умк_Вабищевич_Физика_ч.1. умк_Вабищевич_Физика_ч. Учебнометодический комплекс для студентов технических специальностей в двух частях Часть 1 Новополоцк 2005 2 удк 53 (075. 8)
 Скачать 1.81 Mb.
|
|
2.5. Задачи для самостоятельного решения Силы. Законы Ньютона 1. Тело массой m = 2 кг движется прямолинейно по закону s = АС мс, D = 0,4 мс Определите силу, действующую на тело в конце первой секунды движения [3,2 Н, уровень 1 ]. 64 2. Тело массой m движется так, что зависимость пройденного пути от времени описывается уравнением s = A cos ωt, где Аи постоянные. Запишите закон изменения силы от времени [F = – mA ω 2 cos ωt, уровень 1 ]. 3. С вершины идеально гладкой сферы радиусом R = 1,2 м соскальзывает небольшое тело. Определите высоту h (от вершины сферы, с которой тело со сферы сорвется [h = 40 см, уровень 1 ]. 4. Два груза (m 1 = 500 г и m 2 = 700 г) связаны невесомой нитью и лежат на гладкой горизонтальной поверхности. К грузу m 1 приложена горизонтально направленная сила F = 6 Н. Пренебрегая трением, определите 1) ускорение грузов 2) силу натяжения нити [1) 5 мс) 3,5 Н, уровень 1 ]. 5. Тело массой m = 2 кг падает вертикально с ускорением а = 5 мс. Определите силу сопротивления при движении этого тела. [9,62 Н, уровень 1 ]. 6. Подвешенный на нити шарик массой m = 200 г отклоняют на угол α = = 45°. Определите силу натяжения нити в момент прохождения шариком положения равновесия [3,11 Н, уровень 2 ]. 7. В установке на рис. 2.17 угол α наклонной плоскости с горизонтом равен 20°, массы тел m 1 = 200 г и m 2 = 150 г. Считая нить и блок невесомыми и пренебрегая силами трения, определите ускорение, с которым будут двигаться эти тела, если тело m 2 опускается [2,29 м/с 2 , уровень 2 ]. 8. На рис. 2.18 изображена система блоков, к которым подвешены грузы массами m 1 = 200 г и m 2 = 500 г. Считая, что груз m 1 поднимается, а подвижный блок с грузом m 2 опускается (нить и блоки невесомы, силы трения отсутствуют) определите 1) силу натяжения нити Т 2) ускорения, с которыми движутся грузы [1) Т = 2,26 На мс а = 0,75 мс, уровень 3 ]. 9. В установке (рис. 2.19) углы α и β с горизонтом соответственно равны 30° и 45°, массы тел m 1 = 0,45 кг и m 2 = = 0,5 кг. Считая нить и блок невесомыми и пренебрегая силами трения, определите 1) ускорение, с которым движутся тела 2) силу натяжения нити [1) 1,33 мс 2) 2,8 Н, уровень 3 ]. 10. По наклонной плоскости с углом α наклона к горизонту, равным, скользит тело. Определите скорость тела в конце второй секунды от начала скольжения, если коэффициент трения µ = 0,15 [7,26 мс, уровень 4 ]. Рис. 2.18 m 1 Рис. 2.17 65 11. В установке (рис. 2.20) угол наклона плоскости с горизонтом равен 30°, массы тел одинаковы (m = 1 кг. Считая нить и блок невесомыми и, пренебрегая трением в оси блока, определите силу давления F на ось, если коэффициент трения между наклонной плоскостью и лежащим на ней телома, уровень 4 ]. 12. Нагруженная песком железнодорожная платформа с начальной массой m 0 начинает движение из состояния покоя под действием постоянной силы тяги F. Через отверстие в дне платформы высыпается песок с постоянной скоростью µ (кг/с). Определите υ(t), те. зависимость скорость платформы от времени [ 0 0 ln m F m t υ = µ − µ , уровень 5 ]. Закон сохранения импульса 1. На железнодорожной платформе, движущейся по инерции со скоростью км/ч, укреплено орудие. Масса платформы с орудием М = = 10 т. Ствол орудия направлен в сторону движения платформы. Снаряд массой m = 10 кг вылетает из ствола под углом α = 60° к горизонту. Определите скорость υ снаряда (относительно земли, если после выстрела скорость платформы уменьшилась в n = 2 раза [835 мс, уровень 3 ]. 2. Снаряд массой m = 5 кг, вылетевший из орудия, в верхней точке траектории имеет скорость υ 0 = 300 мс. В этой точке он разорвался на два осколка, причем больший осколок массой m 1 = 3 кг полетел в обратном направлении со скоростью υ 1 = 100 мс. Определите скорость второго, меньшего осколка [900 мс, уровень 3 ]. 3. Лодка массой Мкг и длиной l = 2,8 м неподвижна в стоячей воде. Рыбак массой m = 90 кг в лодке переходит сноса на корму. Пренебрегая сопротивлением воды, определите, на какое расстояние s при этом сдвинется лодкам, уровень 3 ]. Рис. 2.19 Рис. 2.20 66 4. Платформа с песком общей массой М = 2 т стоит на рельсах на горизонтальном участке пути. В песок попадает снаряд массой m = 8 кг и застревает в нем. Пренебрегая трением, определите, с какой скоростью будет двигаться платформа, если в момент попадания скорость снаряда υ = 450 мс, а ее направление – сверху вниз под углом α = 30° к горизонту [1,55 мс, уровень 3 ]. 5. Две одинаковые тележки массой М каждая движутся по инерции (без трения) друг за другом с одинаковой скоростью 0 υ . В какой-то момент времени человек массой m, находящийся на задней тележке, прыгнул в переднюю со скоростью u относительно своей тележки. Определите скорость 1 υ передней тележки [ 1 0 2 ( ) mM u m M υ = υ + + , уровень 4 ]. Определение положения центра масс 1. Определите положение центра масс системы, состоящей из четырех шаров, массы которых равны соответственно ив следующих случаях (риса) шары расположены на одной прямой б) шары расположены по вершинам квадрата в) шары расположены по четырем смежным вершинам куба. Во всех случаях расстояние между соседними шарами равно 15 см. Направления координатных осей показаны на риса х = 7,5 см ус 4,5 см; б) х с = 4,5 см ус 1,5 см с 3 см, уровень 2, 3 ]. 2. Определите координаты центра масс системы, состоящей из четырех шаров массами, 3m, 4m и m, которые расположены в вершинах ив центре равностороннего треугольника со стороной а =20 см (рис. 2.22). Направления координатных осей указаны на рисунке [х с = 12 см, у с = 5,77 см, уровень 3 ]. 3. Определите положение центра масс половины круглого диска радиусом R, считая его однородным. На расстоянии 4R/3 π от центра, уровень 5 ]. а б Рис. 2.21 Рис. 2.22 Работа и энергия. Тело массой m = 5 кг поднимают с ускорением а = 2 мс. Определите работу силы в течение первых пяти секунд [1,48 кДж, уровень 2 ]. 2. Автомашина массой m = 2000 кг останавливается за t = 6 с, пройдя расстоянием. Определите начальную скорость автомашины 2) силу торможения [1) 10 мс 2) 3,33 кН, уровень 2 ]. 3. Автомобиль массой m = 1,8 т движется в гору, уклон которой составляет 3 м на каждые м пути. Определите 1) работу, совершаемую двигателем автомобиля на пути 5 км, если коэффициент трения равен 0,1; 2) развиваемую двигателем мощность, если известно, что этот путь был преодолен за 5 мин [1) 11,5 МДж 2) 38,3 кВт, уровень 3 ]. 4. Определите работу, совершаемую при подъеме груза массой m =50 кг по наклонной плоскости с углом наклона α = 30° к горизонту на расстоянием, если время подъема t = 2 с, а коэффициент трения 0,06. [1,48 кДж, уровень 3 ] 5. Насос мощностью N используют для откачки нефти с глубины h. Определите массу жидкости, поднятой за время t, если КПД насоса равен η [ Nt m gh η = , уровень 3 ]. 6. Поезд массой m = 600 т движется под гору с уклоном α = 0,3° и за время t = 1 мин развивает скорость υ =18 км/ч. Коэффициент трения µ = 0,01. Определите среднюю мощность N локомотива [195 кВт, уровень 3 ]. 7. Автомобиль массой m = 1,8 т спускается при выключенном двигателе с постоянной скоростью υ = 54 км/ч по уклону дороги (угол к горизонту α = 3°). Определите, какова должна быть мощность двигателя автомобиля, чтобы он смог подниматься на такой же подъем стой же скоростью кВт, уровень 3 ]. 8. Тело массой m поднимается безначальной скорости с поверхности земли под действием силы F, меняющейся с высотой подъема у поза- кону 2 (1 ) F mg Ay = − − (где А – некоторая положительная постоянная. Определите 1) высоту подъема 2) работу силы F на первой трети пути [1) 1 H A − = , 2) 5 9 mg A A = , уровень 4 ]. 9. Тело скользит с наклонной плоскости высотой h и углом наклона α к горизонту и движется далее по горизонтальному участку. Принимая коэффициент трения на всем пути постоянными равным µ, определите расстояние s, пройденное телом на горизонтальном участке, до полной остановки [ (1 tg ) h s = − µ α µ , уровень 4 ]. 10. Тело массой m начинает двигаться под действием силы 2 2 3 F ti t j = + , где i и j – соответственно единичные векторы координатных осей хи у. Определите мощность N(t) развиваемую силой в момент времени t [ 3 5 2 3 ( ) t t N t m + = , уровень 4 ]. Столкновения. Тело массой m 1 = 3 кг движется со скоростью υ 1 = 2 мс и ударяется о неподвижное тело такой же массы. Считая удар центральными неупругим, определите количество теплоты, выделившееся при ударе [3 Дж, уровень 3 ]. 2. Два шара массами m 1 = 9 кг и m 2 = 12 кг подвешены на нитях длиной l = = 1,5 м. Первоначально шары соприкасаются между собой, затем меньший шар отклонили на угол α = 30° и отпустили. Считая удар неупругим, определите высоту h, на которую поднимутся оба шара после удара [ 2 1 1 2 (1 cos ) 3,7 см = ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ , уровень 4 ]. 3. Шар сталкивается с другим покоящимся шаром такой же массы. Докажите, что в случае упругого, ноне центрального удара угол между направлениями скоростей после удара составляет уровень 5 ]. 4. При абсолютно упругом ударе костяных шаров одинаковой массы всегда отскакивает столько шаров, сколько налетает. Докажите этот результат уровень 5 ]. 69 3. УЧЕБНЫЙ БЛОК КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Введение Колебаниями или колебательными движениями называются движения, обладающие той или иной степенью повторяемости состояния тел во времени. Например, механические колебания тела, подвешенного на пружине, качания маятников, колебания струн, вибрации фундаментов зданий, электромагнитные колебания в колебательном контуре и др. Механическое колебательное движение может рассматриваться как движение материальной точки под действием некоторой возвращающей силы, те. при изучении колебательного движения применимы кинематические и динамические уравнения, что определяет причину изучения данного блока в модуле Механика материальной точки. Однако методы определения параметров колебаний и уравнений колебаний, представленные в данном разделе, имеют гораздо более широкую область применения, и будут использоваться при изучении колебательного движения твердого тела, электромагнитных колебаний, волновых процессов. При изучении данного раздела студенты должны иметь представление об основных характеристиках колебательного движения – периоде, частоте, фазе, амплитуде – об основных характеристиках движения и связях между ними – о принципе суперпозиции движений – о способах решения дифференциальных уравнений второго порядка обладать навыками – определения равнодействующей силы – решения задач на второй закон Ньютона в инерциальной и неинерциальной системах отсчета – применения элементов дифференциального и интегрального исчисления. Учебная программа блока Содержание блока Форма подготовки Литература 1. Гармонические колебания (механические) и их характеристики. Связь вращения и колебаний. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Квазиупругая сила. Период колебаний пружинного, математического маятников лекция лекция самост. [2, § 27.1, 27.2] Окончание табл. 2. Изменение кинетической и потенциальной энергии в процессе колебаний. Закон сохранения энергии для колебательной системы самост. [2, § 27.2] 3. Дифференциальное уравнение затухающих механических колебаний и его решение. Период, декремент затухания, время релаксации, добротность. Апериодический процесс лекция лекция [2, § 28.1] 4. Дифференциальное уравнение вынужденных механических колебаний и его решение. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Явление резонанса. Соотношение между фазами вынужденных колебаний силы и смещения. Параметрические колебания * лекция лекция [2, § 28.1 – 28.3] 5. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Понятие об интерференции. Условие максимумов и минимумов. Сложение гармонических колебаний одного направления с разными частотами. Биения. Период биений, время когерентности Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу. Линейная и круговая поляризация * лекция лекция лекция [2, § Примечание * – Материал изучается ознакомительно Цели обучения студент должен знать студент должен уметь – уравнение гармонических колебаний и связь параметров колебания – дифференциальное уравнение гармонических колебаний – период колебаний основных колебательных систем – соотношения для энергий колебательных систем – дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение зависимость энергии от времени при затухающих колебаниях основные характеристики затухающих колебаний – дифференциальное уравнение вынужденных механических колебаний зависимость кинематических величин от времени при вынужденных механических колебаниях – зависимость амплитуды и фазы между силой и смещением вынужденных колебаний от частоты – составлять уравнение гармонических колебаний находить связь между кинематическими величинами – составлять и решать дифференциальные уравнения для простейших колебательных систем – определять период и частоту колебаний находить зависимость возвращающей силы и энергий от времени – составлять дифференциальные уравнения затухающих колебаний, уравнения зависимости кинематических величин, силы и энергии системы от времени находить основные характеристики колебательной системы Окончание табл параметрические колебания – формулы для амплитуды и начальной фазы при сложении гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты – условия максимумов и минимумов при сложении двух колебаний – уравнение биений период и частота биений, время когерентности – сложение взаимно перпендикулярных колебаний фигуры Лиссажу; линейная и круговая поляризация – определять характеристики параметрических колебаний – составлять уравнения результирующих колебаний – строить векторные диаграммы – составлять уравнение траектории при сложении взаимно перпендикулярных колебаний Краткое содержание теоретического материала Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющихся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени. Периодом колебания Т называется наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяются значения всех величин, характеризующих колебательное движение. За это время совершается одно полное колебание. Частотой периодических колебаний ν называется число полных колебаний, которые совершаются за единицу времени 1 T ν = . Циклической круговой) частотой периодических колебаний называется число полных колебаний, которые совершаются за 2 π секунд 2 2 T π ω = πν Так как колебательное движение является одной из разновидностей механического движения, оно должно подчиняться законам динамики Ньютона, в частности второму закону ma Периодичность повторения состояния тела (в частности его координат) при колебании обеспечивается возвращающей силой, поэтому перемещение тела противоположно (по направлению) действующей (возвращающей) силе. Учитывая это и вводя во второй закон Ньютона силу, например, упругости, уравнения движения можно записать в виде 2 2 0 d x m kx dt + = , (1) где х – координата тела, зависящая от времени t при колебательном движении тела по прямолинейной траектории. Дифференциальное уравнение (1) перепишем в виде 2 2 0 d x k x m dt + = , (2) где m – масса колеблющейся системы k – упругость системы. Решением уравнения (2) может быть гармоническая функция 0 0 sin( ) x x t = ω + ϕ или 0 0 cos( ) x x t = ω + ϕ . (3) В этом можно убедиться подстановкой этой функции в уравнение (2) при условии, что k m ω = . (4) При этом в уравнении (3) величинах отклонение системы от точки равновесия (координата) в момент времени t; х максимально возможное отклонение от точки равновесия (амплитуда ω – циклическая частота колебаний. Возможен произвольный выбор гармонической функции колебательного движения, но при этом требуется определение начальной фазы колебаний, чтобы обеспечить однозначность движения, которое не зависит от нашего выбора. Начальная фаза колебаний может быть определена из значения какого-либо параметра колебаний в заданный момент времени. Например, если известно отклонение системы от точки равновесия х в момент начала колебаний (t = 0), можно (3) представить в виде 0 0 sin( ) x x = ϕ или 0 0 cos( ) x x = ϕ (5) Уравнения (5) позволяют определить В уравнении колебаний (2) возвращающая сила прямо пропорциональна смещению от точки равновесия. Поэтому собственная частота колебаний любой системы, в которой вращающая сила пропорциональна смещению, может быть найдена по формуле, аналогичной (4). В качестве примера определим ω для математического маятника. Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити и совершающая движение в вертикальной плоскости под действием силы тяжести mg (рис. 3.1). Рис. 3.1 T g m α F Чтобы описать колебания под действием силы тяжести нужно воспользоваться законами механики Ньютона. Касательное (тангенциальное) ускорение телу сообщает сила sin F mg = α . При малых углах можно записать, что sin tg x l α ≈ α = . Поскольку векторы силы и смещения противонаправлены, то x F mg l = − , те. сила пропорциональна смещению. Уравнение (2) для маятника можем записать в виде 2 2 0 d x x m mg l dt + = . Из него следует, что циклическая частота колебаний математического маятника равна g l ω = . Таким образом, в пределе малых колебаний, те. при малых углах отклонения маятника из положения равновесия, когда возвращающая сила пропорциональна смещению, возникают гармонические колебания с периодом 2 l T g = π , где l – длина подвеса, g – ускорение свободного падения. Превращение энергии при колебании рассмотрим на примере пружинного маятника. Пусть колебания происходят по закону cos x A t = ω . При гармонических колебаниях пружинного маятника происходят превращения потенциальной энергии упруго деформированного тела (пружины) 2 2 kx U = в кинетическую энергию груза 2 2 m E υ = и наоборот. Полная энергия колебательной системы определяется суммой энергий. Учитывая, что sin dx A t dt υ = = − ω ω , можно записать 2 2 2 2 ( sin ) ( cos ) 2 2 2 2 m kx m A t k A t W υ −ω ω ω = + = + = 2 2 2 2 2 2 2 2 sin cos 2 2 2 m A t m A t m A ω ω ω ω ω = + = (6) Полная энергия колебаний не зависит от времени 2 2 2 m A W ω = Однако доля каждого вида энергии в полной энергии изменяется со временем. Таким образом превращения энергии при колебаниях пружинного маятника происходят в соответствии с законом сохранения механической энергии. При движении маятника вниз или вверх от положения равновесия его потенциальная энергия увеличивается, а кинетическая – уменьшается. Когда маятник проходит положение равновесия (х = 0), его потенциальная энергия равна нулю, а кинетическая энергия маятника имеет наибольшее значение, равное его полной энергии. Максимальные значения энергий равны друг другу 2 2 0 0 2 Затухание колебаний вызывается главным образом трением, сопротивлением окружающей среды. Движения тела подчиняется второму закону Ньютона упр сопр ma F F = + , где сопр F b = − υ – сила сопротивления пропорциональна скорости движения тела, возвращающая сила является упругой упр − . В проекциях уравнение принимает вид ma kx b = − + υ, преобразуя, получаем 2 2 0 d x dx m b kx dt dt + + = . (7) Поделив на m, и обозначая 2 b m β = , 0 k m ω = – собственная частота колебаний, получаем дифференциальное уравнение затухающих колебаний 2 2 0 2 2 0 d x dx x dt dt + β + ω = . (8) Решением данного уравнения является функция, описывающая зависимость координаты тела при затухающих колебаниях 0 0 cos( ) t x A e t −β = ω + ϕ , (9) где Аи начальные амплитуда и фаза соответственно. Циклическая частота колебаний уменьшается по сравнению с собственной частотой колебаний системы 2 2 0 ω = ω − β . (10) Таким образом, амплитуда колебания со временем изменяется по закону А A e −β = (рис. 3.2). Полная энергия колебательной системы уменьшается со временем по закону 2 0 t W W e − β = . (11) Промежуток времени, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации 1 τ = β . (12) Для количественной характеристики быстроты убывания амплитуды затухающих колебаний пользуются понятиями декремента δ и логарифмического декремента λ затухания ( ) ( ) t A t e A t T β δ = = + ; ( ) 1 ln ( ) A t T T A t T N λ = = β = = + τ , (13) где N – число колебаний, в течение которых амплитуда уменьшается в е раз. Добротностью колебательной системы называется безразмерная величина, равная произведению 2 π на отношение энергии системы в произвольный момент времени к убыли этой энергии за промежуток времени, равны периоду затухающих колебаний ( ) 2 ( ) ( ) W t Q W t W t T T π = π ≈ − + β . (14) При увеличении коэффициента затухания β период затухающих колебаний возрастает и обращается в бесконечность при β = ω 0 . Такое движение системы не имеет колебательного характера и называется апериодическим |