Учебнометодическое пособие Волгоград 2016
 Скачать 0.92 Mb.
|
|
46 Рис. 16. Блок-схема к рассматриваемой задаче (метод итераций. Окончание нас Ввод N, конечное, L, λ, c, ρ, T 0 , л, Т n Расчетный шаг сетки по пространственной координате ℎ = ??????/(?????? − 1) Расчетный шаг сетки повремени конечное ?????? 0 , ?????? = 1, … , ?????? Начальное температурное поле: Начало time=0 time≥t конечное Приращение времени на τ: time= Расчет коэффициента теплопроводности Вывод результата 47 Рис. 16. Окончание ?????? ?????? ?????? = ?????? ?????? ?????? , ?????? = 1, … ?????? Запоминаем поле температуры с предыдущей итерации Расчет прогоночных коэффициентов в ом узле разностной сетки ?????? 1 и Определяем температуру на правой границе ?????? ?????? ??????+1 max|?????? ?????? ??????+1 − ?????? ?????? ?????? | max|?????? ?????? ??????+1 | ≤ ?????? Рассчитываем поле температуры ?????? ?????? ??????+1 , ?????? = ?????? − 1, … 1 по формуле (1.19) ?????? ?????? ?????? = ?????? ?????? , ?????? = 1, … ?????? Запоминаем поле температуры с предыдущего временного слоя Расчет остальных прогоночных коэффициентов и ?????? ?????? по формулам (1.20) 48 Температурную зависимость коэффициента теплопроводности можно учесть ив рамках явной схемы. Аппроксимируя частные производные соответствующими конечными разностями получаем следующее соотношения для определения поля температуры ???????????? ?????? ?????? ??????+1 −?????? ?????? ?????? ?????? = ?????? ( ?????? ??????+1 ?????? −2?????? ?????? ?????? +?????? ??????−1 ?????? ℎ 2 ), ?????? = 2, … , ?????? − 1, ?????? ≥ 0. Рассмотрим следующую ситуацию (рис. 17). Пусть мы имеем несколько соприкасающихся между собой, но теплоизолированных друг от друга слоев металла разной толщины и с разными теплофизическими свойствами. В начальный момент времени в этом многослойном брикете существует некоторое температурное поле, причем температуры границ соседних слоев равны. В последующие моменты времени температурное поле выравнивается. Рассмотрим слои (i-1, i) и (i, i+1): выравнивание температур этих слоев будет удовлетворять изотермическим (адиабатическим) условиям на границах слоев. Выполним изотермическое граничное условие, например, для точки i-1 слоя 1 следующим образом. Для расчета приращения температуры Рис. 17. К расчету Q Kx (учет температурной зависимости теплофизических свойств) и выполнение адиабатического условия на границе раздела металл – внешняя среда T x Внешняя среда Металл i-2 i-1 i i+1 Слой 1 Слой 2 Q kx 49 необходимо знать значения температур х точек в предыдущий момент времени. Значения температур точек x i-1 и x i известны, поэтому на расстоянии от точки x i-1 берется фиктивная точка x i-2 с температурой, равной температуре точки x i . Температура в точке x i-1 определится ?????? ??????−1 ??????+1 = ?????? ??????−1 ?????? + ∆?????? ??????−1 ???????????? ???????????? ( ?????? ?????? ?????? −2?????? ??????−1 ?????? +?????? ?????? ?????? ℎ 2 ), где ∆?????? ??????−1 = ?????? 1 ?????? ???????????? 1 ( ?????? ?????? ?????? −2?????? ??????−1 ?????? +?????? ?????? ?????? ℎ 1 2 ) = 2 ?????? 1 ?????? ℎ 1 2 (?????? ?????? ?????? − ?????? ??????−1 ?????? ), В общем случае приращение температуры на адиабатической границе, расположенной справа, будет ∆?????? ?????? = 2 ?????? ср ?????? ℎ 1 2 (?????? ??????−1 ?????? − ?????? ?????? ?????? ), (47) где ?????? ср – коэффициент температуропроводности, определяемый по средней температуре слоя 1. Используя уравнение (47), определим приращение температуры точки i слева и справа от. При этом надо выполнить условие равенства температур на общей границе слоев. ∆?????? ?????? | сл = ∆?????? ?????? | сп (48) Т.к. средняя температура слоев и 2 и их размеры разные, то разными будут и их теплофизические свойства, а, следовательно, и скорости охлаждения. Поэтому, если температура слоев переменна, то для удовлетворения условия (48) на границе раздела i вводится тепловой поток, возникающий вследствие разных скоростей охлаждения. При этом количество тепла, подводимое к границе, равно количеству тепла, отводимому от нее. Запишем ∆?????? ?????? | сл исп ∆?????? ?????? | сл = ?????? 1 ?????? ℎ 1 2 (?????? ??????−1 ?????? − 2?????? ?????? ?????? + ?????? ??????−1 ?????? ) − ?????? ???????????? ???????????? 1 ??????. (49) ∆?????? ?????? | сп = ?????? 2 ?????? ℎ 2 2 (?????? ??????+1 ?????? − 2?????? ?????? ?????? + ?????? ??????+1 ?????? ) + ?????? ???????????? ???????????? 2 ??????. (50) где – тепловой поток на границе слоев (рис. 17). Найдем значение ?????? ?????? ?????? . Для этого выполним условие (48) и приравняем правые части уравнений (49) исп 2 ?????? ?????? ?????? − ?????? 2 ℎ 2 2 ?????? ??????+1 ?????? + ?????? 2 ℎ 2 2 ?????? ?????? ?????? ). После несложных математических преобразований получим выражения для теплового потока ?????? ?????? ?????? = 2 ???????????? 1 ???????????? 2 (???????????? 1 +???????????? 2 )(ℎ 1 ℎ 2 ) 2 [?????? ?????? ?????? (ℎ 1 2 ?????? 2 − ℎ 2 2 ?????? 1 ) + (?????? ??????−1 ?????? ℎ 2 2 ?????? 1 − ?????? ?????? ?????? ℎ 1 2 ?????? 2 )]. (51) Q Кх выступает в роли как источника, таки стока теплоты (в зависимости от градиента температуры. Таким образом, приведя конечно-разностный аналог дифференциального уравнения теплопроводности к виду (47) и введя дополнительный член (51), удается решить проблему учета температурной зависимости коэффициента температуропроводности, а также получить возможность решения тепловой задачи на любых координатных сетках, оставаясь в рамках простой явной схемы. Следует отметить, что температурная зависимость коэффициента температуропроводности не противоречит основному дифференциальному уравнению теплопроводности, т.к. он остается постоянным в пределах элементарных слоев для которых по сути решаются отдельные, независимые тепловые задачи, которые связываются между собой тепловым потоком. Для выполнения условий сходимости вместо h подставляется наименьшее значение h i слоев, образующих границу раздела между разнородными металлами. При этом возрастающие значения толщин следующих слоев обеспечивают еще более благоприятные условия сходимости для решения. |