Учебнометодическое пособие Волгоград 2016
 Скачать 0.92 Mb.
|
|
51 В случае решения практических задач теплопроводности, необходимо одностороннее измельчение расчетной сетки (риса. Для решения первой задачи введем следующее преобразование координат, соответствующее (риса Это преобразование размещает тем большее количество точек вблизи х, чем ближе параметр к 1. Обратное преобразование находится в виде 1 ) 1 /( ) 1 ( ) 1 /( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 Например, для сварки взрывом, характерна ситуация, когда надо измельчить координатную сетку вблизи некой внутренней границы х с (рис. 18, б. В этом случае преобразование будет ) ( 1 1 B sh x x ch ar B x c , а б Рис. 18. Одностороннее распределение узлов сетки (аи сгущение сетки вблизи внутренней границы (б) 52 h x e h x e B c c 1 1 1 1 ln 2 1 , Обратное преобразование Здесь параметр изменяется от 0 (нет растяжения) до больших значений. При этом координатная сетка измельчается вблизи x=x c тем больше, чем выше значении 53 Двумерная задача теплопроводности В качестве примера рассмотрим пластину с размерами L, H (рис. 19). Горизонтальные границы примем адиабатическими, а на вертикальных границах поддерживаются постоянные температуры T h и с. Температурное поле в пластине равномерное и равно Математическая постановка задачи будет иметь вид ???????????? ???????????? ???????????? = ?????? ( ?????? 2 ?????? ???????????? 2 + ?????? 2 ?????? ???????????? 2 ),| 0 < ?????? < ??????; 0 < ?????? < ??????. (52) Начальные и граничные условия запишутся следующим образом ?????? = 0: ?????? = ?????? 0 , 0 ≤ ?????? ≥ ??????, 0 ≤ ?????? ≥ ??????; ?????? = 0: ?????? = ?????? ℎ , ?????? > 0; ?????? = ??????: ?????? = с, ?????? > 0; (53) ?????? = 0: ?????? = ???????????? ???????????? , ?????? > 0. ?????? = ??????: ?????? = ???????????? ???????????? , ?????? > 0. Для аппроксимации дифференциального уравнения (52) разностным введем пространственно-временную сетку (рис. 20) с координатами Рис. 19. Геометрия двумерной задачи с x L ∂?????? ∂?????? = 0 ∂?????? ∂?????? = 0 y H 54 ?????? ?????? = (?????? − 1)ℎ ?????? , ?????? ?????? = (?????? − 1)ℎ ?????? , ?????? ?????? = ????????????. где ℎ ?????? , ℎ ?????? – шаги сетки по координатам x, y соответственно τ – шаг повремени. Таким образом, вся расчетная сетка рис. 19) покрывается сеткой (см. рис. 20). Введем следующее обозначение ??????(?????? ?????? , ?????? ?????? , ?????? ?????? ) = Дискретизация уравнения (52) будем проводить на основе локально одномерной схемы Самарского, являющейся абсолютно устойчивой и обладающей свойством суммарной аппроксимации. Сущность этого подхода состоит в том, что шаг повремени реализуется в два этапа – на промежуточном временном шаге проводим дискретизацию двумерного уравнения (52) только в направлении оси x и получаем одномерное уравнение, после его решения проводим вновь дискретизацию уравнения (52), но уже в направлении оси y и, решая полученное одномерное уравнение, определяем поле температур на целом шаге повремени. Рис. 20. Разностная сетка двумерной области решения y x (1,N y ) (1,N x ) (1,1) (N x ,N y ) (i, j) (i, j+1) (i, j-1) (i+1, j) (i-1, j) 55 ???????????? ?????? ??????,?????? ??????+1 2 −?????? ??????,?????? ?????? ?????? = ?????? ( ?????? ??????+1,?????? ??????+1 2 −2?????? ??????,?????? ??????+1 2 +?????? ??????−1,?????? ??????+1 2 ℎ ?????? 2 ), (54) ???????????? ?????? ??????,?????? ??????+1 −?????? ??????,?????? ??????+1 2 ?????? = ?????? ( ?????? ??????,??????+1 ??????+1 −2?????? ??????,?????? ??????+1 +?????? ??????,??????−1 ??????+1 ℎ ?????? 2 ), (55) Разностные уравнения (54), (55) сводятся к стандартному трехдиаго- нальному виду и решаются последовательно методом прогонки. Сначала для всей области решения решается уравнения (54), после того как его решение будет найдено, переходят к уравнению (55). Рассмотрим решение уравнения (54) методом прогонки. Приведем это уравнение к виду ?????? ?????? ?????? ??????+1,?????? ??????+ 1 2 − ?????? ?????? ?????? ??????,?????? ??????+ 1 2 + ?????? ?????? ?????? ??????−1,?????? ??????+ 1 2 = ?????? ?????? , тогда коэффициенты ?????? ?????? , ?????? ?????? , ?????? ?????? примут вид ?????? ?????? = ?????? ?????? = ?????? ℎ ?????? 2 , ?????? ?????? = 2?????? ℎ ?????? 2 + ???????????? ?????? , ?????? ?????? = Для определения прогоночных коэффициентов по соотношению (20) необходимо найти α 1 и β 1 из левого граничного условия. Далее определяя значение ?????? ?????? ?????? ,??????+1 ??????+ 1 2 из правого граничного условия, находят поле температуры на промежуточном временном слое по формулам (19). После этого приступают к решению уравнения (55) аналогично решению уравнения. Блок-схема алгоритма решения двумерной задача представлена на рис. 21. 56 Рис. 21. Блок-схема к рассматриваемой задаче двумерная область решения. Окончание на стр. 57 Ввод N x , N y , конечное, L, H, λ, c, ρ, T h , с, Т ℎ ?????? = ??????/(?????? ?????? − 1)ℎ ?????? = ??????/(?????? ?????? − 1) Расчетный шаг сетки по пространственным координатам Расчетный шаг сетки повремени конечное ?????? 0 , | ?????? = 1, … , ?????? ?????? ?????? = 1, … , Начальное температурное поле: Начало time=0 time≥t конечное Приращение времени на τ: time= Расчет коэффициента теплопроводности Вывод результата 57 Рис. 21. Окончание Расчет прогоночных коэффициентов в м узле разностной сетки по оси хи используя левое граничное условие Расчет остальных прогоночных коэффициентов и ?????? ?????? по формулам (Определяем температуру на правой границе, используя правое граничное условие Рассчитываем поле температуры на промежуточном временном слое ?????? ??????,?????? ??????+ 1 2 , ?????? = (?????? ?????? − 1), … 1 по формуле (Расчет прогоночных коэффициентов в ом узле разностной сетки по оси y ?????? 1 и ?????? 1 используя соотношение (31) Расчет остальных прогоночных коэффициентов и ?????? ?????? по формулам (Определяем температуру на верхней границе, на основе верхнего граничного условия, используя соотношение (Рассчитываем поле температуры на целом временном слое ?????? ??????,?????? ??????+1 , ?????? = (?????? ?????? − 1), … 1 по формуле (Решаем СЛАУ на промежуточном слоев направлении оси Ох)для каждого Решаем СЛАУ на промежуточном слоев направлении оси Оy)для каждого i=1,… N x 58 Список используемой литературы Самарский А. А, Вабищевич П. Н. Вычислительная теплопередача. - М Едиториал УРСС, 2003. – 782 с. 2. Лыков А. В. Тепломассообмен: (Справочник. – М Энергия, 1978. -480 с. Кузнецов Г. В, Шеремет МА. разностные методы решения задач теплопроводности учебное пособие / Г.В., Кузнецов, МА Шеремет. – Томск Изд-во ТПУ, 2007. – 172 с Самарский А. А. Теория разностных схем. – М Наука, 1977. – 656 с. Волков Е. А. Численные методы. – М Наука, 1987. – 248 с. 6. Турчак ЛИ. Основы численных методов. – М Наука, 1987. – 318 с. 7. Вержбицкий В. М. Основы численных методов. – М Высшая школа с. 8. Демидович Б. П, Марон И. А. Основы вычислительной математики. – М Наука, 1966. – 695 с. 9. Лыков А. В. Теория теплопроводности. – М Высшая школа, 1967. – 600 с. 59 Учебное издание Святослав Викторович Хаустов Валентин Олегович Харламов Сергей Викторович Кузьмин ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОВЫХ ПРОЦЕССОВ В СВАРКЕ Учебно-методическое пособие Выпускающий редактор Н. Н. Кваша Темплан 2016 г. Поз. № 224 Подписано в печать 15.12.2016 Формат 60×84 1/16. Бумага газетная. Гарнитура Times. Печать офсетная. Усл. печ. л. 3,48 Уч.-изд. л. 2,97. Тираж 50 экз. Заказ Волгоградский государственный технический университет 400005, Волгоград, просп. В. И. Ленина, 28, корп. 1 . Отпечатано в типографии ИУНЛ ВолгГТУ . 400005, Волгоград, просп. В. И. Ленина, 28, корп. 7. |