умк_Вабищевич_Физика_ч.1. умк_Вабищевич_Физика_ч. Учебнометодический комплекс для студентов технических специальностей в двух частях Часть 1 Новополоцк 2005 2 удк 53 (075. 8)
 Скачать 1.81 Mb.
|
|
«МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ Введение Настоящий модуль посвящен изучению состояния и процессов изменения состояний вещества в газообразной форме, те. вещества с плотностью много меньшей, чем в других агрегатных состояниях (твердое тело, жидкость. При повышенных плотностях газы проявляют некоторые свойства, подобные свойствам жидкости, поэтому механика таких газов рассматривается с привлечением понятий гидродинамики (модуль №2, блок 4). В настоящем модуле основное внимание уделяется газам с относительно низкой плотностью, когда энергия коллективных взаимодействий частиц значительно меньше энергии движения (усредненной) одной частицы газа. На основе этого принципа, положенного в основу модели идеального газа, разработана молекулярно-кинетическая теория газов, оперирующая усредненными характеристиками движения частиц, которое описывается законами классической механики. Однако в связи с большим количеством частиц, образующих систему – газ, взаимодействующих между собой столкновения, для системы частиц – газа возникают новые характеристики параметры, не присущие одной частице газа, например температура Поэтому основной задачей молекулярно-кинетической теории является определение связи таких коллективных параметров с усредненными параметрами механического движения частиц газа на основе статистических методов Существует также наука (термодинамика, изучающая систему частиц газ, как единое целое, без обращения к внутренней структуре вещества (газа) и оперирующая только параметрами системы – макропарамет- рами, к которым относятся в частности, температура, давление, объем, масса вещества, концентрация частиц, плотность вещества, внутренняя энергия. Таким образом, молекулярно-кинетическая теория и термодинамика взаимно дополняют друг друга, описывая связь между макропараметрами вещества на основе микросвойств системы – газ (в частности. Поэтому в этом блоке эти параметры используются совместно. 156 Учебно-методическая структура модуля Модуль № 3 «Молекулярно-кинетическая теория. Основы термодинамики 1. Учебный блок Законы состояния идеального газа 2. Учебный блок Явления переноса 3. Учебный блок «Термодинамика. Агрегатное состояние вещества давление идеального газа – уравнение Менделеева – Клапейрона – газовые законы – понятие о степенях свободы – внутренняя энергия идеального газа – распределение Максвелла по скоростями энергии – идеальный газ в потенциальном поле – распределение Больцмана – поток газа на стенку – критерии вакуума столкновения – теплопроводность – внутреннее трение – диффузия – процессы изменения состояния газа – работа I начало термодинамики теплоемкость – политропические процессы – циклические процессы, их КПД – II начало термодинамики энтропия – реальные газы уравнение Ван-дер-Ваальса; – критические параметры – фазовые переходы Методическая программа модуля Тема занятия Тип занятия Вид занятия Часы 1. Законы состояния идеального газа формирование новых знаний вводная лекция 1 2. Определение макро и микропа- раметров идеального газа углубление и систематизация навыков лекция 2 3. Распределение Максвелла Больцмана формирование новых знаний практич. занятие 2 4. Распределение Максвелла – Больцмана углубление и систематизация навыков лекция 2 5. Лабораторная работа по определению параметров реальных газов углубление и систематизация навыков лаборат. работа 4 6. Явления переноса формирование новых знаний лекция 2 7. Определение основных параметров явлений переноса углубление и систематизация навыков практич. занятие 2 8. Процессы изменения состояния газа. Работа и энергия. I начало термодинамики формирование новых знаний лекция 2 9. I начало термодинамики. Работа углубление и систематизация навыков практич. занятие 2 10. Циклические процессы. КПД. Энтропия формирование новых знаний лекция 2 11. Определение КПД процессов. Энтропия углубление и систематизация навыков практич. занятие 2 157 1. УЧЕБНЫЙ БЛОК ЗАКОНЫ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА Введение При рассмотрении газовых процессов используют модель идеального газа Идеальнымможно считать газ, если коллективным взаимодействием между частицами газа в условиях данной задачи можно пренебречь. Из реальных газов по своим свойствам наиболее близкими к идеальным газам являются разреженные газы, а также инертные газы. Анализ основных физических процессов в газе осуществляется на основе молекулярно-кинетической теории (МКТ), в которой газ рассматривается в рамках механических представлений. В молекулярно- кинетической теории для описания свойств газов применяются микроскопические и макроскопические параметры. К микроскопическим параметрам относятся скорость частиц, их кинетическая энергия, концентрация частица к макроскопическим – давление, объем, температура. Поскольку в газе содержится достаточно большое количество частиц с различными значениями микропараметров, то целесообразно рассматривать усредненные микроскопические параметры, полученные на основе статистического рассмотрения газовых процессов. Макроскопические параметры характеризуют газ в целом и связаны с микроскопическими параметрами через основные уравнения молекулярно-кинетической теории. Основные уравнения МКТ подробно рассматривались в курсе физики средней школы, поэтому этот раздел предполагает в основном самостоятельное повторение материала. Поэтому основное внимание в этом блоке уделяется статистическому подходу к описанию физических явлений в газе. При изучении данного блока студенты должны иметь представление – о законах классической динамики – об особенностях свободного вращения тело степени свободы материальной точки и твердого тела. обладать навыками – интегрирования, использования табличных интегралов – расчета основных макро- и микропараметров идеального газа на основе уравнения состояния идеального газа. Учебная программа блока Содержание блока Форма подготовки Рекомендуемая литература 1. Давление идеального газа самост. [2], [3], [4] 2. Уравнение Менделеева – Клапейрона самост. [2], [3], [4] 3. Законы состояния газа самост. [2], [3], [4] 4. Понятие степеней свободы самост. [3], [4] 5. Внутренняя энергия идеального газа лекция [3], [4] 6. Распределение Максвелла лекция [2], [3], [4] 7. Идеальный газ в потенциальном поле лекция [2], [3], [4] 8. Поток частиц идеального газа на стенку лекция [2], [3], [4] 9. Средняя энергия в потоке ив объеме идеального газа лекция [3], [4] Цели обучения Студент должен знать Студент должен уметь – основные уравнения МКТ; – уравнение Менделеева – Клапейрона, и другие законы состояния газа – закон о равнораспределении энергии по степеням свободы – распределение Максвелла – распределение Больцмана – выражения для потоков частиц и энергий идеального газа на стенку – способ определения средних энергий частиц газа в потоке ив объеме – определять макроскопические параметры идеального газа на основе законов состояния газа – определять число степеней свободы идеального газа и соответствующую им энергию определять средние и наиболее вероятную скорости – рассчитывать число частиц имеющих скорости (энергии) в заданном диапазоне – определять равновесные параметры идеального газа 1.1. Краткое содержание теоретического материала Модель идеального газа МКТ основывается на модели идеального газа, для которого считаются справедливыми следующие утверждения – микрочастицы движутся хаотически и подчиняются законам механики – хаотичность движения означает, что система – газ однородна во всех направлениях по своим характеристиками свойствам. Например, если для какого-либо направления определена средняя скорость частиц газа, то она одинакова для всех направлений – размер микрочастиц много меньше расстояния между ними, и поэтому взаимодействие частиц происходит только при их столкновениях, которые соответствуют упругому взаимодействию механических объектов 159 – абсолютно упругий характер взаимодействия распространяется и на взаимодействие микрочастиц газа с другими макротелами, например, стенками сосуда – давление в МКТ есть результат изменения импульса микрочастиц газа при упругом столкновении со стенками сосуда – температура в МКТ характеризует скорость теплового движения молекул – внутренняя энергия в МКТ есть суммарная энергия теплового хаотического движения (поступательное, вращательное, колебательное. Уравнение состояния идеального газа Состояние заданной массы газа определяется значениями х параметров давления p, объема V и температуры Т. Эти параметры называются макропараметрами и связаны друг с другом. Указанная связь может быть задана аналитически в виде функции ( , , ) 0 F p V T = . Это соотношение, определяющее связь между параметрами какого- либо тела, называется уравнением состояния этого тела. При небольших плотностях газы с хорошей точностью подчиняются уравнению const pV T = . (1) Следовательно, это и есть уравнение состояния идеального газа. Для произвольной массы газа его можно записать A m N pV RT RT N = = µ , (2) где m – масса газа, µ – молярная масса, N – число частиц в газе, N A – число Авогадро (число частиц в моле газа, R – универсальная газовая постоянная. Если учесть, что концентрация N n V = , А R к N = , то p nkT = (3) (1), (2) и (3) являются различными формами одного итого же уравнения состояния идеального газа. Согласно (2), можно получить выражение для плотности идеального газа m p V R T µ ⋅ ρ = = Основное уравнение МКТ Рассмотрим одноатомный газ. Пусть молекулы не взаимодействуют между собой, а соударения о стенку абсолютно упругие (рис. 1.1). При каждом соударении изменение импульса частицы, перпендикулярного стенке p ∆ : ( ) 2 x x x p m m m ∆ = υ − − υ где х – средняя скорость частиц в направлении х. За время t ∆ площадки могут достигнуть все частицы, которые включены в объем x t S υ ∆ Число этих частиц, равное N ∆ с учетом возможных направлений движения и условия хаотичности ( x υ = υ ) можно определить выражением 1 6 N n t S ∆ = υ∆ Эти молекулы передают стенке суммарный импульс 2 1 1 2 2 6 3 P m N n S t m n S t ∆ = υ∆ = ∆ ∆ υ⋅ υ = ∆ ∆ Давление на стенку сосуда (по определению) равно F p S = ∆ Так как по Второму закону Ньютона P F t ∆ = ∆ , 2 1 3 P p nm t S ∆ = = υ ∆ ∆ (4) Если газ в объеме V содержит N молекул, движущихся со скоростями 1 2 , ,... N υ υ υ , то для характеристики всей совокупности молекул газа вводят среднюю квадратичную скорость 2 1 i кв x N υ = υ ∑ Откуда 2 кв. (5) Введем среднюю кинетическую энергию хаотического поступательного движения одной молекулы 2 кв, х у z Рис. 1.1 тогда 2 3 p n W = . (6) Средняя кинетическая энергия поступательного движения Перепишем (6), умножив на объем V 0 , занимаемый 1 молем газа 0 0 2 3 pV nV Согласно уравнению Менделеева – Клапейрона и учитывая, что 0 A nV N = 3 3 2 2 A R W T kT N = = , (7) где k – постоянная Больцмана. Все молекулы приданной температуре характеризуются одной и той же средней энергией поступательного движения независимо от типа частиц. Значит, температура есть мера средней кинетической энергии. Так как каждая частица имеет 3 степени свободы поступательного движения ( 2 2 2 кв = υ + υ + υ ) и вследствие хаотичности движения 2 2 2 x y z υ = υ = υ , на каждую степень свободы поступательного движения приходится энергия, равная 1 Согласно (7), получаем 3 2 W kT = и 2 кв, следовательно 2 3 кв kT m υ = Учитывая, что A mN µ = , получаем еще одно выражение для среднеквадратичной скорости 3 кв RT υ = µ Давление газа не зависит от сорта молекул. Если имеем смесь нескольких газов, концентрации которых в сосуде n 1 , n 2 ... и i n n = ∑ , то 1 2 ( ...) p n n kT = + + . Давление р называется парциальным. Тогда суммарное давление в сосуде i p p = ∑ (закон Дальтона). Распределение Максвелла Выбираем в воображаемом пространстве, которое будем называть пространством скоростей, прямоугольные координатные оси, по которым будем откладывать , , x y z υ υ υ . Тогда скорость каждой частицы будет соответствовать точке в этом пространстве. Из-за столкновения положение этой точки (скорость) непрерывно будет меняться, но их плотность в каждом месте будет оставаться неизменной, поскольку рассматривается равновесное состояние газа (T, V и р постоянны. Вследствие равноправности всех направлений движения расположение точек относительно начала координат будет сферически симметричным. Следовательно, плотность точек в пространстве скоростей будет зависеть только от модулей скоростей частиц υ. Обозначим плотность точек в этом пространстве как Nf( υ), где N – полное число молекул в данной массе газа, а f( υ) – некоторая функция распределения частиц по скоростям. Тогда количество молекул, компоненты скоростей которых лежат в пределах ( x x x d υ ÷ υ + υ ), ( y y y d υ ÷ υ + υ ), ( z z z d υ ÷ υ + υ ) можно представить в виде , , ( ) x y z x y z dN Nf d d d υ υ υ = υ υ υ υ . (8) x y z dV d d d = υ υ υ – элемент объема в пространстве скоростей. Учитывая сферическую симметрию пространства скоростей, сумму всех элементарных объемов, отстоящих от центра системы координат на расстоянии можно представить сферическим слоем с объемом 2 4 c dV d = πυ υ, где d υ – толщина слоя. Тогда число частиц в слое, число частиц, обладающих скоростями в диапазоне d υ ÷ υ + υ, будет равно 2 ( )4 dN Nf d υ = υ πυ υ . (9) Вероятность того, что скорость молекул окажется в заданных пределах определяется выражением 2 ( )4 dP f d υ = υ πυ υ . (10) Функцию 2 ( ) ( )4 F f υ = υ πυ (11) называют функцией распределения молекул газа по скоростям. Для каждой из компонент скорости можно также определить соответствующую вероятность ( ) x x x dP d υ = ϕ υ υ , где ( ) x ϕ υ – функция распределения по ой компоненте скорости. Аналогично можно определить y dP υ и е. Причем в силу равноправия всех направлений вид функций ( ) x ϕ υ , ( ) y ϕ υ и ( ) t ϕ υ должен быть одинаков. Поэтому ( ) ( ) ( ) ( ) x y t x y t x y t dP f d d d d d d υ = υ υ υ υ = ϕ υ ϕ υ ϕ υ υ υ υ , те. ( ) ( ) ( ) ( ) x y t f υ = ϕ υ ϕ υ ϕ υ . (12) Логарифмируя последнее равенство, получаем ln ( ) ln ( ) ln ( ) ln ( ) x y t f υ = ϕ υ + ϕ υ + ϕ υ , а затем, дифференцируя по x υ , получаем ( ) ( ) ( ) ( ) x x x f d f d ′ ′ ϕ υ υ υ = υ υ ϕ υ . (13) Поскольку 2 2 2 x y t υ = υ + υ + υ , то 2 2 2 x x x x y t d d υ υ υ = = υ υ υ + υ + Подставляя последнее равенство в предыдущее равенство (13), получаем ( ) ( ) ( ) ( ) x x x f f ′ ′ ϕ υ υ = υ ⋅ υ ϕ υ ⋅ Интегрирование последнего соотношения дает 2 x ln ( ) ln 2 x d A υ ϕ υ = − + , 2 2 ( ) x x Ae −αυ ϕ υ Аналогично для каждой из компонент скоростей можно записать 2 2 ( ) y y Ae −αυ ϕ υ = , 2 2 ( ) t t Ae −αυ ϕ υ Тогда (12) можно переписать в виде 2 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 ( ) x y t f A e A e α υ +υ +υ αυ − − υ Постоянная А определяется из условия нормировки 2 2 1 x x A e d αυ ∞ − −∞ υ = ∫ Используя табличный интеграл 2 x x e d ∞ −βυ −∞ π υ = β ∫ , получаем 2 A α = π , откуда окончательно для ой компоненты 2 2 ( ) 2 x x e αυ − α ϕ υ = ⋅ π и 2 3 2 2 ( ) 2 x f e αυ − α ⎛ ⎞ υ = ⋅ ⎜ ⎟ π ⎝ ⎠ . (14) Графическое отображение функции распределения частиц газа по скоростям показано на рис. 1.2. Следствия 1. Определим с помощью (14) среднеквадратичную скорость 2 2 2 1 1 1 ( ) N x i x x x i N d N N +∞ = −∞ υ = υ = υ ϕ υ υ ∑ ∫ = 2 2 2 2 x x x e d αυ +∞ − −∞ α υ Табличный интеграл 2 2 2 3 1 2 x x x e d βυ ∞ − −∞ π υ υ = β ∫ , поэтому получаем 2 3 1 8 1 2 2 x α π υ = ⋅ Поскольку 2 3 x kT m υ = , получаем m kT α = и 1/ 2 2 2 m A kT α ⎛ ⎞ = = В результате 2 1 2 2 ( ) 2 x m kT x m e kT υ − ⎛ ⎞ ϕ υ = ⋅ ⎜ ⎟ π ⎝ ⎠ ; 1 T 2 T 3 T 1 2 3 T T T < < ( ) , ( ) dN F d N υ υ Рис. 1.2 165 2 3 2 2 ( ) 2 m kT m f e kT υ − ⎛ ⎞ υ = ⋅ ⎜ ⎟ π ⎝ ⎠ ; (15) 2 3 2 2 2 ( ) 4 2 m kT m F e kT υ − ⎛ ⎞ υ = ⋅ πυ ⋅ ⎜ ⎟ π ⎝ ⎠ 2. Найдем средние и наиболее вероятную скорости с помощью распределения Максвелла 1.< υ> (средняя арифметическая скорость, 1 1 N i i N = υ = υ ∑ или 2 3 2 3 2 0 0 8 ( ) 4 2 m kT m kT F d e d kT nm υ ∞ ∞ − ⎛ ⎞ υ = υ υ υ = ⋅ π υ υ = ⎜ ⎟ π ⎝ ⎠ ∫ ∫ ; (16) 2. ср кв (среднеквадратичная скорость, 2 кв или 2 2 0 3 ( ) ср кв < υ > = υ υ υ = ∫ ; (17) 3. вер υ (наиболее вероятная скорость, находится из условия экстремума (максимума) функции распределения ( ) 0 F′ υ = , поэтому 2 вер kT m υ = . (18) Распределение молекул по скоростям имеет вид 2 3 2 2 2 4 2 m kT m dN N e d kT υ − υ ⎛ ⎞ = ⋅ ⋅ πυ Если ввести новую переменную 2 2 m υ ε = , откуда 2 m ε υ = и 1 2 d d m υ = ε ε , получаем 3 2 2 1 ( ) kT dN N e d kT φ − ξ = ⋅ ⋅ ε ε π . (19) Распределение молекул по энергиям где dN ε – число частиц, которые имеют значение энергии в диапазоне ε, ε + dε. Газ в потенциальном поле В реальных условиях частицы газа находятся в потенциальном поле сил тяготения. Если бы силы тяготения отсутствовали, тов результате теплового движения газ атмосферы рассеялся бы в межзвездном пространстве. Пусть на уровне z = 0, относительно которого отсчитывается потенциальная энергия ( ) 0 ( Па концентрация ( ) 0 z 0 n n = = . Будем полагать, что с изменением z изменяется не только потенциальная энергия П, но и концентрация n(h). Если состояние газа равновесное, то поток частиц сверху вниз через эту поверхность должен быть равен потоку частиц снизу вверх. Для частиц со скоростями от z υ до z z d υ + υ в потоке сверху вниз имеем 2 ( ) ( ) 1/ 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 z h z h m kT z h z h z h m d n e d kT υ − υ ⎛ ⎞ ν = υ υ ⎜ ⎟ π ⎝ ⎠ . (20) Для потока частиц с теми же скоростями в диапазоне t υ , t t d υ + υ идущими от z = 0 к z = h снизу вверх) должно выполняться условие 2 2 0 ( ) 2 П h υ υ = + . (21) Продифференцируем (21) по скоростям 0 0 h h d d υ υ = υ υ . С учетом этого для потока частиц со скоростями на высоте h от дои идущими от z = 0 можем записать 2 0 0 1/ 2 2 0 0 0 2 m kT m d n e d kT υ − υ ⎛ ⎞ ν = υ Для стационарного состояния имеем 0 n d d ν = ν и 2 2 0 1/ 2 1/ 2 2 2 0 0 0 2 2 h m m kT kT h h h m m n e d n e d kT kT υ υ − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ υ υ = υ υ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ π π ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ , или после преобразования 2 2 0 2 2 0 h m m kT kT h n e n e υ υ − − = . (22) С учетом (21) и (22) можно записать 0 ( П h n n kT ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , (23) Выражение (23) является распределением Больцмана, характеризующим распределение концентрации частиц в потенциальном поле. Это выражение определяет распределение частиц в потенциальном поле при максвелловском распределении этих частиц по скоростям. Из распределения Больцмана следует, что частицы с большей плотностью располагается там, где ниже их потенциальная энергия, а также там, где выше температура. В поле силы тяжести ( Па поэтому можем записать барометрическую формулу для распределения давления воздуха по высоте 0 mgh kT h p p e − = , (24) где p 0 – давление газа поверхности Земли. Практическое подтверждение вытекающей из закона Больцмана барометрической формулы показывает, что максвелловское распределение частиц газа по скоростям является универсальным, те. пригодным для систем с наложенными без наложенного силового поля, поскольку потенциальное поле сил не изменяет вид функции распределения Максвелла по любой из проекций скоростей частиц газа. Распределение энергии по степеням свободы При хаотическом движении частиц газа все направления скоростей равновероятны, поэтому нельзя отдать предпочтение какому-либо одному направлению. Следовательно, энергии поступательного движения частиц газа в направлении x , y и z с наибольшей вероятностью равны. Если за число степеней свободы системы принять количество независимых величин, с помощью которых может быть задано состояние системы (положение, то для поступательного движения одной частицы газа их может быть три x , y , z ( α , ϕ , θ ) (рис. 1.3) . Однако мы знаем, что 2 3 2 2 m W kT υ < >=< >= . Таким образом на одну степень свободы приходится средняя энергия поступательного движения 1 Рис. 1.3 Если система состоит из N несвязанных жестко частиц, то количество степеней свободы будет равно 3 N , а полная энергия поступательного движения – 3 2 NkT . Частицей газа может быть молекула, состоящая из нескольких атомов. При этом в дополнение к поступательному движению для характеристики состояния каждой молекулы необходимо использовать и другие виды механического движения вращательное и колебательное (рис. 1.4). Эти виды движения также определяют энергию частицы. Энергия каждого из видов при взаимном столкновении частиц может переходить в энергию других видов. Таким образом, устанавливается равновесие между средними значениями всех видов механической энергии частиц газа по степеням свободы. Это обстоятельство отражается в законе статистической физики о равнораспределении энергии по степеням свободы на каждую степень свободы молекулы приходится в среднем одинаковая средняя энергия, равная 1 Если молекула двухатомная с жесткой связью, то колебание атомов относительно друг друга невозможно, ив дополнение к поступательным степеням свободы появляются вращательные. Так как вращение происходит вокруг центра масс, и атомы движутся по сферическим орбитам, то их вращательное движение в силу симметрии определяется двумя параметрами, каждое из которых равноправно. Поэтому двухатомная молекула с жесткой связью имеет 5 степеней свободы (3 поступательные и 2 вращательные) и среднюю энергию 5 Если связь атомов не жесткая, то атомы могут колебаться вдоль прямой, соединяющей центры атомов. Число степеней свободы возрастает. При этом возрастает и полная энергия, которой может обладать частица. Следует учесть, что колеблющийся атом обладает кинетической и потенциальной энергией. Если считать, что колебания в различных молекулах происходят несогласованно, то можно считать, что в любой момент времени одна половина общей энергии колебаний кинетическая, а другая потенциальная. Отсюда следует, что, поставив в соответствие кинетической энер- Рис. 1.4 169 гии колебательного движения среднюю энергию 1 2 kT , мы должны поставить в соответствие и среднему значению потенциальной энергии колебательного движения 1 2 kT . Таким образом, на одну степень свободы колебательного движения приходится удвоенная по сравнению с другими видами движения средняя энергия – kT . В модуле 2 (блок 3) показано, что для колебаний связанных систем количество колебательных движений (типов колебаний) равно ( n – 1), где n – число связей в молекуле. Поэтому для трехатомной молекулы с двумя связями (НО) имеем 3 поступательных и 2 вращательных степени свободы (2 – 1), ⋅2 колебательных степени свободы, а в итоге ( i = 7). В общем случае средняя энергия многоатомной молекулы равна 2 i kT < ε >= , где i – сумма числа поступательных, вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы i = пост + i вращ + 2( n – кол, где n – число связей атомов в молекуле. Внутренняя энергия, связанная с температурой одного моля газа, может быть найдена согласно выражению 2 2 A i i U N kT RT = = Проанализируем, что происходит в веществе при понижении температуры до 0 К При нулевой температуре прекращается поступательное, вращательное и колебательное движение в молекулах. Однако не следует думать, что при абсолютном нуле температуры прекращается всякое движение частиц вещества и полная внутренняя энергия становится равной нулю, так как даже при абсолютном нуле температуры сохраняется движение электронов в атомах изотопов и нейтронов в ядрах атомов. Таким образом, абсолютный нуль температуры означает такое состояние тела, при котором невозможно уменьшение его внутренней энергии путем передачи ее окружающим телам безатомных и ядерных превращений. Следовательно, при абсолютном нуле температуры вещество находится в состоянии с наименьшей возможной энергией. Поток частиц идеального газа на стенку Рассмотрим задачу о потоке частиц газа на стенку сосуда (число частиц, падающих на единицу площади стенки в единицу времени) и о средней энергии частиц в этом потоке (рис. 1.5). Поток частиц, обладающих скоростью хна единичную площадку S , можно записать в виде x x x dv dn υ υ = υ , где x n υ – концентрация частиц со скоростями υ х Все частицы, обладающие скоростью хи заключенные в объеме x S dt υ , достигают площадки С учетом распределения Максвелла получаем 2 1 2 2 2 x x m kT x x m dv n e d kT υ − υ ⎛ ⎞ = ⋅ ⋅ υ υ ⎜ ⎟ π ⎝ ⎠ . (25) Тогда полный поток всех частиц на стенку можно найти интегрированием в пределах от 0 до ∞ 2 2 1 1 2 2 2 2 2 0 0 1 2 2 2 x x m m kT kT S x x x m m v n e d n e d kT kT υ υ ∞ ∞ − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ⋅ υ υ = υ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ π π ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∫ ∫ 1 2 2 1 2 2 0 0 1 2 2 2 2 2 x m y kT e kT m kT kT n e dy n e n m kT m m ∞ υ ∞ − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − = − = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ π π π ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∫ , т.к. 1 2 8 ср e kT m ⎛ ⎞ υ = ⎜ ⎟ π ⎝ ⎠ , то 1 2 8 4 4 S n kT n v m υ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ π ⎝ ⎠ , 1 8 4 S e kT v n m = π . (26) Как видно, используется среднеарифметическая скорость, поскольку поток на стенку обусловлен движением частиц относительно стенки, те. скоростью относительного движения. Определим среднюю энергию частиц в потоке. Для этого просуммируем кинетическую энергию всех частиц, падающих на стенку за единицу времени энергия потока, и разделить на число частиц (поток. Это соответствует интегрированию Рис. 1.5 171 2 0 1 2 x x x x m dv v ∞ υ υ υ υ ξ = ∫ , где x dv υ – число частиц в потоке x v υ , обладающих скоростью x υ и энергией 2 2 x m υ . Используем выражение (25) 2 2 3 2 2 x x m kT v x x m e d kT υ υ − ξ = υ Интеграл вида 2 2 2 2 2 1 2 ax ax ax x e dx e a − − + = − ∫ , где 2 m a kT = , x x = υ . Тогда 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 1 1 2 2 2 2 2 x x x a a x x v a m m e e kT kT a a a ∞ ∞ − υ − υ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ υ + υ ξ = − = − − = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 2 2 2 0 0 0 2 x x m a x kT m e kTe kT kT ∞ υ ∞ − − υ υ = − − = + = , x v kT ξ = . (27) Итак, средняя энергия частиц, падающих на стенку в потоке, обусловленная компонентой скорости х, равна kT. Для определения полной энергии частиц в потоке необходимо x v ξ сложить с энергией y v ξ и Средняя энергия, как мы увидели выше, приходящаяся на компоненты скорости υ y и υ z , соответствует / 2 kT . Следовательно, полная средняя энергия частиц в потоке, обусловленная поступательным движением /2 /2 2 x y z v v v v kT kT kT kT ξ = ξ +ξ +ξ = + + = , (28) Средняя энергия частиц в потоке, переносимая на стенку, оказывается больше, чем средняя энергия частиц в объеме, равная 3/2 kT. Поскольку число частиц, падающих на стенку пропорционально скорости, то быстрые частицы смогут попасть на стенку из большего объема, те. их доля в потоке оказывается больше, чем в объеме. Это обогащение потока быстрыми частицами и приводит к увеличению средней энергии частиц в потоке (на стенке. |