Учебнометодическое пособие Волгоград 2016
 Скачать 0.92 Mb.
|
|
27 Из анализа устойчивости простой явной схемы следует, что она абсолютно устойчива, те. обеспечивает сходимость решения конеч- но-разностных уравнений к решению уравнения в частных производных, при условии 0 ≤ ?????? ≤ 1/2, где ?????? = Это условие накладывает ограничение на соотношение шагов повремени и по пространственной координате. Для двумерного уравнения теплопроводности условие устойчивости будет 0 ≤ ?????? ?????? + ?????? ?????? ≤ 1/2, те. для двумерного случая эффективный шаг повремени оказывается меньше. Ив томи в другом случае при расчете следует предпочитать меньшие значения r, т.к. при r=1/2 простой явный метод решения характеризуется существенной диссипацией при больших значениях параметра : ?????? = ?????? ?????? ℎ, ?????? ?????? = ???????????? ?????? , где m – число отрезков длины h, помещающихся на участке L. Это означает, что амплитуда точного решения на каждом шаге повремени уменьшается в Таким образом, явная разностная схема является условно устойчивой и требует специальных мероприятий по оценке возможности ее использования. Блок-схема к рассматриваемой задаче (явная схема) показана на рис. 10. 28 Рис. 10. Блок-схема к рассматриваемой задаче (явная схема) Ввод N, конечное, L, λ, c, ρ, T 0 , л, Т n Расчетный шаг сетки по пространственной координате ℎ = ??????/(?????? − 1) Расчетный шаг сетки повремени Начальное температурное поле: Начало time=0 time≥t конечное Приращение времени на τ: time= Расчет коэффициента теплопроводности Запоминаем поле температуры с предыдущего шага TT i =N i , i=1,…,N Определение значений температуры на границах Т 1 =T л , Т N =T n Расчет поля температур T i , i=N-1,…,1 по формуле (19) Вывод результата 29 Листинг программы (на языке VBA) реализующей алгоритм расчета неявная схема) Private Sub determ() Описание используемых переменных Const mf = 1000 Dim T(1 To mf) As Single Dim TT(1 To mf) As Single Dim i, j, N As Single Dim a, lamda, ro, c, h, tau As Single Dim T1, T0, Tr, L, t_end, time As Single Ввод исходных данных N = CSng(TextBox1.Text) t_end = CSng(TextBox2.Text) L = CSng(TextBox3.Text) lamda = CSng(TextBox4.Text) ro = CSng(TextBox5.Text) c = CSng(TextBox6.Text) T0 = CSng(TextBox7.Text) T1 = CSng(TextBox8.Text) Tr = CSng(TextBox9.Text) a = lamda / (ro * c) 'Коэффициент температуропроводности h = L / (N - 1) 'Шаг сетки по пространственной координате tau = 0.51 * h ^ 2 / a 'Расчетный шаг сетки из условия устойчивости 'Определяем поле температур в начальный момент времени For i = 1 To N T(i) = T0 Next i Определяем значения температур на границе T(1) = T1 30 T(N) = Tr Интегрируем нестационарное уравнение теплопроводности time = 0 While time < t_end time = time + tau Запоминаем температурное полена предыдущем временном слое For i = 1 To N TT(i) = T(i) Next i Определяем неизвестное температурное поле по формуле (1.23) For i = 2 To N - 1 T(i) = TT(i) + a * tau / h ^ 2 * (TT(i + 1) - 2 * TT(i) + TT(i - 1)) Next i Wend Записываем результаты T(i) в таблицу Excel Dim s As String пользовательская переменная Dim v_Excel As Excel.Application область памяти приложения Excel Dim v_Wb1 As Excel.Workbook область рабочей книги Dim sh As Excel.Worksheet область рабочего листа 'Открываем новое приложение Excel Set v_Excel = New Excel.Application Загружаем рабочую книгу Set v_Wb1 = С) Загружаем рабочий лист 1 Set sh = v_Excel.Sheets(1) Получаем доступ к рабочей книге v_Wb1.Activate Записываем рассчитанные значение температур в таблицу For i = 1 To N sh.Cells(i, 3).Value = i * h 31 sh.Cells(i, 4).Value = T(i) Next i Закрытие приложения Excel v_Excel.Quit Set v_Excel = Nothing End Sub Результаты расчетов прим Вт/(м С, ρ= 7800 кг/м 3 , с = 460 Дж/(кг С, T 0 =20 С, л = 500 С, Т п = С через 10 с процесса нагрева приведены на рис. 11. Рис. 11. Распределение температуры по длине стержня в момент времени t = 10 с (с использованием явной разностной схемы) |