умк_Вабищевич_Физика_ч.1. умк_Вабищевич_Физика_ч. Учебнометодический комплекс для студентов технических специальностей в двух частях Часть 1 Новополоцк 2005 2 удк 53 (075. 8)
 Скачать 1.81 Mb.
|
|
Решение. Движение каждой точки катушки будем рассматривать как сумму поступательного движения вместе с осью катушки со скоростью переносное движение) и вращательного движения вокруг этой оси с угловой скоростью ω Рассмотрим движение двух точек 1 и 2 катушки (рис. 1.10, б. Поскольку нить по катушке не проскальзывает, то абсолютные скорости точек 1 и 2 равны скоростями, с которыми движутся нити. Пусть 1 υ > Очевидно, что в этом случае скорость поступательного движения оси катушки 0 υ будет направлена влево, и катушка будет вращаться против часовой стрелки. Скорости 1 τ υ и 2 τ υ , обусловленные вращательным движением катушки, равны 1 , r τ υ = ω⋅ 2 R τ υ = ω⋅ (1) и направлены так, как показано на рис. 1.10. Кроме скоростей 1 τ υ и 2 τ υ каждая из выбранных точек будет иметь скорость 0 υ поступательного движения оси катушки. Следовательно 1 0 1 τ υ = υ + υ , 2 0 2 τ υ = υ + Записав эти уравнения в проекции на ось ОХ с учетом (1) 1 0 , r −υ = −υ − ω 2 0 R υ = −υ + и, решив относительно υ 0 и ω , получим 1 2 0 R r R r υ − υ υ = + , 1 2 R r υ + υ ω Угловую скорость катушки можно найти, используя понятие мгновенного центра скоростей, который расположен в точке А (см. рис. 1.10, в. Треугольники Аи ∆АМС подобны, поэтому BN NA MC MA = , где BN = υ 1 ; MC = υ 2 ; NA = x; MA = R + r – x; x – расстояние от мгновенного Рис. 1.10 центра скоростей до точки N. Следовательно 1 2 x R r x υ = υ + Отсюда находим 1 1 2 ( ) R r x υ + = υ + Точка N относительно мгновенного центра скоростей будет участвовать только во вращательном движении по окружности радиусом х с угловой скоростью ω. Поэтому 1 1 1 2 ( ) R r x ωυ + υ = ω = υ + υ . (2) Из (2) получим 1 2 R r υ + υ ω Ответ 1 2 0 R r R r υ − υ υ = + ; 1 2 R r υ + υ ω = + 1.5. Задачи для самостоятельного решения Скорость течения реки υ = 3 км/ч, а скорость движения лодки относительно воды υ 1 = 6 км/ч. Определите, под каким углом относительно берега должна двигаться лодка, чтобы проплыть поперек реки [60°, уровень 1 ]. Тело движется равноускоренно с начальной скоростью υ 0 . Определите ускорение тела, если за время t = 2 с оно прошло путь s = 16 ми его скорость υ = 3v 0 [4 мс уровень 1]. Велосипедист проехал первую половину пути со скоростью υ = 16 км/ч, вторую половину пути – со скоростью υ 2 = 12 км/ч. Определите среднюю скорость движения велосипедиста [13,7 км/ч, уровень 2]. Тело падает с высоты h = 1 км с нулевой начальной скоростью. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите, какой путь пройдет тело 1) за первую секунду своего падения 2) за последнюю секунду своего падениям м, уровень 2]. Два автомобиля, выехав одновременно из одного пункта, движутся прямолинейно водном направлении. Зависимость пройденного ими пути задается уравнениями 2 1 s At Bt = + и 2 3 2 s Ct Dt Ft = − + . Определите относительную скорость u автомобилей [ 2 2( ) 3 u A C B D t Ft = − + − − , уровень 2 ]. 33 Зависимость пройденного телом пути по окружности радиусом r =3 м задается уравнением 2 s At Bt = + (A = 0,4 мс В = 0,1 мс. Для момента времени t = 1 с после начала движения определите ускорения 1) нормальное) тангенциальное 3) полное [1) 0,27 мс 2) 0,8 мс 3) 0,84 м/с 2 , уровень 2 ]. В течение времени t скорость тела задается уравнением вида 2 A Bt Ct υ = + + (0 t ≤ ≤ τ ). Определите среднюю скорость за промежуток времени τ [ 3 1 1 2 3 A B C υ = + τ + τ , уровень 3 ]. Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением 2 3 s A Bt Ct Dt = + + + (С = 0,1 мс D = 0,03 мс. Определите 1) через какое время после начала движения ускорение тела будет равно а = = 2 мс 2) среднее ускорение тела за этот промежуток времени [1) 10 с 2) 1,1 мс, уровень 3 ]. Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом r = 4 м, задается уравнением 2 n a A Bt Ct = + + (А = 1 мс В = 6 мс С = = 9 мс Определите 1) тангенциальное ускорение точки 2) путь, пройденный точкой за время t 1 = 5 с после начала движения 3) полное ускорение для момента времени t = 1 с [1) 6 мс 2) 85 м 3) 17,1 мс, уровень 4 ]. Диск радиусом R = 10 смвращается так, что зависимость линейной скорости точек, лежащих на ободе диска, от времени задается уравнением мс В = 0,1 мс. Определите момент времени, для которого вектор полного ускорения a образует с радиусом колеса угол ϕ = 4° [2 с, уровень 4 ]. Примечание. В этом разделе даны задачи, которые необходимо решать для обретения навыков решения. Для закрепления навыков решения задач поданному учебному блоку задачи могут быть взяты из сборника задач Механика, который является приложением к учебным модулями. УЧЕБНЫЙ БЛОК ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Введение Динамика – раздел механики, изучающий движение тела под действием других тел. Меру взаимодействия тел, в результате которого тела деформируются или приобретают ускорение, называют силой. Сила – векторная величина, ее действие характеризуется числовым значением, направлением действия и точкой приложения. При изучении данного раздела студенты должны иметь представление о способах задания положения материальной точки – об основных кинематических характеристиках движения и связях между ними – о принципе суперпозиции движений и принципе относительности механического движения обладать навыками – определения характеристик движения , , r a υ графическими аналитическим способами. Учебная программа блока Содержание блока Форма подготовки Рекомендуемая литература 1. Законы Ньютона. Силы.Понятие импульса тела, импульс силы, инерциальные системы отсчета самост., лекция [3] 2. Силы в механике. Сложение сил. Законы всемирного тяготения, Гука, Архимеда самост., лекция [3], [4] 3. Центр масс системы материальных точек. Закон сохранения импульса лекция [2], [4] 4. Работа и энергия в механике. Кинетическая энергия. Мощность лекция, самост. [3] 5. Поле сил. Центральные силы и потенциальная энергия самост. [3], [4] 6. Полная механическая энергия. Закон сохранения энергии в механике лекция [3], [4] 7. Законы сохранения при упругих и неупругих взаимодействиях. Рассеяние частиц* лекция [2], [3], [4] Примечание * – материал изучается ознакомительно Цели обучения студент должен знать студент должен уметь – понятие импульса силы и правила сложения сил – законы Ньютона – законы сохранения импульса и механической энергии материальной точки – характеристики взаимодействия и соответствующие законы (закон всемирного тяготения, закон Гука, закон Архимеда и т.д.); – понятие работы, мощность и их связь с энергией – параметры столкновений материальных точек – понятие центра масс системы материальных точек – характеристики силового поля – определять положение центра масс системы материальных точек – определять работу переменной силы применять законы сохранения импульса и механической энергии в замкнутой системе – определять ускорение и другие характеристики движения материальной точки с учетом различных видов взаимодействий (упругости, трения, сопротивления, силы Архимеда – рассчитывать характеристики силового поля – рассчитывать характеристики материальных точек после столкновения 2.1. Краткое содержание теоретического материала Свободно движущейся материальной точкой или свободной материальной точкой (телом) можно назвать материальную точку, действием на которую других точек можно пренебречь. Если с такой точкой (телом) связать систему отсчета, тов такой системе движение других свободных тел выглядит особо просто оно происходит прямолинейно и равномерно, то есть с постоянной по величине и направлению скоростью ( υ = const). Это утверждение составляет содержание закона инерции. Система отсчета, связанная со свободным телом, называется инерциальной системой отсчета. Закон инерции констатирует факт существования инерциальных систем отсчета и носит название Первого закона Ньютона. Для практического применения (решения задач) более полезна следующая формулировка первого закона Ньютона если результирующая сила, действующая на материальную точку (тело) равна нулю, то тело покоится или совершает равномерное и прямолинейное движение. Инерциальных систем отсчета можно выбрать бесчисленное множество. Однако характер движения не будет зависеть от выбора. В этом суть одного из фундаментальных законов физики – принципа относительности. Следует понимать, что все используемые в физическом эксперименте системы отсчета являются инерциальными лишь с большей или меньшей степенью точности. Например, инерциальные системы отсчета на поверхности Земли связаны с общей системой геоцентрической космические расчеты необходимо производить относительно более точной системы отсчета, связанной с Солнцем – гелиоцентрической и т.д. Из первого закона Ньютона следует, что при свободном движении материальной точки, скорость ее в инерциальной системе отсчета остается постоянной ( υ = const). В общем случае сохраняется не скорость, а произведение скорости υ на массу материальной точки m. Эта величина носит название импульса материальной точки p m = υ. Если же материальная точка взаимодействует с другими материальными точками (телами, то ее скорость изменяется d a dt υ = , причем 1 2 n ma F F F = + + + … , (1) где 1 2 , , n F F F … – силы, действующие на точку со стороны тел. Это уравнение является математической формулировкой Второго закона Ньютона. Общая формулировка второго закона Ньютона имеет вид скорость изменения импульса точки равна равнодействующей силе, действующей на точку 1 2 n dp F F F F dt = + + + = … , (2) где F – равнодействующая сила, которая определяется как векторная сумма сил 1 2 , n F F F … , действующих на точку. Уравнение (2) может быть записано следующим образом dp Fdt = , где произведение Fdt получило название импульса силы. Это выражение определяет тот факт, что для изменения импульса тела необходимо еще учитывать время действия той или иной силы. Уравнение (2) является векторным уравнением. Вместо него в соответствии с принципом суперпозиции движений можно записать три скалярных уравнения, которые для декартовой системы координат имеют вид x x dp F dt = ; y y dp F dt = ; z z dp F Все силы в природе являются силами взаимодействия, те. силы всегда возникают парами. Этот факт выражает суть Третьего закона Ньютона с какой силой тело 1 действует на тело 2, с такой же силой, но противоположной по направлению, тело 2 действует на тело 1 12 21 F F = − . (3) Все силы в природе делятся на фундаментальные и нефундамен- тальные . Последние в конечном итоге могут быть сведены к действию фундаментальных сил. К фундаментальным относятся силы гравитационного взаимодействия, силы электромагнитного взаимодействия, сильные и слабые взаимодействия (они рассматриваются в разделе ядерной физики. К нефундаментальным относятся сила Архимеда, силы упругости, сила трения и т.д. Для решения большинства практических задач механики необходимо знать силы гравитационного взаимодействия (закон всемирного тяготения) 1 2 12 12 3 12 m m F r r = γ или 1 2 12 2 12 m m F r = γ 1 2 12 2 12 m m F r = γ , если ввести условие, что действует вдоль линии, соединяющей центры масс тел γ = 6,67⋅10 -11 Нм 2 /кг 2 – гравитационная постоянная – силы упругости 0 l E l δ σ = либо F kx = − , где 0 ES k l = , σ = F/S – механическое напряжение, Е – модуль Юнга, δ l = x – абсолютное удлинение тела – сила реакции опоры N – возникает в том случае, когда какое-либо тело расположено на подставке (подвесе, которая деформируется и действует на тело с силой N . По третьему закону Ньютона со стороны тела на подвес также действует сила mg N = − (вес тела. Необходимо помнить, что вес тела приложен не к телу, а к подставке (подвесу, на которой оно находится – силы трения и сопротивления сухое трение препятствует всякому движению материальной точки, тетр при 0 υ = ; υ ≠ 0; тр F N = µ , где µ – коэффициент трения разновидностью сухого трения является трение качения (R – радиус катящегося тела) 38 тр r N F R = µ ; вязкое трение обращается в нуль одновременно со скоростью внутреннее трение в жидкости и газе тр d F Sn dz υ = −η , где η – коэффициент вязкости (внутреннее трение S – площадь взаимодействующих слоев жидкостей d dz υ – градиент скорости по сечению слоев n – единичный вектор в направлении движения слоя – силы сопротивления при взаимодействии твердого тела и жидкой струи (газообразной) а) при небольших скоростях сила растет линейно со скоростью 1 тр F r = − υ ; б) при больших скоростях линейный закон нарушается 2 2 тр F r n = − υ , где r 1 и r 2 – коэффициенты сопротивления – сила инерции – фиктивная сила, которая определяется фактом движения материальной точки относительно неинерциальной системы отсчета (системы, движущейся с ускорением а 0 ин F ma = Второй закон Ньютона в неинерциальной системе отсчета принимает вид 1 n i ин i ma F F = = + ∑ Сила ин F является фиктивной, так как мы не можем указать второе тело, действующее на данную материальную точку. Это такая сила, которую нужно прибавить к реальным силам, чтобы учесть факт ускоренного движения самой системы отсчета. Системой материальных точек будем называть совокупность материальных точек, жестко связанных (взаимодействующих) между собой. Импульсом системы материальных точек называется векторная сумма импульсов n материальных точек 1 1 n n i i i i i p p m = = = = υ ∑ ∑ Центром инерции (центром масс системы материальных точек называется точка в пространстве, радиус-вектор c r которой определяется условием 1 1 1 1 n i i n i c i i n i i i m r r m r M m = = = = = ∑ ∑ ∑ , где r i – радиус-вектор материальной точки m i ; M – масса всей системы. Скорость центра инерции системы n точек общей массой 1 n i i M m = = ∑ 1 1 1 1 1 1 1 n n n c c c i i i i i i i dr dr m m p p dt M dt M M M = = = υ = = = υ = = ∑ ∑ ∑ , те. импульс системы материальных точек c p M = υ и определяется таким же выражением, как и для нахождения материальной точки, нос массой М, помещенной в точку с радиус-вектором c r . Если масса тела распределена непрерывно, то от суммирования необходимо перейти к интегрированию функции распределения плотности вещества ρ по объему тела V: V V M dm dV = = ρ Для системы материальных точек аналогично можно записать второй закон Ньютона и ускорение центра инерции системы 1 N k k dp F dt = = ∑ ; 1 1 n c c i i i d a m a dt M = υ = = ∑ , где 1 N k k F = ∑ – сумма всех внешних сил, действующих на систему материальных точек. Импульс системы материальных точек изменяется только под действием внешних сил F k , поэтому в замкнутой системе (в отсутствие внешнего воздействия) изменение импульса равно нулю, чтобы ни происходило внутри системы 0 dp dt = , (4) что выражает закон сохранения импульса Центр инерции замкнутой системы материальных точек движется прямолинейно и равномерно (как следует из (4)). Поэтому, если с центром инерции замкнутой системы связать систему отсчета (ее называют системой центра масс, то она будет инерциальной. В этой системе 0 c r = и 0 c υ = ( const c υ = , если центр масс движется равномерно и прямолинейно) и уравнения движения принимают простой вид 1 0 n i i i m r = = ∑ ; 1 0 n i i i m = υ = ∑ , где i r и i υ – радиус-вектор и скорость ой частицы относительно центра масс. В случае, когда сумма внешних сил, действующих на систему, отлична от нуля (система незамкнута, но проекция равнодействующей этих сил на некоторую ось х равна нулю – 1 0 N kx k F = = ∑ , то проекция импульса системы на это направление также не будет меняться со временем В механике важным свойством сил является способность совершать работу. В курсе физики средней школы работа – это скалярная величина, равная произведению силы на перемещение и на косинус угла между ними рис. 2.1). cos A F r F r ∆ = ∆ = ∆ α . В общем случае работу по перемещению тела по произвольной криволинейной траектории L можно определить согласно выражению L A Fdr = ∫ , где F – функция силы от радиус-вектора. В частном случае прямолинейного перемещения из точки с радиус- вектором r 1 в точку с радиус-вектором r 2 под действием переменной силы работу можно определить по формуле 2 1 12 ( ) r r A F r dr = ∫ . (5) Работа силы, совершенная в единицу времени, называется мощностью dA P F dt = = υ . Рис. 2.1 В этом случае выражение для работы приобретает вид 2 2 1 1 12 ( ) r r r r A P r dt F dt = = υ ∫ ∫ . (6) Из (6) следует, что если сила, действующая на точку, перпендикулярна скорости, то работа такой силы равна нулю. Воспользовавшись выражениями p m = υ , dp m d = ⋅ υ , dp F dt = и (6), можно записать 2 2 2 2 2 2 2 1 12 1 1 1 1 2 2 dp m m A F dt dt dp m d dt υ υ = υ = υ = υ = υ υ = − ∫ ∫ ∫ ∫ . (7) Скалярная величина 2 2 k m E υ = получила название кинетическая энергия Выражение (7) носит название теоремы кинетической энергии: работа силы по перемещению материальной точки равна приращению ее кинетической энергии. Все силы в механике принято разделять на консервативные и |