Учебнометодическое пособие Волгоград 2016
 Скачать 0.92 Mb.
|
|
12 В общем случае трехмерного тела при отсутствии теплообмена с окружающим пространством общее уравнение теплопроводности имеет вид ∂?????? ∂?????? = ?????? ???????????? ( ∂ 2 ?????? ∂?????? 2 + ∂ 2 ?????? ∂?????? 2 + ∂ 2 ?????? ∂?????? 2 ) = ??????∇ 2 ??????, где ∇ 2 – оператор Лапласа ?????? = ??????/(????????????) – коэффициент температуропроводности, см 2 /с. В дифференциальных уравнениях (13) и (14) Т означает температуру или приращение температуры в точке равномерно нагретого тела. Если начальная температура тела равномерна и равна T 0 , то полное значение температуры Т равно T 0 +ΔT, где ΔT приращение температуры. Решения уравнений (13) и ( 14) дают разнообразные случаи распределения температуры в телах. При выводе указанных уравнений предполагалось, что коэффициенты λ, си постоянны. Учет зависимости этих коэффициентов от температуры приводит к нелинейным дифференциальным уравнениями, что чрезвычайно усложняет получение решения аналитическими методами. Для технических целей в ряде случаев точность решения оказывается достаточной, если выбирать средние значения коэффициентов диапазоне температур, характерном для рассматриваемого процесса. Уравнение (14) устанавливает связь между временными пространственным изменением температуры в любой точке тела и описывает множество вариантов развития процессов теплопроводности. Чтобы из бесчисленного количества этих вариантов выбрать один и дать его полное математическое описание, необходимы условия однозначности, которые содержат геометрические, физические, начальные и граничные условия. Геометрические условия определяют форму и размеры тела, в котором протекает изучаемый процесс. Физические условия определяют теплофизические характеристики тела λ, ρ, с. Временные (начальные) условия 13 содержат распределение температуры в теле в начальный момент времени ?????? = 0, ?????? = ??????(??????, ??????, ??????) При равномерном распределении температуры в теле начальное условие упрощается t = 0: Т = Т const. Граничные условия определяют особенности протекания процесса на поверхности тела и могут быть заданы несколькими способами. граничные условия первого рода – задается распределение температуры на поверхности (или границе) тела для каждого момента времени. T=T w (x, y, z). В большинстве случаев T w =const. граничные условия второго рода – задается значение теплового потока для каждой точки поверхности (или границы) тела в любой момент времени −?????? ( ∂?????? ∂??????⃗ ) ?????? = ?????? ?????? (??????, ??????, ??????, ??????) где ??????⃗ – нормаль к поверхности тела. Наиболее часто используется условие q w =const. граничные условия третьего рода – задается взаимосвязь между потоком тепла за счет теплопроводности от твердой стенки и тепловым потоком из окружающей среды за счет температурного напора (закон Ньютона - Рихмана): −?????? ( ∂?????? ∂??????⃗ ) ?????? = ??????(?????? ?????? − ?????? ?????? ) где а – коэффициент теплообмена. граничные условия четвертого рода – для определения теплового взаимодействия между элементами, имеющими различные теплофизические характеристики, задают условия равенства температур и тепловых потоков по обе стороны от границы раздела { −?????? 1 ( ∂?????? ∂??????⃗ Г −?????? 1 ( ∂?????? ∂??????⃗ ) Г ; ?????? 1 (?????? г , г, г, ??????) = г, г, г, ??????). 14 где г, г, г, ??????– координаты границы раздела сред Т, Т температуры соприкасающихся сред. Дифференциальное уравнение (14) вместе с условиями однозначности дает полную математическую формулировку краевой задачи теплопроводности. Для расчетов процесса распространений тепла наряду с аналитическим применяют численные методы. Твердое тело представляется в виде совокупности узлов, а дифференциальное уравнение заменяют приближенным выражением, связывающим не бесконечно малые, а небольшие конечные приращения температур времени и длины. То есть вместо производных в дифференциальном уравнении используются их конечнораз- ностные аппроксимации. При этом получают систему линейных алгебраических уравнений для определения температуры, как локальной характеристики в каждом узле сетки. Полученная система является незамкнутой, для ее замыканию используют разностное представление граничных условий. В результате получают замкнутую систему линейных алгебраических уравнений, которую решают численными методами. |