Учебнометодическое пособие Волгоград 2016
 Скачать 0.92 Mb.
|
|
22 Интегрируем нестационарное уравнение теплопроводности time = 0 While time < t_end time = time + tau Определяем начальные прогоночные коэффициенты на 'основе левого граничного условия alfa(1) = 0 beta(1) = T1 Определяем прогоночные коэффициенты For i = 2 To N - 1 ai = lamda / h ^ 2 bi = 2 * lamda / h ^ 2 + ro * c / tau ci = lamda / h ^ 2 fi = -ro * c * T(i) / tau alfa(i) = ai / (bi - ci * alfa(i - 1)) beta(i) = (ci * beta(i - 1) - fi) / (bi - ci * alfa(i - 1)) Next i Определяем значение температуры на правой границе T(N) = Tr Определяем поле температур For i = (N - 1) To 1 Step -1 T(i) = alfa(i) * T(i + 1) + beta(i) Next i Wend Записываем результаты T(i) в таблицу Excel Dim s As String пользовательская переменная Dim v_Excel As Excel.Application область памяти приложения Excel Dim v_Wb1 As Excel.Workbook область рабочей книги Dim sh As Excel.Worksheet область рабочего листа 'Открываем новое приложение Excel 23 Set v_Excel = New Excel.Application Загружаем рабочую книгу Set v_Wb1 = С) Загружаем рабочий лист 1 Set sh = v_Excel.Sheets(1) Получаем доступ к рабочей книге v_Wb1.Activate Записываем рассчитанные значение температур в таблицу For i = 1 To N sh.Cells(i, 1).Value = i * h sh.Cells(i, 2).Value = T(i) Next i Закрытие приложения Excel v_Excel.Quit Set v_Excel = Nothing End Sub 24 Результаты расчетов прим Вт/(м С, ρ= 7800 кг/м 3 , с = 460 Дж/(кг С, T 0 =20 С, л = 500 С, Т п = С через 10 с процесса нагрева приведены на рис. 8. Как отмечалось выше, рассмотренная расчетная схема является неявной, те. для определения поля температуры приходится решать систему линейных алгебраических уравнений. Но помимо предложенной схемы существует также и явная схема. В такой схеме явно определяется поле температуры и ненужно решать систему уравнений для определения про- гоночных коэффициентов α i и Рис. 8. Распределение температуры по длине стержня в момент времени t = 10 с (с использованием неявной разностной схемы) 25 Рассмотрим туже задачу, но уже с использованием явной схемы. Отличие явной схемы от неявной заключается в аппроксимации диффузионного слагаемого, а именно, во временном слоена котором рассматривается неизвестное поле температуры Таким образом, в результате аппроксимации частных производных соответствующими конечными разностями получаем следующее соотношения для определения поля температуры ???????????? ?????? ?????? ??????+1 −?????? ?????? ?????? ?????? = ?????? ( ?????? ??????+1 ?????? −2?????? ?????? ?????? +?????? ??????−1 ?????? ℎ 2 ), ?????? = 2, … , ?????? − 1, ?????? ≥ 0. Графически явную разностную схему можно представить следующим образом Из шаблона (рис. 9) видно, что для определения неизвестного поля температуры никакой системы уравнений для α i и β i решать не требуется ?????? ?????? ?????? + ???????????? ???????????? ( ?????? ??????+1 ?????? −2?????? ?????? ?????? +?????? ??????−1 ?????? ℎ 2 ), ?????? = 2, … , ?????? − 1, ?????? ≥ 0. (23) и аналогичные разностные аналоги краевых условий ?????? ?????? 0 = ?????? 0 , ?????? = 2, … , ?????? − 1; ?????? 1 ?????? = л, ?????? > 0; (24) Рис. 9. Шаблон явной четырехточечной разностной схемы t x h i=1 i-1 i i+1 i=N τ n+1 n n=0 26 ?????? 1 ?????? = п, ?????? > 0. Таким образом, мы получили простую систему линейных алгебраических уравнений для нахождения распределения температуры в пластине в различные моменты времени. Аппроксимация дифференциальной задачи (15), (16) конечно-разностной (23), (24) выполнена также с первым порядком повремени и вторым по пространственной координате h. Но чтобы решение конечно-разностной задачи (23), (24) сходилось к решению дифференциальной задачи, достаточно выполнение следующего условия условие устойчивости разностной схемы ?????? = ????????????ℎ 2 Из этого условия определяется шаг интегрирования повременной координате. Конечно-разностный аналог уравнения (23) называется простой явной схемой решения дифференциального уравнения теплопроводности, т.к. в уравнение входит всего одно неизвестное и оно может быть выражено через уже известные величины. Решение уравнения (23) представляет собой маршевую задачу, поэтому начальное распределение ?????? ?????? 0 должно быть задано, и значения функции Т на временном шаге можно считать известным. Погрешность аппроксимации уравнения (23) представляет собой разность между исходным уравнением в частных производных и его ко- нечно-разностным аналогом. Порядок погрешности аппроксимации для явной схемы равен ??????(Δ??????) + или ??????[Δ??????(Δ??????) 2 ]. |