Начальный курс топологии. Учебнометодическое пособие Редактор И. Н. Никитина
![]()
|
Классификация замкнутых поверхностейМы подходим к формулировке замечательной теоремы о топологической классификации поверхностей, полученной немецким математиком Мебиусом и французским математиком Жорданом. Условимся рассматривать только замкнутые поверхности (которые не имеют края и допускают разбиение на конечное число многоугольников). Плоскость, например, не является замкнутой поверхностью: конечный граф, начерченный на плоскости, не разбивает ее на области, которые все гомеоморфны кругу. Задача топологической классификации поверхностей заключается в том, чтобы указать такие попарно не гомеоморфные замкнутые поверхности, что любая замкнутая поверхность гомеоморфна одной из них. Иначе говоря, нужно перечислить все топологически различные замкнутые поверхности. Теорема. Обозначим через P0 сферу, а через Pk сферу с k ручками. Тогда поверхности P0, P1, P2, …, Pk ,… (1) дают полную топологическую классификацию замкнутых ориентируемых поверхностей, т.е. здесь перечислены все различные типы таких поверхностей. Замкнутую неориентируемую поверхность можно расположить в пространстве лишь с самопересечениями. Так как край ленты Мебиуса гомеоморфен окружности, то можно попытаться приклеить ленту Мебиуса своим краем к краю дыры, вырезанной в некоторой поверхности, например в сфере. Если на одной окружности кольца склеить между собой каждые две диаметрально противоположные точки, то мы получим ленту Мебиуса. Пусть теперь ℓ контур круглой дыры на некоторой поверхности Q. Вырежем из поверхности узкую полоску (кольцо) вокруг дыры ℓ и обозначим через ℓ′ наружный контур этого кольца . Тогда получится поверхность, гомеоморфная Q (только с несколько большей дырой ℓ′), и отдельно кольцо. Склеим теперь на контуре ℓ отрезанного кольца каждые диаметрально противоположные точки; тогда кольцо превратится в ленту Мебиуса. Эту ленту Мебиуса мы и вклеим в дыру ℓ′. В результате мы вклеим в поверхность Q (точнее, в поверхность, гомеоморфную ей) ленту Мебиуса. Но разрезание поверхности по контуру ℓ′ и обратное склеивание этого разреза можно было и не делать: достаточно было просто склеить на контуре ℓ каждые две диаметрально противоположные точки. Итак, склеивание каждых двух диаметрально противоположных точек на контуре круглой дыры равносильно вклеиванию в эту дыру ленту Мебиуса. Теперь мы можем сформулировать вторую половину теоремы МебиусаЖордана о классификации поверхностей, а именно, дать перечисление всех топологически различных типов замкнутых неориентируемых поверхностей. Теорема. Обозначим через Nq поверхность, получающуюся из сферы вырезанием в ней q дыр и заклеиванием их всех лентами Мебиуса. Тогда поверхности N1, N2, … , Nq, … (2) дают полную топологическую классификацию замкнутых неориентируемых поверхностей. Решение нулевого варианта контрольной работы Задание 1. Зафиксируем точку ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Решение. Пусть ![]() ![]() По условию само множество и пустое множество принадлежат семейству ![]() Покажем, что объединение любого числа множество ![]() ![]() ![]() Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Покажем, что пересечение любых двух открытых множеств ![]() ![]() ![]() Пусть множество ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Таким образом рассматриваемое пространство с введенными открытыми множествами является топологическим пространством. Задание 2. Для множества ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Решение. Изобразим данное множество ![]() Р ![]() ис. 1. Покажем, что ![]() Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рассмотрим множество ![]() ![]() Итак, ![]() 2. ![]() ![]() ![]() Итак, ![]() 3. Известно, что ![]() Следовательно ![]() Так как замыкание ![]() ![]() Покажем, что точки ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() А это означает, что точки ![]() Ответ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Задание 3. Доказать, что множество точек Х плоскости , имеющих только одну рациональную координату, несвязно. Решение. ![]() Рассмотрим прямую ![]() ![]() Пусть ![]() ![]() Покажем, что множества ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пусть точка ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рассмотрим окрестность этой точки ![]() в подпространстве ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Используя критерий открытого множества и равенство (4), можно утверждать, что ![]() ![]() Нетрудно убедиться, что множество ![]() ![]() ![]() ![]() определению несвязного подпространства следует, что ![]() Задание 4. Показать, что бесконечное множество ![]() ![]() ![]() Решение. Рассмотрим данное множество как числовую последовательность ![]() и рассмотрим его бесконечное открытое покрытие ![]() ![]() При этом ![]() Таким образом, если из данного покрытия ![]() ![]() ![]() Следовательно, по определению данное множество ![]() |