умк_Вабищевич_Физика_ч.1. умк_Вабищевич_Физика_ч. Учебнометодический комплекс для студентов технических специальностей в двух частях Часть 1 Новополоцк 2005 2 удк 53 (075. 8)
 Скачать 1.81 Mb.
|
|
1.2. Методические указания к лекционным занятиям Вопросы лекции Форма изучения Литература Вопросы для самоконтроля студентов. Законы состояния идеального газа 1.1. Основные понятия 1.2. Давление газа и уравнение Менделеева – Клапейрона 1.3. Газовые законы и явления 1.4. Внутренняя энергия идеального газа 1.5. Степень свободы идеального газа самост. самост. лекция лекция лекция [4, § 91, 97] [3, § 8.1] [4, § 93, 99] [3, § 8.3] [4, § 98] [2, § 1.3] [4, § 94], [3, § 9.2] [3, § 8.4 – 8.6] 1. Что выражает макроскопический параметр температура 2. Сформулируйте основное уравнение МКТ 3. Сформулируйте теорему о равнораспределении энергии по степеням свободы. Какая энергия приходится на одну колебательную степень свободы идеального двухатомного газа 5. Какие газовые явления определяют охлаждение газированной жидкости при испарении углекислого газа из нее. Распределение Максвелла – Больцмана 2.1. Распределение Максвелла 2.2. Газ в потенциальном поле 2.3. Поток частиц газа на стенку 2.4. Средняя энергия частиц газа в потоке на стенку лекция лекция лекция лекция [4, § 106, 107], [3, § 8.6] [4, § 109], [3, § 8.7] – – Что выражает распределение Максвелла Что выражает распределение Максвелла – Больцмана Как определить поток газа на стенку Отчего зависят средние скорости молекул, что они выражают Приведите примеры. Отчего зависит распределение частиц в силовом поле Почему полная энергия частиц в потоке на стенки отличается от энергии частиц в объеме Как определить среднюю энергию частиц в потоке ив объеме Что выражает наиболее вероятная скорость частиц, как ее определить и когда можно использовать 173 1.3. Методические указания к практическим зан ят и ям Тема занятия Задачи Рекомендации Зада чи из сборников Определение макро и микропарам етров идеального газа. Газовые законы и осн овн ое уравнение МКТ2. Внутренняя энергия и степени свободы При решении задач на расчет параметров состояния газа рекомендуется следующая последовательность) выяснить, изменяется ли состояние газа. Если взад аче задано одно состояние газа, то пользуются уравнением Менделеева – Клапейрона, которое связывает между собой пять физических величин, характеризующих состояние газа, – р, V , Т, m , µ – и позволяет поза данным четырем найти пятую величину. Отношение ν = m /µ представляет собой число молей газа, ρ = m /V есть плотность газа, V ′ = V/m – удельный объем газа 2) выяснить, изменяется ли масса газа. Если масса газа изменяется или дана в условии, то для каждого состояния записать уравнение Менделеева – Клапейрона Если масса газа не изменяется, то записать уравнение Клапейрона или один из законов идеального газа 3) представить в развернутом виде параметры начального иконе чн ого состояния газа 4) записать дополнительные уравнения, связывающие искомые величины или параметры состояния, используя условие задачи решить полученную систему уравнений. Надо учитывать, что в уравнение Менделеева Клапейрона входит число молей газа, и поэтому поведение газа определяется нема сс ой, а числом молей. Это особенно важно, если приходится рассматривать смесь газов. Если в условии задачи даются показания технических манометров, то они отображают неполное давление газа в баллоне, а лишь давление, избыточное над атмосферным давлением р атм . Поэтому полное давление газа в баллоне равно показанию манометра, увеличенному на р атм [1 , № 5. 8 – 5. 45] [1 , № 5.47 – Распределение Максвелла – Больцмана. Определение параметров газа пора сп редел ен ию Бо льцм ана 2. Определение доли частиц в заданном диапазоне скоростей и энергий. Определение равновесных концентрации и температуры в потоке и объеме идеального газа В кинетической теории употребляются различные типы средних скоростей молекул средняя квадратичная кв, средняя арифметическая и наиболее вероятная в. Средней квадратичной скоростью кв пользуются в тех случаях, когда необходимо рассчитать какую -ли бо физическую величину, пропорциональную квадрату скорости, например, кинетическую энергию поступательного движения молекул газа, давление газа Ср едняя арифметическая скорость позволяет определять средние значения таких физических величин, характеризующих свойства газа, в формулу которых скорость входит впервой степени, например, среднее число столкновений молекулы в единицу времени, среднее время свободного пробега, средний импульс молекул. Наиболее вероятной скоростью в, пользуются в задачах, связанных с применением закона распределения молекул по скоростям При определении доли частиц, имеющих скорости или энергии в заданном диапазоне можно избежать интегрирования, если ширина этого диапазона очень мала Тогда интегрирование заменяется суммированием, а дифференциалы конечными разностями. При определении средних величин с использование уравнения Максвелла все интегралы сводятся к табличным, что значительно упрощает математические расчеты. Примеры решения задач Законы состояния идеального газа Пример 1. Сколько ходов должен сделать поршневой насос с объемом рабочего цилиндра V 0 , чтобы откачать воздух из баллона емкостью V от давления р 0 до давления р Изменением температуры пренебречь. Решение Если вначале первого рабочего хода воздух в баллоне занимал объем V при давлении р, ток концу первого хода та же масса воздуха займет объем (V + V 0 ) при давлении р. Так как температура воздуха не меняется, то по закону Бойля – Мариотта получим 0 1 0 ( ) p V p V Следовательно 1 Вначале второго хода поршня объем и давление воздуха в баллоне равны соответственно V и p 1 , а в конце хода – ( V + V 0 ) и р. Поэтому 1 2 0 ( ) p V p V V = + , откуда с учетом выражения для давления р 2 2 1 0 0 0 V V p p p V V V Продолжая аналогичные рассуждения, легко получить, что к концу го рабочего хода давление в баллоне станет равным 0 0 n n V p p V Следовательно, для достижения давления р = p насос должен сделать ходов. Ответ 0 0 lg( / ) lg(( ) / ) p p n V V V = + Пример В вертикальном цилиндрическом сосуде под поршнем находится m = = 1 г азота. Площадь поршня S = 10 см, масса Мкг. Азот нагревают на Т = 10 К. Насколько при этом поднимется поршень Давление над поршнем нормальное. Молярная масса азота µ = 28⋅10 -3 кг/моль. Трения нет. Решение В положении равновесия на поршень действуют три силы сила тяжести поршня Mg и силы давления над поршнем 0 0 F p S = и F pS = под поршнем, (где р и р – внешнее давление и давление под поршнем соответственно, направленные так, как показано на рис. 1.6. При этом указанные силы уравновешивают друг друга 0 Mg F F + = , или 0 Mg p Следовательно, давление под поршнем 0 Mg p p S = + (1) зависит только от массы, сечения поршня (сосуда) и давления над ним, те. не зависит от параметров газа под поршнем. Это означает, что процесс нагревания газа, заключенного под незакрепленным поршнем, будет протекать изобарически. В этом случае справедлив закон Гей – Люссака: 1 2 1 2 V V T T = , или 2 2 1 1 V T V T = , где 1 1 2 2 , V Sh V Sh = = – объемы, занимаемые азотом дои после нагревания. Следовательно, при нагревании газа его объем увеличится и поршень поднимется на высоту 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 V V V V V T h h h S S V S T ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − ∆ = − = = − = − = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1 2 1 1 1 ( ) V V T T T ST ST − = ∆ . (2) Записав уравнение состояния азота при температуре T 1 1 1 m pV RT = µ , c учетом (1) 0 1 1 Mg m p V RT S ⎛ ⎞ + = ⎜ ⎟ µ ⎝ ⎠ , или 1 1 0 V mR Mg T p S = ⎛ ⎞ µ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , Рис. 1.6 из (2) получим 0 0 2,7 см T mR T h Mg Mg p S p S S ∆ ∆ ∆ = = ≈ µ ⋅ + ⎛ ⎞ µ Ответ 0 2,7 см T h Mg p S ∆ ∆ = ≈ µ Пример Гелий массой m = 20 г бесконечно медленно переводят из состояния 1, которому соответствует объем V 1 = 32 ли давление p 1 = 4,1 ⋅10 5 Пав состояние 2, где V 2 = 9 ли Па. Какой наибольшей температуры достигает газ в этом процессе, если на диаграмме p – V зависимость давления от объема изобразится прямой линией Молярная масса гелия µ = 4⋅10 -3 кг/моль. Решение. Каждой точке на графике зависимости давления газа от занимаемого им объема (рис. 1.7) соответствует определенное значение температуры. Графически состояние, в котором температура гелия максимальна, можно определить, построив семейство изотерм. При этом изотерма, соответствующая наибольшей температуре (очевидно, что прямая зависимости давления от объема должна быть касательная к ней, определит значения давления р и объема V 0 , при которых температура максимальна. Аналитически значения р и V 0 легко найти. Исследовав на экстремум зависимость температуры от давления или объема. Поскольку давление зависит от объема линейно, те. p aV b = + , (1) то с учетом (1) уравнение Менделеева – Клапейрона можно записать в виде ( ) T aV b V mR µ = + . (2) Рис. 1.7 Следовательно (2 ) dT aV b dt mR µ = + ; 0 2 0 aV b + = ; 0 2 b V a = − . (3) Подставив значение V 0 в (1), получим 0 Так как зависимость T(V) имеет один экстремум, то найденные значения объема V 0 и давления р соответствуют состоянию газа с максимальной температурой 2 max 0 0 ( ) 4 b T aV b V mR mR a µ µ = + = Записав уравнение процесса (1) в начальном и конечном состояниях 1 1 p aV b = + , 2 2 p aV b = + , найдем значения коэффициентов a и b: 7 3 1 2 1 2 5 10 Па/м p p a V V − = = − ⋅ − ; 6 2 1 1 2 1 2 2 10 Па V p V b V V − = = Следовательно 2 2 1 1 2 max 1 2 2 1 ( ) 481 K 4 ( )( ) p V p V T mR Решение можно упростить, если заметить, что зависимость (2) температуры от объема имеет вид параболы, координата вершины которой совпадает с (3). Ответ 2 2 1 1 2 max 1 2 2 1 ( ) 481 K 4 ( )( ) p V p V T mR V Пример В цилиндр с газом вдвигают поршень со скоростью υ 1 . Найти, какую часть кинетической энергии приобретает молекула в результате столкновения с поршнем, если скорость молекулы относительно стен цилиндра равна υ 2 и перпендикулярна основанию поршня. Удар абсолютно упругий. Решение Обозначим ∆Е К изменение кинетической энергии молекулы вследствие удара, Е К1 – энергию молекулы перед ударом. Найти надо соотношение ∆Е К / Е К1 . При сближении молекулы с поршнем ее скорость относительно поршня равна 1 2 υ + υ . После абсолютно упругого удара молекула станет двигаться в обратную сторону от поршня с такой же относительно него скоростью. Относительно стенок цилиндра скорость молекулы после удара станет на υ 1 больше, чем относительно поршня, ведь поршень сообщает ей дополнительный импульс, двигаясь сам со скоростью υ 1 относительно стенок. Поэтому скорость молекулы относительно стенок станет равна 1 2 2 υ + υ , а ее кинетическая энергия 2 1 2 2 (2 ) 2 M K m E υ + υ = , тогда как до удара она была 2 2 2 2 M K m E υ = . Здесь m M – масса молекулы газа. Изменение кинетической энергии молекулы 2 2 1 2 2 2 1 (2 ) 2 2 M M K K K m m E E E υ + υ υ ∆ = − = − = 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 ( 4 4 ) 2 ( ) 2 M M m m = υ + υ υ + υ − υ = υ υ + υ . Относительное изменение кинетической энергии 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 ( ) ( ) 4 2 K M K M E m E m ∆ υ υ + υ υ υ + или 1 1 1 2 2 Если скорость поршня υ 1 во много раз меньше скорости молекулы υ 2 , то слагаемым υ 1 / υ 2 в скобках можно пренебречь из-за его малости по сравнению с единицей. Тогда ответ будет 1 1 2 Ответ 1 1 1 2 2 4 1 K K E E ⎛ ⎞ ∆ υ υ = + ⎜ ⎟ υ υ ⎝ ⎠ Пример В баллоне находится газ при температуре 1 17 t C = . Во сколько раз уменьшится давление этого газа, если 20 % его выйдет из баллона, а температура при этом понизится на 10 t C ∆ = ? Решение Введем обозначения ∆m – масса газа, покинувшего баллон первоначальная масса газа, ∆m/m 1 = 20 % = 0,2 – относительное изменение массы газа в баллоне, р – давление в баллоне до выхода из него газа, р – давление после выхода газа. Требуется найти соотношение р 1 /р 2 Очевидно, что объем газа в баллоне не менялся, несмотря на то, что газ его частично покинул, ведь объем газа в баллоне равен объему баллона, а изменялись давление, температура и масса газа. Запишем уравнение состояния газа применительно к началу и концу процесса выхода газа из баллона 1 1 1 m p и 2 2 2 m p Нам надо найти отношение р 1 /р 2 , поэтому разделим первое уравнение на второе 1 1 1 2 2 2 p V m RT M p V Mm RT = , 1 1 1 2 2 2 p m T p m T = . (1) Нам известно относительное изменение массы газа 1 2 2 1 1 1 m m m m m m m ∆ − = = − , откуда 2 1 1 1 m m m m ∆ = и 1 2 1 1 1 m m m m = ∆ − . (2) Поскольку температура газа понизилась на t T ∆ = ∆ , то 2 1 T T T = − ∆ . (3) Подставив (2) ив, получим 1 1 2 1 1 1 ( ) p T p m T T m = ⎛ ⎞ ∆ − ⋅ − ∆ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Переведем единицу температуры в СИ 17 (17 273) 290 Напоминаем, что к 10 t C ∆ = не надо прибавлять 273, потому что разность температур по шкалам Цельсия и Кельвина одинакова t T ∆ = ∆ К. Произведем вычисления 1 2 290 1,3 (1 0,2)(290 Ответ Пример Цилиндр разделен на две части подвижной теплоизолирующей перегородкой. При одинаковой температуре по обе стороны перегородки находится одинаковое число молей газа, и при этом перегородка остается в равновесии. Затем справа от перегородки температуру газа повышают в три раза, а слева оставляют без изменения. Во сколько раз изменится давление газа в сосуде Введем обозначения Т температура газа в сосуде до нагревания газа и температура газа слева от перегородки после нагревания, Т температура газа справа от перегородки после нагревания, р – первоначальное давление газа в сосуде, р – давление газа в сосуде после нагревания. Найти требуется отношение р 2 / р 1. Решение. Для решения задачи воспользуемся уравнением состояния идеального газа. Применим это уравнение к состоянию газа справа от перегородки дои после нагревания, а также к состояниям газа слева от перегородки. Теперь давайте подумаем вот о чем до нагревания перегородка была в равновесии, значит, давление р слева и справа от нее было одинаковыми одинаковой была температура Т. Одинаковым было (и осталось) число молей ν в обеих частях. Следовательно, согласно уравнению Менделеева – Клапейрона pV RT = ν и объем газа V слева и справа от перегородки до нагревания был одинаковым, те. перегородка делила вначале сосуд пополам (риса. Тогда уравнение состояния применительно Риск начальному состоянию газа в любой из половинок запишем так 1 1 p V R T = ν . (1) Здесь R – молярная газовая постоянная. После нагревания газа справа от перегородки до температуры Т давление там повысилось до р, и перегородка передвинулась влево, сжав слева газ так, что там давление тоже стало равным р. При этом объем газа справа от перегородки увеличился на ∆V и стал равным V + ∆V , а слева настолько же уменьшился и стал равным V – ∆V (см. рис. 1.8, б. Количество молей в обеих частях сосуда от этого, конечно жене изменилось. Тогда уравнение Менделеева – Клапейрона применительно к газу слева от передвинувшейся перегородки примет вида справа 2 2 ( ) p V V RT + ∆ = ν , где 2 1 3 T T = согласно условию задачи, поэтому 2 1 ( ) 3 p V V R T + ∆ = ν ⋅ . (3) Посмотрим внимательно на уравнения (1), (2) и (3). Нам надо найти отношение р 2 /р 1 , и нам практически неизвестна ни одна величина, входящая в эти уравнения. Но выход есть. Давайте сначала уйдем от изменения объема ∆V , выразив эту величину через объем Для этого можно в правую часть уравнения (3) подставить вместо левую часть уравнения (2). Тогда давление р сократится и мы определим ∆V через V 2 2 ( ) 3 ( ) p V V p V V + ∆ = − ∆ ; 3 3 V V V V + ∆ = − ∆ ; 4 2 V V ∆ = и 0,5 V V ∆ = . (4) Если теперь подставить (4) в (2), а затем приравнять левые части полученного уравнения и уравнения (1), ведь правые части 1 RT ν у них одинаковы, то неизвестный объем V сократится и мы легко найдем отношение давлений р 2 /р 1 : 2 1 ( 0,5 ) p V V RT − = ν ; 2 1 0,5 p V RT = ν ; 1 2 0,5 p V p V = , откуда 2 Ответ 1 2 p p = , давление увеличится в 2 раза. Распределение Максвелла – Больцмана Пример Сравнить полное число молекул в атмосферном столбе с основанием в 1 см с числом молекул в столбе высотой 1000 ми тем же основанием. Решение Пусть число молекул в единице объема при h = 0 равно N 0 , тогда распределение числа этих частиц по высоте будет определяться выражением 0 0 ( ) mgh gh kT RT N h N e N Полное число молекул в столбе с основанием в 1 см и заданной высотой 0 0 0 0 ( ) ( ) (1 ) gh gH H H RT RT RT N H N z dz N e dz N e g µ µ − − = = = − µ ⋅ ∫ ∫ , где µ – молярная масса воздуха. Подставив численные значения высоты, получим 25 1 ( ) 2,1 10 N H → ∞ = ⋅ и 3 25 2 ( 10 ) 0,25 10 N Сравнить можно отношением или разностью N. Ответили Пример На какой высоте находится центр масс вертикального столба воздуха в атмосфере Земли, если температура воздуха Т не зависит от h. Считать, что для воздуха имеет место распределение Больцмана. Решение Пусть площадь сечения столба S. Выделим на некоторой высоте h слой воздуха толщины dh, его масса dm = ρ(h) ⋅ S ⋅ dh, где ρ(h) – плотность воздуха на высоте h. Поскольку ρ(h) = m ⋅ n(h), где m – масса молекулы, а n(h) – концентрация молекул на высоте h, которая определяется из распределения Больцмана 0 ( ) mgh kT n h n Из курса механики известно, что центр масс системы частиц тела с непрерывным распределением массы определяется известным соотношением или c c i i M r r m = ∑ , которое в нашем случае имеет вид 183 Вычислим интегралы 0 0 0 0 0 0 mgh mgh kT kT mn SkT n SkT dm mn S e dh e mg g ∞ ∞ ∞ − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = = − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ ; 2 0 0 2 0 0 0 ( ) ( ) mgh kT n S kT hdm hmn h Sdh mn S Откуда находим Таким образом, центр масс вертикального столба воздуха находится на высоте, на которой концентрация молекула, следовательно, потенциальная энергия молекул и давление газа уменьшаются враз. Пример Вычислить среднюю потенциальную энергию молекулы газа в поле силы тяжести. Решение Среднее значение потенциальной энергии молекулы газа на высоте z определяется выражением 0 ( ) U mg zdW z ∞ = ∫ , где dW(z) – вероятность того, что потенциальная энергия молекулы заключена винтер- вале от U до U + dU в поле тяжести Земли 0 ( ) mgz kT mgz kT e dW z e dz − ∞ Тогда 2 0 0 mgz kT mgz kT kT ze dz mg U mg mg kT kT e dz mg ∞ − ∞ − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = = = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ , |