умк_Вабищевич_Физика_ч.1. умк_Вабищевич_Физика_ч. Учебнометодический комплекс для студентов технических специальностей в двух частях Часть 1 Новополоцк 2005 2 удк 53 (075. 8)
 Скачать 1.81 Mb.
|
∆h = 3 см (вдоль поля, отличаются в η = 2 раза. Температура системы Т = 280 К. Решение. Сила, действующая на частицу со стороны однородного поля, определяется выражением 2 1 2 1 ( ) ( ) U h U h U U F h h − − = = ∆ ∆ , где 2 1 h h h ∆ = − . Согласно распределению Больцмана концентрации частиц n 1 и n 2 на двух уровнях h 1 и h 2 определяются соответственно 1 1 0 U kT n n и 2 2 0 U kT n n Поскольку частицы располагаются с большей плотностью там, где меньше их потенциальная энергия, то n 1 / n 2 = η . Следовательно 1 2 ln U U kT kT − + = или 2 Искомая сила 19 ln 0,9 10 H kT F h = η Ответ 0,9 Пример Найти наиболее вероятную скорость молекул идеального газа. Решение Предполагая, что идеальный газ находится в термодинамическом равновесии, используем функцию распределения молекул по скоростям где 2 m a kT = . Производная функции распределения (1) по скорости 2 3/ 2 3 ( ) 4 ( 2 2 ) a a f a e − υ ⎛ ⎞ ′ υ = π − υ + υ ⎜ ⎟ π ⎝ Обозначая наиболее вероятную скорость через В, находим ее из уравнения ( ) В ′ υ = , те. 2 2 ( 1) 0 В В а υ − υ + Отсюда следует 1 2 В kT а m υ Ответ В Пример Определить долю молекул водорода, модули скоростей которых при температуре С лежат в интервале от υ 2 = 1898 мс до υ 1 = 1903 мс. Решение. Интервал скоростей ∆υ = υ 2 – υ 1 = 5 мс достаточно мал по сравнению с самими скоростями. Поэтому для определения искомой доли молекул вместо интегрирования можно записать распределение Максвелла по модулям скоростей в виде 2 3/ 2 2 2 4 2 m kT N m e N kT υ − ∆ ⎛ ⎞ = π υ ∆υ ⎜ ⎟ π ⎝ ⎠ . (1) Наиболее вероятная скорость молекул водорода при заданной температуре (Т = 300 К) равна В = (см. пример 5). Учитывая это, преобразуем формулу (1) к виду 2 2 2 3 4 B B N e N υ − υ ∆ υ = ∆υ π υ . (2) Введем обозначение / B u = υ υ . Тогда выражение (2) примет вид 2 2 4 u N u e u N − ∆ = ∆ π . (3) Для водорода при Т = 300 К 3 2 2 1,57 10 B kT RT m υ = = = ⋅ µ мс. Следовательно, u = 1,2 и 3 3,16 10 B u − ∆υ ∆ = = ⋅ υ . Подставив эти значения в выражение (3), получаем 3 2,45 10 0,245 Ответ 0,245 Пример Какая часть молекул водорода, находящегося при температуре Т, обладает скоростями, отличающимися от наиболее вероятной скорости не более чем на 5 мс Задачу решить для двух значений Т 1) 400 К 2) 900 К. Решение. Поскольку в задаче идет речь о наиболее вероятной скорости, надо считать υ = В. Следовательно u = В = 1, и выражение (3), полученное при решении предыдущей задачи, примет простой вид Прежде чем производить расчеты, необходимо убедиться в том, что выполняется условие B u u ∆υ ∆ = << υ . Найдем сначала наиболее вероятную скорость при Т = 400 К и Т = 900 К соответственно. 3 1 2 8,31 мс 1,82 10 м/с 0,002 В ⋅ ⋅ υ = = ⋅ ; 3 2 2 8,31 мс 2,73 10 м/с 0,002 В ⋅ ⋅ υ Так как по условию ∆υ = 10 мс, то получим ∆u 1 = 1/182, ∆u 2 = 1/273. Поскольку u = 1, то условие ∆ u << u выполняется для обеих температур. Теперь вычислим искомые величины 1 1 4 4 0,0046 3,14 2,7 182 N u N e ∆ = ∆ = = π ⋅ ⋅ ; 2 2 4 4 0,003 3,14 2,7 273 N u N e ∆ = ∆ Таким образом, при увеличении температуры наиболее вероятная скорость молекул увеличивается, а число молекул, скорости которых лежат водном и том же интервале около наиболее вероятной, уменьшается. На графике функции распределения скоростей (см. рис. 1.2), с увеличением температуры максимум кривой сдвигается вправо, а величина максимума уменьшается. Ответ 1 0,0046 N N ∆ = , 2 Пример Какая часть молекул газа имеет скорости, превышающие наиболее вероятную скорость Решение. В условии задачи рассматриваются молекулы, скорости которых заключены в интервале от наиболее вероятной скорости В до В + ∞, те. в бесконечно большом интервале скоростей ∆υ. Воспользуемся функцией распределения Максвелла в приведенном виде (см. пример 6) 2 2 4 u dN u e du N − = π , где u = В. (1) Найдем число молекул, относительные скорости которых лежат в заданном интервале от до u 2 , интегрируя правую часть (1) в этих пределах 2 2 1 2 4 u u u dN N u e du − = π ∫ . (2) Учитывая, что относительная скорость u = В, тов нашей задаче u 1 = 1; u 2 = ∞. Следовательно, искомая часть молекул выразится интегралом 2 2 1 4 u N u Воспользуемся очевидным фактом, что скорости всех молекул лежат в интервале от 0 до ∞. Поэтому, если обозначить через ∆N / число молекул, скорости которых меньше наиболее вероятной, те. лежат в интервале от 0 до 1, то можно записать 1 N N N N ′ ∆ ∆ + = . Таким образом, вместо того чтобы искать N N ∆ , можно найти N N ′ ∆ по формуле 2 1 2 0 4 u N u e du N − ′ ∆ = π ∫ , (3) а затем вычислить 1 N N N N ′ ∆ ∆ = − Так как интеграл (3) все же в конечном виде не берется, воспользуемся методом приближенного интегрирования. Для этого разложим подынтегральную функцию вряд Маклорена: 2 4 6 8 10 2 2 1 2 6 24 u u u u u u e u − = − + − + − ⋅⋅⋅. Следовательно 4 1 1 1 1 1 3 5 14 54 264 N N ′ ∆ ⎛ ⎞ ≈ − + − + − ⋅⋅⋅ ⎜ ⎟ π Ограничиваясь первыми четырьмя членами разложения, найдем с погрешностью, не превышающей 0,01: Отсюда получим ответ 1 0,43 0,57 N N ∆ = Ответ Пример Найти наиболее вероятную энергию молекул идеального газа. Решение Определим точку максимума функции распределения молекул идеального газа по энергиям 3 / 2 /( ) 1/ 2 2 ( ) ( ) E kT f Производная этой функции по Е 1/ 2 3/ 2 /( ) 1/ 2 2 1 ( ) ( ) 2 E kT E f Искомую энергию найдем из уравнения ( ) 0 f E ′ = , те. 1/ 2 1/ 2 1 0 2 E kT E − + = . Откуда следует 1 2 B E kT = . Отметим, что ( ) B B E E ≠ υ . Ответ 1 2 B E kT = 189 2. УЧЕБНЫЙ БЛОК ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА Введение Несмотря на хаотичное движение частиц газа при постоянстве его температуры, давления и объема, состояние газа можно считать среднестатистически равновесным, те. средние значения концентрации, скорости, распределения по скоростям можно считать неизменными. Отсюда следует вывод, что тепловое движение частиц газа способствует сглаживанию возникающих в газе неоднородностей. Это сглаживание (выравнивание) неоднородностей происходит в результате процессов, которые получили название процессов (явлений) переноса. К ним относится теплопроводность, внутреннее трение и диффузия. Рассмотрим эти процессы на основе МКТ. При изучении данного блока студенты должны иметь представление о распределении Максвелла для частиц идеального газа – об основных положениях МКТ; – о степенях свободы движения микрочастиц. – об экспериментальных проявлениях явлений диффузии, теплопроводности и вязкости обладать навыками – интегрирования и работой с табличными интегралами – расчета основных параметров идеального газа. Учебная программа блока Содержание блока Форма подготовки Рекомендуемая литература 1. Критерий вакуума. Столкновения частиц газа лекция [4] 2. Теплопроводность газа лекция [2], [4] 3. Внутреннее трение в газе лекция [2], [4] 4. Диффузия в газе лекция [3], [4] Цели обучения Студент должен знать Студент должен уметь – критерий вакуума – коэффициенты переноса – коэффициент диффузии, коэффициент теплопроводности и коэффициент вязкости – эмпирические законы Фика, Ньютона и Фурье для явления переноса – определять число столкновений частиц в газе – определять длину среднего пробега частиц в газе определять коэффициенты переноса враз- личных ситуациях – определять потоки частиц и энергии, а также силы, обусловленные явлениями переноса 190 2.1. Краткое содержание теоретического материала Число столкновений. Длина свободного пробега частиц в газе Находясь в тепловом движении, частицы газа периодически сталкиваются друг с другом. Под столкновением частиц подразумевается процесс взаимодействия между ними, в результате которого частицы изменяют скорость своего движения. Основываясь на допущениях относительно свойств идеального газа, будем считать, что система двух сталкивающихся частиц замкнута, те. на них не оказывают никакого действия другие частицы в процессе столкновения. Это снимает определенные трудности при анализе процесса столкновений частиц газа. Другая трудность связана с определением размеров частиц газа, знание которых также необходимо для анализа рассматриваемого процесса, Определим эти размеры из следующих соображений. Известно, что частицы газа состоят из атомов, которые в свою очередь состоят из ядер (+) и электронных оболочек (–), причем размеры ядер много меньше области, характерной для электронных оболочек. Наличие в частицах газа положительных и отрицательных зарядов обеспечивает возможность силового взаимодействия частиц, те. система их двух сталкивающихся частиц характеризуется как кинетической энергией (тепловое движение) таки потенциальной (силовое взаимодействие. Здесь мы не будем рассматривать силовое взаимодействие двух частица воспользуемся известными результатами частицы газа испытывают притяжение друг к другу на расстояниях больше некоторого значения и отталкивание на меньших расстояниях. Учитывая это, а также то, что силы отталкивания по величине значительно превосходят силы притяжения, энергетическую диаграмму сталкивающихся частиц можно представить как на риса. б а Рис. 2.1 Суммирование энергий притяжения и отталкивания приводит кобра- зованию минимума функции потенциальной энергии системы частиц. Положение минимума определится расстоянием между центрами частиц r min , если одна из частиц располагается в центре системы координат. Таким образом, до расстояния x = r 0 частицы испытывают притяжение, а при x < r 0 – отталкивание. Если использовать понятие относительной скорости частиц, то помещенную в центр координат частицу можно считать неподвижной, а кинетическую энергию системы двух частиц приписать другой частице, обозначив ее K 2 при x = ∞. Ясно, что при сближении частиц полная энергия частицы 2 будет нарастать до расстояния r min , а на меньших расстояниях ее полная энергия уменьшается, становясь равной 0 при расстоянии d 1 между центрами частиц. Эти рассуждения верны для замкнутой системы, о чем мы условились ранее. Равенство полной энергии нулю означает, что частица 2 останавливается и начинает под действием отталкивания двигаться в обратном направлении. Ясно, что чем больше К, тем меньше будет d. Полагая сталкивающиеся частицы одинаковыми, можно считать, что d равно двум радиусам частиц или эффективному диаметру частицы. С увеличением кинетической энергии (температуры газа) эффективный диаметр частицы газа уменьшается, значит, уменьшается и эффективное сечение частицы для процесса взаимодействия σ, определяемое соотношением 2 d σ = π Зависимость σ от температуры определяется законом Сезерленда 0 1 / C T σ = σ + , где σ 0 – сечение при 273 Ка С – константа, равная 50 – 300 для различных газов. Итак, при столкновении частиц газа изменение направления движения (относительного) их, происходит, можно считать, в момент сближения их до расстояния d и, следовательно, эта величина может быть взята для характеристики размеров сталкивающихся молекул. Перейдем далее к определению числа столкновений частиц газа за 1 секунду. Для этого предположим, вначале, что все частицы в газе кроме одной неподвижны, а движущаяся частица имеет скорость, равную средней тепловой υ. Очевидно, что за единицу времени (секунду) движущаяся частица столкнется со всеми частицами, центры которых лежат внутри цилиндра радиусом R. Движущаяся частица столкнется со всеми частицами, центры которых лежат в цилиндре с площадью 2 S d = π ⋅ и длиной ( ) ср υ υ . 192 2 цил z nV d n = = π ⋅ υ. Учтем движение всех частиц. Вдоль х движение не скажется на числе столкновений, т.к. сколько частиц убегает, столько же и движется навстречу. Найдем относительную скорость частиц, движущихся перпендикулярно х 2 2 2 отн υ = υ + υ = υ , тогда 2 2 z d n = π υ . За 1 с частица проходит расстояние υ, поэтому средняя длина свободного пробега равна 2 1 2 z d n υ λ = Зависимость λ от Т (формула Сезерленда) имеет вид 0 T C T λ = λ + , где С – постоянная Сезерленда. Теплопроводность газов Процесс теплопроводности реализуется, когда в газе возникают области с различной температурой под действием каких-либо внешних причин. Рассмотрим теплопроводность на простейшем примере, когда газ заключен между двумя ограничивающими его стенками с различными температурами Т и Т (рис. 2.2). Выделим в пространстве между стенками воображаемую поверхность S и S 1 и S 2 параллельные ей на расстоянии отравном средней длине свободного пробега λ . У стенки с Т газ нагрет до Тау стенки с Т до Т. Пусть Т > T 2 , тогда очевидно в газе будет происходить изменение температуры газа от Т до Т, те. вдоль x будет существовать изменение температуры, которое в каждой точке x можно характеризовать бесконечно малыми приращениями и dx. Отношение dT/dx называется градиентом температуры. Рис. 2.2 Пусть на S 2 температура газа соответствует * 2 T , а на S 1 – * 1 T при хаотическом тепловом движении через площадку S частицы газа, движущиеся от S 2 к S будут переносить среднюю кинетическую энергию, соответствующую, а движущиеся со стороны S 1 – среднюю кинетическую энергию, соответствующую * 1 T . Это утверждение будет справедливым, т.к. на длине свободного пробега скорость частиц не изменяется. Полный поток энергии, переносимый через плоскость S можно определить как разность потоков переносимой частицами энергии слева направо и справа налево. Считая движение частиц газа хаотическим (равновероятным во всех направлениях, для потоков частиц слева направо и справа налево можем записать ( , ) ( ) 1 6 x S x x x T n − ν = υ , (1) где ( ) x T υ – средняя скорость частиц через S, те. соответствующая температуре Т х . С учетом (1) для потока энергии через S можно записать выражение в виде * * * 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x S x S x S x x T T T T q − − = ν ε − ν ε = ν ε − ε , (2) где * 2 1 2 ( ) ( ) , T T ε ε – средние значения кинетической энергии частиц в области S 1 и Величина * 2 1 2 ( ) ( ) ( ) T T ε − ε может быть определена через градиент средней величины кинетической энергии или градиент температуры * 2 1 2 * ( ) ( ) ( ) 2 2 2 V T T T T C x dT x x ∂ε ∂ε ∂ ∂ ε − ε = λ = λ ⋅ = λ ∂ ∂ ∂ , (3) где * V C – величина, характеризующая, как изменяется средняя энергия молекул газа с изменением температуры, те. теплоемкость газа. Индексы ( * V ) показывают, что теплоемкость относится к случаю постоянного объема газа и отнесена к одной молекуле. Из (1), (2) и (3) следует, что поток энергии (тепловой поток) равен * ( ) 1 3 x T V dT q n C dx = − υ λ ⋅ , (4) где переход от ∂ T/ ∂ x (частной производной) к dT/dx (полной производной) возможен вследствие отсутствия градиента температуры по другим координатам кроме х знак «–» перед правой частью появляется из-за снижения температуры по х, те. –dT соответствует +dx. В тоже время эмпирическое уравнение теплопроводности Фурье выглядит следующим образом dT q dx = −χ , (5) где χ – коэффициент теплопроводности вещества. Сравнивая (4) и (5), получаем коэффициент теплопроводности газа сего микропараметрами (параметрами частиц) * 1 3 V n C χ = υλ . (6) Умножив и разделив правую часть на mNa (m – масса молекулы, Na – число Авогадро, получим * 1 1 3 3 V V C Na nm C mNa χ = λυ = ρυλ ⋅ , (7) где C v – удельная теплоемкость газа при постоянном объеме его, ρ – плотность газа. Анализ (7) показывает, что коэффициент теплопроводности, осуществляемой за счет процесса переноса, рассмотренного выше, не зависит от давления. Действительно, p ρ , 1 p λ , 1/ 2 8kT m ⎛ ⎞ υ = ⎜ ⎟ π ⋅ ⎝ ⎠ , те. произведение величин, определяющих χ не содержит величины давления р. Этот вывод справедлив только при условии λ << α (α – расстояние между стенками с различной температурой, при котором рассматривался выше процесс теплопроводности. Если условия процесса таковы, что λ > α , то при движении между стенками частицы газа сталкиваться не будут, поэтому процесс теплопроводности будет осуществляться иначе прямым переносом энергии частицами газа от стенки с Т на стенку Т. В этом случае поток частиц на стенку и со стенки) равен ( , ) 4 x x n − υ ν = . (8) Различие в средних энергиях частиц, движущихся от стенки с Т на стенку Т и наоборот составит * 1 2 ( ) V C T T − α , где α – коэффициент аккомодации, учитывающий тот факт, что частица, слетающая с Т может иметь энергию меньше, чем обусловленная Т (образно говоря, не успевает за время контакта со стенкой прогреться до Та частица, слетающая со стенки с Т (образно говоря, не успевает за время контакта со стенкой остыть до Т. Коэффициент аккомодации зависит от состояния поверхности стенок, материала, рода газа, температуры ив практических случаях составляет величину 0,1 – 0,9. С учетом (8) для удельного потока энергии можно записать при условии λ > α * 1 2 ( ) 4 V n q C T T υ = − α . (9) Проделав процедуру, подобную проделанной в (7), получим * 1 2 1 2 ( ) ( ) 4 4 V V mC Na n q T T C T T mNa υ ρυ = − α ⋅ = α − , (10) так как p ρ , теплопроводность газа прите. при низких давлениях зависит от давления. В связи с этим при решении задач на теплопроводность газа необходимо, сравнивая λ c α , установить характер процесса теплопроводности. Внутреннее трение (вязкость) газов Как ив предыдущем случае рассмотрим одномерную модель процесса (рис. 2.3). Пусть стенка неподвижна, а стенка S 1 движется в направлении y со скоростью υ. Тогда частица газа в процессе контакта со стенкой S 1 получает импульс m υ и при последующем хаотическом в совокупности с направленным (надтепловым) движении будет в процессе столкновений передавать часть импульса другим частицам газа. Таким образом, в газе будет осуществляться перенос импульса от S 1 к S 2 . При этом слои газа, располагающиеся ближе к S 1 , будут двигаться с большей направленной скоростью, чем более удаленные слои. Таким образом, в промежутке между пластинами установится некоторое распределение скорости направленного движения от υ у S 1 до 0 у Пусть в рассматриваемой системе выполняется условие λ << α , тогда мы можем воспользоваться тем же методом, что и при рассмотрении теплопроводности. Также выделим некоторую воображаемую плоскость S и плоскости * 1 S и * 2 S на расстоянии λ от S. На расстоянии λ направленный Рис. 2.3 импульс молекул не изменяется, ткнет столкновений с другими молекулами. Поток частиц через S со стороны * 1 S и со стороны * 2 S за счет теплового движения частиц определится, как ив случае теплопроводности (1) соотношением ( , ) 1 6 S x x n − ν = υ. Поток импульса, переносимый от слоя газа на * 1 S к слою газа на будет равен 1 2 1 2 * * * * ( , ) 1 ( ) ( ) 6 S p S x x y y y y m m mn − ν = ν υ − υ = υ υ − υ , (11) где 1 * y υ и 2 * y υ – направленные скорости в слоях газа у * 1 S и Величина ( 1 * y υ – 2 * y υ ) может быть найдена и через градиент направленной скорости υ y по координате х 1 2 * * ( ) 2 y y y d dx υ υ − υ = λ , считая, что у в пределах 2 λ изменяется от х линейно. С учетом этого (11) можно записать в виде 1 3 S y p d n m dx υ ν = − υλ ⋅ , (12) где знак «–» обусловлен тем, что значению (+dx) соответствует (у. Величина р характеризует передаваемое количество движения от слоя * 1 S слою газа * 2 S через единичную площадь (р – поток) за единицу времени и может быть записана в виде S y p dm dt υ ν = , где dt = 1 (сек. В тоже время в соответствии с законом Ньютона d F ma m dt υ = = , можем записать, что р численно равен силе, с которой один слой газа действует на другой в направлении у. В результате (12) можем записать в виде 1 3 y y d F n m dx υ = − ⋅ υλ ⋅ . (13) Рассматривая F y как силу трения слоев газа, для коэффициента внутреннего трения η получаем из (13) следующее выражение d F dx υ = −η в соответствии с законом Ньютона, установленным эмпирически 1 3 η = ρυλ . (14) Учитывая, что 1/ 2 1 , , T mn m n ⎛ ⎞ ρ = υ λ ⎜ ⎟ σ ⎝ ⎠ , из (14) имеем m T η σ , откуда следует, что коэффициент внутреннего трения не зависит ни от концентрации, ни от давления. Однако надо помнить, что этот вывод справедлив при условии λ << α (те. в соответствующем диапазоне давлений газа. При низких давлениях, когда λ > α , мы уже не можем оперировать понятием слои газа и, следовательно, коэффициента внутреннего трения вязкости) газа. Импульс направленного движения будет частицами газа переноситься непосредственно от стенки к стенке и за единицу времени через единичное сечение газа (на единицу площади стенки) будет передаваться импульс 1 1 8 4 4 y y kT p n m n m m ∆ = υ υ = υ π . (15) Диффузия в газах Диффузия – процесс, заключающийся в самопроизвольном (за счет теплового движения) взаимном проникновении и перемешивании частиц двух соприкасающихся газов, жидкостей и даже твердых тел. Если один газ диффундирует в другой, то процесс называется взаимодиффузией. Самодиффузия – проникновение одной части частиц газа в другую часть того же газа, например при различной концентрации частиц в различных частях объема. Процесс самодиффузии аналогичен процессам переноса (теплопроводности, внутреннего трения) и отличается от них только величиной, которая переносится. Рассмотрим диффузию наследующей модели. Пусть объем с газом характеризуется тем, что плотность газа (концентрация) в нем в направлении х (рис. 2.4) изменя- Рис. 2.4 198 ется. Воспользовавшись тем же, что ив предыдущих случаях методическим приемом, получим суммарный поток газа через сечение S как разницу потоков от * 1 S к S и от * 2 S к S. Пусть * * 1 2 n n > * * * * 1 2 1 2 1 1 1 ( ) 6 6 6 x n n n n ν = υ − υ = Величину * * 1 2 ( ) n n − выразим через градиент концентрации * * 1 Тогда выражение для x ν можно записать в виде 1 3 x dn dx ν = − υλ . (16) Сравнивая (16) с законом Фика для самодиффузии D x dn dx ν = − , видим, что коэффициент самодиффузии связан с микропараметрами газа выражением 1 3 D = υλ , (17) или, если подставить 1/ 2 T m ⎛ ⎞ υ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ и 1 n λ = σ , выражением 1/ 2 1 T D n m ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ σ ⎝ ⎠ , из которого следует, что коэффициент самодиффузии в отличие от χ и зависит от n и, следовательно, от давления газа. Для случая взаимодиффузии ее коэффициент определяется выражением (вывод не приводится) 1 2 2 2 1 1 12 1 2 3( ) n n D n n υ λ + υ λ = + , (18) где n 1 и n 2 – концентрации соответствующих газов, или 3/ 2 12 2 1 2 12 2 2 1 1 1 3 kT D m m pd ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ π ⎝ ⎠ , (19) где d 12 – сумма радиусов частиц газа 1 и 2; р = р +р – суммарное давление газов m 1 и m 2 – соответственно массы частиц газов. |