Учебнометодическое пособие Волгоград 2016
 Скачать 0.92 Mb.
|
|
9 Закон теплопроводности Фурье В общем случае передача тепловой энергии может осуществляться тремя способами теплопроводностью, конвекцией, лучистой энергией радиацией. Для передачи теплоты в твердых телах характерен первый способ. В жидкостях теплота передается конвекцией и теплопроводностью в газах – в основном конвекцией и радиацией в вакууме – только радиацией. Закон теплопроводности устанавливает количественную связь между теплопроводностью металла, градиентом температуры и тепловым потоком в твердом теле. Рассмотрим передачу теплоты в стержне, температура по длине которого переменна (рис. 2). Очевидно, теплота будет перетекать от более нагретых к менее нагретым участкам. Закон Фурье в этом случае звучит так – количество теплоты dQ, протекающее вследствие теплопроводности за время dt через поперечное сечение F, пропорционально градиенту температуры в рассматриваемом сечении, площади сечения F и времени dt; ???????????? = ??????(− ???????????? Знак минус в формуле (7) означает, что поток теплоты направлен в сторону, противоположную возрастанию температуры. Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом теплопроводности. Рис. 2. Распределение температуры в стержне dQ S S x ???????????? ???????????? = tg?????? T φ 10 Тепловой поток – это количество теплоты, проходящее через рассматриваемое сечение (поверхность) в единицу времени Удельный тепловой поток определяется тепловым потоком, приходящимся на единицу площади. Теплопроводность λ характеризует способность тел проводить теплоту. Численно коэффициент λ выражает количество теплоты, протекающее через единицу изотермической поверхности в единицу времени, если изменение температуры по направлению нормали составляет К на см. Теплопроводность металла существенно изменяется в зависимости от температуры и химического состава материала. Дифференциальное уравнение теплопроводности. Закон теплопроводности Фурье устанавливает связь между теплопроводностью металла, градиентом температуры и тепловым потоком. Для вычисления температуры точек тела необходимо не установить тепловой поток, проходящий через рассматриваемое сечение, но и определить количество теплоты, которое поступает в некоторый элементарный объем тела, а также уходит из этого объема. Если количество теплоты в этом объеме увеличивается, то температура его повышается, и наоборот. Сложный процесс изменения температуры точек тела с координатами х, у, z во времени t описывается дифференциальным уравнением теплопроводности. Вывод дифференциального уравнения теплопроводности рассмотрим на примере линейного распространения теплоты в стержне (рис. 3). Вследствие наличия градиента температуры теплота в стержне с сечением на рассматриваемом участке будет распространяться слева направо. Согласно закону Фурье, удельный тепловой поток в каждом сечении ?????? 2?????? = −?????? ∂?????? ∂?????? ⁄ . (8) 11 Приращение удельного теплового потока dq 2x на длине dx составит ?????? 2?????? = ∂?????? 2?????? ∂?????? ???????????? = ∂?????? 2?????? ∂?????? (−?????? ∂?????? ∂?????? )????????????. (9) Это означает, что слева через сечение I–I, где градиент температуры несколько выше, входит больше теплоты, чем выходит через сечение II –II, где градиент температуры меньше. За время dt в элементарном объеме Fdx накапливается количество теплоты ???????????? ?????? = ?????? 2?????? ?????????????????? − ?????? 2(??????+????????????) ?????????????????? = −???????????? 2?????? ??????????????????. (10) Теплота dQ x повышает температуру элементарного объема с теплоемкостью ср на dT = ( ∂T/∂t)dt: ???????????? ?????? = ??????????????????????????????(∂??????/ ∂??????)????????????. (11) Приравнивая выражения (10) и (11), а также используя уравнение (9) находим ?????????????????? ∂??????/ ∂?????? = ????????????(∂ 2 ??????/ ∂?????? 2 ) (12) Сокращая, получим частный случай дифференциального уравнения теплопроводности для стержня Рис. 3. К выводу уравнения теплопроводности x x ???????????? ???????????? = tg?????? T x x+Δx Δx q 2x q 2(x+Δx) |