умк_Вабищевич_Физика_ч.1. умк_Вабищевич_Физика_ч. Учебнометодический комплекс для студентов технических специальностей в двух частях Часть 1 Новополоцк 2005 2 удк 53 (075. 8)
 Скачать 1.81 Mb.
|
|
3.5. Задачи для самостоятельного решения Уравнения колебаний и параметры колебаний Гармоническое колебание происходит по закону S = 0,5 sin (300 π t + π /3). Определить амплитуду, частоту, период и начальную фазу колебаний. Написать зависимость скорости и ускорения от времени ( уровень 1 ). 87 Написать уравнение гармонического колебательного движения с амплитудой см, если за 1 минуту совершается 150 колебаний и начальное положение х = 2,5 см (уровень 1 ). Нарисовать графики гармонических колебаний хи х = = 0,5 sin ( π t + π /3) (уровень 1 ). Скорость при гармоническом колебании изменяется по закону υ = = 0,5 π sin (300 π t + π /3). Определить амплитуду, частоту, период и начальную фазу колебаний. Написать зависимости координаты и ускорения от времени ( уровень 1 ). Амплитуда гармонического колебания равна 5 см, а период 4 с. Найти максимальную скорость колеблющейся точки и ее максимальное ускорение (уровень 1 ). Период гармонического колебания равен 2 с, амплитуда – 50 мм, начальное смещение равно нулю. Найти скорость в тот момент времени, когда смещение точки равно 25 мм (уровень 1 ). Частица совершает прямолинейные гармонические колебания с периодом Т = 6 с. Определить промежутки времени ∆ t 1 и ∆ t 2 между последовательными моментами времени, в которые смещения частицы одинаковы по знаку и равны по модулю половине амплитуды (уровень 2 ). Частица совершает прямолинейные гармонические колебания. При смещении х частица обладает скоростью υ 1 , а при смещении х – скоростью. Найти циклическую частоту колебаний (уровень 2 ). Частица совершает прямолинейные гармонические колебания. При скорости частица обладает ускорением а, а при скорости частицы υ 2 – ускорением а. Найти амплитуду колебаний (уровень 2 ). Частица совершает прямолинейные гармонические колебания с периодом Т. Определить во сколько раз время прохождения частицей первой половины амплитуды меньше чем второй (уровень 3 ). Ареометр плавает в жидкости. Масса ареометра 98 г, диаметр его трубки 8 мм. После небольшого толчка ареометр совершает вертикальные гармонические колебания с периодом 2,8 с. Определить плотность жидкости уровень 3 ). В открытую с обоих концов образную трубку вливают 0,24 кг ртути. Радиус канала трубки 5 мм. Определить циклическую частоту колебаний ртути в трубке. Вязкостью пренебречь (уровень 3 ). Как изменится период вертикальных колебаний груза, висящего на двух одинаковых пружинах, если от последовательного соединения пружин перейти к параллельному соединению (уровень 3 ) 88 Материальная точка массой 5 г совершает гармонические колебания с частотой 0,5 с. Амплитуда колебаний 0,03 м. Определить максимальную силу, действующую на точку и полную энергию колеблющейся точки (уровень 3 ). Тело массой 0,02 кг совершает синусоидальное гармоническое колебание с амплитудой 0,05 ми частотой 10 с. Начальное положение тела – половина амплитуды. Определить полную энергию колеблющегося тела и написать уравнение зависимости скорости тела от времени (уровень 4 ). Шарик массой 60 г колеблется с периодом 2 с. В начальный момент времени смещение шарика 4 см ион обладает энергией 0,02 Дж. Записать уравнение простого гармонического колебания шарика и закон изменения возвращающей силы стечением времени (уровень 4 ). Сложение колебаний Частица одновременно участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями хи у = 1,5 cos Найти уравнение движения частицы ух Изобразить траекторию и указать на ней направление движения частицы (уровень 1 ). Частица одновременно участвует в двух колебаниях одного направлениях их+ Найти циклическую частоту, амплитуду Аи начальную фазу результирующего колебания частицы ( уровень 1 ). Результирующее колебание точки, участвующей в двух колебаниях одного направления, описывается выражением х = 20 cos( t ) cos(41 t ). Найти период биений и циклические частоты складываемых колебаний (уровень 2 ). Написать уравнение движениях) частицы, одновременно участвующей в двух колебаниях одного направления x 1 = 20 cos π t/3 их со ( π t /3+ π /3) (уровень 2 ). Найти уравнение результирующего колебания, полученного при сложении двух колебательных движений одного направлениях сои х = = 40 cos 20 π t (уровень 2 ). Найти амплитуду и начальную фазу колебаний, получающихся в результате сложения следующих колебаний одного направлениях, х = = 20 cos ( ω t + π /3), х = 20 cos ( ω t + 2 π /3). Написать уравнение результирующего колебаниях) (уровень 2 ). Результирующее колебание точки, участвующей в двух колебаниях одного направления, описывается выражением х = 20 cos 2,1 t cos 80 t Найти период биений и циклические частоты складываемых колебаний уровень 3 ). Частица одновременно участвует в двух колебаниях одного направлениях их) (см. Найти циклическую частоту, амплитуду Аи начальную фазу результирующего колебания частицы уровень 4 ). Складываются два гармонических колебания одного направления с частотами 460 Гц и 461 Гц. Найти период биений. Написать уравнение биений (уровень 4 ). Затухающие и вынужденные колебания Найти коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания математического маятника, если известно, что за t = 100 с колебаний полная механическая энергия маятника уменьшилась в десять раз. Длина маятникам (уровень 1 ). Частица совершает прямолинейные затухающие колебания с периодом Т = 4,5 с. Начальная амплитуда колебаний А = 0,16 м, а амплитуда после 20 полных колебаний А = 0,01 м. Определить коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания. Написать уравнение колебаний частицы, приняв начальную фазу колебаний ϕ = 0 (уровень 2 ). Определить коэффициент затухания математического маятника, если за промежуток времени t = 4,8 10 2 с маятник теряет 99 % своей полной механической энергии (уровень 2 ). Математический маятник совершает затухающие колебания в среде, логарифмический декремент затухания которой λ = 1,26. Определить логарифмический декремент затухания маятника, если сопротивление среды возрастает в 2 раза. Во сколько раз n надо увеличить сопротивление среды, чтобы движение маятника стало апериодическим (уровень 2 ) Тело массой m = 12 г совершает затухающие колебания с частотой ω = = π рад/с. При этом за время t = 60 с тело теряет 0,9 своей полной механической энергии. Найти a) коэффициент затухания б) коэффициент сопротивления среды в) добротность колебательной системы (уровень 2 ). Частица совершает прямолинейные затухающие колебания с периодом Т = 4,5 с. Начальная амплитуда колебаний А = 0,16 м, а амплитуда после 20 полных колебаний А = 0,01 м. Определить коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания. Написать уравнение колебаний частицы, приняв начальную фазу колебаний ϕ = 0 (уровень 3 ). 90 Уравнение затухающих колебаний дано в виде 0,25 5 sin 2 t x e t − π = м. Найти скорость колеблющейся точки в моменты времени 0, Т , 2 Т , 3 Т и Т (уровень 3 ). Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за 1 минуту уменьшилась вдвое. Во сколько раз она уменьшится за 3 минуты (уровень 3 ) Амплитуды смещений вынужденных колебаний при частотах вынуждающей силы 100 и 150 Гц равны между собой. Найти частоту, соответствующую резонансу смещений. Вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону (уровень 3 ). Амплитуды скорости вынужденных колебаний при частотах вынуждающей силы υ 1 и υ 2 . Найти частоту, соответствующую резонансу скорости. Вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону уровень Определить амплитуду А вынужденных колебаний груза массы m = 0,1 кг на пружине с коэффициентом жесткости k = 10 Нм, если на груздей- ствует вертикальная вынуждающая гармоническая сила с амплитудой F 0 = 1,5 Ни частотой, в два раза большими собственной частоты груза на пружине. Коэффициент затухания β = 0,4 с (уровень 4 ). Тело массой m = 360 г подвешено к пружине с коэффициентом жесткости Нм и совершает вертикальные колебания в некоторой среде. Логарифмический декремент затухания λ = 0,01. Сколько колебаний должно совершить тело, чтобы амплитуда смещения уменьшилась в е раз За какой промежуток времени произойдет это уменьшение амплитуды (уровень 4 ) УЧЕБНЫЙ МОДУЛЬ №2 МЕХАНИКА МАТЕРИАЛЬНЫХ ТЕЛ. МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК Введение В этом учебном модуле рассматриваются особенности и закономерности движения систем материальных точек, связанных между собой определенным взаимодействием и образующих тела. Объединение множества материальных точек в единое целое приводит к появлению новых, не присущих одной материальной точке, особенностей движения и новых закономерностей. При описании движения систем материальных точек в механике они разделяются натри принципиально различных типа. Системы с сильными жесткими) и ориентированными связями материальных точек образуют твердые тела, которые способны в определенной степени сохранять форму и объем. Системы с сильными, но свободно ориентирующимися связями материальных точек образуют жидкие тела, которые способны сохранять объемно принимают форму предоставляемого им объема или обусловленную движением. В ряде случаев методика рассмотрения системы материальных точек как единого тела применяется и к системам со слабыми и неориентированными связями материальных точек, образующих газообразные структуры (тела, которые принимают весь предоставляемый им объем и любой формы. Сильная связь материальных точек реализуется в случае, когда потенциальная энергия их взаимодействия значительно превышает кинетическую энергию. Слабая – когда кинетическая энергия материальных точек значительно превышает потенциальную энергию их взаимодействия в системе. В этом учебном модуле рассматриваются закономерности движения твердого тела и жидкости. Новые физические понятия, вводимые в этом учебном модуле, обусловлены проявлением новых свойств систем материальных точек. Однако в большинстве случаев описание этих новых свойств и закономерностей основывается на понятиях и закономерностях механики материальной точки, рассмотренных в учебном модуле №1. Поэтому краткое содержание теоретического материала модуля содержит таблицу аналогий закономерностей поступательного и вращательного движений. 92 Учебно-методическая структура модуля Учебный модуль № 2 Механика материальных тел. Модель системы материальных точек 1. Учебный блок Статика 2. Учебный блок Динамика вращательного движения твердого тела 3. Учебный блок Колебания твердого тела 4. Учебный блок Механика жидкости – результирующая сил, действующих на твердое тело – момент силы, результирующий момент сил – равновесное состояние тела, условия равновесия – виды равновесия – характеристики вращательного движения тел, абсолютность вращательного движения – законы Ньютона для вращательного движения – законы сохранения для вращательного движения – степени свободы вращательного движения – момент инерции тел – вращение относительно оси, относительно точки – особенности физического маятника – крутильные колебания колебания связанных систем – свойства жидкости, модель идеальной жидкости – течение жидкости, поток, линии тока условие непрерывности законы сохранения в текущей жидкости, трение в жидкости – основные законы гидродинамики Методическая программа модуля Тема занятия Тип занятия Вид занятия Часы. Условия равновесия тел, виды равновесия формирование новых знаний лекция 1 2. Определение видов и условий равновесного состояния тел формирование и систематизация новых навыков практич. занятие 2 3. Кинематические и динамические параметры вращательного движения, момент инерции тел формирование новых знаний лекция 2 4. Определение характеристик вращательного движения центра массы тел, моментов инерции тел формирование и систематизация новых навыков практич. занятие 2 5. Законы Ньютона и сохранения импульса и энергии для вращательного движения. Работа формирование новых знаний лекция 1 Окончание табл. 6. Вращение тел относительно свободной оси, заданной точки. Степени свободы твердого тела формирование новых знаний лекция 2 7. Законы сохранения импульса и энергии, параметры вращения и качения тел. Применение теоремы Штейнера углубление и систематизация навыков практич. занятие 2 8. Уравнения колебаний физического и крутильного маятников формирование новых знаний лекция 2 9. Определение параметров колебаний физического и крутильного маятников. Применение теоремы Штейнера формирование и систематизация новых навыков практич. занятие 2 10. Течение жидкости. Трение в жидкости. Основные законы гидродинамики формирование новых знаний лекция 2 11. Определение параметров течения жидкости, движения тел в жидких средах формирование и систематизация новых навыков практич. занятие 2 12. Механика твердого тела и жидких сред по графику из списка лабораторных работ) систематизация знаний и формирование навыков экспериментальной работы лаборатор. занятия 8 13. Механика твердого тела и жидких сред занятие-проверка результатов обучения итоговое занятие 2 94 1. УЧЕБНЫЙ БЛОК СТАТИКА Введение Статика – раздел механики, в котором изучаются виды равновесных статических) состояний тела или системы тел и условия, обеспечивающие равновесные состояния. Статика является частным случаем динамики твердого тела, в котором линейные и угловые ускорения отсутствуют равны нулю. Тем не менее, этот раздел механики имеет важное и самостоятельное значение для практической деятельности, поскольку позволяет определять условия устойчивости тел, деформации и нагрузки элементов в системах тел, условия достижения необходимой прочности конструкций. Для успешного изучения учебного материала этого блока учащийся должен иметь представление – о векторных и скалярных физических величинах – о силах, действующих на тела и системы тела также в системах тело видах поступательного движения – о центре массы тел, системы взаимосвязанных тел обладать навыками – сложения векторных физических величин – нахождения проекций векторов на координатные оси – выбора наиболее удобных систем координат. Учебная программа блока Содержание Форма подготовки Литература преобразование действующих на тело сил с различными точками приложения в силы, определяющие прямолинейное движение системы материальных точек тела и их движение по окружности – момент силы – условия и виды равновесного состояния тела, системы тел лекция, самост. [2], [4] Цели обучения студент должен знать студент должен уметь – методику определения центра массы тела – понятия плечо силы, момент силы – виды равновесного состояния тела критерий, определяющий вид равновесного состояния – математические выражения для сил, определяющих связи элементов системы, находящейся в равновесном состоянии – находить момент силы – находить центр массы тела (простейшие случаи – записать необходимое количество уравнений условий равновесия тел – рассчитать силы реакции связей между элементами системы в равновесном состоянии – находить результирующую сил, действующих на тело и разлагать ее на силы, обеспечивающие прямолинейное движение и по окружности 95 1.1. Краткое содержание теоретического материала Из закона сохранения импульса системы материальных точек следует, что внутренние силы связей материальных точек в системе не могут привести к изменению состояния центра массы системы (в механике – координат, параметров движения. Вывести систему, в частности из состояния покоя, могут только внешние силы. Любую внешнюю силу, приложенную к системе материальных точек (твердому телу, можно разложить, по крайней мерена две силы, линия действия одной из которых будет проходить через центр массы твердого тела. Поэтому одним из условий равновесия (стационарного) состояния твердого тела является условие для сохранения равновесного состояния твердого тела векторная сумма внешних сил должна быть равна нулю 1 0 N P i i F F = = = ∑ . (1) Для анализа достаточности этого условия обратимся к рис. 1.1, где точка О – центр массы твердого тела Т произвольной формы, а точка А – точка приложения, в общем случае, результирующей всех внешних сил F. Соединим точки Аи О прямой линией и будем считать ее координатной осью Y. Перпендикулярно оси Y проведем координатную ось Х, так, чтобы сила P F лежала в плоскости ХА. Разложив P F на компоненты по осям координат, получим y F и x F . Силу y F , действующую по линии АО, согласно правилу переноса сил 1 0 N P i i F F = = = ∑ вдоль линии их действия, можно считать приложенной к центру массы тела. Она обеспечивает прямолинейное поступательное движение тела по координате Y, так как все точки тела жестко связаны с центром массы и направление а у совпадает с направлением y F . Если P F = 0 или ее проекция y F = 0, то центр массы будет оставаться в покое. Сила x F обеспечивает тангециаль- ное (касательное) ускорение точки А относительно центра массы a τ , те. связывает поворот тела относительно точки О (и всех точек тела вследствие их жесткой связи. В результате все точки тела под действием x F в каждый Рис. 1.1 момент времени движутся по окружностям. Такое движение тела называется вращением. В появлении этого дополнительного вида движения и проявляется новое (отсутствующее у одной материальной точки) свойство системы жестко связанных материальных точек (тела. Таким образом, если все действующие на тела силы можно свести к одной результирующей, условие (1) является достаточным для равновесного состояния тела. Часто силы, действующие на тело в его различных точках, оказываются параллельными и не могут быть сведены к одной результирующей. В этом случае необходимо другое условие равновесия тела. Рассмотрим ситуацию, показанную на рис. 1.2, где на невесомом жестком стержне АВ закреплены грузы массами m 1 и m 2 , а стержень лежит на неподвижной опоре О. Силы, действующие на систему грузы- стержень, параллельны 1 m g , 2 m g – силы тяжести, N – реакция опоры. Опыт работы с подобными системами (например – рычажные весы) показывает, что система остается в равновесии, тени- как не движется, если выполняются условия 1) 1 2 1 0 N i i F N m g m g = = − − = ∑ , (2) 2) 1 1 2 2 m g m g = ; 1 Первое условие касается поступательного движения системы, второе – вращательного. Величины 1 m g и 2 2 m g получили название моментов сил. Видно, что каждый из моментов сил может вызывать поворот системы в различных направлениях ( 1 1 m g – против хода часовой стрелки, 2 2 m g – походу часовой стрелки. Поэтому величина F ⋅ в общем случае является векторной величиной. В соответствии с векторной алгеброй векторы момента сил 1 1 1 M F = ⋅ и 2 2 2 M F = ⋅ направлены перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы 1 F и 2 F и их плечи 1 и 2 . Направление M принято определять по правилу буравчика если буравчик поставить в точку вращения О, а рукоятку вращать в направлении силы, то ход буравчика Рис. 1.2 показывает направление M . При этом любое из направлений может быть взято положительным, тогда другое направление следует считать отрицательным. В соответствии с этим второе условие (2) в общем виде можно записать следующим образом 1 0 N p i i M M = = = ∑ , (3) которое означает, что для равновесного состояния твердого тела алгебраическая сумма моментов сил, действующих на тело, должна быть равна нулю. В реальных телах масса распределена по всему объему тела. Поэтому при решении задач целесообразно расчленять тело на элементы, для которых можно легко определить центр массы, которые соединяются невесомыми жесткими элементами, и решать задачу, как это сделано для системы, показанной на рис. 1.2. Если тело находится в равновесном состоянии, то для решения задачи на условия равновесия воображаемая точка (ось) вращения может быть взята любой (произвольной, и для каждой из них может быть составлено уравнение (3). Поэтому уравнений (3) может быть составлено столько, сколько необходимо для нахождения неизвестных в задаче путем замены точки (оси) вращения. Особое значение имеет частный случай, когда на тело действуют две равные параллельные силы, имеющие противоположное направление, их называют парой сил. Пара сил приводит тело только во вращательное движение. Кратчайшее расстояние между параллельными прямыми, вдоль которых действуют составляющие пару силы, называется плечом этой пары (рис. 1.3). Момент пары сил равен произведению одной из сил на плечо пары, независимо от положения оси вращения п п M F = При повороте тела под действием не изменяющихся по величине и направлению сил, момент пары сил изменяется так, как изменяется ее плечо. Когда тело займет положение, при котором обе силы окажутся направленными по одной прямой, то их равнодействующая будет равна нулю. Рис. 1.3 Равновесие тела в некотором положении называется устойчивым, если при любых малых отклонениях тела от этого положения, допускаемых связями, возникают силы или моменты сил, стремящиеся возвратить тело в их исходное состояние. На рис. 1.4 показаны примеры положения устойчивого равновесия некоторых тел и малые отклонения от этого положения. Равновесие тела в некотором положении называется неустойчивым, если хотя бы при некоторых малых отклонениях тела от этого положения, допускаемых связями, возникают силы или моменты сил, препятствующие возвращению тела в исходное состояние (рис. 1.5). Равновесие в некотором положении называют безразличным, если при любых малых отклонениях тела от этого положения, допускаемых связями, не возникает сил или моментов сил, стремящихся нарушить равновесие (рис. 1.6). Рис. Рис. 1.5 Рис. 1.6 |