умк_Вабищевич_Физика_ч.1. умк_Вабищевич_Физика_ч. Учебнометодический комплекс для студентов технических специальностей в двух частях Часть 1 Новополоцк 2005 2 удк 53 (075. 8)
 Скачать 1.81 Mb.
|
|
движением Вынужденными колебаниями называются незатухающие колебания системы, которые вызываются действием на нее внешних сил F , периодически изменяющихся стечением времени. Вынужденными являются колебания силы тока в сети переменного тока, колебания гребных винтов, лопаток и валов турбин под действием периодически изменяющихся внешних сил. Второй закон Ньютона для вынужденных колебаний имеет вид упр сопр F F F ma + + = . (15) Рис. 3.2 Если сила изменяется по закону 0 cos( ) F F t = ω , F 0 – амплитуда возмущающей силы, ω – ее циклическая частота, тов системе, на которую действует такая сила, могут установиться вынужденные колебания, которые являются также гармоническими и происходят с циклической частотой, равной частоте вынуждающей силы. Записывая уравнение в проекциях, получаем дифференциальное уравнение вынужденных колебаний cos o kx b F t ma − − υ + ω = , 2 0 0 2 2 cos F d x dx x t dt m dt + β + ω = ω . (16) Установившиеся колебания происходят по закону cos( ) x A t = ω + ϕ , где А – амплитуда вынужденных колебаний физической величины (например, смещения, ϕ – разность фаз между вынужденными колебаниями хи силы F(t). Амплитуда А установившихся вынужденных колебаний определяется по формуле ( ) 0 2 2 2 2 2 А − ω + β ω , (17) где ω 0 – циклическая частота собственных незатухающих колебаний системы. Разность фаз между колебаниями силы и смещения определяется соотношением 2 2 0 2 tg βω ϕ = − ω − ω . (18) Графики зависимости амплитуды и разности фаз от частоты при различных коэффициентах затухания, приведены на рис. 3.3. Рис. 3.3 Из уравнения (17) следует, что амплитуда вынужденных колебаний достигает наибольшего значения при частоте вынуждающей силы, не совпадающей с частотой собственных незатухающих колебаний ω 0 : 2 2 0 р = ω − β . (19) Явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении циклической частоты вынуждающей силы к значению р называется резонансом. Соответственно величина р называется резонансной циклической частотой, а кривые зависимости А) – резонансными кривыми. Явление резонанса используется в акустике для анализа звуков, их усиления и т.д. Под действием периодически изменяющихся нагрузок в машинах и различных сооружениях могут возникать явления резонанса, которые иногда бывают опасны для эксплуатации машин. Можно показать, что резонансная частота для амплитуды ускорения определяется соотношением 2 0 2 2 0 2 уск р ω ω = ω − β . (20) Так как ускорение определяет силы, действующие на систему, приближение системы к этой частоте колебаний может привести к разрушению системы. Резонансная частота для амплитуды скорости равна собственной частоте ω 0 колебаний механической системы. Сложение колебаний Как и любой вид движения, колебательное движение может быть результатом нескольких колебательных движений, в которых участвует одновременно система. В этом случае, для определения характеристик результирующего колебательного движения в соответствии с принципом суперпозиции в механике осуществляют сложение колебаний. Сложение колебаний может осуществляться аналитически путем совместного решения уравнений колебаний, в которых участвует система или графическим методом. Последний в ряде случаев может оказаться более продуктивным. При графическом методе каждое колебание представляется радиус- вектором (рис. 3.4), модуль которого равен амплитуде колебаний. Радиус- вектор вращается в системе (х y ) координат с циклической частотой колебаний. Вращение начинается из положения, определяемого начальной фазой. При этом отклонение системы от равновесия в заданный момент времени определяется проекцией радиус-вектора на ось системы координат, относительно которой отсчитывается начальная фаза (ось хна рис. 3.4). Одновременное сложение двух колебаний можно осуществлять, если колебания происходят водной плоскости. Если колебания осуществляются в разных плоскостях, то сложение производится попарно последовательно с учетом изменения положения координатной плоскости (х у. При сложении колебаний одинакового направления и одинаковой частоты 1 1 1 cos( ) x A t = ω + ϕ и 2 2 2 cos( ) x A t = ω + ϕ удобно воспользоваться методом векторных диаграмм (рис. 3.5). В этом случае говорят о когерентных колебаниях, те. колебаниях одинаковой частоты, разность фаз между которыми постоянна во времени. Результирующая амплитуда при сложении двух колебаний равна 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 cos( ) A A A A A = + + ϕ − ϕ . Начальная фаза результирующего колебания определяется соотношением +Гармонические колебания, частоты которых различны, некогерентные, так как разность фаз непрерывно изменяется стечением времени. Негармо- нические колебания, получающиеся при сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний 1 1 cos( ) x A t = ω и 2 2 cos( ) x A t = ω с близкими частотами, называют биениями (рис. 3.6). Уравнение биений имеет вид Х Y Рис. 3.4 Рис. 3.6 Рис. 3.5 ϕ 1 ϕ 2 ϕ X 79 2 1 2 1 2 cos cos 2 2 x A t t ω − ω ω + Период биений и частота биений равны 2 1 2 2 T π π = = ∆ω ω − ω , 2 б = ν − ν . При сложении двух перпендикулярных колебаний точка одновременно колеблется вдоль осей координат ОХ и О по законами. Уравнение траектории результирующего движения точки в плоскости можно найти, исключив из выражений для x и у параметр t . После преобразований получаем уравнение траектории 2 2 2 2 2 2 cos sin x y xy AB A B + + ϕ = ϕ , представляющее собой общее уравнение эллипса. Поэтому результирующее движение точки называют эллиптически поляризованными колебаниями. Ориентация осей эллипса, его размеры зависят от амплитуд складываемых колебаний и разности фаз 1. Если ϕ = (2 m + 1) π/2, где m – целое число, то оси эллипса совпадают с осями ОХ и О, а размеры полуосей равны Аи В 2 2 2 2 1 x y A B + = . Кроме того, если А = В, то траектория точки – окружность. Такое результирующее движение точки называют циркулярно-поляризованными колебаниями или колебаниями, поляризованными по кругу. 2. В тех случаях, когда ϕ = m π, где m – целое число, эллипс вырождается в отрезок прямой ( ) у В Ах Знак плюс соответствует четным значениям m , те. сложению синфазных колебаний, знак минус – нечетным m , те. сложению колебаний, происходящих в противофазе. В этих случаях точка совершает линейно поляризованные колебания. 80 3.2. Методические указания кл bbекциоbbннымbb занятиям Во про сы лекции Форма изучения Литература Во про сы для самоконтроля студентов. К оле бат ельн ое движ ение мат ери ал ьн ой то ч к и Гармо нические колебания (механические) и их характеристики Дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Квазиупругая сила Пе ри од колебаний пружинного, математического маятников Закон сохранения энергии для колебательной системы Диаграммный способ представления колебаний са мост. +лекция лекция лекция лекция, § 27 .1] [2 , § 27 .2] [2 , § Каков основной признак колебательного движения Назовите условия возникновения колебаний Запишите уравнение гармонических колебаний в всех возможных формах 3.Как из этого уравнения найти скорость и ускорение колеблющейся точки в произвольный момент времени Как изменится период колебания математического маятника, если его точку подвеса двигать а) вертикально вверх с ускорением а, б) вертикально вниз с ускорением а, в) горизонтально с ускорением а 5. Как с помощью математического маятника можно определить ускорение силы тяжести Что такое векторная диаграмма Постройте векторную диаграмму колебаний 1 20 co s( 2) xt = ω+ π 2 20 cos ( 2 3) xt = ω+ π 3 20 cos ( 4) xt = ω− π 4 Получите выражения для кинетической, потенциальной и полной энергий гармонического колебания. Изобразите графически их зависимости от времени. Виды колебаний . Сложение коле баний . Резон анс Затуха ющие механические колебания Время релаксации, добротность Апериодический процесс Вынужденные механические колебания Ам пли- туда и фаза вынужденных колебаний Ре зо нан с. Соотношение между фазами вынужденных колебаний силы и смещения. Параметрические колебания Сложение гармонических колебаний одного направления Биения Период биений, время когерентности *Сло ж ение взаимно перпендикулярных колебаний Фигуры ЛиссажуЛинейная икр уго вая поляризация лекция лекция лекция лекция лекция, §28 .1 – 28 .3] [2 , § Как влияет коэффициент затухания на условный период затухающих колебаний системы Каков физический смысл времени релаксации Каков физический смысл добротности колебательной системы Что такое механический резонанс Какое значение резонанса в технике Приведите примеры 5.Запишите дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и поясните величины, входящие в него 6. Как по виду фигуры Лисс ажу определить отношение частот складываемых колебаний Что такое линейно, эллиптически поляризованные колебания Каких получить Примечание * Материал изучается ознакомительно 81 3.3. Методические указания к практическим зан ят и ям Тема занятия Тип задач Рекомендации по решению Задачи из сборников. Гармонические колебания Уравне - ние колебаний. Если в задаче задано уравнение гармонических колебаний, то величины, характеризующие колебания (амплитуда, частота, фаза, начальная фаза, период) могут быть найдены путем сопоставления данного уравнения с общим уравнением гармонических колебаний. При нахождении зависимости кинематических величин от времени использовать соотношения iаiixiИз курса математики повторите график синуса и косинуса, производные и первообразные тригонометрических функций, решение тригонометрических уравнений. Две формы уравнения колебаний. Составляющие энергии колебаний, их взаимопревращения в процессе колебаний Определение зависимости энергий от времени Полная энергия Св язь с кинематическими и динамическ ими величинами Пользоват ьс я законом сохранения и превращения энергии в задачах о маятниках. Зная зависимость определять v (t ), а также потенциальную и кинетическую энергию. Сложение колебаний одного направления. Определение амплитуды и начальной фазы результирующего колебания При нахождении результата сложения колебаний одной частоты и одного направления использовать векторную диаграмму колебаний. Определение параметров и уравнения биений При нахождении периода биений и частоты колебаний, атак же частот складываемых колебаний использовать сопоставление су равнением биений в общем виде, № 12.2 5 – 12.3 5] 2. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний Опреде лени е фигур Лиссажу При определении уравнения траектории ух) исключить из системы уравнений) и y( t) время t. [1 , № 12.3 7 – 12.4 0] 3. Затухающие колебания Определение параметров затухающих колебаний и зависимостей кинематических величин от времени Пр и определении характеристик затухания (коэффициент затухания, время релаксации, декремент затухания) помнить о том, что амплитуда колебаний убывает по экспоненциальному закону. Энергия колебательной системы пропорциональна квадрату амплитуды. Вынужденные и затухающие колебания Сложение колебаний. Вынужденные колебания Яв ле ние резонанса. Параметрический р езонанс Опреде лени е амплитуды вынужденных колебаний, резонансных частот Увеличение амплитуды вынужденных колебаний происходит при совпадении частоты внешней силы с резонансной частотой, которая различна для амплитуд смещения, скорости и ускорения. Примеры решения задач Уравнения колебаний и параметры колебаний Пример 1. За какое время маятник отклонится от положения равновесия наполовину амплитуды, если период колебаний 1,2 с Начальная фаза равна нулю (уровень 1). Решение Колебания маятника могут быть описаны уравнением гармонического движения 0 2 sin x A t T π ⎛ ⎞ = + ϕ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , где A – амплитуда колебаний T – период ϕ 0 – начальная фаза колебаний ( ϕ 0 = 0). По условию задачи x = A/2. Поэтому А, те. 2 sin t T π = = 1/2 или 2 6 t T π π = . Отсюда 1,2 0,1 c 12 Ответ 1,2 0,1 c 12 Пример Маятниковые часы, идущие точно на уровне моря, подняты на высоту h = 1 км. Сколько потребуется времени для того, чтобы по часам на этой высоте прошли одни сутки Радиус земли R = 6400 км (уровень 2). Решение Маятник часов на уровне моря за время t 0 (1 сутки) совершит колебаний, где 0 0 2 l T g = π – период колебания маятника l – его длина, g 0 – ускорение силы тяжести на уровне моря. Чтобы на высоте h совершить тоже число колебаний N, те. показать одни сутки, маятнику потребуется времени = NT, где 2 l T g = π – период колебания маятника часов на высоте h; g – ускорение силы тяжести на этой высоте. Тогда искомое время 0 0 0 0 g T t NT t t T g = = = ; 83 0 2 M g R = γ ; ( ) 2 , M g R h = где γ – гравитационная постоянная M – масса Земли R – радиус земного шара. Следовательно 0 R h t t R + = = 86413,5 сек = 24 ч 13,5 сек. Ответ t = 24 ч 13,5 сек. Пример Материальная точка массой 10 г колеблется по закону 0,05sin 5 4 t x π π ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ м. Найти 1) максимальную силу, действующую на точку 2) закон изменения со временем кинетической энергии колеблющейся точки (уровень 2 ). Решение Максимальное значение возвращающей сила равно 0 F kA = , где коэффициент жесткости 2 k m = ω , A = 0,05 м – амплитуда колебаний. Так как 5 π ω = , то 2 2 0 0, 01 0, 05 5 F m A π ⎛ ⎞ = ω = ⋅ ⋅ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0,2 мН. Кинетическая энергия 2 2 к m Е = . Скорость точки определяется через производную от координаты повремени Поэтому закон изменения энергии со временем имеет вид 2 2 5 2 0, 01 0, 01 cos 5 10 cos 2 5 4 5 4 к t t Е − ⎛ π ⋅ π ⎞ π ⋅ π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = π + = Максимальное значение кинетической энергии max 6 5 10 кин Е − = Дж. Ответ max 6 5 10 кин Е − = ⋅ Дж. Сложение колебаний Пример Частица одновременно участвует в двух колебаниях одного направления и ( ) 2 3cos 4 2 x t = + π . Определите амплитуду, циклическую частоту и начальную фазу результирующего колебания (уровень 2 ). Решение Результирующее колебание будет происходить с частотой складываемых колебаний 4 ω = рад/с. Амплитуда результирующего колебания определяется соотношением 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 cos( ) A A A A A = + + ϕ − ϕ , где А = 4 см А = 3 см, 2 1 2 ϕ − ϕ = π . Подставляя величины получаем А = 5 см. Начальную фазу определим по формуле 1 1 2 2 1 1 2 2 sin sin tg cos cos A A A A ϕ + ϕ ϕ = ϕ + ϕ или 2 1 3 tg 4 A A ϕ = = . Результирующее колебание будет иметь начальную фазу 0 0 3 arctg 36,9 4 ϕ Ответ 0 0 3 arctg 36,9 4 ϕ Пример Точка одновременно участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями ( ) sin x t = π и ( ) 2cos 2 y t = π + Найти уравнение траектории. Изобразить траекторию, указать начальное положение частицы и направление ее движения (уровень 2 ). Решение Зависимость y(t) можно представить через синус ( ) 2sin y t = − π , ( ) sin x t = π . Исключая из уравнений t, получаем 2 y x = − , Уравнение траектории y = – 2x. Начальное положение x 0 = 0, y 0 = 0. Направление движения указано на рис. 3.7. Пример Результирующее колебание точки, участвующей в двух колебаниях одного направления, описывается уравнением cos 2,1 cos80 x A t t = . Найти период биений и циклические частоты складываемых колебаний (уровень 2 ). Решение Сравнивая искомое уравнение с общим уравнением биений 2 1 2 1 2 cos cos 2 2 x A t t ω − ω ω + ω ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ , –1 1 2 – 2 x y 0 Рис. 3.7 можно записать систему уравнений 2 1 2,1 2 ω − и 1 80 2 ω + ω = . Решая ее относительно частот, получаем = 82,1 рад/с, 2 ω = 77,9 рад/с. Период биений равен 2 1 2 2 2 1,5 82,1 77,9 T π π π = = = = ∆ω ω − ω − (с. Ответ T = 1,5 c. Затухающие и вынужденные колебания Пример 7. Груз массой m = 0,5 кг, подвешенный к пружине жесткостью k = = 32 Нм, совершает затухающие колебания. Определить логарифмический декремент затухания, коэффициент затухания, период колебаний, если за время N = 100 колебаний амплитуда уменьшилась враз (уровень 3 ). Решение Амплитуда со временем уменьшается по закону А A e −β⋅ = . (1) По условию задачи за время t 0 = NT амплитуда уменьшится враз) Логарифмируя данное выражение, получаем ln n NT = β . (3) Учитывая, что T λ = β , с учетом (3) получаем ln n N λ = . (4) Период колебаний равен 2 2 0 2 T π = ω − β (5), где 2 0 k m ω = , поскольку ln n T NT λ β = = (6). Решая совместно (5) и (6), определяем период 2 2 ln 4 m n T k N ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = π + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . (7) Коэффициент затухания равен ( ) ( ) 2 2 2 ln ln 4 ln n n NT m N n k β = = π + . (8) Проведя вычисления по формулами, получаем λ = 0,027; β = 0,035 с, Т = 0,789 с. Ответ λ = 0,027; β = 0,035 с, Т = 0,789 с. Пример 8. Тело массой m = 0,1 кг совершает вынужденные прямолинейные колебания. Амплитудное значение силы F 0 = 1,5 Н. Коэффициент затухания β = = 0,5 с. Определить максимальное значение амплитуды скорости уровень 2). Решение Скорость тела при установившихся колебаниях ( ) 0 0 cos( ) sin( ) x A t A t ′ ′ υ = = ω + ϕ = − ω ω + ϕ . Максимальное значение скорости max A υ = ω , где амплитуда смещения равна ( ) 0 2 2 2 2 2 А − ω + β Выражение для скорости принимает вид ( ) 0 max 2 2 2 2 2 0 4 F v m ω = ω − ω + β Резонансная частота для скорости равна собственной частоте. Подставляя в последнее выражение, получаем 0 max 2 F m υ = β . вычисляем максимальную скорость max 15 υ = мс. Ответ max 15 υ = мс. |