет равновесного состояния, которое является наиболее вероятным. Иными словами, второе начало термодинамики имеет статистический характер, выражающий стремление системы, состоящей из большого количества частиц, к самопроизвольному переходу из состояний менее вероятных в состояния более вероятные. К системам с малым количеством частиц второй закон термодинамики неприменим. Так в сильно разреженных газах происходят значительные случайные отклонения от равномерного распределения молекул по объему. Подобные явления называются флуктуациями (отклонения параметров от средних значений, например, плотности, температуры, давления. Флуктуации обусловлены тепловым движением частиц макросистемы. Можно показать, что в газе относительная флуктуация концентрации 1 n n N ∆ , где N – количество частиц. Если в сосуде N 10 23 частиц, то 12 10 n n − ∆ . Видно, что вероятность заметных отклонений параметров газа от средних величин ничтожно мала. Совершенно иную картину мы получим в разреженных газах. Реальный газ хорошо описывается уравнением pV RT = только при малых плотностях, те. при небольшом давлении и достаточно высоких температурах. С повышением давления и уменьшением температуры наблюдается значительное отступление от уравнения Менделеева – Клапейрона. Самым простыми вместе стем дающим хорошие результаты при описании газов в широком интервале плотностей, оказалось уравнение Ван-дер-Ваальса ( ) 2 m m a p V b RT V ⎛ ⎞ + − = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , где p – давление газа, V m – молярный объема и b – постоянные Ван-дер- Ваальса, имеющие для разных газов различные значения. Поправка характеризует ту добавку к внешнему давлению, которая обусловлена взаимным притяжением молекул друг к другу. Вследствие того, что молекулы обладают конечным объемом, пространство, доступное для движения молекул, оказывается меньшим, чем объем сосуда V m . Поправка b характеризует ту часть объема, которая недоступна для движения молекул. Уравнение можно переписать для произвольной массы m, учитывая, что V = νV m 2 2 a V p b RT V ⎛ ⎞ ν ⎛ ⎞ + − = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ν ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ , где ν = m/M – количество вещества. Записываем уравнение для ν молей газа ( ) 2 2 a p V b RT V ⎛ ⎞ ν + − ν = ν ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . (5) Реальные газы следуют уравнению Ван-дер-Ваальса лишь приближенно. Воображаемый газ, точно подчиняющийся уравнению (5), называется ван-дер-ваальсовским. Внутренняя энергия ван-дер-ваальсовского газа должна включать в себя, кроме кинетической энергии молекул, энергию взаимодействия между молекулами. Кинетическая энергия молекул равна внутренней энергии идеального газа V U C T = , где С – изохорная теплоемкость газа. При изменении объема газа от V 1 до V 2 внутреннее давление а V совершает работу, которая для 1 моля равна 2 1 2 Так как работа внутренних сил равна изменению потенциальной энергии системы, то можно считать, что а V есть искомое выражение для потенциальной энергии одного моля газа. Окончательно, внутренняя энергия одного моля газа может быть записана в виде m V m a U C На рис. 3.5 представлена графически связь между объемом и давлением газа при разных температурах (чем больше температура, тем выше располагается изотерма. Эти кривые называются изотермами Ван-дер- Ваальса. При высоких температурах они имеют форму, близкую к гиперболе Рис. 3.5 и описывают газообразное состояние вещества (почти идеальный газ. По мере уменьшения температуры форма изотермы изменяется и при некоторой критической температуре обнаруживается точка перегиба. Рассмотрим изотермы ниже Т к . Измерения показывают, что изотермы реального газа приближаются к изотермам Ван-дер-Ваальса на участках 1 – 2, соответствующих жидким состояниями на участках 5 – 6, соответствующих парообразным состояниям вещества однако в средней части реальная изотерма идет не по кривой 2 – 3 – 4 – 5, а по изобаре 2 – 5 (в точке 2 – кипящая жидкость, в точке 5 – насыщенный пар. Но если опыты провести сочень чистым веществом, а сжатие (расширение, подводи отвод теплоты производить достаточно медленно, то можно обнаружить состояния, соответствующие участкам 2 – 3 (перегретая жидкость) и 5 – 4 (пересыщенный пар. Не реализуется только часть изотермы Ван-дер-Ваальса – участок 3 – 4. Решая уравнение Ван-дер-Ваальса для критического состояния, получаем критические параметры 2 8 3 , , 27 27 к к к a а V b p T Rb b = = = Пользуясь этими соотношениями, можно по известным аи вычислить критические параметры вещества и наоборот, определить постоянные аи. Фазой вещества называется совокупность однородных, одинаковых по своим свойствам частей системы. Например, в закрытом сосуде находится вода и над ней смесь пара воды и воздуха. В этом случае имеем дело с системой из двух фаз одну фазу образует вода, вторую смесь воздуха и паров воды. Три фазы одного итого же вещества (твердая, жидкая, газообразная, или жидкая и две твердых) могут находиться в равновесии только при единственных значениях температуры и давления, которым на диаграмме р – Т соответствует тройная точка. В термодинамике доказывается, что равновесие более чем трех фаз одного итого же вещества невозможно. Если провести линию через крайние точки горизонтальных участков изотерм, получается колоколообразная кривая, ограничивающая область двухфазных состояний вещества (рис. 3.6). При температурах выше критической вещество при любом давлении оказывается однородным. Рис. 3.6 Различают два типа превращений вещества из одной фазы в другую при изменении внешний условий фазовые переходы первого (1) и второго (2) рода. При фазовом переходе 1 рода скачкообразно изменяются такие характеристики вещества, как плотность, удельный и молярный объемы, и что особенно характерно, выделяется или поглощается теплота, называемая теплотой фазового перехода. Примерами фазовых переходов 1 рода могут служить превращения вещества из одного агрегатного состояния в другое испарение и конденсация, плавление и кристаллизация и т.д.), фазовые превращения твердых тел из одной кристаллической модификации в другую, переход вещества из сверхпроводящего состояния в нормальное под действием сильного магнитного поля. Уравнение Клапейрона – Клаузиуса позволяет определить изменение температуры фазового перехода в зависимости от изменения давления при равновесно протекающем процессе ( ) 2 1 dp L dT T V V = − , где L – теплота фазового перехода (V 2 – V 1 ) – изменение объема вещества при переходе его из первой фазы во вторую Т – температура перехода процесс изотермический). При фазовом переходе 2 рода теплота не поглощается и не выделяется, скачкообразно изменяются такие характеристики вещества, как молярная теплоемкость, коэффициент теплового расширения, удельная проводимость, вязкость. Примерами фазовых переходов могут служить переход некоторых металлов при низких температурах из нормального в сверхпроводящее состояние, переход гелия из одной модификации в другую, обладающую свойством сверхтекучести, переход вещества их ферромагнитного в парамагнитное состояние при температуре, называемой точкой Кюри. Поверхность жидкости характеризуется текучестью, несжимаемостью и наличием свободной поверхности. В жидкостях расстояния между молекулами значительно меньше, чем в газах. Поэтому силы взаимодействия между молекулами играют существенную роль. В поверхностном слое жидкости возникает избыточное молекулярное давление, направленное по нормали внутрь жидкости. Переход молекул из глубины жидкости в поверхностный слой сопровождается работой против сил молекулярного притяжения. Молекулы жидкости в приповерхностном слое обладают дополнительной потенциальной энергией. Поскольку положение равновесия соответствует минимуму потенциальной энергии, жидкость, представленная самой себе, будет принимать форму с минимальной поверхностью. Силы поверхностного натяжения направлены по касательной к поверхности жидкости, перпендикулярно к участку контура, на который она действует. Коэффициент поверхностного натяжения равен F l σ = , или E S ∆ σ = ∆ , где F – сила поверхностного натяжения, действующая на контур l, ограничивающий поверхность жидкости Е – изменение поверхностной энергии пропорциональна изменению площади ∆S поверхности пленки. Поверхность жидкости представляет собой как бы растянутую пленку, которая стремится сократиться, и при искривленной поверхности возникает добавочное давление под поверхностью жидкости. Формула Лапласа позволяет определить избыточное давление для произвольной поверхности жидкости двоякой кривизны 1 2 1 1 p R R ⎛ ⎞ ∆ = σ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , где R 1 и R 2 – радиусы кривизны двух взаимно перпендикулярных нормальных сечений поверхности жидкости радиус кривизны положителен, если центр кривизны находится внутри жидкости (выпуклый мениск, и отрицателен, если центр кривизны находится вне жидкости (вогнутый мениск. В случае сферической поверхности 2 p R σ ∆ Высота подъема жидкости в капиллярной трубке 2 cos h gr σ θ = ρ , где θ – краевой угол r – радиус капилляра ρ – плотность жидкости g – ускорение свободного падения. |