Учебнометодическое пособие Волгоград 2016
 Скачать 0.92 Mb.
|
|
32 На практике часто возникают одномерные задачи с цилиндрической или сферической симметрией (рис. 12). Естественной системой координат в таких случаях является, соответственно, сферическая (r, φ) или цилиндрическая. Вследствие одномерности все величины не будут зависеть от углов θ, φ. Тогда уравнение (14) с переменными коэффициентами в соответствующих координатах примет вид ???????????? ∂?????? ∂?????? = 1 ?????? ?????? ∂ ∂?????? (???????????? ?????? ∂?????? ∂?????? ), где r – радиальная координата, ?????? – показатель симметрии (0, 1, 2 соответственно для плоского, цилиндрического и сферического случаев. Рассмотрим одномерное уравнение теплопроводности в цилиндрических координатах. Математическая постановка задачи будет иметь вид ???????????? ∂?????? ∂?????? = 1 ?????? ∂ ∂?????? (???????????? ∂?????? ∂?????? ), (25) Начальные и граничные условия запишутся следующим образом ?????? = 0: ?????? = ?????? 0 , 0 ≤ ?????? ≥ ??????; ?????? = 0: ∂?????? ∂?????? = 0, ?????? > 0; (26) ?????? = ??????: ?????? = ?????? ?????? , ?????? > 0. Рис. 12. Геометрия задачи распространения тепла в бесконечном цилиндре 0 R r 33 Для решения сформулированной краевой задачи применим метод конечных разностей на основе неявной четырехточечной схемы. Сначала введем равномерную пространственную сетку ?????? ?????? = (?????? − 1)ℎ, ?????? = 1, … , ??????; ?????? 1 = 0, … , ?????? ?????? = ??????; ℎ = ??????/(?????? − 1). Аналогично вводится временная сетка ?????? ?????? = ????????????, ?????? = 1, … , ??????; ?????? 0 = 0, … , ?????? ?????? = конечное > 0. Заменим дифференциальные операторы в уравнении (25) на их ко- нечно-разностные аналоги ???????????? ???????????? = ?????? ?????? ??????+1 −?????? ?????? ?????? ?????? , ???????????? ???????????? (?????? ???????????? ???????????? ) = 1 ℎ 2 [?????? ??????+ 1 2 ?????? ??????+1 ??????+1 − (?????? ??????− 1 2 + ?????? ??????+ 1 2 ) ?????? ?????? ??????+1 + ?????? ??????− 1 2 ?????? ??????−1 ??????+1 ]. где ?????? ??????− 1 2 = ?????? ??????−1 +?????? ?????? 2 , ?????? ??????+ 1 2 = ?????? ?????? +?????? ??????+1 Таким образом, в результате аппроксимации частных производных соответствующими конечными разностями получаем следующую систему линейных алгебраических уравнений ???????????? ?????? ?????? ??????+1 −?????? ?????? ?????? ?????? = ?????? ?????? ?????? ℎ 2 [?????? ??????+ 1 2 ?????? ??????+1 ??????+1 − (?????? ??????− 1 2 + ?????? ??????+ 1 2 ) ?????? ?????? ??????+1 + ?????? ??????− 1 2 ?????? ??????−1 ??????+1 ], ?????? = 2, … , ?????? − 1, ?????? = 0,1, … , ?????? Полученную систему можно свести к наиболее общему виду ?????? ?????? ?????? ??????+1 ??????+1 − ?????? ?????? ?????? ?????? ??????+1 + ?????? ?????? ?????? ??????−1 ??????+1 = ?????? ?????? , где ?????? ?????? = ?????? ℎ 2 ?????? ??????+ 1 2 ?????? ?????? , ?????? ?????? = ?????? ℎ 2 ?????? ??????− 1 2 + ?????? ??????+ 1 2 ?????? ?????? + ???????????? ?????? , ?????? ?????? = ?????? ℎ 2 ?????? ??????− 1 2 ?????? ?????? , ?????? ?????? = − ???????????? ?????? ?????? ?????? ?????? Прогоночные коэффициенты находятся по формулам (20). 33 |