умк_Вабищевич_Физика_ч.1. умк_Вабищевич_Физика_ч. Учебнометодический комплекс для студентов технических специальностей в двух частях Часть 1 Новополоцк 2005 2 удк 53 (075. 8)
 Скачать 1.81 Mb.
|
|
не- консервативные . Консервативными называются силы, работа которых не зависит от формы траектории (пути) между двумя точками, а зависит только от начального и конечного положений тела относительно другого. Иначе говоря, работа консервативных сил по замкнутой траектории равна нулю. Примером консервативных сил являются сила тяжести, сила упругости и т.д. Работа силы тяжести, например (рис. 2.2), имеет вид 2 12 12 1 2 Поскольку для одной и той же работы мы можем записать 2 2 2 1 12 2 2 m m A υ υ = − и 12 1 2 A mgh mgh = − , то можно прийти к выводу 2 2 1 2 1 2 2 При движении в поле силы тяжести сохраняется величина полная механическая энергия, которая складывается из кинетической и потенциальной энергий (П) Рис. 2.2 42 2 const 2 m E mgh υ = + = . (8) Консервативными силами являются только центральные силы. Это силы, всегда направленные по радиус-вектору, соединяющему материальную точку и некоторую точку в пространстве, и зависящие только от расстояния до этой точки. Сама эта точка называется центром силы или силовым центром. В качестве примера рассмотрим силу гравитационного взаимодействия 12 12 3 12 mM F r r = Совместим начало отсчета сточкой, где расположен центр масс тела массой М. Работа гравитационной силы определяется выражением 2 2 12 2 1 2 1 1 1 1 ( ) mM A F r dr dr mM r r r ⎛ ⎞ = = − γ = −γ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ . (9) Знак минус обусловлен тем, что направление радиус-вектора и действие силы противоположны. Под потенциальной энергией в этом случае понимаем величину mM U r = Для количественной характеристики силового поля в данной точке используют понятия напряженности силовая характеристика) и потенциала энергетическая характеристика поля. Напряженность поля, определяют как силу, действующую на материальную точку единичной массы 3 M E r r = Векторы силы и напряженности совпадают по направлению. Силовые поля можно изобразить с помощью силовых линий – это линии, касательные к которым в каждой точке пространства совпадают с направлением вектора напряженности (рис. 2.3). Потенциал поля в данной точке соответствует потенциальной энергии тела единичной массы M G r ϕ = − , или определяется работой поля, затраченной на перемещение тела единичной массы изданной точки на бесконечность. Геометрическое место точек, обладающих одинаковым потенциалом, называют эквипотенциальной поверхностью см. рис. Силовые линии в данной точке всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Если поле создано несколькими источниками, то суммарная напряженность и потенциал определяются по принципу суперпозиции полей 1 n i i E E = = ∑ ; 1 n i i = ϕ Принцип суперпозиции является следствием принципа независимости действия сил суммарное ускорение, которое приобретает материальная точка под действие нескольких сил, есть векторная сумма ускорений, которое сообщает материальной точке каждая сила в отдельности. Силы, не являющиеся центральными, называют неконсервативными силами. К ним, прежде всего, относятся диссипативные силы (преобразующие механическую энергию в другие виды энергии, например, сила трения. Итак, работа, совершаемая консервативными силами при переходе системы из некоторого положения в нулевое (которое мы можем выбирать сами),называется потенциальной энергией U системы в этом положении, причем энергия системы U является функцией только ее координат. Необходимо отметить, что выбор нулевого положения произволен. Обычно выбирается таким образом, чтобы выражение для потенциальной энергии выглядело наиболее просто. В системе с одними только консервативными силами полная механическая энергия остается неизменной, поскольку могут происходить только превращения потенциальной энергии в кинетическую и обратно согласно (8). Зная силу, как функцию координат ( , , ) F x y z , потенциальную энергию можно определить интегрированием 2 1 12 1 ( , , ) (0) U U x y Знак минус обусловлен тем, что направления силы и перемещения взаимно противоположны. Рис. 2.3 Другая задача – вычисление силы ( , , ) F x y z по заданной потенциальной энергии ( , , ) U x y z , которую можно решить дифференцированием (обратной операцией. Поскольку ( ) x y z dU F dx F dy F dz = − + + , то x dU F dx = − ; y dU F dy = − ; z dU F dz = − ; ( , , ) grad x y z dU dU dU F x y z F i F j F k i j k U dx dy dz = + + = − + + = − , (10) где grad dU dU dU U i j k dx dy dz = + + – градиент скалярной величины U. Эта величина является вектором, поскольку указывает направление силы, действующей на материальную точку. Для тела единичной массы из соотношения (10) можно определить связь между напряженностью поля и потенциалом в данной точке ( , , ) grad E x y z = − ϕ. Знак минус указывает, что направление вектора напряженности совпадает с направлением уменьшения потенциала. В соответствии с выражением (9) можно определить работу по перемещению материальной точки m из положения 1 в положение 2 как произведение разности потенциалов между этими точками на массу материальной точки 12 1 2 ( ) A m = ϕ − Примеры потенциальной энергии материальной точки в некоторых простейших случаях – U mgh = – потенциальная энергия точки в поле силы тяжести начало отсчета h = 0); – 2 2 kx U = – потенциальная энергия растянутой пружины (упругого тела, начало отсчетах потенциальная энергия гравитационного притяжения двухточечных масс m и М. За начало отсчета выбрана бесконечно удаленная материальная точка, взаимодействие с которой точек m и M бесконечно мало. В общем случае на ю материальную точку системы действует внутренняя сила ik F со стороны ой точки системы, внешняя консервативная сила i F и внешняя неконсервативная сила i F ∗ . Уравнение движения ой точки в этом случае имеет вид 1 N i i ik i i k i Умножив на i i dr dt = υ и сложив уравнения всех N точек, получаем 1 1 1 1 1 N N N N N i i i ik i i i i i i i k i i i k m d F dr F dr F dr ∗ = = = = = ≠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ υ υ = + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∑ Левая часть – приращение кинетической энергии 1 N k i i i i dE m d = = υ Правые части равны убыли потенциальных энергий и работе внешних сил – взаимодействия между материальными точками, образующими систему 1 1 N N вз ik i i k i k dU F dr = = ≠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∑ ; – внешнего поля консервативных сил 1 N вн i i i dU F dr = − = ∑ ; – работа внешних консервативных сил 1 N вн i i i dA F После несложных преобразований получаем закон сохранения энергии в виде ( ) k вз вн вн d Величину k вз вн E E U U = + + называют полной механической энергией системы материальных точек. Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, то полная механическая энергия системы сохраняется const k вз вн E E U U = + + = Для замкнутой системы закон сохранения энергии принимает вид const k вз E Полная механическая энергия замкнутой системы материальных точек, между которыми действуют только консервативные силы остается постоянной. Если в замкнутой системе кроме консервативных сил действуют еще внутренние неконсервативные силы (силы трения, то полная механическая энергия системы не сохраняется , ( ) k вз вн неконс dE d Действие сил трения приводит к диссипации части полной механической энергии в другие виды энергии, при этом выполняется более общий закон сохранения (механической и немеханической) энергии. Важным применением законов сохранения является установление соотношений между начальными и конечными параметрами движения, те. дои после столкновения тел. Под столкновением понимают процесс взаимодействия, сопровождающийся обменом импульсами и энергиями, в результате чего могут происходить различные процессы (тела могут соединяться водно могут возникать новые тела и т.д.). Различают упругие столкновения, которые происходят без перехода механической энергии в другой вид энергии (без изменения внутреннего состояния взаимодействующих тел, и неупругие столкновения, сопровождающиеся преобразованием части механической энергии в другой вид и изменением внутреннего состояния взаимодействующих тел. Наиболее простым случаем является упругое столкновение двух материальных точек с массами 1 m и 2 m , движущихся вдоль одной прямой так называемый центральный удар двух тел. Обозначим скорости и импульсы материальных точек до взаимодействия 1 υ , 2 υ , 1 1 1 p m = υ , 2 2 2 p m = υ и после взаимодействия / 1 υ , / 2 υ , / / 1 1 1 p m = υ , / 2 2 2 p m = υ . Закон сохранения энергии принимает вид 2 2 / 2 / 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 2 2 2 2 p p p p m m m m + = + или 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 Закон сохранения импульса / / 1 2 1 После несложных преобразований получаем / 1 2 1 1 2 1 1 2 ( ) 2 m m p m p p m m − + = + , / 2 1 2 2 1 2 1 2 ( ) 2 m m p m p p m m − + = + или / 1 2 1 2 2 1 1 2 ( ) 2 m m m m m − υ + υ υ = + , / 2 1 2 1 1 2 1 2 ( ) 2 m m m m m − υ + υ υ = + . (11) Рассмотрим несколько частных случаев. – 2 0 p = – вторая частица до взаимодействия покоилась (рис. 2.4): / 1 2 1 1 1 2 x m m p p m m − = + или / 1 2 1 1 1 2 x m m m m − υ = υ + / 2 2 1 1 2 2 x m p p m m = + ; / 2 2 1 1 2 2 x m m m υ = υ + . (12) если 1 2 m m = , то частицы обмениваются скоростями / 1 0 x υ = , / 2 1 x υ = υ ; если 1 2 m m << , то покоящаяся частица (стена) останется на месте, а налетающая отскочит назад стой же скоростью / 1 1 x υ ≈ −υ ; / 2x 0 υ ≈ ; если 1 2 m m >> , то налетающая частица продолжит движение стой же скоростью, а покоящаяся отлетит с удвоенной скоростью / 1 1 x υ ≈ υ ; / 2 1 2 x υ ≈ υ . – Шары движутся навстречу друг другу (рис. 2.5) / 1 2 1 2 2 1 1 2 ( ) 2 m m m m m − υ − υ υ = + ; / 2 1 2 1 1 2 1 2 ( ) 2 m m m m m − υ + υ υ = + , – Шары догоняют друг друга (рис. 2.6). Необходимо отметить, что столкновение возможно только в том случае, если 1 2 υ > υ . Иначе первый шар не догонит второй. В этом случае можно применять как выражение (11), таки. В последнем случае при этом нужно заменить 1 υ на 1 1 2 ∗ υ = υ − υ (относительная скорость движения. Частным случаем неупругого столкновения является абсолютно неупругий удар, после которого частицы 1 m и 2 m (после удара) образуют единое целое, движущееся со скоростью / υ . Рис. 2.4 Рис. 2.5 Рис. 2.6 Закон сохранения импульса / 1 p p = , где / / 1 2 ( ) p m m = + υ . Начальная кинетическая энергия 2 1 1 После столкновения / 2 2 / 1 1 1 2 1 2 1 2 ( ) ( Часть механической энергии при неупругом столкновении переходит в другой вид – Q (например, превращается в тепло) / 1 2 1 2 1 2 (1 ) k k k k m m Q E E E E m m m m = − = Полученные для столкновений материальных точек соотношения могут быть использованы при изучении взаимодействия атомов и элементарных частиц. Поскольку эти взаимодействия обусловлены существованием сил притяжения и отталкивания (центральные силы, то соотношения имеют более сложный вид. Однако, как и ранее, они определяются законами сохранения импульса и энергии. Для реальных тел, которые можно считать материальными точками, но конечных поперечных размеров, результат их взаимодействия может отличаться от рассмотренного ранее. Такое столкновение, показанное на рис. 2.7, получило название рассеяние частиц. Параметр h носит название прицельного расстояния и характеризует степень отклонения от центрального (лобового) удара. Для упругого столкновения законы сохранения с учетом выбранной системы координат могут быть записаны в виде 2 / 2 / 2 1 1 1 1 2 2 ( ) ( ) 2 2 2 m m m υ υ υ = + ; / / / / 1 1 1 1 1 2 2 2 cos cos m m m υ = υ θ + υ θ ; / / / / 1 1 1 2 2 2 0 sin sin m m = υ θ + υ θ . Эта система уравнений при определенных допущениях позволяет связать предельный параметр h и начальные скорости 1 υ и 2 υ с углами рассеяния / 1 θ и / 2 θ и скоростями после рассеяния / 1 υ и / 2 υ взаимодействующих частиц 1 m и Рис. 2.7 49 2.2. Методические указания кл bbекциоbbннымbb занятиям Вопросы лекции Форма изучения Литература Вопросы для самоконтроля студентов. Основные понятия и законы. Законы Ньютона Силы Понятие импульса тела, импульс силы, инерциальные системы отсчета. Силы в механике. Сложение сил. Законы всемирного тяготения, Гука, Архимеда. Центр масс системы материальных точек. Закон сохранения импульса лекция + самост лекция + самост лекция + самост [3, § 2.1 – 2.3] [4, § 13, 14, 16, 21] [4, § 18 – 21, 31 – 33] [3, § 2.4, 2.5, 5.1, 5.2], [4 , § 2 3] 1. Сформулируйте законы Ньютона. Сила. Что она характеризует Примеры сил. Что определяет импульс силы. В каких случаях применим закон сохранения импульса Когда применение закона невозможно 5. Как найти положение центра масс системы материальных точек Что он характеризует 6. Как изменяется положение центра масс при свободном падении тела Законы сохранения в механике материаль ной точки. Работа и энергия в механике Кинети - ческая энергия Мощность Эквивалент - ность работы и энергии. Полная механическая энергия Закон сохранения энергии в механике. Поле сил Центральные силы и потенциальная энергия. Законы сохранения при упругих и неупругих взаимодействиях. Рассеяние частиц лекция лекция + самост лекция лекция, § 3.1, 3.2] [4, § 24, 25] [3, § 3.2], [4, § 27] [3, § 5.4] [4, § 26, 28] [3, § 3.3 – 3.5] [4, § 30] 1. Сформулируйте закон сохранения механической энергии Что изменится при появлении сил диссипации. Как определить работу переменной силы 3. В каком случае силане совершает работы 4. В каких случаях неприменим закон сохранения механической энергии 5. Какие характеристики поля вызнаете Что они характеризует. Столкновения Какой импульс передаст материальная точка при упругом ударе о стену. Методические указания к практическим зан ят и ям Тема занятия ЗадачиРекомендац ии Задачи из сборников Силы. Законы Ньютона. Определение закона движения материальной точки по известным силам. Определение силы пои звест- ному закону движения материальной точки. Сделать чертеж, указав все тела и связи между ними (нити, пружины и т .д .). 2. Изобразить все силы, приложенные к телам, движение которых изучается При этом необходимо учитывать, что на данное тело могут действовать силы только со стороны других объектов со стороны Земли – mg ; со стороны пружины со стороны опоры сила реакции – N ; со стороны соприкасающихся тел – сила трения тр F При изображении сил, приложенных к телу, необязательно их прикладывать к строго определенным точкам (например, силу тяжести – к центру масс можно воспользоваться правилом переноса векторов сил вдоль линии их действия. Выбрать систему отсчета, которая позволяет максимально упростить уравнение динамики Для различных тел возможно использовать различные системы отсчета (например, в задачах на блоки. – Удобно для каждого тела системы одну из осей координат направить вдоль вектора ускорения В некоторых задачах удобно рассматривать движение тела в неинерциальной системе отсчета, которая движется су скорением 0 а . Не инерциальность системы отсчета учитывается дополнительной силой инерции ин Fm a = − , а полное ускорение. Записать второй закон Ньютона в проекциях на оси выбранной системы координат. Дополнить уравнения динамики уравнениями кинематики так, чтобы число уравнений равнялось числу неизвестных, № 2.2, 2.4 – 2.8, 2.12 – 2.15 [1, № 2.29 – 2.32] Окончание табл. 1. Определение параметров тел после соударения. Сделать чертеж, на которому казать начальные и конечные импульсы системы и направление внешних сил Векторы 1 p , 2 p и вн F t∆ должны образовывать замкнутый треугольник векторов. Выбрать систему координат так, чтобы удобнее было проецировать на них векторы. Записать уравнения закона сохранения импульса и второго закона Ньютона в проекциях на соответствующие оси. Дополнить систему уравнений уравнениями кинематики, чтобы полная система уравнений стала замкнутой. Определение работы произвольной силы и ее мощности. Сделать чертеж, на которому казать все силы, действующие на тело. Выяснить – работу какой силы нужно найти. В ее качестве может выступать и равнодействующая сила Если сила неизвестна из условия, то ее следует найти из уравнений динамики (см. выше. 3. Определить угол между направлениями вектора перемещения и силы. Используя уравнения кинематики, определить перемещение или пределы изменения координаты. Определить работу по одному из соотношений cos A FS = α ; 2 12 1 () A FS dS = ∫ ; 12 A Nd t = ∫ 6. Определить мощность силы по одному из подходящих соотношений dA N dt = , NF = υ [1, № 2.62 – 2.70] Законы сохранения. Столкновения. Определение полной механической энергии и ее составляющих. Сделать чертеж, на котором изобразить систему в двух (нескольких) положениях. Выбрать нулевой уровень отсчета потенциальной энергии Если тело расположено выше нулевого уровня, то потенциальная энергия положительная, если ниже – отрицательная. Если в системе присутствуют диссипативные силы, то необходимо определить работу этих сил. Записать закон сохранения полной механической энергии или изменения механической энергии с учетом работы сил трения. Дополнить полученные уравнения нужным числом уравнений динамики – Целесообразно записать закон сохранения энергии для начального и конечного состояний и дополнить егоза коном сохранения для каких -либо промежуточных состояний Необходимо учитывать, что при переходе к различным инерциальным системам отсчета полная энергия может меняться, поэтому целесообразно использовать неподвижные относительно Земли системы отсчета, № 2.117 – 2.123] |