умк_Вабищевич_Физика_ч.1. умк_Вабищевич_Физика_ч. Учебнометодический комплекс для студентов технических специальностей в двух частях Часть 1 Новополоцк 2005 2 удк 53 (075. 8)
 Скачать 1.81 Mb.
|
|
Учебно-методическая структура модуля Модуль № 1. Механика материальной точки 1. Учебный блок Кинематика материальной точки 2. Учебный блок Динамика поступательного движения 3. Учебный блок Колебательное движение – системы координат – кинематические характеристики средняя и мгновенная скорости – среднее и мгновенное ускорения – движение по окружности – принцип относительности – законы Ньютона – силы в природе – центр масс системы – работа и энергия – поле сил – взаимодействие материальных точек – две формы уравнения колебаний – энергия при колебательном движении – затухающие колебания – вынужденные колебания – резонанс – сложение колебаний Методическая программа модуля Тема занятия Тип занятия Вид занятия Часы. Механика материальной точки формирование новых знаний вводная лекция 1 2. Кинематика поступательного движения материальной точки формирование новых знаний лекция 1 3. Механика материальной точки диагностические тесты) занятие-проверка результатов обучения практическое занятие 1 4. Прямолинейное движение материальной точки углубление и систематизация навыков практическое занятие 1 5. Кинематика криволинейного движения материальной точки формирование новых знаний лекция 2 6. Криволинейное движение материальной точки углубление и систематизация навыков практика 2 7. Динамика поступательного движения. Основные понятия и законы формирование новых знаний лекция 2 8. Силы в природе. Законы Ньютона. Импульс силы, импульс материальной точки углубление и систематизация навыков практическое занятие 2 9. Законы сохранения в механике материальной точки формирование новых знаний лекция 2 10. Работа и энергия в механике. Силовое поле углубление и систематизация навыков практическое занятие 2 11. Колебательное движение материальной точки формирование новых знаний лекция 2 Окончание табл. Две формы уравнения колебаний углубление и систематизация навыков практическое занятие 2 13. Виды колебаний. Сложение колебаний. Резонанс формирование новых знаний лекция 2 14. Механика материальной точки по графику из списка лабораторных работ) формирование новых знаний лабораторное занятие 4 15. Вынужденные и затухающие колебания. Сложение колебаний формирование новых знаний практическое занятие 1 16. Механика материальной точки занятие-проверка результатов обучения итоговое занятие 1 12 1. УЧЕБНЫЙ БЛОК КИНЕМАТИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Введение Кинематика – раздел механики, в котором изучается движение тел, ноне рассматриваются причины, вызывающие это движение. Любое сложное движение может быть представлено совокупностью простейших движений поступательного, колебательного и вращательного. При поступательном ив ряде случаев колебательного движений формой и размерами тела можно пренебречь, так как от них не зависят закономерности движения. В этом случае тела заменяются их моделью – материальной точкой, те. объектом, не имеющим размеров, но обладающим массой. В настоящем учебном блоке рассматриваются закономерности поступательного движения, поэтому они рассматриваются с использованием модели материальной точки (м.т.). Представление движущегося тела материальной точкой возможно только в случае, когда все его элементы движутся по одинаковым траекториям. Это является признаком (критерием) поступательного движения. Для описания движения используются системы координат. Программа данного учебного блока предусматривает получение навыков использования прямоугольной (декартовой) и сферической систем координат. Критерием выбора той или иной системы координат являются наибольшая простота получаемых уравнений движения и наименьшее их количество. Для успешного изучения учебного материала данного блока учащийся должен в рамках программы средней школы иметь представление – об основных кинематических характеристиках движения обладать навыками – использования прямоугольной системы координат – сложения и вычитания векторов – дифференцирования и интегрирования простейших функций. Учебная программа блока Содержание блока Форма подготовки Литература 1. Система сферических и прямоугольных координат. Связь систем координат лекция, самост. [4] 2. Траектория, путь, перемещение, уравнение траектории самост. [3], [4] 3. Скорость средняя, мгновенная самост. [3] Окончание табл. 4. Ускорение среднее, мгновенное самост. [3] 5. Криволинейное движение. Угловая скорость и угловое ускорение. Нормальное, тангенциальное, полное ускорения самост., лекция [3], [4] 6. Принцип относительности и суперпозиция движений. Сложение скоростей и ускорений лекция [2], [3], [4] Цели обучения студент должен знать студент должен уметь – способы задания положения материальной точки в декартовой и сферической системах координат – основные кинетические величины, характеризующие движение материальной точки траектория, перемещение, пройденный путь, скорость и ускорение материальной точки – основные кинематические величины, характеризующие движение материальной точки по окружности угловое перемещение, угловая скорость, угловое ускорение – связь между линейными и угловыми кинематическими величинами – принципы относительности и суперпозиции движений сложение перемещений, скоростей, ускорений. – определять координаты точки по ее радиус- вектору – определять радиус-вектор точки по ее координатам находить значение скорости и ускорения материальной точки по известной зависимости от времени ее радиус-вектора; – рассчитывать величину перемещения и пройденного пути – получать уравнение траектории движения материальной точки – использовать принцип независимости движений при решении задач по движению тела – находить тангенциальное, нормальное, полное ускорения тела и радиус кривизны траектории при криволинейном движении – находить угловую скорость, угловое, нормальное, тангенциальное и полное ускорения при круговом движении по зависимости от времени угла поворота радиус-вектора 1.1. Краткое содержание теоретического материала Положение материальной точки в пространстве в данный момент времени задается с использованием системы координат относительно некоторой точки тела) отсчета, которая является началом системы координат. Отрезок, соединяющий точку отсчета О (рис. 1.1) и материальную точку (м.т.) и направленный к м.т., называется радиус-вектором ( r ). Рис. 1.1 Хотя r определяет положение м.т., описать это положение сего помощью невозможно, т.к. для этого необходимо описать направление r . Поэтому для описания положения м.т. используют системы координат, в частности прямоугольную (см. рис. 1.1). В этой системе проекции r на взаимноперпендику- лярные оси координат x , y , z полностью определяют модуль и направление r r xi yj zk = + + , (1) если выбраны (заданы) орты (единичные векторы) системы координат. В скалярной форме (1) запишется через координаты в виде 2 2 2 r x y z = + + . (2) В ряде случаев, например – движения м.т. по сферической поверхности, удобно использовать сферическую систему координат, в которой параметрами являются модуль радиус-вектора – r, азимутальный угол – β и полярный угол – α (рис. 1.2). При этом параметры прямоугольной и сферической систем координат связаны соотношением) и (3). 2 2 arccos x x y β = + ; (3) 2 2 arccos x y r + α или 2 2 arccos z x y α = + . (4) Таким образом в любой выбранной системе координат достаточно трех параметров для описания положения материальной точки. Сферическая система координат в дальнейшем будет привлекаться только в тех случаях, где она более удобна, чем прямоугольная. При движении материальной точки ее координаты и радиус-вектор изменяются со временем, а сама материальная точка (конец r ) описывает в пространстве линию, которая называется ее траекторией. Законом движения или уравнением траектории в векторной форме называется зависимость радиус-вектора материальной точки от времени ( ) ( ) ( ) ( ) r r t x t i y t j z t k = = + + , (5) Рис. 1.2 Это уравнение эквивалентно трем уравнениям для координат ( ) x x t = ; ( ) y y t = ; ( ). z z t = (6) Для получения уравнения траектории материальной точки в явном виде из системы (6) необходимо исключить время t, те. получить зависимость координат друг от друга. По форме траектории бывают прямолинейными и криволинейными. Если при движении материальная точка находится все время водной плоскости, то такое движение называется плоским При этом можно использовать неполную систему координат, например хоу, х или zoy. Вектор перемещения и отрезок пути материальной точки Скалярную величину ∆S, равную расстоянию вдоль траектории, пройденному точкой заданный промежуток времени, называют отрезком пути материальной точки (путем. Путь положителен всегда ив процессе движения может только возрастать. Пусть за время ∆t материальная точка переместилась из точки М в точку М, пройдя вдоль траектории отрезок пути ∆S (рис. 1.3). Вектор r ∆ , проведенный изначальной точки М в конечную точку М, называется вектором перемещения материальной точки за время ∆t ( ) ( ) r r t t r t ∆ = + ∆ − , или r xi yj zk ∆ = ∆ + ∆ + ∆ , (7) где / x x x ∆ = − ; / y y y ∆ = − ; / z z z ∆ Из рис. 1.3 видно, что при криволинейном движении отрезок путине равен величине вектора перемещения 2 2 2 ( ) ( ) ( ) r x y z ∆ = ∆ + ∆ + Вектором средней скорости за время ∆t называется отношение вектора перемещения материальной точки ко времени, за которое оно совершено x y z r x y z i j k i j k t t t t ∆ ∆ ∆ ∆ < υ >= = + + =< υ > + < υ > + < υ > ∆ ∆ ∆ ∆ . (8) Направление вектора < υ > совпадает с r ∆ (риса абсолютная величина равна Рис. 1.3 * 16 2 2 2 2 2 2 | | | | x y z r x y z t t t t ∆ ∆ ∆ ∆ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ < υ > = = < υ > + < υ > + < υ > = + + ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ∆ ∆ ∆ ∆ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ (9) Средней путевой скоростью за время ∆t называется отношение отрезка пути ∆S к ∆t : ср S t ∆ υ = ∆ (10) Средняя путевая скорость является скалярной величиной. Так как ∆S = | | r ∆ только в случае движения с неизменной по направлению скоростью, тов общем случае средняя путевая скорость не совпадает с модулем вектора средней скорости р | | с υ ≠ < υ Вектор скорости материальной точки ( ) t υ в данный момент времени определяется как предел, к которому стремится вектор средней скорости < υ > за время от t допри безграничном уменьшении промежутка времени ∆t / 0 0 ( ) lim lim ( ), t t r t r t t ∆ → ∆ → ∆ υ = < υ где штрих означает производную повремени, которую принято записывать в виде / ( ) ( ) , dr t r t dt υ = = (11) где dr – перемещение материальной точки за бесконечно малый промежуток времени dt . Заметим, что при 0 t ∆ → вектор r dr ∆ → и направлен в сторону движения по касательной к траектории материальной точки в момент времени, а по абсолютной величине | | dr dS = (12) 0 ( ) lim x y z t dr x y z dx dy dz t i j k i j k i j k dt t t t dt dt dt ∆ → ∆ ∆ ∆ ⎧ ⎫ υ = = + + = + + = υ + υ + υ ⎨ ⎬ ∆ ∆ ∆ ⎩ ⎭ , (13) где проекции вектора скорости на оси декартовой системы координата модуль вектора скорости 2 2 2 2 2 2 x y z dx dy dz dt dt dt ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ υ = υ = υ + υ + υ = + + ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ (15) Таким образом вектор скорости материальной точки ( ) t υ направлен по касательной к траектории в сторону движения, его проекции на оси OX, OY, OZ определяются соотношениями (14), а абсолютная величина – выражением. Модуль вектора скорости (используя (12)) также можно определить с помощью выражения , dr dS dt dt υ = υ = = (16) те, взяв производную от пути повремени. Пусть материальная точка, перемещаясь по своей траектории (рис. 1.4), находилась в момент времени t в точке М, а в момент времени t + ∆t – в точке М Векторы скорости ( ив точках Ми М направлены по касательным к траектории. Если движение материальной точки криволинейное, то, очевидно, направления ( ) t υ и ( ) t t υ + ∆ не совпадают. Перенесем начало вектора ( ) t t υ + ∆ , не изменяя его направления, в точку Ми соединим вектором конец вектора ( ) t υ с концом перенесенного вектора ( ) t t υ + ∆ ( ) ( ). t t t ∆υ = υ + ∆ − υ (17) Вектором среднего ускорения за время ∆ t называют отношение приращения вектора скорости ∆υ ко времени, за которое оно совершено a t ∆υ < >= ∆ (18) Направление вектора a < > совпадает с направлением ∆υ (см. рис. 1.4). Выражение (18) при ∆ t, стремящемся к нулю, определяет вектор ускорения материальной точки в момент времени t (мгновенное ускорение) / 0 lim ( ) , t d a t t dt ∆ → ∆υ υ = = υ = ∆ (19) где d υ – приращение вектора скорости за бесконечно малый промежуток времени Выражение (19) можно записать в виде y x z x y z d d d a i j k a i a j a k dt dt dt υ υ υ = + + = + + (20) Рис. 1.4 Следовательно, проекции вектора ускорения на координатные оси x x d a dt υ = ; y y d a dt υ = ; , z z d a dt υ = (21) а модуль вектора ускорения 2 2 2 2 2 2 y x z x y z d d d a a a a a dt dt dt υ ⎧ ⎫ υ υ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ = = + + = + + ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ (22) Следует отметить, что понятие, аналогичное υ ср (10), для ускорения не используется. Если речь идет о среднем ускорении, то имеется ввиду вектор среднего ускорения > (18). Если траектория материальной точки лежит в плоскости XOY , то вектор ускорения a всегда можно разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие (рис. 1.5) , n a a a τ = + (23) где нормальное (или центростремительное) и a τ – тангенциальное или касательное) ускорения материальной точки. Вектор n a всегда направлен к центру кривизны траектории 0' в точке М, а вектор a τ лежит на касательной к траектории в точке Ми может быть направлен как в сторону движения, таки в противоположную сторону. Такое разложение вектора ускорения a часто необходимо в связи стем, что вектор скорости материальной точки υ может изменяться как по направлению, таки по абсолютной величине. Нормальное ускорение n a характеризует быстроту изменения направления вектора скорости материальной точки. Тангенциальное ускорение a τ характеризует быстроту изменения модуля скорости материальной точки. Можно показать, что абсолютные значения n n a a = и a a τ τ = определяются соотношениями 2 n a R υ = ; (24) d a dt τ υ = , (25) где υ = υ – модуль скорости материальной точки R – радиус кривизны траектории в данный момент времени. Рис. 1.5 Из (24) – (25) видно, что 0 n a ≥ (причем 0 n a = при прямолинейном движении R → ∞ ), 0 a τ > при ускоренном движении материальной точки, 0 a τ < , если материальная точка движется замедленно, и 0 a τ = при равномерном движении. Из (23) ирис следует, что абсолютные значения величин , , n a a связаны между собой соотношением 2 2 n a a a a τ = = + (26) Понятия скорости и ускорения являются относительными и зависят от выбора системы координат. Пусть имеется неподвижная система отсчета К и система отсчета К движущаяся поступательно (углы между осями ОХ и ОХ OY и 0Z и O'Z' остаются все время постоянными) относительно К (рис. Положение материальной точки М в системах отсчета К и Кв один и тот же момент времени определяется радиус- векторами r и / r соответственно. Из рис. 1.6 видно, что / 0 r r r = + , (27) где 0 r – радиус-вектор начала координат О системы Кв системе К. Взяв производную повремени от левой и правой частей уравнения (27), получим / 0 dr dr dr dt dt dt = + или / 0 , υ = υ + υ (28) где υ– скорость материальной точки относительно неподвижной системы отсчета К / υ – скорость материальной точки относительно движущейся системы отсчета К – относительная скорость, 0 υ – скорость поступательного движения системы отсчета К относительно системы К – переносная скорость Продифференцировав (28) еще раз повремени, получим / 0 d d d dt dt dt υ υ υ = + или / 0 , a a a = + (29) где a – ускорение материальной точки в системе К / a – ее ускорение в системе К, 0 a – ускорение системы отсчета К относительно К. Соотношение) представляет собой правило сложения скоростей. Рис. 1.6 Из полученных правил сложения скоростей (28) и ускорений (29), в частности, следует, что если материальная точка участвует в нескольких движениях со скоростями, 1 2 3 , , ,... υ υ υ и ускорениями 1, 2 3 , ,..., a a a то результирующие скорость υ и ускорение a материальной точки относительно неподвижной системы отсчета К определяются выражениями 1 2 3 υ + υ + υ + ; (30) 1 2 3 a a a + + + . (31) Кинематика движения материальной точки по окружности Пусть материальная точка совершает движение по окружности радиусом R. Выберем систему координат, плоскость XOY которой совпадает с плоскостью движения материальной точки, а начало координат совпадает с центром окружности, описываемой материальной точкой (рис. 1.7). Скорость движения материальной точки υ, направленная по касательной к траектории, всегда перпендикулярна радиус-вектору материальной точки r , а величина радиус-вектора r R = не меняется со временем. При движении материальной точки по окружности, кроме скорости υ, которую часто называют линейной скоростью, удобно использовать понятие угловой скорости материальной точки ω. Средней угловой скоростью < ω> материальной точки на данном участке движения называется величина, равная отношению угла поворота ∆ϕ радиус-вектора точки за некоторый промежуток времени ∆t к этому промежутку времени , t ∆ϕ < ω а угловую скорость ω определим, как предел, к которому стремится <ω> при ∆t → 0: 0 0 lim lim , t t d t dt ∆ → ∆ → ∆ϕ ϕ ω = < ω >= = ∆ (32) где d ϕ – угол, на который поворачивается радиус-вектор материальной точки r за бесконечно малый промежуток времени dt. Рис. 1.7 Легко найти связь между угловой скоростью ω и модулем линейной скорости υ материальной точки. За время dt материальная точка пройдет путь dS по дуге окружности радиусом R (см. рис. 1.7), причем dS Rd = ϕ . (33) Очевидно, что, независимо от характера движения, путь ∆S, пройденный точкой за промежуток времени ∆t, будет равен ∆S = R∆ϕ, где ∆ϕ – угол поворота радиус-вектора точки за этот промежуток времени. Поскольку величина линейной скорости (см. (16)) , dS dt υ = (34) то, подставив (33) в (34) с учетом (32), получим Rd R dt ϕ υ = = ω (35) Угловым ускорением материальной точки называется величина, равная пределу, к которому стремится отношение приращения угловой скорости ∆ω за промежуток времени ∆t к этому промежутку времени при стремлении последнего к нулю 0 lim , t d t dt ∆ → ∆ω ω ε = = ∆ (36) те. производной от угловой скорости повремени. Из (36) видно, что ε > 0, если угловая скорость материальной точки ω увеличивается со временем, ε < 0, если угловая скорость уменьшается со временем, и ε = 0, если ω = const. Используя соотношения (35) – (36), можно найти нормальное n a и тангенциальное a τ ускорения материальной точки при ее движении по окружности радиусом R 2 2 n a R R υ = = ω ; (37) d d a R R dt dt τ υ ω = = = ε (38) Тогда полное ускорение материальной точки 2 2 4 2 n a a a R τ = + = ω + ε . (39) |