Учебнометодическое пособие Волгоград 2016
 Скачать 0.92 Mb.
|
|
34 Далее неизвестное поле температуры определяется по выражению (19). Воспользуемся левым граничным условием для определения начальных прогоночных коэффициентов и из соотношения ?????? 1 = ?????? 1 ?????? 1 + На левой границе стоит условие симметрии ???????????? ???????????? | ??????=0 = 0; ?????? 2 −?????? 1 ℎ = 0; ?????? 1 = ?????? 2 { ?????? 1 = 1; ?????? 1 = 0. А на правой границе температура известна ??????| ??????=?????? = ?????? ?????? Блок-схема к рассматриваемой задаче аналогична представленной на рис. 7. 35 Конечно-разностная аппроксимация граничных условий второго и третьего рода Граничные условия второго рода заданы тепловые потоки q 1 ирис, можно сформулировать следующим образом ?????? = 0: − ???????????? ???????????? = ?????? 1 , ?????? > 0; (27) ?????? = ??????: − ???????????? ???????????? = ?????? 2 , ?????? > 0. Из соотношения (27): q 1 > 0 => на границе х = 0 происходит нагрев материала q 1 < 0 => на границе х = 0 происходит охлаждение материала q 1 > 0 => на границе х = L происходит охлаждение материала q 1 < 0 => на границе х = L происходит нагрев материала. Проведем дискретизацию граничных условий II рода с погрешностью О. Погрешность аппроксимации вида О(h)означает, что различия между точными значениями и полученными (приближенными) будут одного порядка с шагом по пространству h. Поскольку обычно h < 1, то погрешность будет тем меньше, чем выше порядок аппроксимации. Например, погрешность аппроксимации вида О) дает результаты более точные, т.к. h 2 Рис. 13. Геометрия задачи (граничные условия второго рода) q 1 0 x L q 2 36 вое граничное условие необходимо для определения первых прогоночных коэффициентов α 1 и β 1 из соотношения Т α 1 Т+ β 1 −?????? ???????????? ???????????? | ??????=0 = ?????? 1 ; −?????? ?????? 2 −?????? 1 ℎ = ?????? 1 ; ?????? 1 = Отсюда следует, что { ?????? 1 = 1; ?????? 1 = ℎ?????? 1 ?????? (28) А правое граничное условие используют для определения температуры Т −?????? ???????????? ???????????? | ??????=?????? = ?????? 2 ; −?????? ?????? ?????? −?????? ??????−1 ℎ = ?????? 2 ; ?????? ?????? = Так как ?????? ??????−1 = ?????? ??????−1 ?????? ?????? + ?????? ??????−1 , то ?????? ?????? = ?????? ??????−1 ?????? ?????? + ?????? ??????−1 − ℎ?????? 2 ?????? ; ?????? ?????? = ???????????? ??????−1 −ℎ?????? 2 ??????(1−?????? ??????−1 ) (29) Проведем дискретизацию граничных условий II рода с погрешностью О. Предположим, что на границе выполняется уравнение теплопроводности) Разложим функцию Т(х)в ряд Тейлора в окрестности точки х до членов второго порядка относительно h: ?????? 2 ??????+1 = ?????? 1 ??????+1 + ℎ ∂?????? ∂?????? | ??????=0 ??????+1 + ℎ 2 Используя соотношение (30) получим ?????? 2 ??????+1 = ?????? 1 ??????+1 + ℎ ∂?????? ∂?????? | ??????=0 ??????+1 + ℎ 2 2?????? ∂?????? ∂?????? | ??????=0 ??????+1 ; |